Дисперсионный анализ
Курсовая работа по дисциплине: «Системный анализ»
Исполнитель студент гр. 99 ИСЭ-2 Жбанов В.В.
Оренбургский государственный университет
Факультет информационных технологий
Кафедра прикладной информатики
г. Оренбург-2003
Введение
Цель работы: познакомится с таким
статистическим методом, как дисперсионный анализ.
Дисперсионный
анализ (от латинского Dispersio – рассеивание) – статистический метод,
позволяющий анализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную.
Метод был разработан биологом Р. Фишером в 1925 году и применялся первоначально
для оценки экспериментов в растениеводстве. В дальнейшем выяснилась общенаучная
значимость дисперсионного анализа для экспериментов в психологии, педагогике,
медицине и др.
Целью
дисперсионного анализа является проверка
значимости различия между средними с помощью сравнения дисперсий. Дисперсию
измеряемого признака разлагают на независимые слагаемые, каждое из которых
характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Последующее
сравнение таких слагаемых позволяет оценить значимость каждого изучаемого
фактора, а также их комбинации /1/.
При
истинности нулевой гипотезы (о равенстве средних в нескольких группах
наблюдений, выбранных из генеральной совокупности), оценка дисперсии, связанной
с внутригрупповой изменчивостью, должна быть близкой к оценке межгрупповой
дисперсии.
При
проведении исследования рынка часто встает вопрос о сопоставимости результатов.
Например, проводя опросы по поводу потребления какого-либо товара в различных
регионах страны, необходимо сделать выводы,
на сколько данные опроса отличаются или не отличаются друг от друга.
Сопоставлять отдельные показатели не имеет смысла и поэтому процедура сравнения
и последующей оценки производится по
некоторым усредненным значениям и отклонениям от этой усредненной оценки.
Изучается вариация признака. За меру вариации может быть принята дисперсия.
Дисперсия σ2 – мера вариации, определяемая как средняя из
отклонений признака, возведенных в квадрат.
На практике часто возникают задачи более общего
характера – задачи проверки существенности различий средних выборочных
нескольких совокупностей. Например, требуется оценить влияние различного сырья
на качество производимой продукции, решить задачу о влиянии количества
удобрений на урожайность с/х продукции.
Иногда дисперсионный анализ применяется, чтобы
установить однородность нескольких совокупностей (дисперсии этих совокупностей
одинаковы по предположению; если дисперсионный анализ покажет, что и
математические ожидания одинаковы, то в этом смысле совокупности однородны).
Однородные же совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней
более полную информацию, следовательно, и более надежные выводы /2/.
1 Дисперсионный анализ
1.1 Основные понятия дисперсионного анализа
В
процессе наблюдения за исследуемым объектом качественные факторы произвольно
или заданным образом изменяются. Конкретная реализация фактора (например,
определенный температурный режим, выбранное оборудование или материал)
называется уровнем фактора
или способом обработки.
Модель дисперсионного анализа с фиксированными
уровнями факторов называют моделью
I, модель со случайными факторами – моделью II. Благодаря варьированию фактора
можно исследовать его
влияние на величину отклика. В
настоящее время общая теория дисперсионного анализа разработана для моделей I.
В
зависимости от количества факторов, определяющих вариацию результативного
признака, дисперсионный анализ подразделяют на однофакторный и многофакторный.
Основными
схемами организации исходных данных с двумя и более факторами являются:
–
перекрестная классификация,
характерная для моделей I, в которых каждый уровень одного фактора сочетается
при планировании эксперимента с каждой градацией другого фактора;
–
иерархическая (гнездовая)
классификация, характерная для модели II, в которой каждому
случайному, наудачу выбранному значению одного фактора соответствует свое
подмножество значений второго фактора.
Если
одновременно исследуется зависимость отклика от качественных и количественных
факторов, т.е. факторов смешанной
природы, то используется ковариационный
анализ /3/.
При обработке данных эксперимента наиболее разработанными
и поэтому распространенными считаются две модели. Их различие обусловлено
спецификой планирования самого эксперимента. В модели дисперсионного анализа с
фиксированными эффектами исследователь намеренно устанавливает строго
определенные уровни изучаемого фактора. Термин «фиксированный эффект» в данном
контексте имеет тот смысл, что самим исследователем фиксируется количество
уровней фактора и различия между ними. При повторении эксперимента он или
другой исследователь выберет те же самые уровни фактора. В модели со случайными
эффектами уровни значения фактора выбираются исследователем случайно из
широкого диапазона значений фактора, и при повторных экспериментах,
естественно, этот диапазон будет другим.
Таким образом, данные модели отличаются
между собой способом выбора уровней фактора, что, очевидно, в первую очередь
влияет на возможность обобщения полученных экспериментальных результатов. Для
дисперсионного анализа однофакторных экспериментов различие этих двух моделей
не столь существенно, однако в многофакторном дисперсионном анализе оно может
оказаться весьма важным.
При проведении дисперсионного анализа должны
выполняться следующие статистические
допущения: независимо от уровня фактора величины отклика имеют
нормальный (Гауссовский) закон распределения и одинаковую дисперсию. Такое
равенство дисперсий называется гомогенностью. Таким образом, изменение способа
обработки сказывается лишь на положении случайной величины отклика, которое
характеризуется средним значением или медианой. Поэтому все наблюдения отклика
принадлежат сдвиговому семейству
нормальных распределений.
Говорят,
что техника дисперсионного анализа является “робастной”. Этот термин,
используемый статистиками, означает, что данные допущения могут быть в некоторой
степени нарушены, но несмотря на это, технику можно использовать.
При
неизвестном законе распределения величин отклика используют непараметрические
(чаще всего ранговые) методы анализа.
В
основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или
компоненты. Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу
группировки, характеризует межгрупповая дисперсия σ2. Она
является мерой вариации частных средних по группам вокруг общей средней и определяется по
формуле:
,
где k – число групп;
nj – число единиц в j-ой группе;
– частная средняя по j-ой группе;
– общая средняя по
совокупности единиц.
Вариацию,
обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе
внутригрупповая дисперсия σj2.
.
Между
общей дисперсией σ02, внутригрупповой дисперсией
σ2 и межгрупповой дисперсией
существует соотношение:
σ02
= + σ2.
Внутригрупповая
дисперсия объясняет влияние неучтенных при группировке факторов, а межгрупповая
дисперсия объясняет влияние факторов группировки на среднее значение по группе
/2/.
1.2 Однофакторный дисперсионный анализ
Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:
xij = μ + Fj + εij, (1)
где хij – значение исследуемой переменой, полученной на i-м уровне фактора (i=1,2,…,т) c j-м
порядковым номером (j=1,2,…,n);
Fi – эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора;
εij – случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием
неконтролируемых факторов, т.е. вариацией переменой внутри отдельного уровня.
Основные предпосылки дисперсионного анализа:
–
математическое ожидание возмущения εij равно нулю для любых i, т.е.
M(εij) = 0; (2)
–
возмущения εij взаимно независимы;
– дисперсия переменной xij (или возмущения εij) постоянна для
любых i, j, т.е.
D(εij) = σ2; (3)
– переменная xij (или возмущение εij) имеет нормальный закон
распределения N(0;σ2).
Влияние уровней фактора может быть как
фиксированным или систематическим (модель I), так и случайным (модель II).
Пусть, например, необходимо выяснить, имеются ли
существенные различия между партиями изделий по некоторому показателю качества,
т.е. проверить влияние на качество одного фактора – партии изделий. Если
включить в исследование все партии сырья, то влияние уровня такого фактора
систематическое (модель I), а
полученные выводы применимы только к тем отдельным партиям, которые
привлекались при исследовании. Если же включить только отобранную случайно
часть партий, то влияние фактора случайное (модель II). В многофакторных комплексах возможна смешанная
модель III, в которой одни факторы
имеют случайные уровни, а другие – фиксированные.
Пусть имеется m партий изделий. Из каждой партии отобрано
соответственно n1,
n2,
…, nm изделий
(для простоты полагается, что n1=n2=…=nm=n).
Значения показателя качества этих изделий представлены в матрице наблюдений:
x11
x12 … x1n
x21
x22 … x2n
………………… = (xij), (i = 1,2, …, m; j = 1,2,
…, n).
xm1
xm2 … xmn
Необходимо проверить существенность влияния
партий изделий на их качество.
Если полагать, что элементы строк матрицы
наблюдений – это численные значения
случайных величин Х1,Х2,…,Хm, выражающих качество изделий и имеющих нормальный закон распределения с математическими
ожиданиями соответственно a1,а2,…,аm и одинаковыми дисперсиями σ2, то данная задача сводится к проверке нулевой гипотезы
Н0: a1=a2
=…= аm, осуществляемой в
дисперсионном анализе.
Усреднение по какому-либо индексу обозначено
звездочкой (или точкой) вместо
индекса, тогда средний показатель качества изделий i-й партии, или групповая
средняя для i-го уровня фактора, примет вид:
,
(4)
где i*
– среднее значение по столбцам;
ij – элемент матрицы наблюдений;
n – объем выборки.
А общая средняя:
. (5)
Сумма квадратов отклонений наблюдений хij от
общей средней ** выглядит так:
2=2+2+
+22. (6)
или
Q = Q1
+ Q2
+ Q3.
Последнее слагаемое равно нулю
=0. (7)
так как сумма отклонений значений переменной от ее
средней равна нулю, т.е.
2=0.
Первое слагаемое можно записать в виде:
В результате получается тождество:
Q = Q1 + Q2, (8)
где – общая, или полная, сумма квадратов отклонений;
– сумма
квадратов отклонений групповых средних
от общей средней, или межгрупповая (факторная) сумма квадратов отклонений;
– сумма
квадратов отклонений наблюдений от
групповых средних, или внутригрупповая
(остаточная) сумма квадратов отклонений.
В
разложении (8) заключена основная идея дисперсионного анализа. Применительно к
рассматриваемой задаче равенство (8)
показывает, что общая вариация
показателя качества, измеренная суммой Q, складывается из двух компонент – Q1 и Q2, характеризующих изменчивость этого показателя между партиями (Q1)
и изменчивость внутри партий (Q2),
характеризующих одинаковую для всех
партий вариацию под воздействием неучтенных факторов.
В дисперсионном
анализе анализируются не
сами суммы квадратов отклонений, а так называемые средние
квадраты, являющиеся несмещенными оценками соответствующих
дисперсий, которые получаются делением сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней
свободы.
Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений минус число связывающих их
уравнений. Поэтому для среднего
квадрата s12, являющегося несмещенной оценкой межгрупповой дисперсии, число
степеней свободы k1=m-1, так
как при его расчете используются m групповых средних, связанных между собой одним уравнением
(5). А для среднего квадрата s22, являющегося
несмещенной оценкой внутригрупповой дисперсии, число степеней свободы k2=mn-m,
т.к. при ее расчете используются все mn наблюдений, связанных между собой m
уравнениями (4).
Таким образом:
= Q1/(m-1),
= Q2/(mn-m).
Если найти математические ожидания средних
квадратов и , подставить в их формулы выражение xij (1) через параметры модели, то получится:
(9)
т.к. с учетом свойств математического ожидания
а
(10)
Для модели I с фиксированными уровнями фактора Fi(i=1,2,…,m) – величины неслучайные, поэтому
M(S) =2 /(m-1)
+σ2.
Гипотеза H0 примет вид Fi = F*(i =
1,2,…,m), т.е. влияние всех уровней фактора одно и то же. В случае
справедливости этой гипотезы
M(S)= M(S)= σ2.
Для случайной модели II слагаемое Fi в выражении (1) – величина случайная. Обозначая ее дисперсией
получим
из (9)
(11)
и,
как и в модели I
M(S)= σ2.
В таблице 1.1 представлен общий вид вычисления
значений, с помощью дисперсионного анализа.
Таблица 1.1 – Базовая таблица дисперсионного
анализа
Компоненты дисперсии
Сумма квадратов
Число степеней свободы
Средний квадрат
Математическое ожидание
среднего квадрата
Межгрупповая
m-1
= Q1/(m-1)
Внутригрупповая
mn-m
= Q2/(mn-m)
M(S)= σ2
Общая
mn-1
Гипотеза H0 примет вид σF2 =0. В случае справедливости этой
гипотезы
M(S)= M(S)= σ2.
В
случае однофакторного комплекса как для модели I, так и модели II средние квадраты S2 и S2, являются несмещенными и независимыми
оценками одной и той же дисперсии σ2.
Следовательно, проверка нулевой гипотезы H0
свелась к проверке существенности различия несмещенных выборочных оценок S и S дисперсии σ2.
Гипотеза H0 отвергается, если фактически вычисленное значение статистики F = S/S больше критического Fα:K1:K2,
определенного на уровне значимости
α при числе степеней свободы k1=m-1 и k2=mn-m, и
принимается, если F
F-
распределение Фишера (для x > 0) имеет следующую функцию плотности (для = 1, 2, …; = 1, 2, …):
где
– степени свободы;
Г – гамма-функция.
Применительно
к данной задаче опровержение гипотезы H0 означает наличие существенных различий в качестве
изделий различных партий на рассматриваемом
уровне значимости.
Для вычисления сумм квадратов Q1, Q2, Q часто бывает удобно использовать следующие формулы:
(12)
(13)
(14)
т.е. сами средние, вообще говоря, находить не
обязательно.
Таким
образом, процедура однофакторного дисперсионного анализа состоит в проверке
гипотезы H0 о
том, что имеется одна группа однородных экспериментальных данных против
альтернативы о том, что таких групп больше, чем одна. Под однородностью
понимается одинаковость средних значений и дисперсий в любом подмножестве
данных. При этом дисперсии могут быть как известны, так и неизвестны заранее.
Если имеются основания полагать, что известная или неизвестная дисперсия
измерений одинакова по всей совокупности данных, то задача однофакторного
дисперсионного анализа сводится к исследованию значимости различия средних в
группах данных /1/.
1.3 Многофакторный дисперсионный анализ
Следует
сразу же отметить, что принципиальной разницы между многофакторным и
однофакторным дисперсионным анализом нет. Многофакторный анализ не меняет общую
логику дисперсионного анализа, а лишь несколько усложняет ее, поскольку, кроме
учета влияния на зависимую переменную каждого из факторов по отдельности,
следует оценивать и их совместное действие. Таким образом, то новое, что вносит
в анализ данных многофакторный дисперсионный анализ, касается в основном
возможности оценить межфакторное взаимодействие. Тем не менее, по-прежнему
остается возможность оценивать влияние каждого фактора в отдельности. В этом
смысле процедура многофакторного дисперсионного анализа (в варианте ее
компьютерного использования) несомненно более экономична, поскольку всего за
один запуск решает сразу две задачи: оценивается влияние каждого из факторов и
их взаимодействие /3/.
Общая
схема двухфакторного эксперимента, данные которого обрабатываются дисперсионным
анализом имеет вид:
Рисунок
1.1 – Схема двухфакторного эксперимента
Данные,
подвергаемые многофакторному дисперсионному анализу, часто обозначают в
соответствии с количеством факторов и их уровней.
Предположив, что в рассматриваемой задаче о
качестве различных m партий
изделия изготавливались на разных t
станках и требуется выяснить, имеются ли
существенные различия в качестве изделий по
каждому фактору:
А – партия изделий;
B – станок.
В результате получается переход к задаче
двухфакторного дисперсионного анализа.
Все данные представлены в таблице 1.2, в которой
по строкам – уровни Ai
фактора А, по столбцам — уровни Bj фактора В, а в соответствующих ячейках, таблицы находятся значения
показателя качества изделий xijk (i=1,2,…,m; j=1,2,…,l; k=1,2,…,n).
Таблица 1.2 – Показатели качества изделий
B1
B2
…
Bj
…
Bl
A1
x11l,…,x11k
x12l,…,x12k
…
x1jl,…,x1jk
…
x1ll,…,x1lk
A2
x21l,…,x21k
x22l,…,x22k
…
x2jl,…,x2jk
…
x2ll,…,x2lk
…
…
…
…
…
…
…
Ai
xi1l,…,xi1k
xi2l,…,xi2k
…
xijl,…,xijk
…
xjll,…,xjlk
…
…
…
…
…
…
…
Am
xm1l,…,xm1k
xm2l,…,xm2k
…
xmjl,…,xmjk
…
xmll,…,xmlk
Двухфакторная
дисперсионная модель имеет вид:
xijk=μ+Fi+Gj+Iij+εijk, (15)
где xijk – значение
наблюдения в ячейке ij
с номером k;
μ –
общая средняя;
Fi –
эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора А;
Gj –
эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора В;
Iij – эффект,
обусловленный взаимодействием двух факторов, т.е. отклонение от средней по
наблюдениям в ячейке ij
от суммы первых трех слагаемых в модели (15);
εijk –
возмущение, обусловленное вариацией переменной внутри отдельной ячейки.
Предполагается,
что εijk имеет нормальный закон распределения N(0; с2),
а все математические ожидания F*,
G*, Ii*, I*j
равны нулю.
Групповые
средние находятся по формулам:
–
в ячейке:
,
по
строке:
по
столбцу:
общая
средняя:
В
таблице 1.3 представлен общий вид вычисления значений, с помощью дисперсионного
анализа.
Таблица
1.3 – Базовая таблица дисперсионного анализа
Компоненты дисперсии
Сумма квадратов
Число степеней свободы
Средние квадраты
Межгрупповая (фактор А)
m-1
Межгрупповая (фактор B)
l-1
Взаимодействие
(m-1)(l-1)
Остаточная
mln – ml
Общая
mln – 1
Проверка нулевых гипотез HA, HB,
HAB об отсутствии влияния на рассматриваемую переменную факторов А, B и их
взаимодействия AB осуществляется сравнением отношений , , (для модели I с
фиксированными уровнями факторов) или отношений , , (для случайной модели
II) с соответствующими табличными значениями F – критерия Фишера – Снедекора.
Для смешанной модели III проверка гипотез относительно факторов с
фиксированными уровнями производится также как и в модели II, а факторов со
случайными уровнями – как в модели I.
Если n=1, т.е. при одном
наблюдении в ячейке, то не все нулевые гипотезы могут быть проверены так как
выпадает компонента Q3 из общей суммы квадратов отклонений, а с ней и средний
квадрат , так как в этом случае не может быть речи о взаимодействии
факторов.
С
точки зрения техники вычислений для нахождения сумм квадратов Q1, Q2, Q3, Q4, Q целесообразнее использовать формулы:
Q3 = Q – Q1 – Q2 – Q4.
Отклонение от основных предпосылок дисперсионного
анализа — нормальности распределения
исследуемой переменной и равенства
дисперсий в ячейках (если оно не чрезмерное) — не сказывается существенно на
результатах дисперсионного анализа при
равном числе наблюдений в ячейках, но может быть очень чувствительно при неравном их числе. Кроме того,
при неравном числе наблюдений в
ячейках резко возрастает сложность аппарата
дисперсионного анализа. Поэтому рекомендуется планировать схему с равным числом
наблюдений в ячейках, а если встречаются
недостающие данные, то возмещать их средними значениями других наблюдений в ячейках. При этом, однако, искусственно
введенные недостающие данные не следует учитывать при подсчете числа степеней свободы /1/.
2 Применение
дисперсионного анализа в различных процессах и исследованиях
2.1 Использование дисперсионного анализа при изучении
миграционных процессов
Миграция
– сложное социальное явление, во многом определяющее экономическую и
политическую стороны жизни общества. Исследование миграционных процессов
связано с выявлением факторов заинтересованности, удовлетворенности условиями
труда, и оценкой влияния полученных факторов на межгрупповое движение
населения.
λij=ciqijaj,
где λij – интенсивность переходов
из исходной группы i (выхода) в новую j (входа);
ci
– возможность и способности покинуть группу i (ci≥0);
qij
– привлекательность новой группы по сравнению с исходной (0≤qij≤1);
aj
– доступность группы j (aj≥0).
Если
считать численность группы i равной ni, то оценкой случайной
величины νij – числа переходов из i в j – будет niciqijaj:
νij≈ niλij=niciqijaj. (16)
На
практике для отдельного человека вероятность p перехода в другую группу мала, а
численность рассматриваемой группы n велика. В этом случае действует закон
редких событий, то есть пределом νij является распределение
Пуассона с параметром μ=np:
.
С
ростом μ распределение приближается к нормальному. Преобразованную же
величину √νij можно считать нормально распределенной.
Если
прологарифмировать выражение (16) и сделать необходимые замены переменных, то
можно получить модель дисперсионного анализа:
ln√νij=½lnνij=½(lnni+lnci+lnqij+lnaj)+εij,
Xi,j=2ln√νij-lnni-lnqij,
Ci=lnci,
Aj=lnaj,
Xi,j=Ci+Aj+ε.
Значения
Ci и Aj позволяют получить модель двухфакторного
дисперсионного анализа с одним наблюдением в клетке. Обратным преобразованием
из Ci и Aj вычисляются коэффициенты ci и aj.
При
проведении дисперсионного анализа в качестве значений результативного признака
Y следует взять величины:
Yij=Xi,j-X,
Х=(Х1,1+Х1,2+:+Хmi,mj)/mimj,
где
mimj- оценка
математического ожидания Хi,j;
Хmi
и Хmj – соответственно количество групп выхода и входа.
Уровнями
фактора I будут mi групп выхода, уровнями фактора J – mj групп входа.
Предполагается mi=mj=m. Встает задача проверки гипотез HI и HJ
о равенствах математических ожиданий величины Y при уровнях Ii и при
уровнях Jj, i,j=1,…,m. Проверка гипотезы HI основывается
на сравнении величин несмещенных оценок дисперсии sI2 и so2.
Если гипотеза HI верна, то величина F(I)= sI 2/so2
имеет распределение Фишера с числами степеней свободы k1=m-1 и k2=(m-1)(m-1).
Для заданного уровня значимости α находится правосторонняя критическая
точка xпр,αкр. Если числовое значение F(I)чис
величины попадает в интервал (xпр,αкр, +∞),
то гипотеза HI отвергается и считается, что фактор I влияет на
результативный признак. Степень этого влияния по результатам наблюдений
измеряется выборочным коэффициентом детерминации, который показывает, какая
доля дисперсии результативного признака в выборке обусловлена влиянием на него
фактора I. Если же F(I)чис