Задача 1
Нефтеперерабатывающий заводрасполагает двумя сортами нефти:
сортом А в количестве 10единиц,
сортом В — 15 единиц.
При переработке из нефтиполучаются два материала: бензин (обозначим Б) и мазут (М).
Имеется три вариантатехнологического процесса переработки:
I: 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М
II:2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М
III:2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М
Цена бензина — 10 долл. заединицу, мазута — 1 долл. за единицу.
Определить наиболее выгодноесочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.
Решение
«выгодность» — получение максимального дохода от реализации продукции
«выбор (принятие)решения» состоит в определении того, какую технологию и сколько разприменить.
Обозначим неизвестныевеличины:
хi—количество использования i-готехнологического процесса (i=1,2,3).
Остальные параметры модели(запасы сортов нефти, цены бензина и мазута) известны.
Для вектора х=(х1, х2, х3),
выручка завода равна (32х1+15х2 +12х3) долл.
Здесь 32 долл. — это доход,полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл.·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.).
Аналогичный смысл имеюткоэффициенты 15 и 12 для второго и третьего процессов.
Учет запаса нефти приводит кследующим условиям:
для сорта А: />
для сорта В:/>,
где в первом неравенствекоэффициенты 1, 2, 2 — это нормы расхода нефти сорта А для одноразовогоприменения технологических процессов I, II, III соответственно.
Математическая модель
Найти такой вектор х = (х1, х2, х3),чтобы
максимизировать f(x) =32х1+15х2+12х3
при выполнении условий:
/>
/>
/>.
/>Сокращеннаязапись:
/>
Получили задачу линейногопрограммирования.
Модель (1.4.2.) является примеромоптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определеннымиэлементами).
На дом
/>Пример. Инвестору требуется определить наилучшийнабор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их нанекоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском длясебя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j — го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибыльюи фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль наодин доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданнойвеличины b.
Обозначим известныепараметры задачи:
n — число разновидностей ценных бумаг;
аj — фактическая прибыль (случайное число) отj-го вида ценной бумаги
/>j — ожидаемая прибыль от j-го вида ценнойбумаги.
Обозначим неизвестные величины:
yj — средства, выделенные для приобретенияценных бумаг вида j.
По нашим обозначениям всяинвестированная сумма выражается как />
Для упрощения модели введемновые величины
/>
Таким образом, хi — это доля от всех средств, выделяемаядля приобретения ценных бумаг вида j.
Ясно, что
/>
Из условия задачи видно, чтоцель инвестора — достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском.
Содержательно риск — это мераотклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить сковариацией.
/>
прибыли для ценных бумаг видаi и вида j. Здесь М — обозначение математического ожидания.
Математическая модель />
min />
при ограничениях
/>
Получили модель Марковица дляоптимизации структуры портфеля ценных бумаг.
Модель (1.4.3.) являетсяпримеров оптимизационной модели стохастического типа (с элементамислучайности).
Задача 2
Бройлерное хозяйствоптицеводческой фермы насчитывает 20000цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и, после соответствующейобработки, поступают в продажу. Хотя недельный расход корма для цыплят зависитот их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) онсоставляет 1 фунт.
Для того чтобы цыплятадостигли к восьмой неделе необходимых весовых кондиций, кормовой рацион долженудовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могутсоответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов. В качествеингредиентов рассмотрим три: известняк, зерно и соевые бобы. Требования кпитательности рациона сформулируем, учитывая три вида питательных веществ:кальций, белок и клетчатку. В таблице приведены данные, характеризующиесодержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельнуюстоимость каждого ингредиента. Заметим, что известняк не содержит ни белка, никлетчатки.
/>
Смесь должна содержать:
1. не менее 0,8%, но не более 1,2%кальция;
2. не менее 22% белка;
3. не более 5% клетчатки.
Требуется определить дляптицеводческой фермы количество (в фунтах) каждого из трех ингредиентов,образующих смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общемурасходу кормовой смеси и ее питательности.
Решение
Введем следующие обозначения:
x1 — содержаниеизвестняка (в фунтах) в смеси,
/> — содержание зерна (в фунтах) всмеси,
/> — содержание соевых бобов (вфунтах) в смеси.
В качестве (минимизируемой)целевой функции выступает общая стоимость смеси, определяемая по формуле />.
Минимальный общий вес смеси,еженедельно расходуемой на кормление 20000 цыплятравен 20000 фунтов. Так как />, />и />представляют веса трехингредиентов, используемых для составления смеси, то общий вес смеси будетравен />,причем эта сумма не должна быть меньше 20000фунтов.
Теперь обратим внимание натребования, предъявляемые к смеси с точки зрения питательности. Так как общийрасход кормов равен />, то содержание кальция должнонаходиться в пределах от 0,008/> до 0,012/>. В соответствии с таблицей исходных данных содержаниекальция, обусловленное включением в смесь />фунтов известняка, />фунтов зерна и />фунтов соевыхбобов, равно />. Отсюда следует, что ограничения,связанные с содержанием кальция в кормовом рационе, можно представить вследующем виде:
1. смесь должна содержатьне менее 0,8% кальция:
/>
2. смесь должна содержатьне более 1,2% кальция:
/>
Эти ограничения можно записатьв более простой форме, объединив в левых частях неравенств члены, содержащие />, />и />:
/>
Аналогично записываютсяусловия по оставшимся питательным веществам.
Окончательная математическаяформулировка задачи может быть представлена в следующем виде:
/>Задача 3
Промышленная фирма производитизделие, представляющее собой сборку из трех различных узлов. Эти узлыизготовляются на двух заводах. Из-за различий в составе технологическогооборудования производительность заводов по выпуску каждого из трех видов узловнеодинакова. В приводимой ниже таблице содержатся исходные данные,характеризующие как производительность заводов по выпуску каждого из узлов, таки максимальный суммарный ресурс времени, которым в течение недели располагаеткаждый из заводов для производства этих узлов.
/>
Идеальной является такаяситуация, когда производственные мощности обоих заводов используются такимобразом, что в итоге обеспечивается выпуск одинакового количества каждого извидов узлов. Однако этого трудно добиться из-за различий в производительностизаводов. Более реальная цель состоит в том, чтобы максимизировать выпускизделий, что, по существу, эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающеговследствие некомплектности поставки по одному или двум видам узлов.
Возможный объем производствакаждого из трех видов узлов зависит от того, какой фонд времени выделяет каждыйзавод для их изготовления.
Требуется определитьеженедельные затраты времени (в часах) на производство каждого из трех видовузлов на каждом заводе, не превышающие в сумме временные ресурсы каждого заводаи обеспечивающие максимальный выпуск изделий.
Решение.
Пусть /> — недельный фонд времени (вчасах), выделяемый на заводе i дляпроизводства узла j. Тогда объемы производства каждого изтрех комплектующих узлов будут равны
/>
Так как в конечной сборкекаждый из комплектующих узлов представлен в одном экземпляре, то количествоконечных изделий должно быть равно количеству комплектующих узлов, объемпроизводства которых минимален. Поэтому количество конечных изделий можновыразить через число комплектующих узлов следующим образом:
/>
Условия рассматриваемой задачиустанавливают ограничения только на фонд времени, которым располагает каждыйзавод. Тогда математическую модель можно представить в следующем виде:
/>Задача 4
На предприятии производятсядва вида продукции из двух видов сырья. Производство единицы продукта 1 (первого вида) приносит предприятию доход, равный 10 единицам, апроизводство единицы продукта 2 (второговида) — доход в 8 единиц. Переработка сырья производится аппаратами двух типов,которые условно называются в дальнейшем машинами и агрегатами. На переработкесырья первого вида занято пять машин, причем производственные условия недопускают, чтобы суммарное время использования машин на этой работе превышало40 ч (за некоторый период). На переработке сырья второго вида занято 25агрегатов; суммарное время их использования в течение того же периода не должнопревышать 200 ч. При производстве единицы продукта 1 на переработку сырьяпервого вида затрачивается 4 ч и на переработку сырья второго вида — 9 ч, в товремя как производство единицы продукта 2требует затраты 3 ч на переработку каждого из видов сырья.
На предприятии принимаетсярешение увеличить выпуск продукции как за счет приобретения нового оборудованиятех типов, что и имеющиеся, так и за счет сверхурочных часов работы.
Максимальное числосверхурочных часов, приходящихся на период, равно восьми, причем эти часыдолжны распределяться на переработку первого и второго видов сырья равномерно.Доплата за час сверхурочной работы на переработке любого из видов сырьяодинакова; полная оплата за час сверхурочной работы равна 2 единицам. Повышениезатрат за период, связанный с приобретением одной машины, перерабатывающейсырье первого вида, составляет 10 единиц. Агрегаты, перерабатывающие сырьевторого вида, дополнительно не приобретаются.
Необходимо максимизироватьдоход от выпуска продукции.
Решение
Задачу максимизации дохода от выпуска продукцииможно записать как задачу математического программирования:
/>
Здесь через />и />обозначенысоответственно искомые количества производимых продуктов первого и второговидов, через /> — количество приобретаемыхдополнительных машин для переработки сырья первого вида и через /> — число часовсверхурочной работы. Целевая функция представляет собой величину суммарногодохода. Первое ограничение связано с невозможностью превысить лимит времени напереработку сырья первого вида, второе — с невозможностью превысить лимитвремени на переработку сырья второго вида, третье ограничение и условиенеотрицательности переменных самоочевидны. Задача 5
Для обеспечения нормальнойработы оборудования необходимо закупить n видовзапасных частей на сумму d рублей. Стоимость j-ой детали равна />, потребность в ней есть случайнаявеличина />,имеющая показательный закон распределения с параметром />. Использование j-ой детали позволяет получить прибыль />. Отсутствие детали в случаенеобходимости приводит к убыткам />. Если деталь не используется вданном периоде, то убыток составляет />. Как распределить имеющиесясредства, чтобы общая прибыль была наибольшей?
Решение
Пусть /> — количество закупленных деталей j-го вида. Так как потребность в этих деталях равна />, то доходы и издержкиопределяются в зависимости от соотношения между величинами />и />:
/>
Значит, прибыль от деталей j-го вида можно определить следующим образом:
/>
Но так как /> — величина случайная, тои прибыль – тоже случайная величина. Следовательно, мы должны максимизироватьне саму прибыль, а ее математическое ожидание
/>.
Здесь
/> —
плотность распределенияслучайной величины />. Тогда
/>.
Общая ожидаемая прибыльвычисляется как сумма математических ожиданий прибылей от деталей всех видов.Ограничения задачи связаны с невозможностью превысить сумму, выделенную назакупку деталей. Кроме того, из характера переменных />вытекают условия ихнеотрицательности и целочисленности. В результате получаем следующуюматематическую модель:
/>Задача 6
Фирма А производит некоторый товар, который имеет спрос в течение n единиц времени. Этот товар поступает на рынок в моментi (i=1,…,n). Для конкурентной борьбы с фирмой А дочерняя фирма В концерна Д, не заботясь о собственных доходах, производит аналогичный товар,который поступает на рынок в момент j (j=1,…,n).Ее цель – разорение первой фирмы, после чего ей будет легко, опираясь накапитал D, наверстать упущенное. Для этой целипроще всего продавать товары по пониженной цене. Однако имеются законы(соглашения), запрещающие поступать подобным образом. В этом случаеединственным законным инструментом этой фирмы является выбор моментапоступления товара на рынок. Будем считать, что качество конкурирующих товаровзависит от времени их поступления на рынок относительно друг друга – чемпозднее товар выбрасывается на рынок, тем качество его выше, а реализуетсятолько товар высшего качества. Каждая фирма должна заранее готовить своепроизводство к выпуску и продаже товара в выбранный период времени. А чтобыразорить первую фирму, вторая фирма должна минимизировать ее доходы
Решение
Налицо столкновение интересовдвух фирм — А и В.Наиболее подходящим математическим аппаратом для моделирования их поведенияявляется теория игр.
Изложенная в условии задачиситуация конкуренции двух одинаковых фирм является антагонистическимконфликтом. Для построения математической модели этого конфликта — конечнойантагонистической игры — примем за игроков 1 и 2 соответственно фирмы А и В. Очевидно, что множества чистых стратегий игроков 1 и 2 — это множества />: фирма А выбирает i-ый момент поступления товара на рынок,стараясь максимизировать свой доход, а фирма Ввыбирает j-ый момент, преследуя прямопротивоположные цели — минимизировать доход фирмы А.
Обозначим через c доход от продажи товара в единицу времени. Тогда, если фирма А выбрасывает свой товар в момент i, афирма В — в момент j>i, то фирма А, не имеяконкурента в течение j-i единиц времени, получит за это времядоход c(j-i). В момент времени j на рынке появляется товар фирмы В,который имеет более высокое качество. Поэтому с момента j фирма А теряет рынок и в дальнейшем дохода неполучает. Если же i>j, то фирма А, выбросив на рынок более качественный товар, будет получать доходв течение всего отрезка [i,n]. Так как число оставшихся единиц времениравно n-i+1, то доход фирмы А будет равен c(n-i+1). В том случае, когда i=j, т.е. на рынок одновременно поступают оба товара, эти товарыимеют одинаковый спрос, и поэтому фирма А получит доход,равный />. Врезультате функцию выигрыша игрока 1 можнопредставить в следующем виде:
/>
Получаем матричную игру />, определяемуюматрицей />.Задача 7
Автотранспортная компания для перевозки грузов располагает четырьмяавтомашинами следующей грузоподъемности: машина 1 — 2 т, машина 2 и машина 3 — по 5 т, машина 4 — 8 т. Длякаждой автомашины известна стоимость ее эксплуатации за день: для машины 1 — 15 единиц, для машины 2 — 20единиц, для машины 3 — 19 единиц, для машины 4 — 30 единиц. Необходимо в течение одного дня развести грузычетырем получателям. В книжный магазин нужно доставить груз весом в 1 т, вмебельный магазин — в 3 т, в фермерское хозяйство — в 5 т и на сталелитейныйзавод — в 8 т. Предположим, что одна и та же машина не может доставлять груз вкнижный или мебельный магазин и на ферму. Требуется так назначить автомашиныдля доставки всех грузов, чтобы суммарные затраты были минимальными.
Решение
Задачу минимизации суммарныхзатрат на перевозку грузов можно записать как задачу математическогопрограммирования:
/>
Здесь через xij обозначен факт поставки i-му потребителю груза j-оймашиной, т.е.
/>
Все получатели грузовпронумерованы: 1 — книжный магазин, 2 — мебельный магазин, 3 — фермерское хозяйство, 4 — сталелитейный завод. Целевая функцияпредставляет собой суммарные затраты. Первые четыре ограничения связаны снеобходимостью доставить получателям нужное им количество груза, следующие — сневозможностью одновременного использования одной машины на некоторыхмаршрутах. Задача 8
Пусть экономика представлена двумя отраслями народного хозяйства,каждая из которых выпускает свою продукцию и затрачивает на воспроизводствотруд, средства труда и предметы труда. Валовый продукт каждой отрасли за годраспределяется соответственно на конечный продукт и производственноепотребление, причем в процессе производства данной отрасли может применяться продукцияобеих отраслей. Известно, что потребление одной отраслью продукции другойпропорционально объему валового выпуска первой из них. Конечный продукт обеихотраслей делится на валовые капитальные вложения и непроизводственноепотребление. Без учета амортизационных отчислений, можно считать, что валовыекапитальные вложения из одной отрасли в другую каждый год пропорциональныприросту валовой продукции второй отрасли.
Определить, как должнафункционировать рассматриваемая экономическая система во времени.
Решение
Заметим, что посколькукритерий оптимальности в задаче не задан, то математическая модель будетописательной. Обозначим через />валовую продукцию отрасли i в год t, через /> — ее конечный продукт в год t, а через /> — производственное потреблениеотраслью i продукции отрасли j в год t (все величины здесь и далее выражены встоимостном эквиваленте). Из условия задачи следует
/>.
Пусть /> — норма затрат продукции j-ой отрасли на производство единицы продукции i-ой отрасли. Тогда
/>.
Обозначив /> — валовые капитальные вложенияотрасли i в отрасль j в год t, /> — непроизводственное потребление отраслиi в год t,получим
/>.
Пропорциональность валовыхкапитальных вложений приросту валовой продукции запишем в виде
/>.
Окончательно, получаемдвухпродуктовую модель экономики
/>.
Задавая в начальный момент />и предполагаяизвестными во времени потребления />, i=1,2, видим, что задача развития экономики, заданной двумяотраслями, сводится к системе линейных неоднородных уравнений.