МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
Инновационный евразийский университет
ФАкультет энергетики и информационных технологий
КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»
Курсовая работа.
Тема: Дифференциальные уравнения гиперболического типа.
Курсовая работа студента гр. МТ-31
Нургалиев А.
Научный руководитель
Шарая С. Н.
Дата сдачи курсовой работы _________
Дата защиты _________
Оценка _________
Павлодар 2007 год.
Содержание.
1. Введение.
2. Метод распространяющихся волн.
2.1. Вывод уравнения колебаний струны.
2.2. Формула Даламбера.
2.2.1. Вывод формулы Даламбера.
2.2.2. Физическая интерпретация.
2.2.3. Пример.
3. О колебании стержней.
3.1. Уравнение поперечных колебаний стержней.
3.2. Задача о собственных значениях.
3.3. Частоты собственных колебаний камертона.
4. Заключение.
5. Литература.
1. Введение.
Многие задачи математической физике приводят к дифференциальным уравнениям с частными производными. В настоящей курсовой работе рассмотрены одни из основных уравнений гиперболического типа: 4-го и наиболее часто встречающегося 2-го порядка.
Рассмотрено простейшее уравнение гиперболического типа – волновое уравнение. К исследованию этого уравнения приводят рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Приведена формула Даламбера для решения краевых задач, а также её физическая интерпретация.
Большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т.д. приводит к уравнениям более высокого порядка. В качестве примера на уравнения 4-го порядка рассмотрена задача о собственных колебаниях камертона.
2. Метод распространяющихся волн.
2.1. Вывод уравнения колебаний струны.
В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины lв начальный момент направлена по отрезку оси xот 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.
Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси x и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t) которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой xв момент t.
/>
Так как мы рассматриваем малые отклонения точек струны в плоскости (x,u), то будем предполагать, что длина элемента струны M1M2 равняется ее проекции на ось x, т.е. M1M2=x2-x1. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через T.
Рассмотрим элемент струны MM’.
/>
На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы T. Пусть касательные образуют осью xуглы /> и />. Тогда проекция на ось uсил, действующих на элемент MM’, будет равна />. Так как угол /> мал, то можно положить />, и мы будем иметь:
/>
(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках).
Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть масса элемента струны будет />. Ускорение элемента равно />. Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:
/>
Сокращая на /> и обозначая />, получаем уравнение движения
/> (1)
Это и есть волновое уравнение – уравнение колебания струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять еще граничным условия, указывающим, что делается на концах струны (x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями:
/>
2.2. Формула Даламбера.
Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа начнем с задачи с начальными условиями для неограниченной струны:
/> (2)
/> (3)
Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик
/>
распадается на два уравнения:
/>, />,
интегралами которых являются прямые
/>, />.
Вводя новые переменные
/>, />,
уравнение колебания струны преобразуем к виду:
/>. (4)
Найдем общий интеграл последнего уравнения. Очевидно, для всякого решения уравнения (4)
/>,
где /> — некоторая функция только переменного />. Интегрируя это равенство по /> при фиксированном />, получим
/>, (5)
где /> и /> являются функциями только переменных /> и />.Обратно, каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции /> и />, функция />, определяемая формулой (5), представляет собой решение уравнения (4). Так как всякое решение уравнения (4)может быть представлено в виде (5) при соответствующем выборе /> и />, то формула (5) является общим интегралом этого уравнения. Следовательно, функция
/> (6)
является общим интегралом уравнения (2).
Допустим, что решение рассматриваемой задачи существует; тогда оно дается формулой (6). Определим функции /> и /> таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия:
/> (7)
/>. (8)
Интегрируя второе равенство, получим:
/>
где /> и C – постоянные. Из равенства
/>
/>
находим:
/> (9)
Таким образом, мы определили функции /> и /> через заданные функции /> и />, причем равенства (9) должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (6) найденные значения /> и />, получим:
/>
или
/>, (10)
Формулу (10), называемую формулой Даламбера, мы получили, предполагая существование решения поставленной задачи. Эта формула доказывает единственность решения. В самом деле, если бы существовало второе решение задачи (2) – (3), то оно представлялось бы формулой (10) и совпадало бы с первым решением.
Нетрудно проверить, что формула (10) удовлетворяет (в предположении двукратной дифференцируемости функции /> и однократной дифференцируемости функции />) уравнению и начальным условиям. Таким образом, изложенный метод доказывает как единственность, так и существование решения поставленной задачи.
2.2.2.Физический интерпретация.
Функция />, определяемая формулой (10), представляет собой процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать />, то функция /> дает профиль струны в момент />, фиксируя />, получим функцию />, дающую процесс движения точки />. Предположим, что наблюдатель, находившийся в точке x=0 в момент t=0, движется со скоростью a в положительном направлении. Введем систему координат, связанную с наблюдателем, полагая />, />. В этой подвижной системе координат функция /> будет определятся формулой /> и наблюдатель все время будет видеть тот же профиль, что и в начальный момент. Следовательно, функция /> представляет неизменный профиль f(x), перемещающийся вправо (в положительном направлении оси x) со скоростью a(распространяющуюся или бегущую волну). Функция f(x+at) представляет, очевидно, волну, распространяющуюся налево (в отрицательном направлении оси x) со скоростью a. Таким образом, общее решение (10) задачи Коши для бесконечной струны есть суперпозиция двух волн />, одна из которых распространяется направо со скоростью a, а вторая – налево с той же скоростью. При этом
/>,
где />.
Для выяснения характера решения (10) удобно пользоваться плоскостью состояний (x,t) или «фазовой плоскостью». Прямые x-at=constи x+at=constявляются характеристиками уравнения (2). Функция /> вдоль характеристики x-at=const сохраняет постоянное значение, функция /> постоянна вдоль характеристики x+at=const.
Предположим, что f(x) отлична от нуля только в интервале /> и равна нулю вне этого интервала. Проведем характеристики /> и /> через точки /> и />; они разбивают полуплоскость (x,t>0) на три области I, II, и III (рис. 3, а).
/>
Функция /> отлична от нуля только в области II, где /> и характеристики /> и /> представляют передний и задний фронты распространяющейся направо волны.
Рассмотрим теперь некоторую фиксированную точку /> и приведем из нее обе характеристики /> и />, которые пересекут ось x в точках />, t=0 и />, t=0. Значение функции /> в точке /> равно />, т. е. определяется значениями функций />/>и /> в точках /> и />, являющихся вершинами треугольникаMPQ(рис. 3, б), образованного двумя характеристиками и осью x. Этот треугольник называется характеристическим треугольником точки />. Из формулы (10) видно, что отклонение /> точки струны в момент /> зависит только от значений начального отклонения в вершинах P(x0-at0,0) и Q(x0+at0,0) характеристического треугольника MPQи от значений начальной скорости на стороне PQ. Это становится особенно ясным, если формулу (10) записать в виде
/> (11)
Начальные данные, заданные вне PQ, не оказывают влияния на значения /> в точке />. Если начальные условия заданы не на всей бесконечной прямой, а на отрезке />, то они однозначно определяют решение внутри характеристического треугольника, основанием которого является отрезок />.
2.2.3. Пример.
Решение (10) можно представить в виде суммы />, где
/> (12)
/>. (13)
Если начальная скорость равна нулю (/>), то отклонение /> есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма обеих волн определяется функцией />, равной половине начального отклонения. Если же />, то /> представляет возмущение струны, создаваемое начальной скоростью.
Рассмотрим распространение начального отклонения, заданного в виде равнобедренного треугольника. Такой начальный профиль можно получить, если оттянуть струну в середине отрезка /> . На рис. 4 даны последовательные положения струны через промежутки времени />.
/>
Наглядное представление о характере процесса распространения можно получить с помощью фазовой плоскости (x, t). Проведем характеристики через точки /> и />; они разобьют полуплоскость /> на шесть областей (рис. 5).
/>
Отклонение /> в любой точке (x,t) дается формулой (12). Поэтому в областях I, III, Vотклонение равно нулю, так как характеристический треугольник любой точки из этих областей не имеет общих точек с отрезком />, на котором заданы начальные условия. В области II решением является «правая волна» />, в области IV– «левая волна» />, а в области VIрешение есть сумма «левой» и «правой» волн.
3. О колебании стержней.
В курсах методов математической физики основное место отводится уравнениям второго порядка. Однако большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т.д. приводит к уравнениям более высокого порядка.
В качестве примера на уравнения 4-го порядка рассмотрим задачу о собственных колебаниях камертона, эквивалентную задаче о колебаниях тонкого прямоугольного стержня, зажатого одним концом в массивные тиски. Определение формы колебаний камертона и его частоты сводится к решению «уравнения поперечных колебаний стержня»
/> (1)
К этому уравнению приходят во многих задачах о колебании стержней, при расчете устойчивости вращающихся валов, а также при изучении вибрации кораблей.
Приведем элементарный вывод уравнения (1). Рассмотрим прямоуголный стержень длиной />, высотой hи шириной b. Выделим элемент длины dx. После изгиба торцевые сечения выделенного элемента стержня, предполагаемые плоскими, образуют угол />, Если деформации малы, а длина оси стержня при изгибе не меняется (dl=dx), то
/>.
Слой материала, отстоящий от оси стержня y=0 на расстоянии />, изменяет свою длину на величину />. По закону Гука сила натяжения, действующая вдоль слоя, равна
/>,
где E– модуль упругости материала стержня. Полный изгибающий момент сил, действующих на сечение x, равен
/>, (2)
где
/>
— момент инерции прямоугольного сечения относительно своей горизонтальной оси. Обозначим через M(x) момент, действующих на правую часть стержня в каждом сечении. В сечении x+dx, очевидно, действ