Інваріантніпідпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора
Як мивже знаємо один і той же лінійний оператор в різних базисах задається різнимиматрицями. Виникає питання: чи не можна знайти такий базис векторного простору,в якому матриця лінійного оператора має найпростіший вигляд. Таким виглядомбуде діагональний вигляд. До вияснення цього питання ми і приступаємо.
1.Інваріантні підпростори.
НехайU підпростір векторного простору Vn, а φ –лінійний оператор, заданий на просторі Vn.
Означення.Підпростір U векторного простору Vnназиваєтьсяінваріантним відносно лінійного оператора φ, якщо образ />φ кожного вектора />/> ізU належить цьому підпростору U, тобто
/>.
Приклади.
1.Розглянемо звичайний тривимірний простір V3 і нехай φ –поворот навколо осі OZ. Інваріантними підпросторами будуть, наприклад,площина XOY і сама вісь OZ.
2.Розглянемо знову векторний простір V3 і лінійний оператор φ,який полягає в ортогональному проектуванні векторного простору V3на площину XOY. Інваріантними підпросторами будуть: площина XOY,сама вісь OZ, всі площини, які проходять через вісь OZ і всіпрямі площини XOY, які проходять через початок координат.
3. В будь-якомувекторному просторі кожен підпростір інваріантний відносно тотожного інульового оператора.
4. Вбудь-якому векторному просторі сам простір і його підпростір, який складаєтьсятільки з нульового вектора, інваріантні відносно будь-якого лінійногооператора.
Доведемо,що перетин і сума підпросторів, інваріантних відносно лінійного оператораφ, інваріантні відносно цього оператора φ.
Нехайпідпростори U1 і U2 – інваріантні відноснолінійного оператора />, і нехай />./> Тоді /> і />, а значить /> і />, тобто />. Отже, /> — інваріантний підпростірвідносно оператора />.
Нехай/>, де /> і />. Тоді /> і />, />./>Отже, /> – інваріантний підпростірвідносно оператора />.
Особливуроль відіграють одновимірні інваріантні підпростори.
2. Власнівектори і власні значення.
Означення. Власнимвектором лінійного оператора φ називається ненульовий вектор />, для якого виконуєтьсярівність />, де /> – деяке число, яке називаєтьсявласним значенням лінійного оператора, якому відповідає власний вектор />.
Властивостівласних векторів.
1. Якщо /> – власний векторлінійного оператора /> з власнимзначенням />, то вектор /> при будь-якому /> також є власним вектором зтим самим власним значенням />.
2. Якщо />, />,…,/> – власні вектори лінійногооператора />, які належать до тогосамого власного значення />, то будь-якаїх/>лінійна комбінація такожбуде власним вектором цього оператора з тим самим власним значенням />.
3. Теорема. Власні вектори, які відповідають різним власнимзначенням, лінійно незалежні.
Доведення.Нехай />, />,…,/> – власні вектори лінійногооператора />, які відповідають різнимвласним значенням />, відповідно,тобто />. Доводимо теорему методомматематичної індукції за кількістю векторів.
Для /> теорема справедлива, бо /> за означенням, і /> тоді і тільки тоді, коли />.
Нехайтеорема справедлива при />, тобто /> — лінійно незалежні.Припустимо, що
/> (1)
ідоведемо, що рівність (1) виконується тоді і тільки тоді, коли всі />.
Подіємона рівність (1) лінійним оператором />:
/>
використавшилінійність оператора />, одержимо
/>
звідси
/>. (2)
Віднімемовід рівності (2) рівність (1), помножену на />.Одержимо
/>. (3)
Заприпущенням індукції вектори /> лінійнонезалежні, тому рівність (3) виконується тоді і тільки тоді, коли всікоефіцієнти при /> дорівнюють нулю.Але за умовою /> (/>), а тому />.
Підставившиці значення /> у рівність (1), одержимо />, звідси />, бо />. Отже, рівність (1) виконуєтьсятоді і тільки тоді, коли всі />(/>) одночасно. Тому /> – лінійно незалежні.
Теоремудоведено. Повернемось до питання, як знайти власні значення і власні векторилінійного оператора. Для цього нам потрібно розглянути деякі додаткові поняття.
Характеристичнаматриця
Нехайдана квадратна матриця
/>.
Матриця
/>
називаєтьсяхарактеристичною матрицею. Детермінант цієї матриці
/>
називаєтьсяхарактеристичним многочленом.
Кореніцього многочлена називаються характеристичними числами.
Теорема. Характеристичнімногочлени подібних матриць однакові.
Доведення.Нехай />. Тоді
/>
Теоремадоведена.
Нехайлінійний оператор /> в базисі /> векторного простору /> задано матрицею
/>
і /> – власний вектор оператора/>, який відповідає власномузначенню />, тобто />.
Позначимокоординати вектора /> в базисі /> через />.
Тодіз одного боку />, а з другогобоку />.
Тоді />
або врозгорнутому вигляді
/> (4)
Звідсиодержимо систему лінійних однорідних рівнянь
/>
/>/> />
Власнийвектор /> є ненульовим розв’язкомсистеми (4´). Як відомо, однорідна система n лінійних рівнянь з nневідомими має ненульові розв’язки тоді і тільки тоді, коли їїдетермінант дорівнює нулю, тобто, коли виконується умова
/>
Такяк детермінант при транспонуванні не змінюється, то одержимо рівняння відносноневідомого />
/> (5)
Отже,ми довели теорему: кожне власне значення лінійного оператора />, заданого матрицею А,є коренем характеристичного многочлена.
Провівшиміркування знизу вверх, одержимо твердження: кожний корінь характеристичногомногочлена лінійного оператора /> будейого власним значенням.
Вході доведення теореми ми одержали схему знаходження власних значень і власнихвекторів лінійного оператора.
Приклад.Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора заданого матрицею
/>
Схемарозв’язування:
1. Складаємо характеристичну матрицю
/>.
2. Шукаємо характеристичний многочлен
/>
=/>
3. Розв’язуємо характеристичне рівняння
(2-/>
/>
Отже,власними значеннями лінійного оператора є числа 1, 2, -1.
4. Для знаходження власних векторів розв’язуємо систему рівнянь
/> тобто /> (5)
а) Шукаємовласні вектори, які відповідають власному значенню /> підставившиу (5) замість /> одиницю:
/> або в розгорнутому вигляді
/>
Рангцієї системи дорівнює 2, тому фундаментальна система її розв’язків складаєтьсяз одного розв’язку. Знаходимо його. Зліва залишаємо змінні />, а /> перенесемо в праву частинуі вважаємо її відомою: /> звідси/> Покладемо /> тоді />. Отже, одним із власнихвекторів, які відповідають власному значенню /> євектор /> Всі власні вектори, яківідповідають цьому значенню мають вигляд />,де />-будь-яке дійсне число,відмінне від нуля.
Самостійнознайти власні вектори, які відповідають власним значенням 2 і />.
Весьнабір характеристичних коренів оператора /> (причомукожний корінь береться з тією кратністю, яку він має в характеристичномурівнянні) називається спектром лінійного оператора.
Сукупністьвласних векторів оператора />, якимвідповідає одне і те саме власне значення />,збігається з сукупністю всіх ненульових розв’язків систем лінійних однорідних рівнянь.
Лінійніоператори з простим спектром
Кажуть,що лінійний оператор /> у n – вимірномупросторі /> над полем Р маєпростий спектр, якщо всі його n характеристичні корені різні.
Повернемосядо питання: чи існує базис простору />, вякому лінійний оператор /> задаєтьсядіагональною матрицею.
Нехайв просторі /> існує базис, якийскладається з власних векторів />, яківідповідають власним значенням />, відповідно.Знайдемо матрицю цього оператора в цьому базисі:
/> />
тобтооператор /> заданий діагональноюматрицею, причому по діагоналі стоять власні значення лінійного оператора, яківідповідають власним векторам базису.
Навпаки.Нехай лінійний оператор /> вдеякому базисі /> задаєтьсядовільною матрицею />.
Заозначенням матриці лінійного оператора в даному базисі />
/> звідси /> тобто вектори базису/> є власними векторамиоператора /> з власними значеннями />. Таким чином ми довели теорему:
Якщовектори базису /> є власнимивекторами лінійного оператора />, то вцьому базисі оператор /> задаєтьсядіагональною матрицею. Навпаки, якщо в деякому базисі матриця оператора /> є діагональною, то всі векторицього базису є власними векторами оператора />.
Якбачимо, матриця оператора /> вбазисі, що складається з власних векторів цього оператора, має досить простийвигляд. Саме це і обумовлює важливість ролі власних векторів, а, отже, іодновимірних інваріантних підпросторів при вивченні лінійних операторів.
Виникаєпитання: як встановити, знаючи матрицю оператора /> вдеякому базисі, чи має цей оператор власні вектори, які утворюють базиспростору тобто, чи можна оператор /> задатив деякому базисі діагональною матрицею?
Теорема. Якщо лінійнийоператор /> має простий спектр, тоіснує базис простору />, в якому цейоператор задається діагональною матрицею.
Доведення.Дано: /> – різні власні значенняоператора />, яким відповідають власнівектори />, відповідно, тобто />, і=1, 2,…, n.
Оскільки/>/>,і />, то /> – лінійно незалежні, азначить утворюють базис векторного простору />.В цьому базисі оператор /> задаєтьсядіагональною матрицею
векторортогональний інваріантний матриця
/>.
Теоремудоведено.
Зведенняматриці до діагонального вигляду
Нехай/>квадратна матриця порядку />з елементами з поля P.
Вважають,що матриця A зводиться до діагонального вигляду, якщо існує діагональнаматриця, подібна матриці A.
Частотрапляється, що треба знати, чи зводиться квадратна матриця до діагональноговигляду. На основі попередніх результатів можна довести теорему, яка встановлюєдостатні умови звідності матриці до діагонального вигляду.
Теорема. Кожна квадратнаматриця n-го порядку над полем Р, яка має в полі Р n різниххарактеристичних коренів, зводиться до діагонального вигляду, тобто подібна додіагональної матриці.
Доведення.Дано A – квадратна матриця n – гопорядку над полем P.Нехай /> — різні характеристичнікорені матриці і /> (i=1,2,… n).
Розглянемовекторний простір /> над полем P.Матриця A в деякому базисі задає деякий лінійний оператор />. Характеристичні корені /> є власними значеннямиоператора />, яким відповідають власнівектори цього оператора />, />. За властивістю власнихвекторів, які відповідають різним власним значенням вектори /> – лінійно незалежні, томувони утворюють базис простору />. Вцьому базисі матриця лінійного оператора /> маєвигляд />.
/> i A подібні, бовони задають один і той самий оператор /> врізних базисах. Діагональними елементами матриці /> єхарактеристично корені матриці A.
Знаходженнядіагональної матриці, подібної матриці A, називається зведенням матриці Aдо діагонального вигляду.
Приклад.Звести квадратну матрицю A до діагонального вигляду, якщо
/>.
Розв’язуємохарактеристичне рівняння: />
/>, />. (Розв’язати самостійно)
Отже, />.