ДОДАВАННЯ ГАРМОНІЧНИХКОЛИВАНЬ
ЗМІСТ
Вступ
1. Енергія гармонічних коливань
2. Додавання гармонічних коливань. Биття
3. Додавання взаємно перпендикулярних коливань
Висновки
НАОЧНІ ПОСІБНИКИ ТА ПРИЛАДИ
Установка для демонстраціїдодавання коливань.
1. Два генератори, осцилограф.
2. Кінофільм “Додавання коливань”.
ОРГАНІЗАЦІЙНО-МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИДЛЯ ПРОВЕДЕННЯ ЛЕКЦІЇ
Виразити кінетичну тапотенціальну енергії системи, що здійснює вільні пружні коливання та графічно,за допомогою лектора-2000, пояснити закон коливань енергії. Вказати на законзбереження енергії, як для механічних коливань, так і для електромагнітнихколивань в коливальному контурі.
Додати графічно гармонічніколивання однакового напрямку і однакової частоти. Пояснити за допомогоюлектора-2000: якщо частоти мало відрізняються, одержується коливання згармонічно пульсуючою амплітудою – биття.
Пояснити: якщо коливальна системабере участь у двох взаємноперпендикулярних коливаннях, то траекторією її руху єфігура Ліссажу (/>еліпс або прямі).
ВСТУП
Кінетична та потенціальнаенергії коливальної системи змінюються з частотою, яка вдвічі перевищує частотугармонічних коливань.
Коливальна система може братиучасть в декількох коливальних процесах, тоді необхідно знайти результуючеколивання, інакше кажучи, коливання необхідно додати.
1. ЕНЕРГІЯ ГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАНЬ
Під час гармонічногоколивального руху кінетична енергія коливальної системи і потенціальна енергіявзаємодії невпинно змінюються.
Повна енергія коливального руху:
/>; />,
поскільки />.
Кінетична енергія змінюється загармонічним законом, але з подвоєнною частотою.
/> кількісно дорівнює роботі квазіпружньої сили />;
/>;
/>;
/>.
Потенціальна енергія />змінюється як і кінетичнаенергія, з частотою /> і в тиж же межахвід 0 до />, але зі зсувом фазвідносно кінетичної енергії на p.
/>
Рис. 1
При електромагнітнихколиваннях:
/>,
/>.
При властивих електромагнітнихколиваннях, (коли немає втрат) W
– з пливом часу не змінюється, переходить із однієїенергії в іншу.
–
2. ДОДАВАННЯ ГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАНЬ.БИТТЯ
У випадках колисистема знаходиться в декількох коливальних процесах одночасно, то необхіднознайти результуюче коливання.
Наприклад, електромагнітні хвилі,що надходять від ряду радіостанцій, збуджують в приймальному контуріелектромагнітні коливання різних частот.
Таким же чином потрібно додатисинусоїдні змінні струми в точці розгалудження ланцюга.
Додамо гармонічні коливанняоднакового напряму і однакової частоти:
/>,
/>.
Для цього зобразимогармонічне коливання графічно методом обертового вектора амплітуди або методомвектороної діаграми.
З точки 0, вибрані на вісі Х, підкутами /> (початкова фаза першогоколивання) і /> (початкова фаза другогоколивання) відкладаємо модуль амплітуд /> і/> (Рис.1).
При обертанні векторів амплітуднавколо точки 0 з кутовою швидкістю />,проекції векторів будуть переміщуватись по вісі Х в межах числових значеньамплітуд, змінюючись згідно з гармонічним законом.
/>
/>
Рис. 1
Очевидно, що рівняннярезультуючого коливання буде рівнянн гармонічного коливання тієї ж частоти ітого ж напрямку.
/>
/> – теорема косинусів
Відповідно малюнку
/>;
/>.
Проаналізуємо:
1) /> />
2) /> />
Таким чином:
/>.
Аналогічно — при декількоходнаково спрямованих коливаннях.
Практично особливу зацікавленістьпредставляє випадок, коли два складаємих гармонічних коливань, однаковоспрямованих, мало відрізняються за частотою.
В результаті додавання одержуємоколивання з періодично змінюваного (пульсуючого) амплітудою – биття (рис.2).
/>
Рис.2
Нехай /> і/>; />.
Тоді />;/>;
Знайдемо рівняння результуючогоколивання аналітичним методом:
/>
Результуюче коливаннямайже гармонічне з частотою і повільно гармонічне з частотою, що змінюється:
/>.
Пунктирна лінія нарис.2 графічно це зображує. Суцільна лінія – графік результуючого коливання.
Частота змінювання модуля косинуса/> – частота биття, або />. Період биття />.
Явище биття використовується підчас настроювання струнких інструментів (коли настроювана частота і частотаеталона збігається, то биття немає).
Биття використовується під часгетеродинного приймання – сигналу.
В приймач вводять генераторвисокої частоти, малої потужності-гетеродин, частота якого може змінюватись.
Коливання, що приймаютьсяприймачем, складаються з коливаннями гетеродина, частота якого підбираєтьсятак, щоб в результаті одержати биття більш низької частоти, яка не змінюється(завдяки гетеродину) і наступні каскади підсилювача працюють на постійнійчастоті.
Гетеродини дозволяють прийматисигнали надвисокої частоти.
3. ДОДАВАННЯ ВЗАЄМНОПЕРПЕНДИКУЛЯРНИХ КОЛИВАНЬ
Розглянемо випадок, коликоливальна система бере участь в 2-х взаємно перпендикулярних коливанняхз(промінь осцилографа при подачі гармонічної напруги на вертикальні ігоризонтальні платівки).
Нехай />;/>; />.
Рівняння траекторії результуючогоколивання знаходиться шляхом виключення параметра t.
/>
Розглянемо випадки:
1) />, тоді рівняння набуваєвигляд
/>
/>
/>
2)/>
/>
/>
3)/>
4) />,то результуюче коливання відбувається по складній траекторії, форма якоїзалежить від різниці фаз і співвідношення частот.
Якщо провести дотичні дотраекторії, паралельні вісям, то відношення чисел дотиків обернено пропорційнечастотам коливань, що додаються.
Наприклад:
/>
Рис. 3
/>
Методом фігур Ліссажу визначаютьневідому частоту.
ВИСНОВКИ
Потенціальна енергіяпружно-коливальної системи змінюється як і кінетична енергія з частотою 2w і в тих же межах, але зі зсувом фаз відповіднокінетичної енергії на p.Аналогічно при вільних електромагнітних коливаннях енергія з плином часу незмінюється, а переходить із енергії електричного поля конденсатора в магнітнуенергію поля котушки і навпаки.
При додаванні гармонічних коливаньоднакового напрямку і однакової частоти- результуюче коливання є гармонічнимтієї ж частоти. В результаті додавання гармонічних коливань близької частоти,однаково спрямованих, одержується биття.
За допомогою фігур Ліссажувизначається невідома частота.
ЗАТУХАЮЧІ КОЛИВАННЯ
ЗМІСТ
Вступ.
1.Затухаючі коливання. Диференціальне рівняння затухаючих механічних таелектромагнітних поливань і його рішення. Логарифмічний декремент затухання.Добротність.
2.Вимушені коливання. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його рішення.
Висновки.
НАОЧНІ ПОСІБНИКИ ТА ПРИЛАДИ
1. Діафільм “Колебания и волны”.
2. Осцилограф, камертон, мікрофон.
3. Установка для демонстраціїзатухаючих коливань.
ОРГАНІЗАЦІЙНО-МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИДО ПРОВЕДЕННЯ ЛЕКЦІЇ
Визначити затухаючіколивання згідно з другим законом Ньютона та узагальненим законом Ома одержатидиференціальне рівняння відповідно механічних та електромагнітних коливань,графічно зобразити закон затухаючих коливань та визначити їх параметри,звернути увагу на логарифмічний декремент затухання та добротність коливальногоконтура. Продемонструвати за допомогою камертона та на осцелографі затухаючіколивання.
Продемонструвати за допомогоюмікрофона та визначити вимушені коливання.
ВСТУП
У реальних коливальних системах зарахунок зміни енергії коливального руху виконується робота сил тертя, а такожомічних втрат і випромінювання електромагнітної енергії в електричнихколивальних системах. Тому з часом амплітуда вільних коливань зменшується.Практично всі вільні коливання – затухаючі і тому вони гармонічні. Проте, якщосили тертя набагато менші за сили пружності, наприклад, то наближено можназатухаючі коливання вважати гармонічними з певним періодом Т3.
Коливання не затухають, якщоенергія коливальної системи поповнюється за рахунок, наприклад дії зовнішньоїгармонічної сили. Частота встановлених вимушених коливань дорівнює частоті діїзовнішньої сили.
1. ЗАТУХАЮЧІ КОЛИВАННЯ.ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ЗАТУХАЮЧИХ МЕХАНІЧНИХ КОЛИВАНЬ ТА ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХКОЛИВАНЬ І ЙОГО РІШЕННЯ. ЛОГАРИФМІЧНИЙ ДЕКРЕМЕНТ ЗАТУХАЮЧИХ КОЛИВАНЬ.ДОБРОТНІСТЬ
Розглянемо вільні затухаючі коливання –коливання, амплітуда яких внаслідок втрати енергії реальною коливальноюсистемою з плином часу зменшується. Простим механізмом зменшення енергіїколивань з’являється її перетворення в теплоту внаслідок тертя в механічнихколивальних системах, а також омічних втрат і випромінювання електромагнітноїенергії в електричних коливальних системах.
Закон затухаючихколивань визначається властивостями коливальних систем. Звичайно розглядаютьлінійні системи – ідеалізовані реальні системи.
Лінійними системами являються,наприклад, пружинні маятники при малому розтягуванні пружини (коли слушнийзакон Гука), коливальний контур, індуктивність, ємність і опір якого не залежитьні від струму в контурі, ні від напруги.
Різні по своїй природі лінійнісистеми описуються ідентичними лінійними диференціальними рівняннями, щодозволяє підходити до вивчення коливань різної фізичної природи з єдиної точкизору, а також проводити їх моделювання, в тому числі і на ЕВМ.
Диференціальне рівняння вільнихзатухаючих коливань лінійної системи задається у вигляді:
/>,
де S – коливальна величина,що описує той чи інший фізичний процес,
d— const — коефіцієнт затухання,
/> — циклічна частота вільних незатухаючихколивань тієї ж коливальної системи, тобто при d = 0 (при відсутності втрат енергії).
Рішення рівняння у випадку малихзгасань (/>)
/>,
де />-амплітуда затухаючих коливань, а /> –початкова амплітуда.
/>
Рис.
Проміжок часу />, за який час амплітудазатухаючих коливань зменшується в е разів, зветься часом релаксації.
Якщо затухання мале, то можнаумовно користуватись поняттям періоду як проміжок часу між двома послідовнимимаксимумами (чи мінімумами) коливальної фізичної величини. Тоді періодзатухаючих коливань з урахуванням формули
/> рівняється />.
Якщо A(t) і A(t+T) — амплітуди двох послідовних коливань, відповідних моментам часу, що відрізняютьсяна період, то відношення
/>
називається декрементом затухання,а його логарифм
/> – логарифмічним декрементом затухання;
N – число коливань, здійснюваних за час зменшенняамплітуди у е разів.
Для характеристики коливальноїсистеми користуються поняттям добротності Q яка при малих значеннямлогарифмічного декремента дорівнює
/> , а поскільки згасання невелике (/>) то Т прийняторівним />.
Застосуємо висновки, одержані длявільних затухаючих коливань лінійних систем, для коливань різної фізичноїприроди, для пружинного маятника масою m, що здійснює малі коливанняпід дією пружної сили F = -кх, сила тертя пропорційна швидкості, тобто />, де r – коефіцієнтопору; знак мінус указує на протилежні напрямки тертя і швидкості.
За даних умов закон руху маятникаматеме вигляд:
/>
Використовуючи формулу /> і вважаючи, що коефіцієнтзатухання />, одержимо диференціальнерівняння затухаючих коливань маятника:
/>
Маятник коливається по закону /> з частотою />.
Диференціальне рівняння вільнихзатухаючих коливань заряду в контурі (при R ¹0)має вигляд:
/>.
Коефіцієнт затухання /> також /> коливання зарядуздійснюються за законом /> зчастотою />, добротність коливальногоконтура />.
На закінчення відмітимо, що призбільшенні коефіцієнта затухання період затухаючих коливань зростає і при />обертається вбезкінечність, тобто рух перестає бути періодичним. В даному випадку коливальнавеличина асимптотично наближається до нуля, коли t® ¥. Процесне буде коливальним. Він зветься аперіодичним.
2. ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ.ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ І ЙОГО РІШЕННЯ
Затухання коливаньпов’язано з затратою енергії коливальної системи для подолання опору. Для того,щоб в реальній коливальній системі одержати незагасаючі коливання, потрібнокомпенсувати втрати енергії. Така компенсація можлива з допомогою будь-якогоперіодично діючого фактора, що змінюється по гармонічному закону.
Коливання, що виникають під дієюзовнішньої сили, називаються вимушеним и коливаннями.
Вимушені коливання здійснюють,наприклад, корпус і фундамент машин при обертанні неврівноваженого ротора;мембрана гучномовця під дією магнітного поля збуджуваного змінним струмом;струм, збуджуваний в атомі прибуваючими сигналами і наводящими в контур зміннуЕРС та інші.
Якщо розглядати механічніколивання, то зовнішня спонукаюча сила />.
Закон руху дляпружного (фізичного) маятника має вигляд:
/>,
де w — циклічна частота коливань спонукаючої сили.
Загальне рішення цьогонеоднорідного диференціального рівняння являє собою суму вільних /> і вимушених /> коливань, тобто
/>.
Але перша складова маєпомітну роль тільки в початковій стадії процесу (встановлення коливань),оскільки вільні коливання швидко затухають (рис.1).
/>
Рис.1
Для одержаннянезгасаючих електромагнітних коливань необхідно зовні підводити енергію, яка бкомпенсувала втрати на Ленц-джоулеве тепло і випромінювання контура. В цьомувипадку відбуватимуться не вільні, а вимушені електромагнітні коливання.
Для здійснення таких коливаньнеобхідно включити в коливальний контур джерело струму, що має ЕРС.
/>
Рис.2
Розглянемо найпростіший випадоквимушених електромагнітних коливань в контурі, що відбувається під дієюсинусоідальної ЕРС.
/>,
де /> -амплітудне значення (амплітуда ЕРС), w-циклічна частота.
Для одержання диференціальногорівняння вимушених електромагнітних коливань достаньо в закон Ома дляоднорідного коли iR = e+ Dj підставити значення /> -падіння потенціалу на конденсаторах і eзамінити сумою спонукаючої ЕРС і ЕРС самоіндукції:
/>.
Враховуючи, що
/>,
одержимо:
/>.
Рішення диференціального рівнянняможна представити у вигляді:
/>,
/>,
/>
де a — зсування фаз між q і зовнішньою e (ЕРС). Підставляючи в ці вправи значення /> і b одержимо:
/>.
/>.
Поділивши q на ємність С,одержимо значення напруги на конденсаторі, продиференціювавши функцію ( q(t)) по t, знайдемо установлений струм у контурі.
/>,
/>,
/>.
Якщо j — зсув фаз між струмом і зовнішньою ЕРС, то
/>,
тобто />.
Амплітудне значення струмувизначається виразом:
/>.
Ця формула маєсхожість з законом Ома в тому розумінні, що амплітуда напруги пропорційнаамплітуді струму. Тому формулу
/>.
ВИСНОВКИ
Коливання, амплітудаяких з часом зменшується, називаються затухаючими.
Закон затухаючих коливаньвизначається властивостями системи.
Основними параметрами затухаючихколивань являються початкова амплітуда, частота (період) затухаючих коливань,коефіцієнт затухання та добротність, а також час релаксації і кількістьколивань в системі за час релаксації.
Вивчаючи коливальні системи змалими затуханнями, які мають широку область застосування, особливо в техніцізв’язку. Але є практичні випадки використання коливальних систем з різкимзатуханням, або аперіодичних.
Незатухаючі коливання, якіпідтримують за допомогою зовнішньої періодично діючої сили називаютьвимушеними.
Частота встановлених вимушенихгармонічних коливань дорівнює частоті дії зовнішньої гармонічної сили.
ЛІТЕРАТУРА
1. Кучерук І.М., Горбачук І.Г.Загальна фізика. Електроніка і магнетизм.- К.: Вища школа, 1990. §
2. Савельев И.В. Курс физики, т.3, Квантовая физика.-М.:1989. §
3. Трофимова Т.И. Курс физики,-М.: Высшая школа, 1985, 432 с.§
4. Бушок Г.Ф., Левандовський В.В., Півень Г.Ф. Курс фізики(Оптика. Фізика атома і атомного ядра. Молекулярна фізика і термодинаміка),т.2,-Київ.: Либідь, 2001, — 421 с. §