Н.М.Кащенко
1. Численныйметод интегрированиявырожденныхэллиптическихуравнений
Впредположенииобычных примоделированииионосферыприближенияхмалости инерционныхсил для заряженнойсоставляющейплазмы иквазипотенциальностисиловых линиймагнитногополя Землиуравненияпереноса заряженныхчастиц имеютвид [3]:
/>(1)
В этихуравненияхni — концентрациячастиц, qi — источникии потери, />— матрицакоэффициентовдиффузии, имеющаятолько продольныекомпоненты,/>— скоростьпереноса частиц.Аналогичныйвид имеют уравнениятеплопроводности.
Частоудобно решатьуравнения такихмоделей конечно-разностнымметодом напрямоугольныхсетках в сферическойсистеме координат.При этом возникаетпроблема решениявырожденныхэллиптическихуравнений сосмешаннымипроизводными.Разностнаяаппроксимациятаких уравненийприводит кразностнымсхемам, длякоторых невыполненоусловие монотонностидаже при аппроксимациив терминахпотоков. Записьэтих уравненийв дипольнойсистеме координатпосле аппроксимациипо переменнойt приводит куравнениямвида:
(-Au¢+ Bu)¢+ Cu =D, A >0, C />0, D />0. (2)
Здесьдифференцированиепроводитсяпо продольнойкоординате, которую обозначимb.
Длярешения такихуравненийпредлагаетсяв (2) факторизоватьдифференциальныйоператор(дифференциальнаяпрогонка), затемфакторизованнуюзапись преобразоватьв сферическуюсистему координати решать факторизованныеуравнения вэтой системепо схеме бегущегосчета. Послефакторизацииуравнения (2)получаем систему
/>(3)
Здесьe и z являютсявспомогательнымифункциями.Первое и второеуравненияинтегрируютсяв направлениивозрастанияb, а третьеинтегрируетсяв направленииубывания b.Систему (3) можнорешать напрямоугольнойсетке исходнойсистемы координат, используясоответствующиеразностныеаппроксимациии схемы бегущегосчета.
Пусть(x, y) — исходнаясистема координат, а (a, b)— новая системаи пусть дляформул переходасправедливосоотношение:
/>
Тогда/>поэтому />и />аппроксимируютсяразностяминазад при n> 0 и разностямивперед при n— разностямив обратномпорядке. Аналогичныеаппроксимацииприменяютсяи для производныхпо переменнойy. Тогда суммарнаяпогрешностьаппроксимацииимеет вид Dz+ (ADu)¢- uDe- eDu, где Dz, Du,De — погрешностиаппроксимацийв уравненияхдля z, u и e соответственно.
В зависимостиот аппроксимациинедифференциальныхчленов системы(3) получаетсясемействоразностныхсхем с разнымивеличинамисуммарнойпогрешностиаппроксимации.Параметрысемействаследует подбиратьдля получениянужного свойстваразностнойсхемы, например, для полученияаппроксимациивторого порядка.В ионосферныхмоделях длядополнительногоуменьшенияпогрешностейаппроксимацииобласть интегрированияделится пополами применяетсявстречнаядифференциальнаяпрогонка сусловиямигладкостирешения награнице деления[3]. Описаннаясхема реализованана языке программированияFortran в рамках численноймодели ионосферы.
2. Некоторыеварианты скалярнойпрогонки
Решениетрехточечныхразностныхуравненийметодом прогонкиосновано нанеявной факторизациисоответствующегоразностногооператора. В[2] рассмотренынекоторыеварианты решениятрехточечныхразностныхуравнений, но, как указанов [1], анализвычислительнойустойчивостипроведен неполностью. Вработе [1] показано, что классическаязапись прогонкидаже при диагональномпреобладанииимеет погрешностьпорядка O(n3), и тамже приведеныпримеры, показывающие, что при количествеузлов порядка300 и использованииобычной точностимогут получатьсябольшие погрешности(десятки процентови более). Тамже указаныспособы уменьшенияэтих погрешностей, в частности, с помощьюпреобразованияпрогонки кбезразностномувиду.
Рассмотримнекоторыеварианты прогонокбез разностей.В этом случае, как указанов [1], погрешностиокругленийнакапливаютсясо скоростьюне более чемO(n2), а при некоторыхусловиях накоэффициенты— O(n). Приведемнескольковариантовбезразностныхпрогонок.
1. B =0. Этот случайрассмотренв [1], а разностнаясхема для (2) имеетвид:
/>
/>
/>
ai >0, bi />0, ci > 0, di />0.
В этихуравненияхвыполненоусловие диагональногопреобладания.
Прямойход прогонки:
/>
/>
/>
Приэтом 0
Обратныйход прогонки:
/>
Здесь/>
Следовательно, формулы обратногохода можнозаписать вбезразностномвиде:
/>
Кромеуменьшенияпорядка ростапогрешностейэтот вариантпрогонки доказываетоднозначнуюразрешимостьсоответствующихразностныхуравнений.
2. B ¹0. В этом случаеразностнаясхема имеетвид:
/>
/>
/>
ai >0, bi />0, ci > 0, di />0.
В этихуравненияхусловие диагональногопреобладанияв общем случаене выполнено.
Прямойход прогонки:
/>
/>
/>
Приэтом 0
Обратныйход прогонки:
/>
Здесь/>
Следовательно, формулы обратногохода можнозаписать вбезразностномвиде:
/>
Каки в предыдущемслучае, кромеуменьшенияпорядка ростапогрешностейэтот вариантпрогонки доказываетоднозначнуюразрешимостьсоответствующихразностныхуравнений.
3. Циклическийслучай с B =0. Разностныеуравнения имеютвид:
/>
ai >0, bi />0, ci > 0, di />0,
/>
Прямойход прогонки:
/>/>
/>
/>
Вспомогательныйход прогонки:
/>
/>
ВычислениеYn:
/>
В этихформулах величиныri, si, ui соответствуютуравнениям:
/>
Обратныйход прогонки:
/>
В этомварианте прогонкитакже отсутствуютразности, что, как и в предыдущихслучаях, кромеуменьшенияпорядка ростапогрешностейдоказываетоднозначнуюразрешимостьсоответствующихразностныхуравнений.Список литературы
1. ИльинВ.П. Прямой анализустойчивостиметода прогонки// Актуальныепроблемывычислительнойматематикии математическогопрограммирования.Новосибирск: Наука, Сибирскоеотделение,1985. С. 189—201
2. СамарскийА.А., НиколаевЕ.С. Методы решениясеточных уравнений.М.: Наука, 1978. 519 с.
3. КащенкоН.М., ЗахаровВ.Е. Численныйметод интегрированиясистемы уравненийпереноса ионосфернойплазмы // Докладымеждународногоматематическогосеминара.Калининград: ИздательствоКГУ, 2002. С. 287—290