«Интегрирование уравнений движения материальной точки,находящейся под действием переменных сил»
Задание: На наклонномучастке АВ трубы на груз D, массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R, расстояние от точки А,где V=V0, до точки В, равно L. На горизонтальномучастке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F = F(t).
Дано:
m = 4, кг
V0= 12, м/с
Q = 12, Н
R = 0,8V2, Н
L = 2.5, м
Fx = -8cos(4t), Н
Определить:
Закон движения груза научастке ВС ( x= f(t) ).
Решение:
1. Пусть груз –материальная точка. Изобразим /> и />. Проведем ось Ax и составимдифференциальное уравнение в проекции на эту ось:
/>
Далее находим:/>
Учитывая, что Vx = V:
/> или />
Выведем: />
/>
где g = 10 м/с.
Тогда:
/>
Разделяя переменные иинтегрируя:
/>
По Н.У. при x = 0: V = V0, откуда:
/>;
Получим:
/>;
Откуда:
/> и />
В результате: />
Полагая, что x=L=2.5 и заменяя k и n определим VB:
/>
2. Рассмотримдвижение на BC.
Рассмотрим движение ВС (V0= V). Изобразим />, />, и />.
/> или/>, где />
/>
/>
/>
/>
При t=0; V = V0= VB = 8.29 м/с:
С2 = VB = 8.29 м/с.
/>
/>
/>
К-3 Вариант 18
/> авр
/>/>/> А
/>/>/>/> aA Cv
/> авр
/>/> ac
/> ацс
/>/> Eoa aцс C
aB
/>/>/>/> Woa
/>
aB/> О В
/>/> Y
/> aB
/>
X
/>
Дано: ОА=10 АВ=10 АС=5 Woa=2 EOA=6
Найти: Ускорения вовсех точках
Va=Woa*OA=20
Va=Wao*Acv=Wab*AB*sin45
Wab=Va/Cva=4/21/2
Vb=Wab*BCv=Wab*AB*cos45=20
Vc=Wab*CCv=21/22*BC/2ctg45=521/2/2
aAbp=Eoa*OA=60
aAцс=WOA2*OA=40
aBцс= WOA2*AB=80
aB=aAbp +aAцс +aABЦС +aABbp
X: 21/2/2*aB=aAцс +aABBP
Y: 21/2/2*aB=aABP +aABЦС
aABBP=========== ==MOI===\KOI0-U=140-40=100
EAB=100/10=10
aB=aAвp +aAцс +aACЦС +aACвp
aACвp= EAB*АВ=50
aACЦС= WAВ2*АС=40
X: 21/2/2*ac=aAцс +aABBP
Y: 21/2/2*ac=aABP +aABЦС
aC=(acx2 +acy2)1/2
«Определение скорости и ускорения точки позаданным уравнениям ее движения».
Задание: По заданнымуравнениям движения точки М установить вид ее траектории и
для момента времени t = t1 (c) найти положение точкина траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Исходные данные:
/>
Решение:
Для нахождения траекторииточки, возведем в квадрат и приравняем левые части уравнений движения,предварительно выделив из них cos и sin соответственно, в результате получим:
/> — траектория точки в координатнойформе.
Траектория представляетиз себя окружность радиуса r=3 см.
Найдем проекции скоростии ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:
/>
По найденным проекциямопределяются модуль скорости и модуль ускорения точки:
/>
Найдем модулькасательного ускорения точки по формуле: />
/>-выражает проекцию ускорения точкина направление ее скорости. Знак «+» при />означает, что движение точки ускоренное,направления />и/>совпадают,знак «-» значит, что движение замедленное.
Модуль нормальногоускорения точки: />; Т.к. радиус кривизны известен,но в качестве проверки применим другую формулу для нахождения модуля нормальногоускорения: />
Когда найдено нормальноеускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется извыражения: />
Результаты вычисленийзанесем в таблицу (для момента времени t = t1 = 1 c):Координаты (см) Скорость (см/с)
Ускорение (см/с2)
/>кривизны (см) x y Vx Vy V Wx Wy W Wτ Wn
/> 2.5 5.6 -5.4 3.2 6.3 -12 -8.3 14.6 5.5 13.5 2.922
Найденный радиус кривизнысовпадает с определенным из уравнения траектории точки.
На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени
Дополнительное задание. Определение скорости и ускорения точки приее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениямдвижения добавляется 3-е уравнение.
Исходные данные:
/>
Решение:
Определимпространственную траекторию точки в координатной форме:
/> – траектория точки в координатнойформе.
Найдем проекции скоростии ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:
/>
По найденным проекциямопределяются модуль скорости и модуль ускорения точки:
/>
Найдем модулькасательного ускорения точки по формуле: />
/>-выражает проекцию ускорения точкина направление ее скорости. Знак «+» при />означает, что движение точкиускоренное, направления />и />совпадают, знак «-» значит, чтодвижение замедленное.
Модуль нормальногоускорения точки: />; Т.к. радиус кривизны неизвестен, применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:
/>
Когда найдено нормальноеускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется извыражения: />
Результаты вычисленийзанесем в таблицу (для момента времени t = t1 = 1 c):Координаты (см) Скорость (см/с)
Ускорение (см/с2) кривизны (см) x y z Vx Vy Vz V Wx Wy Wz W Wτ Wn
/> 2.5 5.6 3.5 -5.4 3.2 3.5 7.2 -12 -8.3 14.6 5.3 15.5 3.6
«Определениереакций опор твердого тела».
Задание: Найтиреакции опор конструкции.
Дано:
Q = 6, кН
G = 2, кН
a = 60, см
b = 40, см
c = 60, см
Определить:
Реакции опор конструкции.
Решение:
К раме ABCD приложены сила тяжести />, сила />, реакция />стержня DC и реакции опор A и B. Реакция шарового шарнира Аопределяется тремя составляющими: />, а реакция петли В двумя: />.
Из этих сил – шесть неизвестных. Для их определения можносоставить 6 уравнений равновесия.
Уравнения моментов сил относительно координатных осей:
/>
Уравнения проекций сил на оси координат:
/>
Из этих уравнений находим: решая уравнения, находим неизвестныереакции.
Результаты вычислений заносим в таблицу:Силы, кН S
XA
YA
ZA
XB
ZB 1.15 -6.57 0.57 -1 -12.57 2
Проверка:
/>
Проверка показала, что реакции опор твердого тела найденыправильно.
/>
В18. Д – 1.
Дано: VA = 0, a= 30°, f = 0,1, ℓ = 2 м, d = 3 м. Найти: h и t.
Решение: Рассмотримдвижение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F.Составляемдифференциальное уравнение движения в проекции на ось X1 : />= G×sina — F , (F = f×N = fG×cosa) Þ />= g×sina- fg×cosa,
Дважды интегрируяуравнение, получаем:
/>= g×(sina — f×cosa)×t + C1 , x1 = g×(sina — f×cosa)×t2/2 + C1t + C2 ,
По начальным условиям(при t= 0 x10 = 0 и />= VA = 0) находим С1и С2 : C1 = 0 , C2 = 0,
Для определения VB и t используем условия: вт.B (при t = t), x1 = ℓ , />= VB . Решая системууравнений находим:
/>x1 = ℓ = g×(sina — f×cosa)×t2/2 Þ 2 = 9,81×(sin30° — 0,1×cos30°)×t2/2 , Þ t= 0,99 c,
/>= VB = g×(sina — f×cosa)×t VB = 9,81×(sin30° — 0,1×cos30°)×0,99 = 4,03 м/с ,
Рассмотрим движение камняна участке ВС.На него действует только сила тяжести G. Составляемдифференциальные уравнения движения
в проекции на оси X , Y: />= 0 , /> = G ,
Дважды интегрируемуравнения: />= С3 , />= gt + C4 ,
x = C3t+ C5 , y = gt2/2 + C4t + C6,
Для определения С3, C4, C5, C6 , используем начальныеусловия (при t= 0): x0= 0 , y0= 0 , />= VB×cosa , />= VB×sina ,
Отсюда находим: />= С3 , Þ C3 = VB×cosa, />= C4, Þ C4 = VB×sina
x0= C5 , Þ C5 = 0 , y0= C6 , Þ C6 = 0
Получаем уравнения: />= VB×cosa, />= gt + VB×sina
x = VB×cosa×t , y= gt2/2 + VB×sina×t
Исключаем параметр t : y = gx2 + x×tga ,
2V2B×cos2a
В точке С x = d = 3 м , у = h. Подставляя в уравнение VB и d , находим h: h = 9,81×32 + 3×tg30°= 5,36 м ,
2×4,032×cos230°