Дослідження дзета-функції Римана

Курсова робота: Дослідження дзета-функції Римана
Зміст
Введення
Розділ 1
Розділ 2
Розділ 3
Список літератури
Введення
Функція — одне з основних понять у всіх природниче наукових дисциплінах. Не випадково ще в середній школі діти одержують інтуїтивне уявлення про це поняття. Зі шкільної лави наш багаж знань поповнюється відомостями про такі функції як лінійна, квадратична, статечна, показова, тригонометричні й інших. У курсі вищої математики коло відомих функцій значно розширюється. Сюди додаються інтегральні й гіперболічні функції, Ейлерови інтеграли (гама- і бета-функції), тета-функції, функції Якоби й багато інших.
Що ж таке функція? Строгого визначення для неї не існує. Це поняття є в математиці первинним. Однак, під функцією розуміють закон, правило, по якому кожному елементу якоїсь множини X ставиться у відповідність один або кілька елементів множини Y. Елементи множини X називаються аргументами, а множини Y – значеннями функції. Якщо кожному аргументу відповідає одне значення, функція називається однозначної, якщо більше одного – то багатозначної. Синонімом функції є термін «відображення». У найпростішому випадку множина X може бути підмножиною поля дійсних R або комплексних C чисел. Тоді функція називається числовий. Нам будуть зустрічатися тільки такі відображення.
Функції можуть бути задані багатьма різними способами: словесним, графічним, за допомогою формули. Функція, що ми будемо розглядати в цій роботі, задається через нескінченний ряд. Але, незважаючи на таке нестандартне визначення, по своєму поданню у вигляді ряду вона може бути добре вивчена методами теорії рядів і плідно застосована до різних теоретичних і прикладних питань математики й суміжних з нею наук.
Звичайно ж, мова йде про знамениту дзета-функцію Римана, що має найширші застосування в теорії чисел. Уперше ввів неї в науку великий швейцарський математик і механік Леонард Ейлер і одержав багато хто її властивості. Далі активно займався вивченням дзета-функції німецький математик Бернгард Риман. На честь його вона одержала свою назву, тому що він опублікував декілька винятково видатних робіт, присвячених цієї функції. У них він поширив дзета-функцію на область комплексних чисел, знайшов її аналітичне продовження, досліджував кількість простих чисел, менших заданого числа, дав точну формулу для знаходження цього числа за участю функції />й висловив свою гіпотезу про нулі дзета-функції, над доказом або спростуванням якої безрезультатно б’ються кращі розуми людства вже майже 150 років.
Наукова громадськість уважала й уважає рішення цієї проблеми однієї із пріоритетних задач. Так Давид Гильберт, що виступав на Міжнародній Паризькій математичній конференції 1900 року з підведенням підсумків розвитку науки й розглядом планів на майбутнє, включив гіпотезу Римана в список 23 проблем, що підлягають рішенню в новому сторіччі й здатних просунути науку далеко вперед. А на рубежі століть, в 2000 році американський The Clay Mathematics Institute назвав сім задач, за рішення кожної з яких буде виплачений 1 мільйон доларів. У їхнє число також потрапила гіпотеза Римана.
Розділ 1
Отже, приступимося до вивчення цієї важливої й цікавої дзета-функції Римана. У даній главі ми одержимо деякі властивості функції в речовинній області, виходячи з її визначення за допомогою ряду.
Визначення. Дзета-функцією Римана ζ(s) називають функцію, що будь-якому дійсному числу s ставить у відповідність суму ряду
/>(1)
якщо вона існує.
Основною характеристикою будь-якої функції є область визначення. Знайдемо неї для нашої функції.
Нехай спочатку s≤0, тоді s=−t, де t належить множині ненегативних дійсних чисел R+/>{0}. У цьому випадку />й ряд (1) звертається в ряд />, що, мабуть, розходиться як при t>0, так і при t=0. Тобто значення s≤0 не входять в область визначення функції.
Тепер нехай s>0. Для дослідження збіжності ряду (1) скористаємося інтегральною ознакою Коші. При кожному s розглянемо функцію />, де />, що є на проміжку безперервної, позитивної й монотонно убутної. Виникає три різних можливості:
0s, тому ряд (1) розходиться й проміжок (0;1) не входить в область визначення дзета-функції;
s=1. Одержуємо/>, тобто при s=1 дзета-функція Римана також не визначений;
s>1. У цьому випадку />
/>. Ряд (1) сходиться.
Узагальнивши результати, знаходимо, що область визначення дзета-функції є проміжок />. На цьому проміжку функція виявляється безперервної нескінченне число раз.
Доведемо безперервність функції ζ(s) на області визначення. Візьмемо довільне число s>1. Перепишемо ряд (1) у вигляді />. Як було вище показане, ряд />сходиться, а функції />при s>sмонотонно убувають і все разом обмежено одиницею. Виходить, по ознаці Абеля для s>sряд (1) сходиться рівномірно. Використовуючи теорему про безперервність суми функціонального ряду, одержуємо, що в будь-якій крапці s>sдзета-функція безперервн. Через довільність sζ(s) безперервна на всій області визначення.
Тепер по членним диференціюванням ряду (1), поки формально, знайдемо похідну дзета-функції Римана:
/>(2).
Щоб виправдати цей результат, досить упевнитися в тім, що ряд (2) рівномірно сходиться на проміжку />й скористатися теоремою про диференціювання рядів. Використовуємо той же прийом. Зафіксуємо будь-яке s>1 і представимо ряд (2) у вигляді />для s>s. Множники />, починаючи з n=2, монотонно убувають, залишаючись обмеженими числом ln 2. Тому по ознаці Абеля ряд (2) сходиться рівномірно при s>s, а значить і при будь-якому s>1. Яке би значення s>1 не взяти його можна укласти між />і />, де />, а />; до проміжку />застосовна вищевказана теорема.
Таким же шляхом можна переконатися в існуванні для дзета-функції похідних всіх порядків і одержати їхні вираження у вигляді рядів:
/>.
Спробуємо побудувати наочне зображення функції у вигляді графіка. Для цього вивчимо спочатку її поводження на нескінченності й в околиці крапки s=1.
У першому випадку, через рівномірну збіжність ряду (1), по теоремі про по членний перехід до межі, маємо />. При n=1 межа дорівнює одиниці, інші межі дорівнюють нулю. Тому />.
Щоб досліджувати випадок />, доведемо деякі допоміжні оцінки.
По-перше, відомо, що якщо для ряду />існує безперервна, позитивна, монотонно убутна функція />, певна на множині />, така, що />, і має первісну />, то остача ряду оцінюється так: />, де />. Застосовуючи вищесказане до ряду (1), знайдемо, що необхідна функція
/>, а />й />. Звідси, підставляючи в подвійну нерівність, маємо
/>(3). У лівій нерівності покладемо n=0, тоді />, тобто />. У правом же візьмемо n=1 і одержимо />, далі />, />і, нарешті, />. Переходячи в нерівностях />до межі при />, знаходимо />.
Звідси, зокрема, треба, що />. Дійсно, покладемо />. Тоді />, тобто />/>. Тому />. З того, що />, а />, випливає доказуване твердження. –PAGE_BREAK–
Можна, однак, одержати ще більш точний результат для оцінки поводження дзета-функції в околиці одиниці, чим наведені вище, що належить Дирихле. Будемо відштовхуватися від очевидного при довільному n рівності />. Додамо до всіх частин нерівностей (3) суму />й віднімемо />. Маємо />. Нехай тут s прагне до одиниці. За правилом Лопиталя легко обчислити />й />. Ми поки не знаємо, чи існує межа вираження />при />, тому, скориставшись найбільшою й найменшою межами, напишемо нерівності так: />
/>. Через довільність n візьмемо />. Перше й останнє вираження прагнуть до Ейлерової постійного C (C/>0,577). Виходить/>, а, отже, існує й звичайна межа й />.
Знайдені вище межі дозволяють одержати лише приблизне подання про вид графіка дзета-функції. Зараз ми виведемо формулу, що дасть можливість нанести на координатну площину конкретні крапки, а саме, визначимо значення />, де k – натуральне число.
Візьмемо відоме розкладання />, де /> — знамениті числа Бернуллі (по суті, через нього ці числа й визначаються). Перенесемо доданок />у ліву частину рівності. Ліворуч одержуємо />/>cth/>, а в правій частині — />, тобто />cth/>. Заміняємо />на />, одержуємо />cth/>.
З іншого боку, існує рівність cth/>, з якого />cth/>. Підстановкою />замість />знаходимо />cth/>/>. Якщо />, то для будь-якого />N />/>і по теоремі про додавання нескінченної множини статечних рядів />cth/>/>.
Дорівняємо отримані розкладання: />
/>, отже />. Звідси негайно треба формула
/>(4), де /> — k-е число Бернуллі. Вона зручна тим, що ці числа добре вивчені й для них складені великі таблиці.
Тепер, виходячи з отриманих результатів, можна побудувати ескіз графіка дзета-функції Римана, що досить добре відбиває її поводження на всій області визначення.
/>
Леонард Ейлер, що вперше розглянув дзета-функцію, одержав чудове розкладання її в нескінченний добуток, що іноді теж приймають за визначення:
/>, де pi – i-е простої число (4).
Доведемо тотожність ряду (1) і добутку (4). Згадавши формулу суми геометричної прогресії, одержуємо рівність />
/>Якщо перемножити кінцеве число таких рядів, що відповідають всім простим числам, що не перевершують заданого натурального числа N, то частковий добуток, що вийшов, виявиться />рівним, де символ * означає, що підсумовування поширюється не на всі натуральні числа, а лише на ті з них (не вважаючи одиниці), які у своєму розкладанні містять тільки прості числа менші N. Тому що перші N натуральних чисел цією властивістю володіють, то
/>(5).
Сума />містить не всі числа, більші N+1, тому, мабуть, />. З (5) одержуємо
/>(6).
Через збіжність ряду (1), вираження праворуч, що представляє його остача після N-Го члена, прагне до нуля при N прагнучої до нескінченності, а />є добуток (4). Значить із нерівності при />/>, що й було потрібно довести.
Формула (4) важлива тому, що вона зв’язує натуральний ряд, представлений множиною значень аргументу дзета-функції, із множиною простих чисел. Ще один крок у цьому напрямку ми зробимо, оцінивши />, а саме показавши, що />, де />залишається обмеженим при />.
З (4) треба, що />, де />N, а />при />. Візьмемо логарифм від обох частин рівності, тоді />/>. Натуральні логарифми під знаком суми розкладаються в ряд: />/>. Підставивши отримані розкладання в рівність і спрямувавши N до нескінченності, маємо />. Залишається довести обмеженість останнього доданка. Ясно, що />. Остання рівність справедливо, тому що />/>. Далі, мабуть, />, що й завершує доказ.
На цьому закінчимо виклад властивостей дзета-функції Римана для дійсного аргументу, тому що найбільший теоретичний і прикладний інтерес представляє випадок викладений у другому розділі.
Розділ 2
Всі результати першого розділу, що стосуються дзета-функції Римана, були отримані в припущенні, що її аргумент s – дійсне число. Однак, найвидатніші дослідження й численні важливі додатки стали можливі лише після включення в область визначення функції комплексних чисел. Уперше розглянув дзета-функцію як функцію мнимого аргументу німецький математик Бернгард Риман, що глибоко вивчив її властивості й широко застосовував її в теорії чисел. На честь його функція одержала свою назву.
Для комплексної дзета-функції залишається в силі визначення, дане в главі 1, з тією лише зміною, що тепер там буде />C. Виникає необхідність знайти нову область визначення. Із цією метою доведемо наступне твердження: у напівплощині />(/>дійсна частина числа x) ряд
/>(1) сходиться абсолютно.
Нехай />. Підрахуємо абсолютні величини членів ряду (1), />. Перший множник містить тільки речовинні числа й />, тому що />. До другого ж множника застосуємо знамениту формулу Ейлера, одержимо />/>. Виходить, />. Через збіжність ряду />при α>1, маємо абсолютну збіжність ряду (1).
На своїй області визначення дзета-функція аналітична. Дійсно, при всякому q>0 і фіксованому α>1+q, числовий ряд />мажорирує ряд з абсолютних величин />, де />, звідки, по теоремі Вейерштраса, треба рівномірна збіжність ряду в напівплощині />. Сума ж рівномірно збіжного ряду з аналітичних функцій сама є аналітичною функцією.
Неважко показати, що всі отримані для дзета-функції формули без змін переносяться на випадок комплексного аргументу. Доказу перетерплюють незначні перетворення, пов’язані з переходом до абсолютних величин.
У зв’язку із цим зауваженням стає можливим використовувати розкладання дзета-функції в добуток />, де s тепер будь-яке комплексне число, таке, що />. Застосуємо його до доказу відсутності у функції />корінь.    продолжение
–PAGE_BREAK–
Оцінимо величину />, використовуючи властивість модуля />: />, де як звичайно />. Тому що />, те/>, а />, отже, дзета-функція в нуль не звертається.
Питання про нулі дзета-функції, а також інші прикладні питання одержують нові широкі можливості для дослідження, якщо поширити її на всю комплексну площину. Тому, зараз ми одним з багатьох можливих способів знайдемо аналітичне продовження дзета-функції й виведемо її функціональне рівняння, що характеризує й однозначно визначальне />.
Для цього нам знадобиться формула
/>(2), що виводиться в такий спосіб. Використовуючи властивості інтегралів можна записати />. Для будь-якого d при />/>, значить />і />, а />. />. Отже, />/>/>/>/>. Інтеграл />можна знайти інтегруванням вроздріб, приймаючи />, />; тоді />, а />. У результаті />/>. Віднімемо із цього інтеграла попередній і одержимо />, звідси легко треба рівність (2).
Тепер покладемо в (2) />, />, a і b – цілі позитивні числа. Тоді />/>. Нехай спочатку />, приймемо a=1, а b спрямуємо до нескінченності. Одержимо />. Додамо по одиниці в обидві частини рівностей:
/>(3).
Вираження />є обмеженим, тому що />, а функція />абсолютно інтегрувальна на проміжку />при />, тобто при />, />. Виходить, інтеграл />абсолютно сходиться при />, причому рівномірно в будь-якій кінцевій області, що лежить у комплексній площині праворуч від прямої />. Тим самим він визначає аналітичну функцію змінної s, регулярну при />. Тому права частина рівності (3) являє собою аналітичне продовження дзета-функції на напівплощину />й має там лише один простий полюс у крапці />з відрахуванням, рівним одиниці.
Для />можна перетворити вираження (3) дзета-функції. При />маємо />, виходить, />і/>. Тепер при />(3) може бути записане у вигляді />.
Небагато більше складними міркуваннями можна встановити, що в дійсності (3) дає аналітичне продовження дзета-функції на напівплощину />. Покладемо />, а />, тобто />первісна для />. />обмежено, тому що />, а інтеграл />/>і />/>обмежений через те, що />. Розглянемо інтеграл />при x1>x2 і />. Інтегруємо його вроздріб, прийнявши />, />, тоді />, а по зазначеному вище твердженню />. Одержуємо />/>. Візьмемо />, а />. Маємо />, />, тому що />є обмеженою функцією. Виходить,
/>(4).
Користуючись абсолютною збіжністю інтеграла />, якщо />, і обмеженістю функції />, робимо висновок, що в лівій частині рівності (4) інтеграл теж сходиться при />. Значить формулою (3) можна продовжити дзета-функцію й на напівплощину правіше прямій />.
Неважко встановити, що для негативних />/>, тому з (3) маємо
/>(5) при />.
З теорії рядів Фур’є відомо, що для нецілих значень x справедливе розкладання в ряд
/>(6).
Підставимо його в рівність (5) і інтегруємо ряд:
/>. Зробимо в отриманому інтегралі підстановку />, звідси треба />, а />, і одержимо далі />. Відомо, що />/>, значить />/>. З відомого співвідношення для гамма-функції />, по формулі доповнення />, отже />/>
Отже, ми одержали функціональне рівняння дзета-функції Римана
/>(7),
яке саме по собі може служити засобом вивчення цієї функції, тому що цілком характеризує її, у тому розумінні, що будь-яка інша функція />, що задовольняє рівності (7), а також ще деяким природним умовам, тотожна с./>
Поки, щоправда, як треба з міркувань, ми довели формулу (7) для />. Однак права частина цієї рівності є аналітичною функцією s і при />. Це показує, що дзета-функція може бути аналітично продовжена на всю комплексну площину, причому не має на ній ніяких особливостей, крім згадуваного полюса при />.
Щоб доказ був строгим, ми повинні ще обґрунтувати по членне інтегрування. Оскільки ряд (6) сходяться майже всюди і його часткові суми залишаються обмеженими, по членне інтегрування на будь-якому кінцевому відрізку припустимо. Через />/>для кожного />, залишається довести, що />/>при />. Але інтегруючи внутрішній інтеграл вроздріб маємо />
/>. Звідси без праці виходить наше твердження.    продолжение
–PAGE_BREAK–
Функціональне рівняння дзета-функції (7) може бути записано багатьма способами. Наприклад, замінимо s на 1-s, одержуємо рівносильну рівність
/>(8). З нього можна одержати два невеликих наслідки.
Підставимо в (8) замість s число 2m, де m – натуральне число. Маємо />. По формулі (4) першого розділу />/>, а />, тому />й зробивши в правій частині всі скорочення, з огляду на, що />, одержимо />.
Покажемо ще, що />. Для цього логарифмуємо рівність (8): />/>і результат диференціюємо />/>. В околиці крапки s=1 />, />/>, />, де З – постійна Ейлера, а k – довільна постійна. Отже, спрямовуючи s до одиниці, одержимо/>, тобто />. Знову з формули (4) глави 1 при k=0 />, виходить, дійсно, />.
Розділ 3
Як уже було сказано, дзета-функція Римана широко застосовується в математичному аналізі. Однак найбільше повно важливість її виявляється в теорії чисел, де вона надає неоціненну допомогу у вивченні розподілу простих чисел у натуральному ряді. На жаль, розповідь про серйозні й нетривіальні застосування дзета-функції Римана виходить за рамки цієї роботи. Але щоб хоча б небагато представити міць цієї функції, доведемо з її допомогою кілька цікавих тверджень.
Наприклад, відомо, що простих чисел нескінченно багато. Самий знаменитий елементарний доказ належить Евклиду. Воно полягає в наступному. Припустимо, що існує кінцеве число простих чисел, позначимо їх p1, p2, …, pn… Розглянемо число p1p2…pn+1, воно не ділиться на жодне із простих і не збігається з жодним з них, тобто є простим числом, відмінним від вищевказаних, що суперечить припущенню. Виходить, кількість простих чисел не може бути кінцевим.
Інший доказ цього факту, що використовує дзета-функцію, було дано Ейлером. Розглянемо дане в першому розділі рівність (5) при s=1, одержимо />, звідси />й через гармонійний ряд, маємо при />
/>(1). Якби кількість простих чисел бути кінцевим, то й цьому добутку мало кінцеве значення. Однак, отриманий результат свідчить про зворотний. Доказ завершений.
Тепер перепишемо (1) у вигляді />. Опираючись на теорему про збіжність нескінченного добутку, з попереднього робимо висновок, що ряд />розходиться. Ця пропозиція дає деяку характеристику росту простих чисел. Підкреслимо, що воно набагато сильніше твердження про гармонійний ряд, тому що тут мова йде лише про частину його членів, тим більше що в натуральному ряді є як завгодно довгі проміжки без простих чисел, наприклад: />, />, …, />…
Незважаючи на свою простоту наведені вище пропозиції важливі в концептуальному плані, тому що вони починають низку досліджень усе більше й більше глибоких властивостей ряду простих чисел, що триває донині. Спочатку, основною метою вивчення дзета-функції саме й було дослідження функції />, тобто кількості простих чисел не переважаючих x. Як приклад формули, що зв’язує />й />, ми зараз одержимо рівність
/>(2).
Спочатку скористаємося розкладанням дзета-функції в добуток: />. З логарифмічного ряду />, з огляду на, що />, приходимо до ряду />/>. Виходить, />.
Тепер обчислимо інтеграл у правій частині (2). Тому що при />/>, те />. У внутрішньому інтегралі покладемо />, тоді />й />, звідси />.У проміжку інтегрування />, тому вірно розкладання />й />/>. Одержуємо />/>. Тепер />/>/>. Якщо зрівняти отримане значення інтеграла з поруч для />, то побачимо, що вони тотожні й рівність (2) доведено.
Використовуємо формулу (2) для доказу однієї дуже серйозної й важливої теореми, а саме одержимо закон розподілу простих чисел, тобто покажемо, що />.
Як історична довідка відзначу, що великий німецький математик Карл Фрідріх Гаус емпірично встановив цю закономірність ще в п’ятнадцятирічному віці, коли йому подарували збірник математичних таблиць, що містить таблицю простих чисел і таблицю натуральних логарифмів.
Для доказу візьмемо формулу (2) і спробуємо дозволити це рівняння відносно />, тобто звернути інтеграл. Зробимо це за допомогою формули обігу Мелина в такий спосіб. Нехай />/>. Тоді
/>(3). Цей інтеграл має потрібну форму, а />не вплине на асимптотику />. Дійсно, тому що />, інтеграл для />сходиться рівномірно в напівплощині />, що легко виявляється порівнянням з інтегралом />. Отже, />регулярна й обмежена в напівплощині />. Те ж саме справедливо й відносно />, тому що />/>.
Ми могли б уже застосувати формулу Меллина, але тоді було б досить важко виконати інтегрування. Тому колись перетворимо рівність (3) у такий спосіб. Диференціюючи по s, одержуємо />. Позначимо ліву частину через />і покладемо />, />, (/>, />і />думаємо рівними нулю при />). Тоді, інтегруючи вроздріб, знаходимо />при />, або />.
Але />безперервна й має обмежену варіацію на будь-якому кінцевому інтервалі, а тому що />, те />(/>) і />(/>). Отже, />абсолютно інтегрувальна на />при />. Тому />при />, або />при />. Інтеграл у правій частині абсолютно сходиться, тому що />обмежено при />, поза деякою околицею крапки />. В околиці />/>й можна покласти />, де />обмежена при />, />і має логарифмічний порядок при />. Далі, />/>. Перший член дорівнює сумі відрахувань в особливих крапках, розташованих ліворуч від прямої />, тобто />. У другому члені можна покласти />, тому що />має при />лише логарифмічну особливість. Отже, />. Останній інтеграл прагне до нуля при />. Виходить,
/>(4).
Щоб перейти обернено до />, використовуємо наступну лему.
Нехай />позитивна й не убуває й нехай при />/>. Тоді />.
Дійсно, якщо /> — дане позитивне число, те />/>(/>). Звідси одержуємо для кожного />/>/>. Але тому що />не убуває, то />. Отже, />. Думаючи, наприклад, />, одержуємо />.
Аналогічно, розглядаючи />, одержуємо />, виходить/>, що й було потрібно довести.
Застосовуючи лему, з (4) маємо, що />, />, тому />й теорема доведена.
Таким чином, ми з’ясували основні характеристики функції-дзета-функції: властивості функції в речовинній області, розподілу простих чисел у натуральному ряді й дослідження функції-дзета-функції як функції мнимого аргументу.
Список літератури
1.Титчмарш Е.К. Теорія функції-дзета-функції Римана. К., 2000 р.
2.Фихтенгольц Г.М. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К, 2004
3.Привалов І.І. Введення в теорію функцій комплексного змінного. — К., 2003.
4.Айерленд К., Роузен М. Класичне введення в сучасну теорію чисел. – К., 1997.
5.Шафаревич З.О. Теорія чисел. – К., 2000