Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственности

Содержание
1. Двойственность в линейном программировании . 3
2. Несимметричные двойственные задачи. Теорема двойственности . 4
3. Симметричные двойственные задачи 9
4. Виды математических моделей двойственных задач 11
5. Двойственный симплексный метод . 12
6. Список используемой литературы 14
1. Двойственность в линейном программировании
Понятие двойственности. С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Первоначальная задача называется исходной.
Связь исходной и двойственной задач состоит в том, что коэффици­енты Cj функции цели исходной задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи, свободные члены Bi систе­мы ограничений исходной задачи служат коэффициентами функции цели двойственной задачи, а матрица коэффициентов системы ограни­чений двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов системы ограничений исходной задачи. Решение двой­ственной задачи может быть получено из решения исходной и наоборот.
В качестве примера рассмотрим задачу использования ресурсов. Предприятие имеет т видов ресурсов в количестве bi (i = 1, 2, ., m) единиц, из которых производится n видов продукций. Для производ­ства 1 ед. i-й продукции расходуется aij ед. t-гo ресурса, а ее стоимость составляет Cj ед. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий ее максимальный выпуск в стоимостном выражении. Обозначим через xj(j =1,2, ., n) количество ед. j-й продукций, Тогда исходную задачу сформулируем так.
Найти вектор Х =(x1, x2, …, xn), который удовлетворяет ограни­чениям
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn £ b1,
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn £ b2, xj ³ 0 (j =1,2, ., n)
…………………………………
am1x1 + am2x2 + … + amnxn £ bm,
и доставляет максимальное значение линейной функции
Z = C1x1 + C2x2 + … + Cnxn,
Оценим ресурсы, необходимые для изготовления продукции. За единицу стоимости ресурсов примем единицу стоимости выпускаемой продукции. Обозначим через уi (j =1,2, ., m) стоимость единицы i-го ресурса. Тогда стоимость всех затраченных ресурсов, идущих на изготовление единицы j-й продукции, равна . Стоимость затрачен­ных ресурсов не может быть меньше стоимости окончательного продукта, поэтому должно выполняться неравенство ³ Cj, j =1,2, ., n. Стоимость всех имеющихся ресурсов выразится величиной . Итак, двойственную задачу можно сформулировать следующим образом.
Найти вектор Y =(y1, y2, …, yn), который удовлетворяет ограни­чениям
a11y1 + a12y2 + … + am1ym £ C1,
a12y1 + a22y2 + … + am2ym £ C2, yj ³ 0 (i =1,2, ., m)
…………………………………
a1ny1 + a2ny2 + … + amnym £ Cm,
и доставляет минимальное значение линейной функции
f = b1y1 + b2y2 + … + bmym.
Рассмотренные исходная и двойственная задачи могут быть эко­номически интерпретированы следующим образом.
Исходная задача. Сколько и. какой продукции xj (j =1,2, ., n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях Cj (j =1,2, ., n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов bi (i =1,2, ., n) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении.
Д в о й с т в е н н а я з а д а ч а. Какова должна быть цена еди­ницы каждого из ресурсов, чтобы при заданных количествах ресурсов bi и величинах стоимости единицы продукции Ci минимизироватьобщую стоимость затрат?
Переменные уi называются оценками или учетными, неявными ценами.
Многие задачи линейного программирования первоначально ста­вятся в виде исходных или двойственных задач, поэтому имеет смысл говорить о паре двойственных задач линейного программирования.
2. Несимметричные двойственные задачи. Теорема двойственности.
В несимметричных двойственных задачах система ограничений исходной задачи задается в виде равенств, а двойственной — в виде нера­венств, причем в последней переменные могутбыть и отрицательными.Для простоты доказательств постановку задачи условимсязаписывать в матричной форме.
Исходная задача. Найти матрицу-столбец X = (x1, x2, …, xn), которая удовлетворяет ограничениям
(1.1) AX = A0, Х ³ 0
и минимизирует линейную функцию Z = СХ.
Двойственная задача. Найти матрицу-строку Y = (y1, y2, …, ym), которая удовлетворяет ограничениям
(1.2) YA £ С
и максимизирует линейную функцию f = YA0
В обеих задачах C = (c1, c2, …, cn) – матрица-строка, A0 = (b1, b2, …, bm) — матрица-столбец, А = (aij) — матрица коэффициентов системы ограничений. Связь между оптимальными планами пары двой­ственных задач устанавливает следующая теорема.
Теорема (теорема двойственности). Если из пары двойствен­ных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет ре­шение, причем для экстремальных значений линейных функций выпол­няется соотношение
min Z = max f.
Если линейная функция одной из задач не ограничена, то другая не имеет решения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что исходная задача об­ладает оптимальным планом, который получен симплексным методом. Не нарушая общности, можно считать, что окончательный базис со­стоит из т первых векторов A1, A2, ., Am. Тогда последняя симплекс­ная таблица имеет вид табл. 1.1.
Т а б л и ц а 1.1

i
Базис
С базиса
A0
C1
C2
…
Cm
Cm+1
…
cn
A1
A2
…
Am
Am+1
…
An
1
2
.
.
.
m
A1
A2
.
.
.
Am
C1
C2
.
.
.
Cm
x1
x2
.
.
.
xm
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
1
x1, m+1
x2, m+1
.
.
.
xm, m+1
…
…
.
.
.
…
x1n
x2n
.
.
.
xmn
m+1
Zi – Cj
Z0
Z1 – C1
Z2 – C2
.
Zm – Cm
Zm+1 – Cm+1
…
Zn – Cn

Пусть D — матрица, составленная из компонент векторов оконча­тельного базиса A1, A2, ., Am; тогда табл. 1.1 состоит из коэффици­ентов разложения векторов A1, A2, ., An исходной системы по векто­рам базиса, т. е. каждому вектору Aj в этой таблице соответствует та­кой вектор Xj что
(1.3) Aj = DXj (j= 1,2, , , n).
Для оптимального плана получаем
(1.4) A0 = DX*,
где X* = (x*1, x*2, …, x*m).
Обозначим через матрицу, составленную из коэффициентов раз­ложения векторов Аj (j = 1, 2, ., n), записанных в табл. 1.1. Тогда, учитывая соотношения (1.3) и (1.4), получаем:
(1.5) A = D, D-1A = ,
(1.6) A0=DX*; D-1A0 = X*,
(1.7) min Z= C*X*,
(1.8) =C*—C£0,
где С* = (C*1, C*2, …, C*m), С = (C1, C2, …, Cm, Cm+1, …, Cn), a = (C*X1 – C1; С*Х2 – С2, ., C*Xn – Cn) = (Z1 – С1; Z2 – C2; ., Zn — Cn) — вектор, компоненты которого неположительны, так как они совпадают с Zj — Cj £ 0, соответствующими оптимальному плану.
Оптимальный план исходной задачи имеет вид X* = D-1 А0, поэтому оптимальный план двойственной задачи ищем в виде
(1.9) Y*=C*D-1.
Покажем, что Y* действительно план двойственной задачи. Для этого ограничения (1.2) запишем в виде неравенства YA — С £ 0, в левую часть которого подставим Y*. Тогда на основании (1.9), (1.5) и (1.8) получим
Y* А – С=С* D-1А – С=С* – С£0,
откуда находим Y*A £ С.
Так как Y* удовлетворяет ограничениям (1.2), то это и есть план двойственной задачи. При этом плане значение линейной функции двой­ственной задачи f (Y*) = Y*A0. Учитывая соотношения (1.9), (1.6) и (1.7), имеем
(1.10) f(Y*) = Y*A0 = C*D-1 A0 = C*X* = min Z(X).
Таким образом, значение линейной функции двойственной задачи от Y* численно равно минимальному значению линейной функции исходной задачи.
Докажем теперь, что Y* является оптимальным планом. Умножим (1.1) на любой план Y двойственной задачи, а (1.2) — на любой план X исходной задачи: YAX=YA0=f (Y), YAX £ СХ = Z (X), отсюда следует, что для любых планов Х и Y выполняется неравенство
(1.11) f (Y)£ Z (X).
Этим же соотношением связаны и экстремальные значения max f (Y)£ min Z (Х). Из последнего неравенства заключаем, что максималь­ное значение линейной функции достигается только в случае, если max f (Y) = min Z (X), но это значение [см. (1.10)] f (Y)достигает при плане Y*, следовательно, план Y* — оптимальный план двойственной задачи.
Аналогично можно доказать, что если двойственная задача имеет решение, то исходная также обладает решением и имеет место соотно­шение max f (Y) = min Z (X).
Для доказательства второй части теоремы допустим, что линейная функция исходной задачи не ограничена снизу. Тогда из (1.11) следу­ет, что f (Y) £ -¥ . Это выражение лишено смысла, следовательно, двойственная задача не имеет решений.
Аналогично предположим, что линейная функция двойственной за­дачи не ограничена сверху. Тогда из (1.11) получаем, что Z (X) ³ +¥. Это выражение также лишено смысла, поэтому исходная задача не име­ет решений.
Доказанная теорема позволяет при решении одной из двойственных задач находить оптимальный план другой.
Исходная задача. Найти минимальное значение линейной функ­ции Z = x2 – x4 – 3×5 при ограничениях
x1 + 2×2 – x4 + x5 = 1,
– 4×2 + x3 + 2×4 – x5 = 2, xij ³ 0 (j = 1, 2, …, 6)
3×2 + x5 + x6 = 5,
Здесь матрица-строка С = (0;. 1; 0; —1; — 3, 0), матрица-столбец
1 1 2 0 -1 1 0
A0 = 2 A = 0 -4 1 2 -1 0
3 0 3 0 0 1 1
1 0 0
2 -4 3
A’’ = 0 1 0
-1 2 0
1 -1 0
0 0 1
Двойственная задача. Найти максимальное значение линейной функции f = y1 + 2y2 +5y3 при ограничениях
y1 £ 0,
2y1 – 4y2 + 3y3 £ 1,
y2 £ 0,
-y1 + 2y2 £ -1,
y1 – y2 + y3 £ -3,
y3 £ 0.
Решение исходной задачи находим симплексным методом (табл. 1.2).
i
Базис
С базиса
A0
0
1
0
-1
-3
0
A1
A2
A3
A4
A5
A6
1
2
3
A1
A3
A6
0
0
0
1
2
5
1
0
0
2
-4
3
0
1
0
-1
2
0
1
-1
1
0
0
1
m + 1
Zi – Cj
0
0
-1
0
1
3
0
1
2
3
A5
A3
A6
-3
0
0
1
3
4
1
1
-1
2
-2
1
0
1
0
-1
1
1
1
0
0
0
0
1
m + 1
Zi – Cj
-3
-3
-7
0
4
0
0
1
2
3
A5
A4
A6
-3
-1
0
4
3
1
2
1
-2
0
-2
3
1
1
-1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
m + 1
Zi – Cj
-15
-7
1
-4
0
0
0
1
2
3
A5
A4
A2
-3
-1
1
4
11/3
1/3
3
-1/3
-2/3
0
0
1
1
1/3
-1/3
0
1
0
1
0
0
0
2/3
1/3
m + 1
Zi – Cj
-46/3
-19/3
0
-11/3
0
0
-1/3

Оптимальный план исходной задачи X* = (0; 1/3; 0; 11/3; 4; 0), при котором Zmin = – 46/3, получен в четвертой итерации табл. 1.2. Используя эту итерацию, найдем оптимальный план двойственной задачи. Согласно теореме двойственности оптимальный план двойствен­ной задачи находится из соотношения Y* = C*D-1, где матрица D-1 – матрица, обратная матрице, составленной из компонент векторов, вхо­дящих в последний базис, при котором получен оптимальный план исходной задачи. В последний базис входят векторы A5, A4, A2; значит,
1 -1 2
D = (A5, A4, A2)= -1 2 -4
1 0 3
Обратная матрица D-1 образована из коэффициентов, стоящих в столбцах A1, A3, A6 четвертой итерации:
2 1 0
D-1 = -1/3 1/3 2/3
-2/3 -1/3 1/3
Из этой же итерации следует С* = (— 3; —1; 1). Таким образом
2 1 0
Y = С*D-1 = (-3; -1; 1) · -1/3 1/3 2/3
-2/3 -1/3 1/3
Y*=(-19/3; -11/3; -1/3),
т. е. yi = С*Хi, где Хi — коэффициенты разложения последней ите­рации, стоящие в столбцах векторов первоначального единичного базиса.
Итак, i-ю двойственную переменную можно получить из значения оценки (m + 1)-й строки, стоящей против соответствующего вектора, входившего в первоначальный единичный базиc, если к ней приба­вить соответствующее значение коэффициента линейной функции:
у1 = — 19/3 + 0 = — 19/3; y2 = -11/3 + 0 = -11/3; у3 = -1/3+0 = -1/3. При этом плане max f = -46/3.
3. Симметричные двойственные задачи
Разновидностью двойственных задач линейного , программирования являются двойственные симметричные задачи, в ко­торых система ограничений как исходной, так и двойственной задач задается неравенствами, причем на двойст­венные переменные налагается условие неотрицательности.
Исходная задача. Найти матрицу-столбец Х = (x1, x2, …, xn), которая удовлетворяет системе ограничений
(1.12). АХ>А0, Х>0
и минимизирует линейную функцию Z = СХ.
Двойственная задача. Найти матрицу-строку Y = (y1, y2, …, yn), которая удовлетворяет системе ограничений YA £ C, Y ³ 0 и максимизирует линейную функцию f = YA0.
Систему неравенств с помощью дополнительных переменных мож­но преобразовать в систему уравнений, поэтому всякую пару симмет­ричных двойственных задач можно преобразовать в пару несимметрич­ных, для которых теорема двойственности уже доказана.
Используя симметричность, можно выбрать задачу, более удоб­ную для решения. Объем задачи, решаемой с помощью ЭВМ, ограни­чен числом включаемых строк, поэтому задача, довольно громоздкая в исходной постановке, может быть упрощена в двойственной формули­ровке. При вычислениях без помощи машин использование двойствен­ности упрощает вычисления.
Исходная задача. Найти минимальное значение линейной функции Z = x1 + 2×2 + 3×3 при ограничениях
2×1 + 2×2 – x3 ³ 2,
x1 – x2 – 4×3 £ -3, xi ³ 0 (i=1,2,3)
x1 + x2 – 2×3 ³ 6,
2×1 + x2 – 2×3 ³ 3,
Очевидно, для того чтобы записать двойственную задачу, сначала необходимо систему ограничений исходной задачи привести к виду (1.12). Для этого второе неравенство следует умножить на -1.
Двойственная задача. Найти максимум линейной функции f = 2y1+ 3y2 + 6y3 + 3y4 при ограничениях
2y1 – y2 + y3 + 2y4 £ 1,
2y1 + y2 + y3 + y4 ³ 2,
-y1+ 4y2 – 2y3 – 2y4 ³ 3,
Для решения исходной задачи необходимо ввести четыре дополни­тельные переменные и после преобразования системы – одну искус­ственную. Таким образом, исходная симплексная таблица будет состо­ять из шести строк и девяти столбцов, элементы которых подлежат преобразованию.
Для решения двойственной задачи необходимо ввести три допол­нительные переменные. Система ограничений не требует предваритель­ных преобразований, ее первая симплексная таблица содержит четыре строки и восемь столбцов.
Двойственную задачу решаем симплексным методом (табл. 1.3).
Оптимальный план двойственной задачи Y* = (0; 1/2; 3/2; 0), fmax = 21/2.
Оптимальный план исходной задачи находим, используя оценки (m + 1)-й строки последней итерации, стоящие в столбцах A5, A6, A7 : x1 = 3/2 + 0 = 3/2; x2 = 9/2 + 0 = 9/2; x3 = 0 + 0 = 0. При оптимальном плане исходной задачи X* = (3/2; 9/2; 0) линейная функ­ция достигает наименьшего значения: Zmin =21/2.
Т а б л и ц а 1.3
i
Базис
С базиса
A0
2
3
6
3
0
0
0
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
1
2
3
A5
A3
A7
0
0
0
1
2
3
2
2
-1
-1
1
4
1
1
-2
2
-1
-2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
m + 1
Zi – Cj
0
-2
-3
-6
-3
0
0
0
1
2
3
A3
A6
A7
6
0
0
1
1
5
2
0
3
-1
2
6
1
0
0
2
-1
2
1
-1
2
0
1
0
0
0
1
m + 1
Zi – Cj
6
10
-9
0
9
6
0
0
1
2
3
A3
A2
A7
6
3
0
3/2
½
2
2
0
3
0
1
0
1
0
0
3/2
-1/2
4
½
-1/2
5
½
½
3
0
0
1
m + 1
Zi – Cj
21/2
10
0
0
9/2
3/2
9/2
0

4. Виды математических моделей двойственных задач
На основании рассмотренных несимметричных и симметричных двойственных задач можно заключить, что математические модели пары двойственных задач могут иметь один из следующих видов.
Н е с и м м е т р и ч н ы е з а д а ч и
(1) Исходная задача Двойственная задача
Zmin = CX; fmax = YA0;
AX = A0; YA £ С.
X ³ 0.
(2) Исходная задача Двойственная задача
Zmax = CX; fmin = YA0;
AX = A0; YA ³ С.
X ³ 0.
С и м м е т р и ч н ы е з а д а ч и
(3) Исходная задача Двойственная задача
Zmin = CX; fmax = YA0;
AX ³ A0; YA £ С.
X ³ 0. Y ³ 0.
(4) Исходная задача Двойственная задача
Zmax = CX; fmin = YA0;
AX £ A0; YA ³ С.
X ³ 0. Y ³ 0.
Таким образом, прежде чем записать двойственную задачу для данной исходной, систему ограничений исходной задачи необходимо привести к соответствующему виду. Запишем, например, математиче­скую модель двойственной задачи для следующей исходной.
Найти минимальное значение линейной функции Z = 2×1 + x2 + 5×3 при ограничениях
x1 – x2 – x3 £ 4,
x1 – 5×2 + x3 ³ 5, xj ³ 0 (j = 1, 2, 3).
2×1 – x2 + 3×3 ³6,
Рассматриваемая задача относится к симметричным двойственным задачам на отыскание минимального значения линейной функции. Для того чтобы было можно записать двойственную задачу, ее модель долж­на иметь вид (3). Переход осуществляется умножением первого не­равенства на -1.
Исходная задача:
Zmin = 2×1 + x2 + 5×3 при ограничениях
-x1 + x2 + x3 ³ -4,
x1 – 5×2 + x3 ³ 5, xj ³ 0 (j = 1, 2, 3).
2×1 – x2 + 3×3 ³6,
Двойственная задача:
fmin = -4×1 + 5×2 + 6×3 при ограничениях
-y1 + y2 + 2y3 £ 2,
y1 – 5y2 – y3 £ 1, yi ³ 0 (i = 1, 2, 3).
2y1 + y2 + 3y3 £ 5,
Приведем без доказательства следующую теорему. Теорема 1.1. Если при подстановке компонент оптимального пла­на в систему ограничений исходной задачи i-e ограничение обращается в неравенство, то i-я компонента оптимального плана двойственной задачи равна нулю.
Если i-я компонента оптимального плана двойственной задачи по­ложительна, то i-e ограничение исходной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое равенство.
5. Двойственный симплексный метод
В п. 2 и п. 3 настоящего параграфа было показано, что для получения решения исходной задачи можно перейти к двой­ственной и используя оценки ее опти­мального плана, определить оптимальное решение исходной задачи.
Переход к двойственной задаче не обязателен, так как если рассмо­треть первую симплексную таблицу с единичным дополнительным ба­зисом, то легко заметить, что в столбцах записана исходная задача, а в строках – двойственная. Причем оценками плана исходной задачи являются Сj а оценками плана двойственной задачи – bi. Решим “двойственную задачу по симплексной таблице, в которой записана ис­ходная задача; найдем оптимальный план двойственной задачи, а вместе с ним и оптимальный план исходной задачи. Этот метод носит на­звание двойственного симплексного метода,
Пусть необходимо решить исходную задачу линейного программиро­вания, поставленную в общем виде: минимизировать функцию Z =СХ при АХ = A0, Х ³ 0. Тогда в двойственной задаче необходимо максимизировать функцию f = YA0 при YA £ С. Допустим, что выбран такой базис D = (A1, А2, ., Аi, ., Аm), при котором хотя бы одна из компонент вектора Х = D-1 A0 = (x1, x2, ., xi, ., xm) отрицатель­ная (например, xi Y = Сбаз D-1 – план двойственной задачи. Этот план не оптимальный, так как, с одной стороны, при выбранном бази­се X содержит отрицательную компоненту и не является планом исходной задачи, а с другой стороны, оценки оптимального плана двой­ственной задачи должны быть неотрицательными.
Таким образом, вектор Аi, соответствующий компоненте xi Для выбора вектора, включаемого в базис исходной задачи, просмат­риваем i-ю строку: если в ней не содержатся xij Если q0j= min (xi/xij) = 0, т. е. xi = 0, то xij берется за раз­решающий элемент только в том случае, если xij > 0. Такой выбор раз­решающего элемента на данном этапе не приводит к увеличению коли­чества отрицательных компонент вектора X. Процесс продолжаем до получения Х ³ 0; при этом находим оптимальный план двойственной задачи, следовательно, и оптимальный план исходной задачи.
В процессе вычислений по алгоритму двойственного симплексного метода условие Zj – Cj £ 0 можно не учитывать до исключения всех хi 0.
Двойственным симплексным методом можно решать задачи линей­ного программирования, системы ограничений которых при положи­тельном базисе содержат свободные члены любого знака. Этот метод позволяет уменьшить количество преобразований системы ограниче­ний, а также размеры симплексной таблицы.
6. Список используемой литературы
1. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. «Финансы и статистика», 1998 г.
2. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. «Наука», 1980 г.
/b>