Содержание
Содержание. 2
Введение. 3
Глава 1. Показательный тренд. 5
1.1. Построение регрессии. 7
1.2. Дисперсионный анализ для линейной регрессии. 10
1.3. Эластичность показательной регрессии. 11
1.4. Изучение качества линейной регрессии. 11
Доверительные интервалы для оцененных параметров. 11
Критерий Фишера значимости всей регрессии. 12
1.5. Колеблемость признака. 13
1.6. Прогноз. 15
Глава 2. Моделирование сезонности ВВП 17
Глава 3. Индексный анализ. 19
Глава 4. Полиномиальная регрессия. 20
4.1. Построение регрессии. 21
4.2. Коэффициенты эластичности. 23
4.3. Стандартизованные коэффициенты 24
4.4. Парные коэффициенты корреляции. 24
4.5. Частные коэффициенты корреляции. 24
4.6. Множественный коэффициент корреляции . 25
4.7. Коэффициент детерминации. 25
4.8. Колеблемость признака. 25
4.9. Сезонность. 26
4.10. Доверительные интервалы для параметров регрессии. 28
Заключение. 29
Список использованных источников. 30
Введение
В последние годы в эконометрической литературе большое внимание уделяется исследованию рядов динамики макроэкономических показателей. Разнообразные содержательные задачи экономического анализа требуют использования статистических данных, характеризующих исследуемые экономические процессы и развернутых во времени в форме временных рядов. При этом нередко одни и те же временные ряды используются для решения разных содержательных проблем.
Настоящая работа посвящена исследованию ряда динамики ВВП России.
Проблема эконометрического исследования макроэкономических процессов является весьма актуальной. В последнее время появилось достаточно большое количество работ, в которых рассматриваются различные эконометрические аспекты развития российской переходной экономики. В ситуациях, когда временной ряд формируется под воздействием некоторого набора случайных и неслучайных факторов, анализ отдельных временных рядов, как результирующих, так и факторных, имеет огромное значение.
Пятнадцатилетний период перехода России к рыночной экономике наряду с ростом понимания экономических последствий принятия тех или иных политических решений сопровождался и накоплением статистических данных о динамике различных макроэкономических показателей. По мере накопления таких данных появляется возможность выявления и изучения долговременных связей между различными макроэкономическими показателями внутри российской экономики, возможность проведения сравнительного анализа динамики аналогичных макроэкономических переменных в Российской Федерации и других развитых и развивающихся странах, возможность выявления долговременных связей между такими переменными и построения эконометрических моделей таких связей [16].
Построенные модели обычно используется для экстраполяции или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием при выборе среди нескольких альтернативных моделей. Построение хороших моделей ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание.
Некоторые элементы структуры ряда иногда можно выявить уже на основании простого визуального анализа графика ряда[1].
Сезонные колебания – это устойчивые циклические изменения показателей (в данном случае ВВП), повторяющиеся из года в год. Они включают в себя две группы факторов: сезонные явления и другие системные воздействия. Сезонные явления – это регулярные явления, сохраняющие ежегодно свои сроки, направления и масштаб (погодные условия зимы-лета, ежегодные праздники). Другие системные воздействия – тоже явления устойчивые и предсказуемые, но повторяющиеся ежегодно не с такой точностью (число рабочих дней в периоде, праздники, приходящиеся на разные даты).
Слагаясь под совместным воздействием систематических и случайных факторов, уровень ряда динамики испытывает также воздействие причин, обусловленных периодичностью колебаний.
В рядах внутригодичной динамики, можно выделить три важнейшие составляющие колеблемости уровней временного ряда: тренд, сезонную и случайную компоненты.
Таким образом, при анализе колеблемости динамических рядов наряду с выделением случайных колебаний возникает и задача изучения периодических колебаний. Как правило, изучение периодических («сезонных») колебаний необходимо с целью исключения их влияния на общую динамику для выявления «чистой» (случайной) колеблемости.
В широком понимании к сезонным относят все явления, которые обнаруживают в своем развитии отчетливо выраженную закономерность внутригодичных изменений, т.е. более или менее устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней. Часто эти колебания могут быть не связаны со сменой времен года. К сезонным явлениям относят, например, потребление электроэнергии; неравномерность производственной деятельности в отраслях пищевой промышленности, связанных с переработкой сельскохозяйственного сырья; перевозки пассажирским транспортом, спрос на многие виды продукции и услуг и т.д [15].
Как бы ни проявлялась сезонность, она наносит большой ущерб национальной экономике, связанный с неравномерным использованием оборудования и рабочей силы, с неравномерной загрузкой транспорта, необходимостью создания резервов мощностей и т.д. Комплексное регулирование сезонных изменений по отдельным отраслям должно основываться на исследовании сезонных отклонений.
Важнейшими задачами, решаемыми в ходе исследования сезонности, являются следующие [5]:
1) определение наличия сезонности, численное выражение проявления сезонных колебаний и выявление их силы и характера в различных фазах годичного цикла;
2) характеристика факторов, вызывающих сезонные колебания;
3) оценка последствий, к которым приводит наличие сезонных колебаний;
4) математическое моделирование сезонности.
Цель работы: применить некоторые методы для изучения сезонности ВВП в России.
Глава 1. Показательный тренд
Построим показательный тренд ВВП. Используем данные таблицы (в млрд.руб) [14].
Таблица 1. Данные к работе
год
квартал
номер квартала
ВВП
2001
I
1
1900,9
II
2
2105,0
III
3
2487,9
IV
4
2449,8
2002
I
5
2259,5
II
6
2525,7
III
7
3009,2
IV
8
3023,1
2003
I
9
2850,7
II
10
3107,8
III
11
3629,8
IV
12
3655,0
2004
I
13
3516,8
II
14
3969,8
III
15
4615,2
IV
16
4946,4
2005
I
17
4479,2
II
18
5172,9
III
19
5871,7
IV
20
6096,2
2006
I
21
5661,8
II
22
6325,8
III
23
7248,1
IV
24
7545,4
2007
I
25
6566,2
II
26
7647,5
X[i] – номер квартала. Так X[1] – 1-й квартал 2001г, X[2] – 2-й квартал 2001г. и т.д.
Приведем массив данных
Обозначим ln(f)=y, ln(a)=alpha, ln(b)=beta
Получим
Оценим линейную регрессию
1.1. Построение регрессии
Для регрессии вида найдем коэффициенты по формулам [2]
Вычислим
Тогда
Откуда. Тогда линейная регрессия будет иметь вид. Смысл коэффициента beta заключается в том, что при изменении значения X на 1 единицу Y меняется на 0,05 единиц
Параметры показательной регрессии
Нарисуем точки и регрессию:
Рисунок 1. График тренда
1.2. Дисперсионный анализ для линейной регрессии
Среднее Y
Остаточная вариация (RSS)
Общая вариация (TSS)
Объясняемая вариация (ESS)
Правило сложения дисперсий выполняется [7]. Подсчитаем оценку дисперсии ошибки, т.е.
Среднее X
Найдем оценки дисперсий коэффициентов регрессии
по формулам
Получим
1.3. Эластичность показательной регрессии
Подсчитаем функцию эластичности по формуле
В нашем случае или
Значение эластичности в средней точке Показывает, что при изменении X на 1% Y меняется на процентов [6].
1.4. Изучение качества линейной регрессии
Доверительные интервалы для оцененных параметров
уровень доверия . Количество степеней свободы 24. Критическое значение статистики Стьюдента
Доверительный интервал [10] для beta
равен. Не можем на данном уровне значимости принять гипотезу beta=0 т.к. НЕ попадает в доверительный интервал.
Доверительный интервал для alpha
равен. Мы НЕ можем на данном уровне значимости принять гипотезу alpha=0 т.к. НЕ попадает в доверительный интервал.
Критерий Фишера значимости всей регрессии
Коэффициент корреляции
Где
показывает, что связь СИЛЬНА . Коэффициент детерминации показывает, что регрессия объясняет 97,41 процентов вариации признака [4].
Убедимся в значимости модели с помощью статистики Фишера
которая БОЛЬШЕ критического значения
Следовательно, регрессия ЗНАЧИМА
Проверим значимость коэффициента корреляции
поэтому выборочный коэффициент корреляции ЗНАЧИМО отличается от нуля. Средняя ошибка аппроксимации
1.5. Колеблемость признака
Колеблемость – это отклонения уровней динамического ряда от тренда, т.е. остатки регрессии [13]. Найдем остатки регрессии (т.е. очищаем признак от тренда)
Нарисуем график остатков
Рисунок 2. График остатков
Среднее линейное отклонение уровней ряда от тренда описывается показателемт.е. среднее абсолютное отклонение от тренда равно. Амплитуда колебаний есть разность максимального и минимального отклонения и показывает максимальный разброс отклонений.
Индексы сезонности находятся по формулам
Средние индексов сезонности
Статистика Дарбина-Уотсона [12]
Попали в зону отсутствия автокорреляции первого порядка [3].
1.6. Прогноз
Точечный прогноз для
Можно видеть циклическое отклонение от тренда. Четко прослеживается сезонность ВВП. В первом квартале признак имеет наименьшее значение, а потом возрастает к третьему, а в четвертом квартале опять сокращается. Таким образом, колеблемость ВВП не является хаотической.
Индексы сезонности показывают, что в первом и втором квартале ВВП ниже трендового, а в третьем и четвертом – выше.
Рассмотрим вопрос, насколько сильно в среднем ВВП отклоняется от тренда. Для этого служит показатель среднего линейного отклонение уровней ряда от тренда [11]
Значит в среднем, ряды уровней отклоняются от тренда на 280,28 млрд.рб. Учтем теперь направление отклонения. Для этого будем учитывать направление отклонения, т.е. уберем модуль в предыдущей формуле: получим, что среднее отклонения равно 8.5 млрд.руб.
Амплитуда колебаний есть разность максимального и минимального отклонения и показывает максимальный разброс отклонений [9].
Максимальная разность ВВП равна 1464,536 и достигается она в первом и третьем квартале, когда ВВП минимален (в первом) и максимален (во втором).
Степень тесноты связи между последовательностями наблюдаемого временного ряда, сдвинутого относительно друг друга на tединиц может быть определена с помощью коэффициента автокорреляции
Показатель t служит порядком коэффициента автокорреляции. Для разных t получаем r(t) – автокорреляционную функцию,
Показатель t служит порядком коэффициента автокорреляции. Для разных t получаем r(t) – автокорреляционную функцию [5]
Мы видим, что высока автокорреляция 4-го порядка, что еще раз показывает наличие сезонности в уровнях ВВП.
Глава 2. Моделирование сезонности ВВП
После того, как мы установили наличие сезонности, надо пытаться ее моделировать. Приведем расчет модели с использованием фиктивных переменных. Введем 3 фиктивных переменных, указывающих на 1-й, 2-й, 3-й квартал [1]
Таблица 2. структура данных + dummy
ln (ВВП)
Dummy 1
Dummy 2
Dummy 3
номер квартала
7,6
1
0
0
1
7,7
0
1
0
2
7,8
0
0
1
3
7,8
0
0
0
4
7,7
1
0
0
5
7,8
0
1
0
6
8,0
0
0
1
7
8,0
0
0
0
8
8,0
1
0
0
9
8,0
0
1
0
10
8,2
0
0
1
11
8,2
0
0
0
12
8,2
1
0
0
13
8,3
0
1
0
14
8,4
0
0
1
15
8,5
0
0
0
16
8,4
1
0
0
17
8,6
0
1
0
18
8,7
0
0
1
19
8,7
0
0
0
20
8,6
1
0
0
21
8,8
0
1
0
22
8,9
0
0
1
23
8,9
0
0
0
24
8,8
1
0
0
25
8,9
0
1
0
26
Построим средствами Excel множественную регрессию.
Таблица 3. Коэффициенты
Регрессия имеет вид:
Ln(Y)=7.594+X*0,055 -0,131*Z1-0,068*Z2 +0,031* Z3
Отметим, что все коэффициенты значимы, т.к. 0 не попадает в доверительные интервалы. Изучим качество регрессии
Таблица 4. Качество регрессии
Регрессионная статистика
Множественный R
0,998363306
R-квадрат
0,996729291
Нормированный R-квадрат
0,996106298
Стандартная ошибка
0,026656372
Наблюдения
26
R^2 близок к 1, что сильно больше R^2 в показательной регрессии.
Остатки
Таблица 5. Остатки
Наблюдение
Предсказанное ln ВВП
Остатки
отстаки^2
1
7,5155
0,0346
0,0012
2
7,6338
0,0183
0,0003
3
7,7877
0,0314
0,0010
4
7,8116
-0,0078
0,0001
5
7,7357
-0,0128
0,0002
6
7,8540
-0,0197
0,0004
7
8,0079
0,0015
0,0000
8
8,0318
-0,0177
0,0003
9
7,9558
-0,0005
0,0000
10
8,0741
-0,0325
0,0011
11
8,2281
-0,0312
0,0010
12
8,2519
-0,0481
0,0023
13
8,1760
-0,0107
0,0001
14
8,2943
-0,0078
0,0001
15
8,4483
-0,0112
0,0001
16
8,4721
0,0343
0,0012
17
8,3962
0,0110
0,0001
18
8,5145
0,0367
0,0013
19
8,6684
0,0095
0,0001
20
8,6923
0,0231
0,0005
21
8,6163
0,0252
0,0006
22
8,7347
0,0177
0,0003
23
8,8886
-0,0001
0,0000
24
8,9125
0,0162
0,0003
25
8,8365
-0,0468
0,0022
26
8,9548
-0,0127
0,0002
стали гораздо меньше остатком в парной регрессии. На графике можно видеть, что остатки в новой регрессии не напоминают о наличии сезонности и не обладают (скорее всего) свойством автокорреляции.
Рисунок 3. График остатков
Таким образом, мы получили регрессию с гораздо лучшими прогнозными свойствами.
Глава 3. Индексный анализ
Применим аппарат. Результаты приведены ниже
Таблица 6. индексный анализ
Рисунок 4. График сглаженного признака
Глава 4. Полиномиальная регрессия
Приведем массив данных
4.1. Построение регрессии
Для регрессии вида
найдем коэффициенты
Найдем обратную матрицу
Дополнительные миноры
Их определители
Союзная матрица
Союзная транспонированная матрица
Делим каждый элемент на определитель, получаем
Найдем
Уравнение регрессии имеет вид
Нарисуем график
Рисунок 5. График регрессии в R^3
Среднее значение регрессоров и Y
4.2. Коэффициенты эластичности
равны
4.3. Стандартизованные коэффициенты
Тогда
4.4. Парные коэффициенты корреляции
4.5. Частные коэффициенты корреляции
4.6. Множественный коэффициент корреляции
или
Ошибка множественного коэффициента корреляции
4.7. Коэффициент детерминации
Скорректированный
Проведем F-тест Фишера на значимость регрессии.
Регрессия значима.
4.8. Колеблемость признака
Колеблемость – это отклонения уровней динамического ряда от тренда, т.е. остатки регрессии. Найдем остатки регрессии (т.е. очищаем признак от тренда)
Нарисуем график остатков
Рисунок 6. График остатков
Среднее линейное отклонение уровней ряда от тренда описывается показателемт.е. среднее абсолютное отклонение от тренда равноАмплитуда колебаний есть разность максимального и минимального отклонения и показывает максимальный разброс отклонений.
4.9. Сезонность
Индексы сезонности находятся по формулам
Степень тесноты связи между последовательностями наблюдаемого временного ряда, сдвинутого относительно друг друга на t единиц может быть определена с помощью коэффициента автокорреляции
Показатель t служит порядком коэффициента автокорреляции. Для разных t получаем r(t) – автокорреляционную функцию
а ее график называется коррелограмма. Статистика Дарбина-Уотсона
Попали в зону отсутствия автокорреляции
4.10. Доверительные интервалы для параметров регрессии
Дисперсия ошибок определяется по формуле [8]
Дисперсия
Количество степеней свободы 23. Критическое значение статистики Стьюдента . Уровень доверия 95%
Доверительный интервал для
равен Не можем на данном уровне значимости принять гипотезу т.к. НЕ попадает в доверительный интервал.
Доверительный интервал для
равен Не можем на данном уровне значимости принять гипотезу т.к. НЕ попадает в доверительный интервал.
Доверительный интервал для
равен Не можем на данном уровне значимости принять гипотезу т.к. НЕ попадает в доверительный интервал.
Заключение
В процессе математического моделирования экономических явлений и объектов часто возникает необходимость оценки существующих колебательных процессов. Под сезонными колебаниями понимают более или менее устойчивую закономерность внутригодовой динамики социально-экономических явлений[2]. Практическое значение изучения сезонных колебаний состоит в том, что получаемые при анализе рядов внутригодовой динамики количественные характеристики отображают специфику развития изучаемых явлений по месяцам (кварталам) годового цикла [1].
В условиях сменяемости сезонов деятельность экономических объектов сопровождается изменениями интенсивности динамики социально-экономических процессов. Это может проявляться в виде чередований подъемов и спадов различных показателей деятельности организации (выпуска продукции, себестоимости, производительности труда, прибыли и других), а также приостановкой производственных процессов в определенные периоды (строительство автодорог).
Учет сезонных колебаний приводит к снижению ошибки при расчете теоретических значений показателей деятельности организации и при их прогнозировании. Использование более точных величин позволит приблизить разрабатываемую модель экономического объекта к действительности, что является одной из задач при ее создании. Таким образом, частью задачи прогнозирования должна являться задача оценки колебательных процессов, которые могут в значительной степени влиять на получаемую картину прогнозируемого состояния объекта [11].
В работе были построены 3 динамические модели для ВВП РФ. Вторая модель, учитывающая сезонность с помощью фиктивных переменных оказалась лучше остальных. Она и может быть использована для прогнозирования ВВП.
Список использованных источников
1. Ефимова М. Р., Петрова Е. В., Румянцев В. Н. Общая теория статистики, М.: Инфра-Н, 2000г.
2. Елисеева И.И. Юзбашев М.М. Общая теория статистики. Москва, «Финансы и статиска» 2005.
3. А.О.Крыштановский. Методы анализа временных рядов // Мониторинг общественного мнения: экономические и социальные перемены. 2000. № 2 (46). С. 44-51. [Статья]
4. Шмойлова Р. А. Теория статистики, М.: Финансы и статистика, 1996г.
5. Теория статистики. Учебник./Под ред. Шмойлова Р. А. 3-е изд., перераб.-М.: Финансы и статистика, 2002
6. Гусаров В.М. Теория статистики. – М.: Аудит, 2001. – 248 с.
7. Кильдишев Г.С., Овсиенко В.Е., Рабинович П.М., Рябушкин Т.В. Общая теория статистики. – М.: Статистика, 2001. – 423 с.
8. Практикум по статистике: Учебное пособие для вузов (Под ред. В.М. Симчеры). ВЗФЭИ. – М.: ЗАО «Финстатинформ», 2001. – 259 с.
9. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. (1998) Прикладная статистика и основы эконометрии. – М.: ЮНИТИ, 1998.
10. Сайт Минфина http://www.economy.gov.ru/wps/portal
11. А. М. Трофимов. Ускорение темпов роста ВВП и роль государства в экономике (к дискуссии об уровне участия государства в экономике в журнале «Вопросы экономики» 2002-2003 гг.)
12. NEWSru.com // Экономика // 23 марта 2006 г.
13. С. Дробышевский, В. Носко, Р. Энтов. А. Юдин. Институт экономики переходного периода. Эконометрический анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей
14. [электронный ресурс] http: //www.gks.ru
15. [электронный ресурс] http://www.cbr.ru
16. [электронный ресурс] http://www.opec.ru
[1] Это относится, например, к таким компонентам ряда, как тренд и циклы, сезонные колебания [2].
[2] Их причинами являются особенности товарного предложения, покупательского спроса, изменения затрат в зависимости от изменения климатических условий в разные временные промежутки рассматриваемого периода и т.д.