СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………стр
Исследованиемоделей:
Линейнаярегрессивная модель………………………………стр
Степеннаярегрессивная модель……………………………… стр
Показательнаярегрессивная модель………………………… стр
Регрессивнаямодель равносторонней гиперболы………… стр
Заключение…………………………………………………..…стр
Списокиспользованной литературы…………………….….стр
ВВЕДЕНИЕ.
В любом из современных курсовэкономики в той или иной степени используется математический аппарат:анализируются графики различных зависимостей, проводится математическаяобработка тех или иных статистических данных и т.д. С переходом отечественнойэкономики на рыночные отношения роль математических методов многократновозрастает. Действительно, центральная проблема экономики — это проблемарационального выбора. В плановой экономике (по крайней мере на микроуровне,т.е. на уровне отдельного предприятия) нет выбора, а значит, рольматематического подхода сильно принижена. В условиях же рыночной экономики,когда каждой хозяйственной единице надо самостоятельно принимать решение, т.е. делатьвыбор, становится необходимым математический расчет. Поэтому рольматематических методов в экономике постоянно возрастает.
В чем видятся преимуществаматематического подхода? Отметим лишь два момента.
1. Возрастает необходимость в уточнении понятий. Математика по сутине может оперировать с нечетко, а тем более неконкретно определеннымипонятиями. Следовательно, если мы хотим использовать математические методы, тодолжны с самого начала четко сформулировать задачу. В том числе четкосформулировать все сделанные допущения.
2. Сильная продвинутость математических теорий (линейная алгебра,математический анализ, теория вероятностей, корреляционный и регрессионныйанализ, дифференциальные уравнения и т.д.) предоставляет к нашим услугам оченьмощный и развитый математический аппарат.
Разумеется, в использованииматематических методов есть свои слабые стороны. При попытке формализоватьэкономическую ситуацию может получиться очень сложная математическая задача.Для того чтобы ее упростить, приходится вводить новые допущения, зачастую неоправданные с точки зрения экономики. Поэтому исследователя подстерегаетопасность заниматься математической техникой вместо анализа подлиннойэкономической ситуации. Главное и, по существу, единственное средство борьбыпротив этого — проверка опытными данными выводов математической теории.
Для изучения различныхэкономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания,называемые экономическими моделями. Примерами экономических моделей являютсямодели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста,модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие.Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющиеисследуемое явление и отбрасывают детали, несущественные для решенияпоставленной проблемы. Формализация основных особенностей функционированияэкономических объектов позволяет оценить возможные последствия воздействия наних и использовать такие оценки в управлении.
Экономические модели позволяютвыявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этогопредсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров.Предсказание будущих изменений, например, повышение обменного курса, ухудшениеэкономической конъюнктуры, падение прибыли может опираться лишь на интуицию.Однако при этом могут быть упущены, неправильно определены или неверно оцененыважные взаимосвязи экономических показателей, влияющие на рассматриваемуюситуацию. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно,что позволяет получить более качественный и надежный прогноз.
Для любого экономическогосубъекта возможность прогнозирования ситуации означает, прежде всего, получениелучших результатов или избежание потерь, в том числе и в государственнойполитике.
Под экономико-математическоймоделью понимается математическое описание исследуемого экономического процессаи объекта. Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактномвиде с помощью математических соотношений. Использование математическогомоделирования в экономике позволяет углубить количественный экономическийанализ, расширить область экономической информации, интенсифицироватьэкономические расчеты.
Применениеэкономико-математических методов и моделей позволяет существенно улучшитькачество планирования и получить дополнительный эффект без вовлечения впроизводство дополнительных ресурсов.
Дляисследования и выбора рабочей модели используется теоретическая часть:
Парнаярегрессия- это уравнение связи двух переменных у и х: у=ƒ(х)
Гдеу-зависимая переменная (результативный признак);
Х- независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).
Линейнаярегрессия: у=а+bx+ε.
Нелинейныерегрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенныхв анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам.
Регрессии,нелинейные по объясняющим переменным:
*полиномыразных степеней у=а+b1x+b2x²+ b3x³+ε;
b
*равносторонняягипербола у= а+— +ε.
х
Регрессии,нелинейные по оцениваемым параметрам:
b
Степенная у=а* ∙ х *∙ ε;
x
Показательная у=а*∙b*∙ε;
а+b+x
Экспоненциальная у=е *∙ε;
Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценкипараметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьшихквадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которыхсумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у оттеоретических ŷ х минимальна т.е
∑(у-ŷх)²→min
Длялинейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным разрешается следующаясистема относительно а и b:
nа+b∑x=∑у
а∑x+b∑x²=∑ух
Можновоспользоваться формулами, которые вытекают из этой системы:
na+b∑x=∑y
a∑x+b∑x²=∑yx
иливоспользуемся готовыми формулами, которые вытекают из системы :
а=у-b∙x,
cov(х, у) ух-у∙x
/> b= σ²х = х²-х²,
Теснотусвязи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции rxy для линейной регрессии (-l≤rxy≤l):
/>/>/> σх cov(x,y) yx – y* x
/>/>/> rxy = b σy = σхσy = σхσy ,
индекскорреляции ρxy для нелинейной регрессии (0≤ρxy≤l):
σ²ост ∑(y-ỹх)²
/>/>ρxy=√ = √ 1- ,
σ²у ∑(y-у)²
Оценкукачества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а так жесредняя ошибка аппроксимации.
Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений отфактических:
/>/> 1 y-ỹ
/>/>А= ∑ ∙100%
n y
Допустимый предел значений А – не более 8-10%
Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических,рассчитанных по уравнению регрессии т.е у и ỹх. Чем меньшеэто отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным,это лучшее качество модели. Величина отклонений фактических и расчетныхзначений результативного признака( y-ỹх) по каждому наблюдению представляет собой ошибкуаппроксимации. Их число соответствует объему совокупности. В отдельных случаяхошибка аппроксимации может оказаться равной нулю. Для сравнения используютсявеличины отклонений, выраженные в процентах к фактическим значениям.
Поскольку ( y-ỹх) может быть как величиной положительной так иотрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принятоопределять в процентах по модулю.
Отклонения ( y-ỹх) можнорассматривать как абсолютную ошибку аппроксимации, а
/>/>(y-ỹх)
/> *100
у
как относительную ошибку аппроксимации. Что б иметь общее суждение о качествемодели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднююошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую:
/>/> l (y-ỹх)
/>А= n ∑ у ∙100
/> Задача дисперсионного анализа состоит ванализе дисперсии зависимой переменной:
∑(у-у)²=∑(ỹх-у)² + ∑(у-ỹх)²,
где ∑(у-у)² общая сумма квадратов отклонений;
∑(ỹх-у)² суммаквадратов отклонений, обусловленная регрессией
∑(у-ỹх)² остаточнаясумма квадратов отклонений.
Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативногопризнака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R²:
/> ∑(ỹx-y)²
R²= ∑(y-y)²
Коэффициентдетерминации- квадрат коэффициентаили индекса корреляции.
F-mecm-оцениваниекачества уровнения регрессии- состоит в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического
Fфакт и критического(табличного) Fтабл значений FкритерияФишера. Fфакт-
определяетсяиз соотношения значений факторной и остаточной дисперсией, рассчитанных на однустепень свободы:
∑(ỹx-y)²/m r²xy
/>/>Fфакт= = (n-2)
∑(y-ỹ)²/(n-m-1) 1-r²xy
n- число еденицсовокупности;
m- числопараметров при переменных х.
Fтабл- это максимально возможное значение критерия подвлиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а
Уровеньзначимости а вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, чтоона верна. Обычно а принимается равной 0,05 или 0,01.
Если FтаблFфактто Но – гипотезао случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается ихстатистическая значимость и надежность. Если Fтабл>Fфакт, тогипотеза Но не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежностьуравнения регрессии.
УСЛОВИЕ
Попяти городам известны значения 2х признаков: табл.№1город Средний доход сельхоз-хозяйств в % Средний прирост КРС Красноярск 72,8 47,1 Брянск 63,2 59,2 Армавир 61,9 50,2 Ростов 58,7 63,8 Киев 57,0 60,8
Требуется:
1)для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций(линейной, степенной, показательной, равносторонней гиперболы).
2)оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации А и F-критерии Фишера.
ЛИНЕЙНАЯРЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ
Для расчета параметров а и b линейной регрессии у=а+b∙x , решаем системунормальных уравнений относительно а и b:
n∙a+b∙∑x=∑y
yx- y∙x
/>a∙∑x+b∙∑x²=∑y∙x получаем b= σ²x
табл.№2№п/п у х ух x² y² ŷx у – ŷx Аi 1 72,8 47,1 3428,88 2218,41 5299,84 68,87 3,93 5,30 2 63,2 59,2 3741,44 3504,64 3994,24 60,64 2,56 4,04 3 61,9 50,2 3107,38 2520,04 3831,61 66,76 -4,9 7,80 4 58,7 63,8 3745,06 4070,44 3445,69 57,51 1,13 1,90 5 57,0 60,8 3465,6 3696,64 3249 59,55 -2,55 4,47 Итого 313,6 281,1 17488,36 16010,17 19820,38 23,51 Среднее значение 62,72 56,22 3497,672 3202,034 3964,076 4,7 σ 5,5025 6,43 σ² 30,2776 41,34
Дисперсияполучается, по формуле
1
/>σy²= n ∑(yi-y)²
σy²=3964.076-62.72²=30.2776
σх²=3202.034-56.22²=41.3456
ух-у∙х
/>b= σ²x =(3497,672-62,72∙56,22)/41,3456=0,68
а=у-b∙x=62,72+0,68∙56,22=100,9
уравнениерегрессии ŷ=100,9-0,68х
ŷ1=100,9-0,68∙47,1=68,87
ŷ2=100,9-0,68∙59,2=60,64
ŷ3=100,9-0,68*50,2=66,76
ŷ4=100,9-0,68*63,8=57,51
ŷ5=100,9-0,68*60,8=59,55
Считаем линейный коэффициент парной корреляции
rху=b∙σx∕ σy=0,68*6,43/5,5025=0,79следовательно, связь сильная прямая
rху²=0.79²=0.62- коэффициент детерминации
Вариация результата на 62% объясняется вариацией фактора х. Подставляя вуравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные)значения ŷx и занесем их в таблицу. Найдем величину средней ошибкиаппроксимации:
|yi-ŷxi|
Аi= yi *100%
/>А1=3,93/72,8*100%=5,3%
А2=2,56/63,2*100%=4,04%
А3=|-4,9|/ 61,9*100%=7,8%
А4=1,13/58,7*100%=1,9%
А5=|-2,55|/57,0*100%=4,47%
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 4,7%
Покаждому наблюдению вычислим величину отклонения. Полученные данные занесем втаблицу
У1-ŷ1=72,8-68,87=3,93
У2-ŷ2=63,2-60,64=2,56
У3-ŷ3=61,9-66,76=-4,9
У4-ŷ4=58,7-57,57=1,13
У5-ŷ5=57,0-59,55=-2,55
РассчитываемF критерий
∑(ỹx-y)²/m r²xy
/>/>Fфакт= = =0,62/(1-0,62)*(5-2)=4,89
∑(y-ỹ)²/(n-m-1) 1-r²xy (n-2)
т.к Fтабл.α=0,05 =10,13следовательно Fтабл>Fфакт отсюда следует, что гипотеза Но принимается.Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленнойзависимости и небольшим числом наблюдений.
ПОСТРОЕНИЕСТЕПЕННОЙ РЕГРЕССИВНОЙ МОДЕЛИ
У=а*х предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация производитсяпутем логарифмирования обеих частей уравнения:
Lg y=lg a+b* lg x;
Y=C+b*X где
Y=lg y.,C= lg a., X= lg x
Табл.№3№ п/п Y X YX Y² X² ŷx yi-ŷx (yi-ŷx)² Ai 1 1,86 1,67 3,1062 3,4596 2,7889 68,61 4,19 17,6 5,76 2 1,80 1,77 3,186 3,24 3,1329 60,24 2,96 8,76 4,68 3 1,79 1,70 3,043 3,2041 2,89 66,17 -4,27 18,23 6,90 4 1,77 1,80 3,186 3,1329 3,24 57,72 0,98 0,96 1,67 5 1,76 1,78 3,1328 3,0976 3,1684 59,33 -2,33 5,43 4,09 Итого 8,98 8,72 15,654 16,134 15,22 50,98 23,1 Сред.знач 1,796 1,744 3,1308 3,22 3,044 10,196 4,62 σ 0,3010 0,05 σ² 0,0906 0,0025
Рассчитаемσ:
1
/>σ²x= n ∑(хi-х)²=3,044-1,744²=0,0025
1
/>σy²= n ∑(yi-y)²=3,22-1,769²=0,0906
вычислимзначения С и b по формуле:
b= yx-y∙x =(3,1308-1,796*1,744)/0,0025= -0,5696
/>
σ²x
С=Y-b∙X=1,796+0,5696*1,744=2,7894
Получим линейное уравнение Ỹ=2,7894-0,5696*Х, после потенцирования
2,7894 -0,5696 -0,5696
получим:ŷ=10 *х =615,7 *х
Подставляяв данное уравнение фактические значения х, получаем теоритические значениярезультата ŷx. По ним рассчитываем показатели: тесноты связи – индекскорреляции ρxy и среднюю ошибку аппроксимации Аi
2,7894
Ŷ1=10 *47,1=68,61
2,7894
Ŷ2=10 *59,2=60,24
2,7894
Ŷ3=10 *50,2=66,17
2,7894
Ŷ4=10 *63,8=57,72
2,7894
Ŷ5=10 *60,8=59,33 далее рассчитаем Аi
/>/> l (yi-ỹхi)
/>/>/>А= n ∑ Аi= уi ∙100%
А1=4,19/72,8*100%=5,76%
А2=2,96/63,2*100%=4,68%
А3=4,27/61,9*100%=6,90%
А4=0,98/58,7*100%=1,67%
А5=2,33/57,0*100%=4,09%
ρxy=√l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√l-10,196/30,2776=0,81
определимкоэффициент по формуле детерминации:
r²xy=(Pxy)²=(0,81)²=0,6561
/>
Аi=4,62%
Характеристика степенной модели указывают, что она несколько лучше линейнойфункции описывает взаимосвязь.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯРЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ
Построению уравнения показательной кривой у=а ·bx предшествует процедуралинеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:
Lg y=lg a+x*lgb
Y=C+Bx где,
Y=lg y., C=lg a., B=lgb
Табл.№4№ п/п Y X YX Y² X² ŷx yi-ŷx (yi-ŷx)² Ai 1 1,86 47,1 87,606 3,4596 221,41 67,96 4,84 23,42 6,65 2 1,80 59,2 106,56 3,24 3504,64 60,18 3,02 9,12 4,77 3 1,79 50,2 89,858 3,2041 2520,04 65,87 -3,97 15,76 6,41 4 1,77 63,8 112,926 3,1329 4070,44 57,45 1,25 1,56 2,12 5 1,76 60,8 107,008 3,0976 3696,64 59,22 -2,22 4,92 3,89 Итого 8,98 281,1 503,958 16,1342 16010,17 310,68 2,92 54,78 23,84 Сред.знач 1,796 56,22 100,7916 3,2268 3202,034 4,77 σ 0,037 6,4 σ² 0,0012 41,34
Значенияпараметров регрессии А. и В составили:/> /> /> /> /> /> /> /> /> />
b= Υ·x — Υ· x =(100,7916-1,796*56,22)/41,34=-0,0043
/> σ²x
/>
А=Υ-В* х=1,796+0,0043*56,22=2,0378
Полученолинейное уравнение: Ỹ=2,0378-0,0043* х далее, исходя из этогоуравнения произведем потенцирование и запишем его в обычной форме
2,0378 -0,0043 * х х
ŷ/>=10 *10 =109,1*0,99
47,1
ŷ1=109,1*0,99 =67,96
59,2
ŷ2=109,1*0,99 =60,18
50,2
ŷ3=109,1*0,99 =65,87
63,8
ŷ4=109,1*0,99 =57,45
60,8
ŷ5=109,1*0,99 =59,22
рассчитаемАi
/>/> l (yi-ỹхi)
/>/>/>А= n ∑ Аi= уi ∙100%
А1=4,84/72,8*100%=6,65%
А2=3,02/63,2*100%=4,77%
А3=3,97/61,9*100%=6,41%
А4=1,25/58,7*100%=2,12%
А5=|2,22/57,0*100%=3,89%
/>
Аi=4,77%
Теснотусвязи оцениваем через индекс корреляции:
ρxy=√l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√l-10,95/30,2776=0,8
Связьумеренная, но немного хуже чем в предыдущем случае.
Коэффициентдетерминации: r²xy=(Pxy)²=(0,8)²=0,64.
Аi=4,77%.Показательная функция чуть хуже, чем степенная- она описывает изучаемуюзависимость.
РЕГРЕССИВНАЯМОДЕЛЬ РАВНОСТОРОННЕЙ ГИПЕРБОЛЫ.
1
/> Уравнение равносторонней гиперболы у=а+b х линеаризуется при замене
1
/>Z= х , тогда уравнение равносторонней гиперболы принимает следующий вид: у=а+b*z
Табл.№5№ п/п Y X YX Y² X² ŷx yi-ŷx (yi-ŷx)² Ai 1 72,8 0,021 1,52 0,000441 5299,84 67,63 5,17 26,72 7,1 2 63,2 0,017 1,07 0,000289 3994,24 61,85 1,35 1,82 2,14 3 61,9 0,019 1,17 0,000361 3831,61 64,74 -2,84 8,06 4,58 4 58,7 0,015 0,88 0,000225 3445,69 58,95 -0,25 0,06 0,42 5 57,0 0,016 0,91 0,000256 3249 60,40 -3,4 11,56 5,96 Итого 313,6 0,009 5,55 0,001572 19820,38 313,6 0,03 48,22 20,2
Сред
знач 62,72 0,018 1,11 0,000314 3964,076 9,644 4,04 σ 5,5 0,0021 σ² 30,28 0,00000424
1
/>/>σy²= n ∑( yi – y )²= 3964,076 — 62,72²=30,2776
σ²z=0,000314 – 0,0176²=0,00000424
значенияпараметров регрессии а и b составили:
/>/>b= y·z – y · z =(1,11-62,72*0,0176)/0,00000424 = 1445,28
/> σ²z
/>/>а=y – b * z = 62,72-1445,28*0,0176=37,28,получено уравнение
ŷ=37,28+1445,28*z
ŷ1=37,28+1445,28*0,021=67,63
ŷ2=37,28=1445,28*0,017=61,85
ŷ3=37,28=1445,28*0,019=64,74
ŷ4=37,28=1445,28*0,015=58,95
ŷ5=37,28=1445,28*0,016=60,40
Индекскорреляции: ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√l-9,644/30,2776=0,8256
Связьтесная, но хуже чем в предыдущих моделях.
r²xy=(Pxy)²=(0,82)²=0,6816
/>
/>/> А=4,04%, т.е остается на допустимом уровне.
P²xy n-m-l 0,6816 0,6561
/>/>/>/>Fфакт= l-P²xy * m = l- 0,6816 *3 = 0,3184 *3 =6,18
Т.кFтабл.α=0,05=10,13следовательно FфактFтабл отсюдаследует, что гипотеза Но принимается. Этот результат можно объяснитьсравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числомнаблюдений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключении проанализируем полученные в курсовойработе результаты исследований и выберем рабочую модель.
Экономический анализ моделей, по результатамисследования получил следующие значения:
Коэффициент парной корреляции rxy= 0,79 улинейной модели;
Индекса корреляции Pxy =0,81 у степенной модели;
Индекса корреляции Pxy =0,80 у показательной модели;
Индекса корреляции Pxy =0,82 у модели равностороннейгиперболы.
Данные индексы показывают, что связь у(х)(среднесуточная производительность труда от стоимости основных производственныхфондов) прямая, тесная, высокая.
С экономической точки зрения, все модели достаточнохороши, т.е у всех моделей при увеличении расходов на подготовку и освоениепроизводства – производительность труда увеличивается. Это значит что на данныхпредприятиях есть резервы для расширения производства, резервы для введенияновых технологий с целью увеличения прибыли.
/>Руководствуясь целью курсовой работы можно сделать вывод, что из всехрассмотренных моделей линейная модель лучше всех отражает экономический смысл.А теперь сравним регрессивные модели по средней ошибке аппроксимации А, которая показывает, на сколько фактические значения отличаются оттеоретических рассчитанных по уравнению регрессии т.е у и ŷx:
У линейной модели А1=4,7%;
/>/>У степенной модели А2=4,62%;
У показательной модели А3=4,77%;
/>У равносторонней гиперболы А4=4,04%.
Средняяошибка аппроксимации А1,А2,А3,А4 находятся в допустимом пределе.
Вывод: чем меньше это отличие, тем ближе теоретическиезначения подходят к эмпирическим данным (лучшее качество модели). По расчетнымданным моей работы показательная модель имеет лучшее качество. Сравниваярегрессивные модели по коэффициенту детерминации r²xy линейной,степенной. Показательной и равносторонней гиперболы видим, что статистическиехарактеристики модели равносторонней гиперболы превосходят аналогичныехарактеристика других моделей, а именно: коэффициент детерминации у линейноймодели равен 0,62; у степенной 0,6561; у показательной 0,64 и у равностороннейгиперболы 0,6816. Это означает, что факторы, вошедшие в модель равностороннейгиперболы. Объясняют изменение производительности труда на 68,16%, тогда какфакторы, вошедшие в линейную модель на 62%, в показательную на 64% и встепенную на 65,61%, следовательно, значения, полученные с помощью коэффициентадетерминации модели равносторонней гиперболы более близки к фактическим. Наосновании этого, модель равносторонней гиперболы выбирается за рабочую модель вданном примере.
Список используемой литературы:
1) А.М.Беренская – Курс лекций потеме «Математическое моделирование»
2) М.Ш.Кремер –«Исследование операцийв эконометрике»
3) И.И.Елисеева — «Практикум поэконометрике»
4) И.И.Елисеева — «Эконометрика»