Електричнi кола при синусоїднiй дiї
Зміст
1. Змiнний струм та його основнi характеристики
2. Синусоїдний струм та його основнi параметри
3 Подання синусоїдних коливань у виглядi проекцiй векторiв, що обертаються
4. Синусоїдний струм в опорi
5. Синусоїдний струм в iндуктивностi
6. Синусоїдний струм в ємності
1. Змiнний струм та його основнi характеристики
На рис.1 зображено часовi дiаграми миттєвих значень струму,значення якого змiнюються за часом. Друга та третя дiаграми вiдповiдають перiодичномуструмовi.
/>
Рисунок 1
Перiодичний струм (напруга, ЕРС) — електричнийструм, миттєвi значення якого повторюються через однаковi iнтервали часу.
Перiод T — найменший iнтервал часу, черезякий миттєве значення перiодичного електричного струму (ЕРС, напруги) повторюється.
Частота електричного струму F (f)- величина, обернена до перiоду електричного струму. Одиницi вимiру — 1/с (Гц),кГц, МГц.
Змiнний струм (напруга) — перiодичний струм (напруга),середнє значення якого за перiод дорiвнює нулю:
/>.
Пульсний струм — перiодичний струм, середнє значенняякого за перiод не дорiвнює нулю. На рис.1 на другiй дiаграмi показано змiнний струм,на третiй — пульсний струм.
Дiюче (ефективне) значення перiодичного струму- середньоквадратичне значення струму за перiод. Аби з’ясувати це поняття, розглянемовплив перiодичного струму i та постiйного струму I на один i той самийпостiйний резистор R за час t = T.
Енергiя, що видiляється постiйним струмом на опорiR за час перiоду змiнного струму T, визначається за формулою:
/>.
При змiнному струмi за перiод Т витрачаєтьсяенергiя />. Дiючезначення струму знайдемо за умови рiвностi W = w:
/>; />;
/>, (1)
де i — миттєве значення перiодичного струму;I — дiюче значення.
Отже, дiючим значенням перiодичного струму називаєтьсятаке значення постiйного струму, яке за перiод змiнного струму при даному опорiвидiляє стiльки ж тепла, скiльки видiляє перiодичний струм за той самий час.
2. Синусоїдний струм та його основнi параметри
Синусоїдний струм (напруга, ЕРС) — це електричнийструм, який є синусоїдною функцiєю часу. У лiтературi також застосовується назвагармонiчний струм — який змiнюється за синусоїдним чи косинусоїдним законами. Нарис.2 показано часову дiаграму синусоїдного струму, миттєве значення якого визначаєтьсяза формулою:
/>,
де /> – амплiтуда; /> – частота, Гц; /> – кутова частота,Рад/с; /> – початковафаза, Рад.
/>
а) б)Рисунок 2
Початкова фаза синусоїдного електричного струму- значення фази синусоїдного струму в початковий момент часу (t=0). Iнакше,початкова фаза вiдповiдає абсцисi найближчої точки переходу з вiд’ємної пiвхвилiдо додатної. На рис.2а початкова фаза коливання дорiвнює нулю, на рис.2б перша кривамає початкову фазу /> (/>), а друга крива — /> (/>).
Якщо розглядати змiнний струм, який змiнюєтьсяза косинусоїдним законом />, то як початкова фаза використовуєтьсяабсциса найближчого додатного максимуму (рис.3а). Рис.3б iлюструє спiввiдношенняпочаткових фаз при синусоїднiй та косинусоїднiй формах запису:
/>.
Таким чином,при переходi вiд синусоїдної до косинусоїдної форми запису початкова фаза зменшується,при зворотньому переходi — збiльшується.
/>
а) б)Рисунок 3
Нехай для деякої дiлянки електричного кола струмта напруга становлять: />; />, тодi величина /> зветься зсувом фаз мiж напругоюта струмом. Це поняття встановлюється для характеристики двох коливань однаковоїчастоти.
Отже, зсув фаз мiж напругою та струмом — це алгебраїчнавеличина, що дорiвнює рiзницi фаз напруги та струму.
Якщо />, коливання (тобто струм i напруга)синфазнi;
/>, коливання протифазнi;
/>, /> – напруга випереджає струм на величину/>;
/>, /> – напруга вiдстає вiд струму на величину/>.
Цi спiввiдношення справедливi також i для синусоїдноїформи запису. Аргумент синуса (косинуса) являє собою миттєву або поточну фазу />: />. Зв’язок мiж кутовоючастотою /> тапоточною фазою /> встановлюється спiввiдношеннями:
/>; />.
На рис.4а показано залежнiсть /> при /> та />.
/>
в) г)Рисунок 4
Аби визначити дiюче значення синусоїдного струму,скористуємось формулою (1) та косинусоїдною формою запису />.
/>.
Замiнимо /> на /> та проiнтегруємо здобутий вираз:
/>.
Другий iнтеграл дорiвнює нулю, оскiльки функцiя/>на iнтервалi
0¸T/4 має однаковiдодатну та вiд’ємнi площi (рис.4б).
Таким чином, дiюче значення пов’язане з амплiтудним:/>, тобто амплiтуднезначення завжди бiльше, нiж дiюче. Для дiючих значень також виконується закон Ома:
/>; />; />.
Дiюче значення синусоїдного струму характеризуєйого енергетичну дiю. Вольтметри та амперметри у колах змiнного струму показуютьдiюче значення ЕРС, напруги та струму. Наприклад, якщо амплiтуда напруги у колiU = 311 В, то вольтметр на затискачах кола покаже />.
3 Подання синусоїдних коливань у виглядiпроекцiй векторiв, що обертаються
Для розрахунку електричних кiл синусоїдного струмузастосовують метод комплексних амплiтуд (або символiчний метод), який дозволяє розраховуватицi кола алгебраїчним способом, аналогiчно колам постiйного струму. Комплексний методоснований на замiнi синусоїдних функцiй часу векторами, що обертаються.
Вiдомо, що кожна точка на комплекснiй площинiвизначається вектором, початок якого знаходиться в т.0, а кiнець — у точцi, що вiдповiдаєданому комплексному числу. Комплексне число можна виразити в трьох формах: у показниковiй-
/>-
де /> – модуль комплексного числа; /> – аргумент (рис.4г);
у тригонометричнiй —
/>;
в алгебраїчнiй —
/>,
де /> – дiйсна частина;
/> – уявна частина комплексного числа.
Очевидно, що
/>; />.
Вектор, який обертається у додатному напрямi(тобто проти годинникової стрiлки) з кутовою швидкiстю />, можна подати як
/>, (2)
де /> – комплексна амплiтуда; /> – оператор повороту(обертання).
Отже, комплексна амплiтуда синусоїдного струму(напруги) — це комплексна величина, модуль та аргумент якої дорiвнюють вiдповiдноамплiтудi та початковiй фазi синусоїдного струму (напруги).
Комплексна амплiтуда не залежить вiд часу, тобтоє нерухомим вектором. Множення комплексної амплiтуди /> на /> означає поворот вектора /> на комплекснiйплощинi у позитивному напрямi.
Записуючи комплексно-часову функцiю (2) у тригонометричнiйформi
/>,
бачимо, що синусоїдна функцiя i (t)може розглядатися як уявна частина (2) або як проекцiя вектора /> на уявну вiсь:
/>.
Позначення Im означає, що застосовуєтьсяуявна частина («image»).
Аналогiчно косинусоїдна функцiя може розглядатисяяк дiйсна частина або проекцiя на дiйсну вiсь:
/>.
Символ Re означає операцію взяття дiйсноїчастини («real»).
Подання синусоїдної функцiї за допомогою векторiвта їх проекцiй iлюструється на рис.5.
/>Рисунок 5
4. Синусоїдний струм в опорi
Розглянемоколо з резистором, який має активний опiр R. Нехай у колi протікає струм />. Тодi за закономОма напруга на затискачах резистора становить:
/>.
Як бачимо, />; />, тобто напруга i струм у колi з активнимопором збiгаються за фазою.
Крiм того, при проходженнi синусоїдного струму крiзь опiрне тiльки миттєвi значення, але й амплiтуди та дiючi значення пов’язанi за закономОма:
/>; />.
Подамо миттєвi значеннянапруги та струму через комплекснi амплiтуди:
/>;
/>.
Пiдставимо цi значення до виразу />:
/>.
Якщо рiвнiмiж собою реальнi частини, то рiвнi й вектори: />. Скоротивши на множник />, матимемо
/> – (3)
закон Ома в комплекснiй формi.
Запишемо комплекснi дiючi значення струму та напруги:
/>; />.
На рис.6 зображеновектори />, />, />, /> на комплекснiйплощинi.
/>
Рисунок 6
Визначимо миттєву потужнiсть, яка витрачаєтьсяв опорi. При цьому врахуємо, що />.
/>.
Оскiльки />, отримуємо
/>.
Залежнiсть миттєвих значень u, i,p від t (або />) показано на рис.7. Визначимо активнупотужнiсть P, яка дорiвнює середньому за перiод значенню миттєвої потужностi:
/>.
Другий iнтегралдорiвнює нулю, оскiльки на iнтервалi часу, що кратний перiоду, додатнi та вiд’ємнiплощi синусоїдної функцiї однаковi.
/>
Рисунок 7
5. Синусоїдний струм в iндуктивностi
Нехай через iндуктивнiсть протiкає струм />. ЕРС самоiндукцiївизначається за формулою
/>.
Оскільки />, матимемо
/>.
Цей вираз дозволяє зробити такi висновки:
1) />; />, отже напругавипереджає струм в iндуктивностi на кут />;
2) амплiтуди,так само як i дiючi значення напруги та струму, пов’язанi законом Ома: />; />.
Величина />, яка має розмiрнiстьопору, зветься iндуктивним опором; обернена до неї величина /> зветься iндуктивною провiднiстю.Тодi/>; />.
Миттєва потужнiсть, яка надходить до iндуктивностi, становить:
/>.
Очевидно, що активна потужнiсть P = 0 (яксереднє значення синусоїдної функцiї на iнтервалi часу T). Визначимо енергiюмагнiтного поля в iндуктивностi:
/>.
(Замiна змiнних у межах: при />, />; при />, />).Отже
/>.
Залежностi миттєвих значень u, i,p, /> вiндуктивностi за часом зображено на рис.8. Проаналiзуємо цi часовi дiаграми: протягомпершої чвертi перiоду (вiдлiк вiд точки t*), коли струм у колi збiльшується,має мiсце заряд iндуктивностi, тобто накопичення енергiї в магнiтному полi за рахунокджерела. Миттєва потужнiсть при цьому додатна i досягає максимального значення />.
/>
Рисунок 8
У момент часу /> (/>) енергiя, накопичена в магнiтномуполi, також досягає максимального значення />. Пiсля цього впродовж другої чвертiперiоду вiдбувається зменшення струму та миттєвої енергiї, тобто розряд iндуктивностi;миттєва потужнiсть у цi моменти вiд’ємна. Оскiльки енергiя в системi не витрачається(P = 0), то зменшення /> означає, що енергiя повертається доджерела. Далi процес повторюється. Таким чином, вiдбувається коливання енергiї мiжджерелом та iндуктивнiстю, причому активна потужнiсть, яка надходить до iндуктивностi,дорівнює нулю.
Подамо миттєвi значення струму та напруги черезкомплекснi амплiтуди:
/>; />.
/>.
З останнього виразу можна зробити такi висновки:
1) операцiя диференцiювання дiйсної функцiї часуза t еквiвалентна множенню на величину /> комплексно-часової функцiї;
2) оскiльки рiвнi мiж собою реальнi частини, рiвнi такожi вектори: />.Тодi маємо закон Ома в комплекснiй формi:
/>, (4)
де /> – комплексний опiр iндуктивностi.
Розглянемо фазовi спiввiдношення комплексних амплiтудструму та напруги в iндуктивностi. Для цього запишемо /> у показниковiй формi:
/>.
Цей вираз пiдтверджує висновок щодо фазового зсувумiж комплексними амплiтудами /> та /> на кут /> (рис.9а). Нагадаємо, що фазовi кутивiдраховують вiд осi +1 проти ходу годинникової стрiлки.
/>
а) б)
Рисунок 9
Знайдемо вираз для комплексної амплiтуди струму,користуючись спiввiдношенням: />.
/>.
Скоротившивираз на множник />, отримуємо ще один запис закону Омав комплекснiй формi:
/>,
де /> – комплексна провiднiсть iндуктивностi.
Зазначимо,що операцiя iнтегрування дiйсної функцiї часу при переходi до комплексно-часовоїфункцiї замiнюється операцiєю дiлення на величину />.
6. Синусоїдний струм в ємності
Нехай через ємнiсть протiкає струм />. Миттєвi значенняструму та напруги в ємностi пов’язанi спiввiдношеннями:
/>; />. Тодi
/>.
Аналiз останнього виразу показує:
1) />; />, отже напруга в ємностi вiдстає вiдструму за фазою на кут />;
2) амплiтуди, так само як i дiючi значення напругита струму, пов’язанi законом Ома: />; />. Величина />, яка має розмiрнiсть опору,зветься ємнiсним опором; обернена до неї величина /> зветься ємнiсною провiднiстю.
Тодi/>; />.
Миттєва потужнiсть, яка надходить до ємностi, становить:
/>.
Активна потужнiсть P = 0, так само як iдля iндуктивностi. Енергiя електричного поля в ємностi визначається за формулою:
/>;
/>.
Залежностi миттєвих значень u, i,p, /> вємностi за часом зображено на рис.10. Так само як i в iндуктивностi, вiдбуваєтьсяколивання енергiї мiж джерелом електричної енергiї та ємнiстю, причому активна потужнiстьдорiвнює нулю.
/>
Рисунок 10
Якщо перейти до комплексно-часових функцiй />; /> та подати за їхдопомогою миттєвi значення, можна знайти вирази для комплексних амплiтуд струмута напруги:
/>; />, (5)
де />; /> – комплекснi опiр та провiднiсть ємностi.
Здобутi вирази — це закон Ома в комплекснiй формiдля ємностi. Аби роз-глянути фазовi спiввiдношення, запишемо комплексну амплiтуду/> в показниковiйформi:
/>.
Подамо множник — j в показниковiй формi/>. Тодi
/>.
Цей вираз пiдтверджує висновок, що в ємностi напругавiдстає за фазою вiд струму на кут /> (рис.9б).