Изучение геометрии на уроках математики в 5-6 классах

Дипломнаяработа
По теме:
Изучениегеометрии на уроках математики в 5-6 классах

Оглавление:
Введение
Глава 1. Роль изучения геометрии вформировании общего образования школьников
§1. Развитие геометрии как школьногопредмета
1.1 История российскогогеометрического образования до начала ХХ века
1.2 Основные этапы развитиягеометрического образования в советской школе 1917-1991)
§2. Роль изучения геометрии
§3. Психолого-педагогическаяхарактеристика детей 11-13 лет
§4. Анализ действующих учебниковматематики на предмет содержания геометрического материала
Глава 2.Методическая разработкаматериалов для проведения уроков по геометрии в 5-6 классах
§1. Система упражнений пропедевтики иразвития интереса к математике
1.1 Упражнений развития графическойкультуры
1.2 Упражнения на развитие наглядно-образноемышление
1.3 Система упражнений на развитиепространственных представлений
§2. Задачи для кружковой работы
2.1 Задачи по геометрии, решаемыеметодами оригами
2.2 Задачи на геоплане
2.3 Геометрия на клетчатой бумаге
2.4 Задачи на разрезание треугольника
§3. Материалы для проведения уроков
3.1 «Цепочки»задач по теме «Точки и прямые плоскости»
3.2 Разработка урока потеме «Угол»
Заключение
Библиография

Введение
В разное время высказывались различные мнения о преподаваниигеометрии и ее месте в системе школьного образования. Недостатки в освоениигеометрии могут приводить к серьезному ущербу всего миропонимания.
Геометрические образы сопровождают человекав течение всей его жизни, начиная с первых лет. Первичные геометрическиесведения у человека появляются до того, как он способен их формально-логическиосмыслить. Чем богаче и разностороннее мир ребенка, тем большее количествотаких первоначальных знаний он получает до начала обучения в школе. По наблюденияммногих учителей и специалистов-психологов при неверном обучении ранняяспособность оперировать геометрическими образами и синтезировать геометрическиезнания может в дальнейшем не только не развиваться, но даже резко ослабевать.Поэтому одной из главных задач преподавания геометрии является задачапланомерного, систематического развития геометрического, образного мышления,восприятие геометрии не только как школьного предмета, но и как феноменачеловеческой культуры.
Геометрическое образование должно начинатьсяс первых шагов пребывания ученика в школе — на уроках труда, природоведения,рисования, а в средних классах — географии и черчения. В настоящее время, всвязи с постоянно растущей урбанизацией жизни и значительной формализациейпроцесса труда, едва ли не единственным источником приобретения опыта вгеометрических образах является школа. В связи с этим появляется необходимостьв разработке концепции, которая могла бы ликвидировать дефицит геометрическогоопыта и методически правильно подготовить учащегося к усвоению стандартногокурса геометрии.
Геометрическая деятельность является первичнойинтеллектуальной деятельностью человечества в целом и каждого человека вотдельности.Геометрия — это «не только раздел математики, школьный предмет, это, преждевсего, феномен общечеловеческой культуры, являющийся носителем собственногометода познания мира».
В настоящее время изучениесистематического курсагеометрии начинается с 7 класса средней школы. Однако со многимигеометрическими фигурами посредством практической деятельности дети знакомятсянамного раньше. Это происходит уже на занятиях в детском саду и на урокахрисования, труда, математики в начальной школе.
К сожалению, в современной школе начальная частьгеометрического образования развита недостаточно. Вследствие этого, школьники,при переходе в 7 класс, встречаются с трудностями, возникающими при изучениисистематического курса геометрии: во-первых, происходит знакомство с новойтерминологией, во-вторых, учащимся приходится работать с совершенно новымиобъектами, восприятие которых требует развитого абстрактного мышления,в-третьих, от учащихся требуется не только свободное владение математическимязыком, но и умение самостоятельнодоказывать какие-либо утверждения.
В большинстве школэлементы геометрии в 5-6 классах изучаются в рамках одного предмета:математики. В связи с этим возникает вопрос о совершенствовании методикиизучения элементов геометрии в курсе математики 5-6 классов.
Цель дипломной работы:Показать возможность непрерывного изучения геометрии на уроках математики, атакже на кружках, составить задачный материал для данной работы.
Для достижения поставленной цели были определены следующиезадачи:
— проанализироватьдействующие учебники 5-6 классов, методическую, педагогическую и психологическуюлитературу по теме дипломной работы;
— разработать системуупражнений для проведения уроков математики и кружковой работы.
При подготовке дипломнойработы использовались следующие методические исследования:
— анализ литературы потеме дипломной работы;
— изучение способностидетей 5-6 классов воспринимать наглядный геометрический материал;
— апробацияразработанного задачного материала.
Данная работа состоит из двух глав. В первой главерассматриваются периоды развития геометрии как учебного предмета и ее роль вформировании развития школьников; вопросы общей и возрастной психологии ипедагогики: выявляются особенности развития психических процессов при изученииэлементов геометрии у детей данного возраста (приводитсяпсихолого-педагогическая характеристика). Далее анализируются различныеучебники математики с точки зрения содержания в них геометрического материала(Виленкин Н.Я. и др. Математика 5. Виленкин Н.Я. и др. Математика 6.«Математика 5» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина. «Математика 6» под ред.Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина. Мордкович А.Г., Зубарева И.И. «Математика 5»,«Математика 6»).
Во второй главе приводится методическая разработкапропедевтического курса геометрии и развития интереса к предмету геометрии. Вэтот раздел вошли системы упражнений на развитие графической культуры,наглядно-образного мышления и пространственных представлений. Составленматериал для кружковой работы. В этот пункт вошли такие разделы, как: задачи,решаемые методами оригами, задачи на геоплане, геометрия на клетчатой бумаге изадачи на разрезание треугольника. Также приведен материал для проведенияуроков: цепочка заданий по теме «Точки и прямые на плоскости» и несколькоупражнений по теме «Углы»,
После второй главы приводиться заключение, библиография.

Глава 1. Роль изучениягеометрии в формировании общего образования школьников
 
§1. Развитие геометриикак школьного предмета
 
Приобретение любого познания всегда полезно для ума, ибо он сможет отвергнуть бесполезное и сохранить хорошее. Ведь ни одну вещь нельзя ни любить, ни ненавидеть, если сначала ее не познать. Леонардо да Винчи
 
Ушедший век многое привнес в теорию и методику обучения и воспитания учащихся в процесс их математического образования.
Мы привыкли думать, что геометрия – древнейшая наука и про ее преподавание все известно. Однако, это не так. Прежде всего, следует сказать, что, несмотря на то что геометрия – действительно древнейшая наука, ее современная методологическая основа сформировалась сравнительно недавно: в конце XIX – начале XX веков.
Условно последние десятилетия развития методики преподавания геометрии в школе можно разделить на следующие периоды.
1.  Период использования в школе учебников А.П. Киселева – вплоть до начала 60-х годов XX века.
2.  Период внедрения в школьную геометрию новых разделов: элементов теории множеств, геометрических преобразований, векторной алгебры и т.д. – В.Г. Болтянский, А.И. Фетисов, И.М. Яглом и др.
3.  «Колмогоровский период» (1965-1980) – характеризуется очень серьезным подходом к осмыслению всей структуры школьной математики в целом и геометрии в частности.
4.  «Период традиционных современных учебников» для массовой школы – Л.С. Атанасян и др., А.В. Погорелов, И.Ф. Шарыгин, А.Д. Александров и др. Появление этих учебников было связано с желанием авторов вернуться к более традиционному (чем у А.Н. Колмогорова) подходу к изучению школьного курса геометрии.
 
1.1 Историяроссийского геометрического образования до начала ХХ века
Развитие геометрии в XVIII веке:
1.  в России начала развиваться системагосударственного образования, сложилась номенклатура учебных дисциплин, врамках которой геометрия постепенно выделилась в самостоятельный учебныйпредмет, что вызвало создание соответствующих учебников.
2.  Четкой концепции предмета, критериевотбора содержания и методов его изложения еще не существовало. Авторы поройруководствовались личным опытом и собственными вкусами. Ни один из созданных вэто время курсов не был ни систематическим, ни логическим.
3.  Существенное влияние на авторовучебников по геометрии оказывали западные традиции и непререкаемый в ту порунаучный авторитет Евклида, что приводило к использованию в обучении геометриисамих «Начал», их адаптированных вариантов, переводных и оригинальныхучебников, написанных в традициях Евклида. В целом же в XVIII веке вопрос об учебнике геометрии небыл решен, что объяснялось не только колоссальным влиянием научного авторитетаЕвклида и возможностью использования его «Начал» в качестве учебногопособия, но и сравнительно небольшим по современным меркам числом учебных заведений,отсутствием острой потребности в массовом учебнике.
4.  Зародились два направления впреподавании геометрии практическое (прикладное) и теоретическое. Основным для XVIII века было практическое направление,что объясняется изначальным появлением системы профессионального образования, азатем уже общего и необходимостью пропаганды геометрических знаний, которыедолгое время были под запретом. В последней четверти XVIII века эти направления начали сближаться и самообразование сделало шаг от элитарного профессионального к массовому общему.
5.  В преподавании основное вниманиеуделялось геометрии плоских фигур, рассматриваемых в пространстве, и меньшевнимания – стереометрии. Свойства фигур и тел изучались лишь в контекстевычисления площадей и объемов, применения этих свойств на практике. Вопрос оразвитии у учеников пространственных представлений не ставился, хотя авторовучебников можно отнести к наивным фузионистам.
6.  Основной метод преподавания –догматический. На первый план выдвигалось заучивание и воспроизведение готовыхфактов, что в лучшем случае развивало лишь память. Этот вывод подтверждается иотсутствием в историко-методической литературе по математике сведений осуществовании каких – либо задачников по геометрии. Неизвестен и ответ навопрос об организации контроля за усвоением геометрических знаний.
Развитие геометрии в XIXвеке:
1.  сложилась система среднегообразования, в рамках которой геометрия была самостоятельным учебным предметом,за исключением начальных учебных заведений. В гимназиях преподаваласьэлементарная геометрия: от начальных понятий до конических сечений, в неполныхсредних (городских и уездных училищах) – сокращенный законченный курспланиметрии с элементами стереометрии (поверхности и объемы тел бездоказательств).
2.  Содержание курса окончательно сформировалосьи состояло из двух разделов: планиметрии (линии и фигуры) и стереометрии(тела). Курс не был систематическим в современном понимании этого слова, ноявлялся последовательным курсом элементарной геометрии в традициях Евклида,выстроенным на дедуктивной основе. Хотя в начале курса аксиомы полностью иличастично приводились, но их значение как основ для построения геометрическойтеории не рассматривалось в школьных учебниках. Под аксиомами понималиочевидные истины. Таким образом, гимназические курсы геометрии в XIX веке не были аксиоматическими, но посодержанию были шире современных в части элементарной геометрии. Они еще несодержали элементов аналитической геометрии, но в них уже нашла отражениетеория пределов. Однако можно утверждать, что к концу века образовалсясерьезный разрыв между геометрией как учебным предметом и геометрией какразвивающейся наукой.
3.  Курсы геометрии содержали логическиепробелы в формулировках определений и в доказательствах. Определенияподменялись описаниями, имелся дуализм в определении некоторых понятий. Так, содной стороны, линия определялась как граница поверхности, а с другой – какрезультат движения точки. Вольно трактовалось и понятие обратной теоремы.
Определенное влияние насодержание школьных учебников геометрии этого периода оказывали западныеавторы, прежде всего французские (Даламбер, Лежандр, Дистервег и др.), чтопривело к некоторому усилению позиций сторонников метрической геометрии. Однакоподлинно метрической школьная геометрия еще не стала. Углы по-прежнемуизмерялись дугами окружности. Под измерением площадей и объемов понималисравнение с фигурой, имеющей единичную площадь или объем. Этим объясняетсякрайне малое число задач на вычисление в школьных курсах и доминирование задачна построение и доказательство.
4.  Курс геометрии стал теоретическим,практические приложения свелись к рассмотрению в большем или меньшем объемеизмерений и построений на местности и соответствующих им инструментов (даже вучилищах различных типов).
5.  В XIX веке серьезное внимание уделялось вопросампреподавания, закрепления знаний и контроля за их усвоением, что и привело кпоявлению задачников по геометрии. Впервые был поставлен вопрос осамостоятельной деятельности учащихся при изучении геометрии, учете ихпсихологических особенностей, хотя под последними понимали только внешниепроявления психических процессов, типы восприятия. В связи с этим при усвоениишкольниками начальных понятий геометрии встал вопрос о созданииподготовительных курсов геометрии. Широкому распространению передовых идей впреподавании геометрии способствовали появившиеся в средние века педагогическиежурналы. Однако основным видом деятельности учителя по-прежнему оставалисьпередача учащимся готовых геометрических знаний и проверка их усвоения.
 
1.2 Основные этапыразвития геометрического образования в советской школе (1917-1991)
Советский период развитияшкольного геометрического образования:
1.  преподавание геометрии в советскойшколе впитало в себя содержательные и в меньшей степени методические традициироссийской школы благодаря как непосредственному использованию на практикеучебника А.П. Киселева и его последующих редакций на протяжении почти 40 лет,так и возвращению к курсу геометрии в духе Евклида в учебниках А.В. Погорелова,Л.С. Атанасяна.
2.  Фактология школьного курса, в целомсложившаяся к середине XIXвека, практически не изменилась, курс оставался раздельным и последовательным,хотя объем содержания по сравнению с учебником А.П. Киселева уменьшился, чтопривело в середине 90-х годов к появлению принципа минимизации содержания.
3.  Основные изменения содержаниякасались последовательности изучения отдельных тем курса; ведущего методадоказательства: на основе равенства фигур (Киселев, Атанасян, Александров), спомощью преобразований (Колмогоров, Болтянский, частично Александров);появления новых разделов (векторы, координаты, движения); включениястереометрических сведений или использования пространственных фигур в курсепланиметрии; использования теоретико-множественной терминологии и символики;аксиоматизация курса. У Киселева и его последователей аксиомы не являлисьосновой для построения школьного курса. На аксиоматической основе былипостроены учебники Колмогорова, Погорелова, Атанасяна и Александров, хотя современем их «аксиоматизм» начал ослабевать. В целом курс носилтеоретический характер, его практическая направленность реализовалась на уровнепримеров, носила второстепенный характер. Он ориентировался на построениешкольной геометрии как адаптированного слепка науки, а не учебного предмета,приоритетной оставалась информативная функция знаний, а не развивающая.
4.  Борьба за появление пропедевтическихкурсов геометрии в 70-е годы завершилась включением в курс математики для 4-5(5-6) классов большого объема геометрических фактов в рамках «геометриибез доказательств», что создало предпосылки к появлению в последующемсамостоятельных курсов геометрии для 5-6 (1-6) классов.
5.  Ориентация политики государства наразвитие промышленности, создание материально-технической базы социализма,укрепление связи образования с производством выделила в качестве приоритетногоестественно-техническое направление образования, в котором геометриипринадлежала одна из ведущих ролей. Преобладание технических вузов требовало отбольшинства выпускников школы твердых знаний по геометрии, сделав успешнуюсдачу вступительного экзамена одним из ведущих мотивов изучения геометрии. Это,в свою очередь, привело к появлению третьей после школьной и высшей математики– математики для поступающих.
6.  Ведущими целями преподавания являлисьформирование у учащихся геометрических знаний и умений, развитие логическогомышления. Самостоятельная, познавательная деятельность школьников сводилась крешению разнообразных задач. Психологи характеризуют такое построение процессаобучения как направленное на формирование мышления эмпирического типа.
7.  Стержневыми направлениямимногочисленных методических исследований являлись поиск форм и средствэффективного обучения отдельным вопросам школьной геометрии, обучению решениюзадач различной тематики и типов. Несмотря на все усилия исследователей,педагогов-практиков, в 80-е годы появились многочисленные публикации,свидетельствовавшие о снижении результативности школьного геометрическогообразования. Это могло быть вызвано несовершенством методики, низкой квалификациейучителей, поскольку эффективность реализации локальных инноваций в массовойшколе целиком зависит от профессиональных возможностей педагога, его интересов;изменением мотивации учебной деятельности; несоответствием содержания и методовобучения уровню психического развития школьников. Наметилась тенденцияпревращения школьной геометрии в учебный предмет «в себе».
8.  Развитие детской психологии,внедрение развивающих моделей в начальное обучение (Занков, В.В. Давыдов,Эльконин), начало профильной и уровневой дифференциации старшего звена школывступали в противоречие со стабильным содержанием и методами преподаваниягеометрии в 6-8 (7-9) классах средней школы, существовавшими в рамкахпредметно-центрической концепции обучения, где, в частности, ученик рассматриваетсякак объект обучения, и требовали не только поиска новых моделей обучения, но иопределения целей и поиска адекватного им содержания курса геометрии для 7-9классов, превращения ученика в субъект учебного процесса, что нашло своеотражение в высказываниях и публикациях А.Д. Александрова, Н.М. Бескина, Г.Д.Глейзера, И.Ф. Шарыгина и других, однако на технологическом уровне проблемыначали решаться лишь в 90-е годы.
9.  Изменение преподавания школьнойгеометрии в СССР в 60-80-е годы частично совпадали с общемировыми тенденциямивключения в школьные курсы элементов современной математики и реализациилозунга «Евклид должен уйти!», а также возвращения к традициямЕвклида на новом уровне и более умеренному подходу к связям школьных курсов исовременных течений в математике.

§2. Роль изучениягеометрии
Ни тридцать лет, нитридцать столетий
Не оказывают никакоговлияния на ясность
И красоту геометрическихистин.
Льюис Кэрролл
В ряду учебных дисциплин,составляющих в совокупности школьный курс математики, геометрия играет особоважную роль. Эта роль определяется и относительной сложностью геометрии посравнению с другими предметами математического цикла, и большим значением этогопредмета для изучения окружающего мира. Геометрия, являясь неотъемлемой частьюматематического образования, имеет целью обще-интеллектуальное и общекультурноеразвитие учащихся. Развитие учащихся средствами геометрии направлено надостижение научных, прикладных и общекультурных целей математическогообразования, где общекультурные цели обучения геометрии в первую очередьпредполагают всестороннее развитие мышления детей. Геометрия, как учебныйпредмет, обладает уникальными возможностями для решения главной задачи общегоматематического образования – целостного развития и становления личностисредствами математики.
Уникальность геометриикак учебного предмета заключается в том, что она позволяет наиболее яркоустанавливать связи между естественными представлениями об окружающих предметахи их абстрактными моделями; формировать мыслительные операции различных видов иуровней; учитывать индивидуальные особенности протекания психических процессовучащихся.
Одной из важнейших задачшколы является воспитание культурного, всесторонне развитого человека,воспринимающего мир как единое целое. Каждая из учебных дисциплин объясняет туили иную сторону окружающего мира, изучает ее, применяя для этого разнообразныеметоды.
Геометрия – это разделматематики, являющийся носителем собственного метода познания мира, с помощьюкоторого рассматриваются формы и взаимное расположение предметов, развивающийпространственные представления, образное мышление учащихся,изобразительно-графические умения, приемы конструктивной деятельности, т.е.формирует геометрическое мышление.
§3.Психолого-педагогическая характеристика детей 11-13 лет
При описании психических процессов детей 11-13 лет будемопираться на психические особенности младших школьников, поскольку дети 5-6классов близки к младшему школьному возрасту.
Рассмотрим психические процессы младших школьников.
Познавательное развитие в младшем школьном возрасте.
— Внимание
— Восприятие
— Память: произвольная и непроизвольная
— Воображение
— Мышление
Внимание
Внимание — характеристика психической деятельности,выражающаяся в сосредоточенности и в направленности сознания на определённыйобъект. Под направленностью сознания понимается избирательный характерпсихической деятельности, осуществление в ней выбора данного объекта изнекоторого поля возможных объектов.
Процесс обучения невозможен без достаточной сформированноститакой функции деятельности человека, как внимание. У детей преобладаетнепроизвольное внимание. Ребенок в большей степени реагирует на яркие,эмоциональные признаки информации, чем на ее содержание, он обращает вниманиена то, что ему непосредственно интересно. В ходе учебной деятельности ребенокучится направлять и устойчиво сохранять внимание на нужных, а не просто внешнепривлекательных предметах.
Школьник младших классов может сосредоточенно заниматьсяодним делом 10—20 мин. По сравнению с дошкольниками у младших школьников в 2раза увеличивается объем внимания, повышается его устойчивость переключение ираспределение. Во втором итретьем классе многие учащиеся ужеобладают произвольным вниманием, концентрируя его на любом материале,объясняемом учителем или имеющемся в книге.
Восприятие
Развитие отдельных психических процессов происходит напротяжении всего младшего школьного возраста. К семи годам у ребенка отмечаютсядостаточно развитый процесс восприятия (наблюдается высокая острота зрения и слуха,ориентирование на различные формы и цвета), но восприятие младшего школьника вучебной деятельности сводится лишь к узнаванию и называнию формы и цвета.
Восприятие — сложная система процессов приёма ипреобразования информации, обеспечивающая организму отражение объективнойреальности и ориентировку в окружающем мире.
У первоклассников присутствуют недостаткидифференцированности восприятия, так как еще не сформирована способность ксистематическому анализу самих воспринимаемых свойств и качеств предметов.Возможность ребенка анализировать и дифференцировать воспринимаемые предметысвязана с формированием у него более сложного вида деятельности, чем ощущение иразличение отдельных непосредственных свойств вещей. Этот вид деятельности,называемый наблюдением, особенно интенсивно складывается в процессе школьногоучения. На занятиях ученик получает, а затем и сам развернуто формулируетзадачи восприятия тех или иных предметов и пособий. Благодаря этому восприятиестановится целенаправленным. Такое восприятие, синтезируясь с другими видамипознавательной деятельности (вниманием и мышлением), приобретает формуцеленаправленного и произвольного наблюдения.
Память: произвольная и непроизвольная
В процессе становления в младшем школьном возрасте находится память.Память приобретает ярко выраженный познавательный характер. Изменения вобласти памяти связаны со следующими явлениями:
— ребенок начинает осознавать особую, мнемоническую задачу.Он отделяет эту задачу от всякой другой. Такая задача в дошкольном возрастелибо вовсе не выделяется, либо выделяется с большим трудом;
— в младшем школьном возрасте идет интенсивное формированиеприемов запоминания. От наиболее примитивных приемов (повторение, внимательноедлительное рассмотрение материала) в более старшем возрасте ребенок переходит кгруппировке, осмыслению связей разных частей материала.
В младшем школьном возрасте существуют следующие особенностипамяти:
— наглядный материал запоминается лучше; чем словесный;
— название предметов запоминаются лучше, чем абстрактныепонятия;
— абстрактный материал, обобщающий ряд фактов, запоминаетсялучше, чем абстрактный материал, не подкрепленный фактами.
Память в процессе обучения развивается в двух направлениях —произвольности и осмысленности.
Соотношение непроизвольной и произвольной памяти в процессеразвития внутри учебной деятельности различно. В первом классе эффективностьнепроизвольного запоминания значительно выше, чем произвольного, так как удетей ещене сформированы особые приемы осмысленной обработки материала исамоконтроля. Обе формы памяти — произвольная и непроизвольная — претерпевают вмладшем школьном возрасте такие качественные изменения, благодаря которымустанавливается их тесная взаимосвязь ивзаимопереходы. Важно, чтобыкаждая из форм памяти применялась детьми в соответствующих условиях (например,при заучивании какого-либо текста наизусть используется преимущественнопроизвольная память). Усвоение учебного материала может происходить и с помощьюнепроизвольной памяти, если она опирается на средства логического освоенияэтого материала. Тем самым развивается смысловая память, иеесовершенствование в этом возрасте позволит в дальнейшем освоить достаточноширокий круг мнемонических приемов, т.е. рациональных способов запоминания(деление текста на части, составление плана, приемы рационального заучивания идр.)
Воображение
Воображение — психическая деятельность, состоящая в созданиипредставлений и мысленных ситуаций, никогда в целом не воспринимавшихсячеловеком в действительности. Воображение основано на оперировании конкретнымичувственными образами или наглядными моделями действительности, но при этомимеет черты опосредствованного, обобщённого познания, объединяющие его спроцессом мышления. Характерный для воображения отход от реальности позволяет определитьего как процесс преобразующего отражения действительности.
Специфика учебнойдеятельности помогает развить у детей такую важную психическую способность, каквоображение. Большинство сведений, сообщаемых школьникам учителем иучебником,имеет форму словесных описаний, картин и схем. Школьники каждый раз должнывоссоздавать себе образ действительности (поведение героев рассказа, событияпрошлого, ландшафты и т. д.). В процессе школьных занятий развивается воссоздающее(репродуктивное) воображение, и уже воссоздающее воображение перерабатываетобразы действительности. Дети изменяют сюжетную линию рассказов, представляютсобытия во времени, изображают ряд объектов в обобщенном, сжатом виде (этому вомногом способствует формирование приемов смыслового запоминания). Постепенноесовершенствование воссоздающего, или репродуктивного, воображения в младшемшкольном возрасте создает условия для развития у школьников творческого(продуктивного) воображения. Формированию этой предпосылки помогают занятия потруду, на которых дети осуществляют свои замыслы, изготавливая какие-либопредметы. Этому во многом способствуют и уроки рисования, требующие от детейсоздать замысел изображения, а затем искать наиболее выразительные средства еговоплощения.
Мышление
Как известно, важнейшимпсихическим процессом является мышление. «Мышление – „это социальнообусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков иоткрытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщенного отражениядействительности в ходе ее анализа и синтеза“.
Мышление возникает наоснове практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит заего пределы.
В психологиираспространена следующая классификация видов мышления:
— наглядно-действенное(связанное с практической деятельностью);
— наглядно-образное(основанное на зрительном восприятии);
— отвлеченное(теоретическое).
В начальной школе у детейинтенсивно развивается наглядно-образное мышление. Однако к 11 годам наглядныеобразы чаще заменяются словесными формулировками.
Мышление в младшемшкольном возрасте приобретает абстрактный и обобщенный характер. Выполнениеинтеллектуальных операций школьниками связано с трудностями.
В развитии мышлениянаблюдаются две основные стадии:
1)  Мыслительная деятельность младшихшкольников еще во многом напоминает мышление младшего школьника. Анализучебного материала производится по преимуществу в наглядно-действенном плане.Дети опираются при этом на реальные предметы или их прямые заместители,изображения. Учащиеся пятых классов зачастую судят о предметах весьмаодносторонне, схватывая какой-либо единичный внешний признак. Умозаключениядетей опираются на наглядные предпосылки, данные в восприятии. Обоснованиевывода осуществляется не на основе логических аргументов, а путем прямого соотношениясуждения воспринимаемыми сведениями.
Большинствообобщений, осуществляемых детьми на этой стадии, фиксирует, конкретновоспринимаемые признаки и свойства, лежащие на поверхности предметов и явлений;
2)  К пятому классу изменяется характермышления младших школьников. Учащиеся овладевают родовидовыми соотношениямимежду отдельными признаками понятий, т.е. классификацией.
В основе суждений младшихшкольников о признаках и свойствах предметов и явлений лежат чаще всегонаглядные изображения и описания. Но вместе с тем эти суждения являютсярезультатом анализа текста, мысленного сопоставления его отдельных частей,мысленного выделения в этих частях главных моментов, их объединения в целостнуюкартину, наконец, обобщения частностей в некотором новом суждении, теперь ужеотделенном от прямых его источников и ставшем абстрактным знанием. Следствиемтакой умственной аналитико-синтетической деятельности является абстрактноесуждение или обобщенное знание. По мере того как ребенок учитсяклассифицировать определенные предметы и явления, появляются все более сложныеформы умственной деятельности, которая становится относительно самостоятельнымпроцессом работы над учебным материалом, независящим непосредственно отвосприятия. Постепенно растет количество суждений, в которых наглядные моментысведены до минимума и объекты характеризуются по более или менее существеннымсвязям.
Свойство детского ума воспринимать все конкретно, буквально,неумение подняться над ситуацией и понять ее общий, абстрактный или переносныйсмысл — одна из основных трудностей детского мышления, ярко проявляющаяся приизучении таких абстрактных дисциплин как математика и грамматика. При переходев среднюю школу у ребенка значительно повышается удельный вес чтения какисточника мыслей. Появляются новые учебные предметы, способствующие развитиюотвлеченного мышления. Изучение такого максимально абстрактного предмета, какматематика, хорошо показывает, как высоко поднимается уровень абстрактногомышление школьников данного возраста. Так, многим ученикам 5-6 класса легчедается решение «абстрактных» текстовых задач, чем задач с большим количествомконкретно-чувственных деталей, где основные существенные зависимости междувеличинами маскируются. К таким задачам относятся и задачи геометрическогосодержания.
Трудность обобщения (как одной их операциймышления) — одна из основных трудностей, возникающих при изучении математики.По словам В.А. Крутецкого, неспособные дети с большим трудом обобщалипредложенный математический материал. Они с трудом перебирались от однойступени к другой, причем каждая ступень должна была закрепляться значительнымколичеством упражнений. Отметим, что зачастую это происходит вследствие того,что многие младшие школьники не могут выделить общие и существенные свойствакакого-либо предмета или явления. Так, узнав о способе нахождения площадипрямоугольника (произведение длин его смежных сторон), многие школьникиприменяют этот способ для нахождения площадей других геометрических фигур,например треугольника. Итак, выделение существенного — это одна сторонапроцесса абстракции (позитивная). Отвлечение от несущественного — другая еесторона (негативная). Многочисленные наблюдения и исследования показывают, чтонегативная сторона процесса протекает труднее, чем позитивная: отвлечение отнесущественного происходит с большим трудом, чем выделение существенного.Однако трудности возникают и при другом мыслительном процессе: переходе отабстрактного к конкретному.
Типичными становятся ошибки в геометрическойиллюстрации к задаче, в построении чертежей. Поэтому развитие отвлеченногомышления у пятиклассников в ходе усвоения понятий вовсе не означает, что ихнаглядно-действенное и наглядно-образное мышление перестает теперь развиватьсяили вообще исчезает… Наоборот, эти первичные и исходняе формы всякоймыслительной деятельности по-прежнему продолжают изменяться исовершенствоваться, развиваясь вместе с отвлеченным мышлением и под еговлиянием. Любое, даже наиболее развитое мышление всегда сохраняет связь счувственным познанием, т.е. с ощущением, восприятием и представлением. Весьсвой материал мыслительная деятельность получает только из одного источника –из чувственного познания. Известно, что усвоение материала будет болееэффективным, если опираться на особенности соотношения конкретного иабстрактного мышления детей. В соответствии с этим на уроках „умственнаядеятельность должна подкрепляться конкретной материальной деятельностью“.Значительное место, особенно при изучении геометрического материала, должнызанимать упражнения, в которых требуется начертить, измерить, найти на рисункеи предмете, вырезать, составить фигуру и др. Это позволит стимулировать уучащихся развитие наглядно-действенного мышления и на его основе в дальнейшем –образного мышления.
С точки зрения формальнойлогики мышление характеризуется тремя основными формами: понятиями, суждениями,умозаключениями. Процесс формирования некоторого понятия – постепенны процесс,в котором можно выделить несколько последовательных стадий. Первая стадияпредставляет собой процесс „видения“, который создает в сознанииребенка особую форму отражения реальной действительности – восприятия.»Чувственное восприятие объекта есть начальная, простейшая ступень в егопознании – первая ступень в формировании соответствующего уму понятия”.Далее в результате отвлечения от чувственного восприятия в сознании детейсоздается новая форма представление о данном объекте. На следующей ступенипознания через род и видовое отличие формируется понятие. На данном этаперебенок знакомится со свойствами объекта, рассматривает его с точки зрения ужеизвестных ему понятий, выделяет объем и содержание понятия.
Если говорить обособенностях геометрического материала, то специфика его такова, что в возрасте11-12 лет сформировать в сознании ребенка многие геометрические понятия оченьтрудно.
Геометрическое мышление всвоей основе является разновидностью чувственного, образного мышления, чтофункционально присуще правому полушарию головного мозга. По мере развитиягеометрического мышления происходит возрастание логической составляющей исоответственно роли левого полушария. Отсюда важность геометрии внепосредственно физиологическом смысле и особенно для детей в возрасте 8-12 летс доминирующим развитием правого полушария. А таких детей, как известно неменьшинство.
«Занятия геометриейспособствуют развитию интуиции, воображения и других важнейших качеств, лежащихв основе любого творческого процесса». Итак, формирование геометрическихпредставлений, несомненно связано, с развитием воображения. «основная тенденция,возникающая в развитии детского воображения – это переход ко все болееправильному и полному отражению действительности, переход от простогопроизвольного комбинирования представлений к комбинированию логическиаргументированному». Если ребенок 3-4 лет удовлетворяется для изображениясамолета двумя палочками, положенными крест-накрест, то в 7-8 лет ему уже нужновнешнее сходство с самолетом. Школьник 11-12 лет часто сам конструирует модельи требует от нее еще более полного сходства с настоящим самолетом. С каждымгодом возрастает реализм детского воображения. Однако воображение ребенка,оканчивающего начальную школу, характеризуется также другой чертой: наличиемэлементов репродуктивности, простого воспроизведения. И не секрет, что зачастуюв 5 классе ребенок однотипно изображает геометрические фигуры и, в связи сэтим, испытывает трудности при решении задач. Однако с возрастом элементоврепродуктивности, простого воспроизведения в воображении школьника становитсявсе меньше и меньше и все в большей степени появляется творческая переработкапредставлений. Образы воображения приобретают уже более обобщенный характер. Скаждым годом обучения в школе развитие воображения все в большей степенибазируется на освоении технических приемов действий в той или иной областитворческой деятельности. Геометрическая деятельность не является исключением.
Известно, что воображениестановится более «тусклым» в связи с тем, что у детей отсутствуюткакие-либо практические умения. А геометрический материал предоставляет хорошуюпочву для развития этих умений. Именно благодаря геометрическим занятиям,ученики 5 класса дают действительно творческую переработку полученных имивпечатлений, комбинируя их таким образом, что возникают новые сочетания,которых не было в их непосредственном опыте. Такая «эмансипация» воображениядетей младшего школьного возраста от непосредственных впечатлений являетсяследствием расширения их опыта, благодаря практическим и лабораторным работам,а также широкому использованию наглядности.
Таким образом, можно сделать вывод, что в 5-6 классахучащиеся уже способны к восприятию довольно абстрактного геометрическогоматериала, но при его изучении необходимо активно использовать наглядность иприменять лабораторные и практические работы. Кроме того, важно не толькоразвивать мышление (как отвлеченное, так и наглядно-образное), но и стремитьсяк формированию обобщенного воображения. В курсе математики 5-6 класса элементынаглядной геометрии развивают логическое мышление учащихся, их пространственныепредставления и практические навыки.
 

§4. Анализ действующих учебниковматематики на предмет содержания геометрического материала
Как показали исследования психологов, возраст детей от 7-12лет наиболее благоприятен для формирования геометрических представлений. Детямэтого возраста присуще яркость восприятия, наглядная образная память, большойинтерес к окружающему миру, богатое воображение, способность легко усваиватьматериал и др.
Ещё в дошкольном возрасте ребёнок встречается с различнымилиниями, фигурами, поверхностями, формами, под влиянием которых у негоформируются геометрические представления. Геометрические представления в этомвозрасте носят случайный и хаотичный характер, они не всегда правильные,преимущественно «плоскостные». В начальной школе продолжается процесснакопления детьми представлений о пространстве, необходимых для усвоенияэлементарных понятий, а затем учащиеся приступают к дальнейшей стадии обобщенияи конкретизации свойств и отношений предметов и явлений материального мира поразным признакам: временным, количественным, пространственным.
Обучение в начальной школе ставит своей целью упорядочить этипространственные представления. Исходя из возрастных особенностей младшихшкольников, большое значение приобретает наглядность, использование аудиовизуальныхсредств и применение готовых моделей, изготовленных из картона, пластилина. Науроках учащихся учат находить знакомые им фигуры в окружающей обстановке,видеть их в сложных конфигурациях.
На уроках математики в начальной школе имеют большое значениепрактические работы: изготовление геометрических фигур, их вычерчивание,вырезание, получение прямого угла перегибанием бумаги, упражнения наформирование навыков работы с наиболее употребляемыми чертёжными инструментами(линейка, угольник, циркуль). Большое внимание уделяется приёму сопоставления ипротивопоставления фигур.
В начальной школе учащиеся должны уметь:
1 класс:
— изображать прямую, кривую, отрезок, многоугольник;
— находить длину отрезка в см;
— начертить отрезок заданной длины;
— увеличить или уменьшить отрезок на заданное количество см;
— различать углы прямые и непрямые, прямоугольники иквадраты;
— распознавать эти фигуры, называть их и изображать наклеточной бумаге;
2 класс:
-делить отрезок на равные части;
— распознавать и изображать ломаную, окружность, круг,многоугольник;
— измерять длину ломаной.
Характер работ по формированию пространственных представленийво втором классе усложняется, добавляются задачи на деление геометрическихфигур на части, упражнения на составление фигур. В 3 классе идёт формированиепредставления о площади прямоугольника и квадрата. Учащиеся должны знать, что упрямоугольника все углы прямые, а противоположные стороны равны. Учащиесядолжны уметь складывать различные фигуры из 2-3 элементарных частей.
Среди задач большинство таких, в которых геометрическиефигуры используются для пересчитывания, задачи на деление фигур на части,задачи, связанные с формированием навыков чтения геометрических чертежей сиспользованием буквенных обозначений; задачи на выяснение геометрической формыпредметов и их частей; задачи, развивающие глазомер.
Таким образом, к окончанию начальной школы пространственныепредставления учащихся становятся более осознанными, полными. Учащиеся, какправило, уже почти свободно ориентируются в пространстве, отмечают направления,определяют положение предметов по отношению к другим предметам, к сторонамгоризонта. У них накоплен определённый запас геометрических представлений,терминов. Они могут узнавать пространственный объект в окружающей действительностии находить его графическое изображение. Учащиеся уже могут воспроизвестинесложные представления в памяти, в воображении и словесно их описать, а такжевоспроизвести представления графически в виде предметной модели.
Уроки труда, рисования, математики содержат определённуюсистему предметов, методов и средств, создающих в уме школьника многообразнуюкатегорию пространственных представлений и отношений. Всё это определяетсодержание пропедевтической работы учителя по развитию геометрических представленийучащихся начальных классов.
Программа по математики начальных классовуделяет особое внимание развитию конструктивных навыков учащихся, которые будутэффективны лишь при целенаправленном и систематическом их формировании напротяжении всех лет обучения в школе. При правильной постановке преемственностив их развитии, при строгом учёте психологических возрастных особенностейучащихся.
Министерством образованияи науки РФ к использованию в образовательном процессе на 2008/2009 учебный годрекомендованы учебники по математике для 5-6 классов следующих авторскихколлективов:
1.  Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И. Шварцбурд,
2.  И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович,
3.  С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н.Решетников, А.В. Шевкин,
4.  В.Г. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф.Шарыгин,
1.  Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И. Шварцбурд, «Математика: 5 класс», «Математика: 6 класс», Математика 5 классГлава 1. Натуральныечисла
§1. Натуральные числаи шкалы
Отрезок. Длина отрезка.Треугольник
С практической точкизрения вводится понятие отрезка, как линии, которая соединяет две точки, этиточки называются концами отрезка.
С помощью рисункавводится понятие лежать между
Сообщается, что отрезкиможно сравнивать с помощью измерения и вводятся единицы измерения длины отрезков,которые детям уже известны, фактически идет повторение.
На основе рисункавводится не только понятие треугольника и его составляющих частей, но понятиемногоугольника, по количеству вершин.
Плоскость. Прямая. Луч
Понятие плоскостивводится интуитивно, на основе жизненных примеров: поверхность стола, школьнойдоски, оконного стекла. Сообщается, что плоскость не имеет края, онабезгранично простирается во всех направления.
На основе уже известногопонятия отрезка вводится новое понятие- прямая: если отрезок продолжить в обестороны, то получится прямая. Сообщается, что прямая не имеет концов,неограниченно продолжается в обе стороны.
Сообщается аксиома: черездве точки проходит единственная прямая.
Вводится понятиепересечения двух прямых на примере, по рисунку.
Понятие луча вводится напримере по рисунку. Точка О делит прямую на две части, каждую их которыхназывают лучом. Точка О называется началом лучей. Объясняется как обозначатьлучи.
По рисунку вводитсяпонятие дополнительных лучей.
§4. Площади и объемы
Площадь. Формула площадипрямоугольника
Сначала на конкретнойфигуре вводится понятие квадратного сантиметра и вычисляется ее площадь. Затемвводится понятие для площади произвольной фигуры.
Затем приведена словеснаяформулировка для нахождения площади, а потом уже составляется формула. Весьэтот материал известен школьника из начальной школы.
Вводится понятие равныхфигур, те, которые можно совместить наложением.
Вводятся некоторыесвойства площадей (без доказательств):
1.  Площади равных фигур равны. (их периметрытоже равны)
2.  Площадь всей фигуры равна суммеплощадей ее частей
После знакомства спонятием прямоугольника на его основе вводится понятие квадрата, какпрямоугольника, у которого все стороны равны. Затем, вводится формула площадиквадрата, после чего объясняется название квадрат числа.
Единицы измеренияплощадей
Со стандартными единицамиизмерения и с тем в чем измеряется площадь ученики уже знакомы. На основезнаний об единицах измерения длин отрезков объясняется как переводить одниквадратные единицы в другие.
Площади полей ужеизвестными единицами измерения неудобно измерять. Аналогично вводятся новыеединицы измерения: гектар и ар.
Прямоугольныйпараллелепипед
На основе примеров изжизни: спичечный коробок, деревянный брусок, кирпич — вводится понятиепрямоугольного параллелепипеда. Затем вводятся элементы прямоугольногопараллелепипеда: грани, ребра, вершины и их количество.
Сообщается, что длину,ширину и высоту параллелепипеда называют его измерениями. После этого вводитсяпонятие куба, как прямоугольного параллелепипеда, у которого все измеренияравны.
Объемы. Объемпрямоугольного параллелепипеда
Чтобы сравнить объемыдвух сосудов, можнонаполнить один из них водой и перелить ее во второй сосуд. Если второй сосудокажется заполненным, а воды в первом сосуде не останется, то объемы сосудовравны. Если в первом сосуде вода останется, то его объем больше объема второгососуда. А если заполнить второй сосуд не удастся, то объем первого сосудаменьше объема второго.
Далее структура пункта ивведение новых понятий полностью повторяет пункт «Площадь. Площадьпрямоугольника».
§5. Обыкновенные дроби
Окружность и круг
Сначала объясняется как спомощью циркуля построить окружность: установим ножку циркуля с иглой в точкуО, а ножку с грифелем будем вращать вокруг этой точки. Тогда грифель опишетзамкнутую лини, такую линию называют окружностью. Затем на основе готовогочертежа вводятся все элементы окружности: круг, радиус, диаметр (и их связь),полукруг, полуокружность, дуга окружности.
§8. Инструменты для вычисленийизмерений
Угол. Прямой иразвернутый угол. Чертежный треугольник
Сразу вводитсястандартное (полноценное) определение угла: углом называют фигуру, образованнуюдвумя лучами (стороны угла), выходящими из одной точки (вершина угла).
Затем объясняется правилозаписи названия угла и приводится несколько вариантов (одной или тремябуквами). Вводится значок для обозначения угла.
По рисунку для точеквводится понятие лежать внутри и вне угла.
Когда рассматриваласьтема о площади прямоугольника, сообщалось, что фигуры равны, если их можносовместить наложением. Сообщается, что это применимо для всех фигур и углов втом числе.
Ранее было введенопонятие дополнительных лучей, на основе этого понятия вводится понятиеразвернутого угла: два дополнительных друг другу луча образуют развернутыйугол. Стороны этого угла составляют прямую линию, на которой лежит вершинаугла.
С помощью практическогообъяснения вводится понятие прямого угла: согнем два раза пополам лист бумаги,а потом развернем его. Линии сгиба образуют 4 развернутых угла. Каждый из этихуглов равен половине развернутого угла. Такие углы называют прямыми.
Далее проводится«знакомство» с новым чертежным инструментом: чертежный треугольник, какинструмент для построения прямых углов. И приводится план построения прямогоугла:
1.  Расположить чертежный треугольниктак, чтобы вершина его прямого угла совпадала с точкой О, а одна из сторонпошла по лучу ОА;
2.  Провести вдоль второй сторонытреугольника луч ОВ.
В результате получимпрямой угол АОВ.
Измерение углов.Транспортир
Проводится «знакомство» сновым инструментом, предназначенным для измерения углов.
Шкала транспортирарасполагается на полуокружности. Центр этой полуокружности отмечен натранспортире черточкой.
Штрихи транспортира делятполуокружность на 180 долей.
Лучи, проведенные изцентра полуокружности через эти штрихи, образуют 180 углов, каждый из которыхравен 1/180 доле развернутого угла. Такие углы называют градусами.
Вводится понятие градусаи его обозначение. Дети уже знаю, что прямой угол равен половине развернутого,на основе этого определения вводится градусная мера для прямого угла.
Также вводятся градусныемеры для острого и тупого углов: если угол меньше 90 градусов, то его называютострым углом, а если больше, то — тупым.
Математика 6 класс
Глава 2. Рациональныечисла
§9. Координаты наплоскости
Перпендикулярные прямые
Сразу дается определениеперпендикулярных прямых: две прямые, образующие при пересечении прямые углы,называют перпендикулярными (с понятие прямых углов учащиеся знакомы по материалу5 класса).
Вводится стандартноеобозначение для перпендикулярных прямых и алгоритм построение перпендикулярныхпрямых с помощью чертежного треугольника и транспортира (с этими инструментамиучащиеся знакомы на основе материала 5 класса).
Параллельные прямые
Сообщается, что дляпрямых существует два варианта взаимного расположения: они либо пересекаются,либо не пересекается. Рассматривается случай, когда прямые не пересекаются,такие прямые называются параллельными.
Вводится стандартныйсимвол для обозначения параллельных прямых.
С помощью рисунковпоясняется, что отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, называютпараллельными отрезками (лучами).
Далее рассматриваются признакпараллельных прямых: если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей, тоони параллельны. Данный факт поясняется на примере прямоугольника.
С помощью рисунка даетсяпояснение как с помощью треугольника и линейки можно построить прямую,параллельную данной.
Далее, без каких либопояснений, сообщается аксиома: через каждую точку плоскости, не лежащую наданной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.
2.  И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович, Математика5 классГлава 1. Натуральные числа
§3. Языкгеометрических рисунков
Математический язык – это не только язык чисел, букв и символов. Это ещеи язык рисунков и чертежей. При изображении геометрических фигур соблюдаютсянекоторые правила.
На основе рисункавводятся точки, прямые и отрезки и их обозначения.
§4. Прямая. Отрезок.Луч
Выполните задания и ответьте на вопросы:
1)  Отметьте две точки – А и В. Проведитеотрезок АВ.
2)  Сколько существует отрезков,соединяющих точки А и В?
3)  Отметьте две точки – С и Д. Проведитечерез них прямую. Сколько прямых можно провести так, чтобы они проходили черезобе эти точки?
4)  Начертите две пересекающиеся прямые.Обозначьте точку их пересечения буквой А.
Могут ли эти прямые иметьеще и другие точки пересечения?
Сколько общих точек могутиметь две пересекающиеся прямые?
Выводы:
1)  Две точки могут быть концамиединственного отрезка;
2)  Через две точки можно провестиединственную прямую;
3)  Две прямые могут пересекаться тольков одной точке.
Понятие луча вводится по рисунку.
§5. Сравнениеотрезков. Длина отрезка
На основе устного упражнения учащиеся могут сделать вывод, что отрезкиравны, если при наложении их можно совместить; отрезки равны, если они имеютодинаковую длину.
Понятие длины отрезкаучащимся предлагается сформулировать самостоятельно.
§6. Ломаная
На основе рисунка сообщается какую линию называют ломаной. Вводятся ееэлементы (вершины, звенья).
Вывод об обозначенииломаных учащимся предлагается сделать самостоятельно.
§8. Координатный луч
Рассматривается задача: шляпа, которую ветер сорвал со старухи Шапокляк,упала в десяти метрах от нее и покатилась со скоростью 3 м/с. С какой скоростьюдолжна бежать Крыска Лариска, чтобы догнать шляпу через 10 с?
Приводится два способа: спомощью рисунка и без. И объясняется преимущество первого способа.
Затем, с помощьюпоследовательно добавления элементов на рисунок вводится понятие координатноголуча и координаты точки.
§11. Прямоугольник
Так как с этой фигурой учащиеся знакомы с начальной школы, топредлагается по рисунку ответить на вопросы:
1)  Почему прямоугольник получил такоеназвание
2)  Как «зовут» этотпрямоугольник?
3)  Что обозначено буквами а и в?
4)  Что такое периметр прямоугольника,как его найти?
5)  Запишите выражения для периметрапрямоугольника
6)  Что такое диагональ прямоугольника?
7)  Как найти площадь прямоугольника
8)  Запишите выражение для площадипрямоугольника
Глава 2. Обыкновенныедроби
§23. Окружность и круг
Проводится аналогичная работа, как и с прямоугольником.
Глава 3 Геометрическиефигуры
§27. Определение угла.Развернутый угол
На основе рисунка вводится понятие дополнительного и противоположноголучей. Предлагается ученикам самостоятельно сформулировать определение угла, азатем, вводится определение: угол – это фигура, образованная двумя лучами,имеющими общее начало.
Далее вводитсяопределение развернутого угла: развернутый угол – это угол, образованныйдополнительными лучами.
§28. Сравнение угловналожением
Ученикам уже известно, что равные фигуры можно совместить так, что онисовпадут. На основе рисунка показывается, что этот способ работает и для углов.
§29. Измерение углов
Ставится проблема: длины отрезков можно измерить с помощью линейки, а дляуглов такой способ не подойдет, значит, нам не хватает каких-то знаний, умений.
Вводится новыйизмерительный прибор (транспортир). Вводится понятие градуса и градусной мерыугла. После чего вводятся виды углов.
§30. Биссектриса угла
Сообщается, что равные углы на геометрических чертежах принято отмечатьравным количеством дуг.
Вырежем из бумаги угол иперегнем так, чтобы его стороны совместились. Проведем по линии сгиба луч. Этотлуч называется биссектрисой угла. Сравните углы, на которые биссектриса разделиланаш угол. Ответ обоснуйте.
Далее ученикам на основеизображения биссектрисы угла предлагается сформулировать определение.
Сравните определение стаким определением: биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла,делящий угол на два равных угла.
§31. Треугольник
Сначала ученикам с помощью угольника предлагается построить различныетреугольники. Затем вводятся виды треугольников.
§32. Площадьтреугольника
Как найти площадь прямоугольника ученикам уже известно. На основеразличных конфигураций прямоугольника учащимся предлагается вычислить площади.
Вводится понятие высотытреугольника. И с его помощью учащимся предлагается самостоятельно вывестиформулу площади прямоугольника.
§33. Свойство угловтреугольника
На основе практической деятельности (работы с прямоугольником),заполнение таблиц, учащие могут сделать вывод, что сумма углов треугольникаравна 180 градусам.
§34. Расстояние междудвумя точками. Масштаб
Учащиеся уже знают, чторасстояние между двумя точками измеряется по соединяющей их прямой, что еще разразбирается на примере: Настя живет в 7 минутах ходьбы от школы, а Костя идетот дома до школы 5 минут. Можно ли утверждать, что Костя живет ближе к школе,чем Настя? Могут ли Костя и Настя жить в одном доме? Может ли Костя жить дальшеот школы, чем Настя?
§35. Расстояние отточки до прямой. Перпендикулярные прямые
Маша и Саша собирали грибы в лесу. После того как корзинки наполнились,ребята решили отправиться домой. Для этого им надо было выйти на шоссе, так какс тяжелой корзинкой идти по лесу довольно трудно. Но тут у них возник спор: – вкакую сторону идти, чтобы быстрей выйти из леса.
1)  Подумайте, как выглядит кратчайшиймаршрут, по которому надо было двигаться, чтобы добраться от точки О до шоссе,и изобразите его.
2)  Под каким углом к краю шоссе проходитотрезок, который вы изобразили? Какой чертежный инструмент удобно былоиспользовать для проведения этого отрезка?
Затем вводятся определения перпендикуляра, расстояния и взаимноперпендикулярных прямых.
§36. Серединныйперпендикуляр
На основе изображения, на котором отмечены равные элементы, учащимсяпредлагается самостоятельно дать определение серединного перпендикуляра.
После все рассужденийвводится полное определение и свойство точек серединного перпендикуляра.
§37. Свойствобиссектрисы угла
Учащимся с помощью рисунка предлагается ответить на вопросы, послекоторых они смогут сформулировать свойство биссектрисы.

Глава 5.Геометрические тела
§50. Прямоугольныйпараллелепипед
Даны две группы рисунков, которые учащимся предлагается классифицироватьсамостоятельно, а затем проверить себя:
1)  Изображены тела, поверхность которыхсоставлена из плоских фигур – многоугольников. Эти многоугольники называютсягранями, а сами тела – многогранниками.
2)  Тела ограничены не только плоскимиповерхностями. Это круглые тела: цилиндр, шар и конус.
Далее аналогичная работапроводится другими группами рисунков:
1)  Предметы имеют форму различныхмногогранников
2)  Предметы имеют форму прямоугольногопараллелепипеда.
Затем, вводятся основные элементы параллелепипеда.
§51. Разверткапрямоугольного параллелепипеда
Рассматривается задача: на поверхности прозрачного куба находится паук,который пристально смотрит сквозь него на сидящую на другой грани куба муху.Всем понятно естественное для паука желание поймать муху, однако для этого емунужно как можно скорее до нее добраться, а то ведь муха может и улететь.Другими словами, пауку необходимо двигаться к ней по кратчайшему маршруту.Изобразите простым карандашом путь, которым, по вашему мнению, должен двигатьсяпаук. Подумайте, как проверить, является ли в действительности предложенныйвами маршрут самым коротким.
§52. Объемпрямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед с измерениями 5 см, 6 см и 4 см, изготовленный из деревянного бруска, покрасили зеленой краской, а затем распилилина одинаковые кубики с ребром 1 см. Сколько среди этих кубиков окажется таких,у которых:
Ø Окрашено 3 грани?
Ø Окрашено только 2 грани?
Ø Окрашена только 1 грань?
Ø Не окрашено ни одной грани?
Чтобы ответить на последний вопрос, можно было найти число всех кубиков,а затем вычесть из него число кубиков, у которых окрашена хотя бы одна грань,т.е. сумму чисел, найденных в первых трех заданиях.
Рассматривается своднаятаблица для длины, площади и объема. Затем вводится формула для вычисленияобъема.
Замечание: главная особенность рассмотренногоучебника состоит в том, что учащиеся самостоятельно «добывают» всенеобходимые знания с помощью устных и практических заданий. Затем толькосверяются с данными в учебнике.
3. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин «Арифметика: 5 класс», «Арифметика: 6 класс», Арифметика 5 класс
Глава 2. Измерение величин
Прямая. Луч. Отрезок
Вданном разделе порядок рассмотренных понятий построен от самого сложного(понятие плоскости) к самому простому (отрезок).
Понятиеплоскости вводится на интуитивном, бытовом уровне: поверхность стола илиповерхность воды на пруду (в безветренную погоду) может служить примером части плоскости.
Еслисогнуть лист бумаги, то линия сгиба будет частью прямой лини. Коротко – частью прямой.
Рассматриваетсянесколько вариантов для обозначения прямой.
Сообщается,что через любые две точки можно провести только одну прямую, значит дверазличные прямые могут пересекаться только в одной точке. А что если прямые непересекутся, как бы их не продолжали? Такие прямые называются параллельными.
Вводитсязначок для обозначения параллельных прямых. По рисунку объясняется как спомощью линейки и угольника провести параллельные прямые.
Еслина прямой отметить точку, то она разделит прямую на две части (в отличие отучебника Н.Я. Виленкина понятия дополнительного луча не вводится), каждая изкоторых называется лучом. Сообщается об обозначениях луча.
Частьпрямой, ограниченная точками называется отрезком.
Измерениеотрезков
Понятияединицы измерения и единичного отрезка вводятся с помощью задачи: ученик 5 классаи его сестра — десятиклассница решили подсчитать число шагов от школы до дома.Получилось, что одно и тоже расстояние равно 300 шагам брата и 250 шагамсестры. Очевидно, что разные результаты получились из-за того, что сестраизмеряла расстояние большими шагами, чем брат.
Втаких случаях говорят, что были использованы различные единицы измерениядлины. Отрезок, длина которого принята за единицу измерения, называют единичнымотрезком.
Напримере объясняется измерение с недостатком и с избытком.
Длинуотрезка называют расстоянием между его концами.
Метрическиеединицы длины
Окружность и круг. Сфера и шар
Окружность- замкнутая линия, которую описывает ножка циркуля с карандашом. Центрокружности-т точка, в которую установили острие циркуля.
Радиус,хорда и диаметр определяются как отрезки, соединяющие различные точкиокружности.
Круг- часть плоскости, находящаяся внутри окружности.
Сфера- все точки пространства, удаленные от данной точки на одно и тоже расстояние.
Шар- часть пространства, находящаяся внутри сферы.
Традиционнаяпоследовательность материала и его изложение.

Углы. Измерение углов
Понятиеугла и его составляющих (вершина, стороны) вводится по рисунку на конкретномпримере. Угол- часть плоскости, ограниченная лучами, выходящими из одной точки.
Понятиеравных углов так же вводится по рисунку. Два угла называются равными, если онисовмещаются наложением.
Далеерассматриваются все виды углов: развернутый, прямой, острый тупой.
Елина прямой отметить точку, то образуется два луча, выходящих из одной точки. Этиточки тоже делят плоскость на две части, каждую из которых называют развернутымуглом.
Прямойугол вводится на основе развернутого при помощи практических представлений: перегнемлист бумаги так, чтобы лучи совпали, и расправим лист. Тогда линия сгиба,разделит каждый из развернутых углов на два равных угла, каждый из которыхназывают прямым углом.
Сообщается,что углы измеряют и строят с помощью транспортира.
Острыйи тупой угол вводятся традиционно, как угол, меньший и больший 90,соответственно.
Прямые,пересекающиеся под прямым углом, называют перпендикулярными. Вводитсятрадиционный значок для обозначения перпендикулярных прямых.
Треугольник. Прямоугольник
Ученикамуже знакомы все виды углов, на основе этого вводятся виды треугольников. Кромеэтого, вводится равнобедренный и равносторонний треугольники.
Всепонятия вводятся традиционно и последовательно.
Прямоугольник
Вначалевводится стандартное определение прямоугольника: прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые. Определяются вершины и стороныпрямоугольника.
Таккак определение параллельных прямых было уже введено ранее, то сообщается, чтопрямоугольника противоположные стороны равны и параллельны.
Понятиеквадрата вводится на основе прямоугольника, как частный случай: прямоугольник,у которого все стороны равны, называют квадратом.
Площадьпрямоугольника. Единицы площади
Вводитсяпонятие единичного квадрата и сообщается, что его площадь принимают за единицуизмерения площадей, вводятся основные единицы измерения площадей.
Формулаплощади прямоугольника вводится по рисунку на конкретном примере.
Сообщаетсяформула площади квадрата и дается объяснение названия второй степени числа, какквадрата числа.
Вводятсяединицы измерения площадей земельных участков
Прямоугольныйпараллелепипед
Понятиепрямоугольного параллелепипеда вводится на конкретных примерах: класснаякомната, коробка конфет, кирпич.
Порисунку вводятся все основные составляющие параллелепипеда.
Понятиекуба вводится, как частный случай прямоугольного параллелепипеда, у котороговсе ребра равны.
Нарисунке изображена коробка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, еслиее разрезать по вертикальным ребрам и развернуть, то получится разверткапрямоугольно параллелепипеда, тоже изображена на рисунке.
Объемпрямоугольного параллелепипеда. Единицы объема
Всепонятия, связанные с данным пунктам вводятся аналогично и в той жепоследовательности, как и площадь прямоугольника.
Арифметика 6 класс
Глава 5
Длина отрезка
Ранееуже вводилось понятие длины отрезка, но только в том случае, когда его длинавыражалась рациональным числом. В этом пункте дано понятие длины произвольногоотрезка, которая может выражаться как рациональным, так и иррациональнымчислом.
Итог:произвольный отрезок АВ имеет длину а – положительное число. Верно и обратноеутверждение: если дано положительное число а, то можно указать отрезок АВ,длина которого равна этому числу.
Длина окружности. Площадь круга
Вводитсячисло пи и обосновывается причина использования его приближенного значения,постоянное число, равное отношению длины окружности к длине ее диаметра.
Формуладлины окружности получается на основе определения числа пи, а формула площадикруга приводится без доказательства.
Далеерассматривается пример на использование полученных формул.
Координатнаяось
Ранеевводилось понятие координатной оси. Но там рассматривались только рациональныеточки, т.е. точки, имеющие рациональные координаты х, и ось была «дырявая» — без иррациональных точек. Однако координата х произвольной точки координатнойоси есть, вообще говоря, действительное число, т.е. оно может быть рациональнымили иррациональным. Этот вопрос и был выяснен на основании общего понятия длиныотрезка, введенного ранее. Теперь координатная ось перестала быть «дырявой» — каждой ее точке соответствует действительное число (взаимно однозначноесоответствие между точками оси х и действительными числами).
Декартовасистема координат на плоскости
Декартовасистема координат вводится на основе двух осей координат, расположенных подпрямым углом, ось х и ось у (позднее сообщается, что можно обозначить оси идругими буквами), с точкой пересечении О., являющейся начальной точкой длякаждой из осей.
Затемвводятся координаты точки на конкретном примере, по рисунку, и координатныечетверти.
4. В.Г. Дорофеев, С.Б.Суворова, И.Ф. Шарыгин, Математика 5 класс
Глава 1. Линии и углы
§1. Линии
Разнообразный мир линий
На интуитивном уровневводится понятие линии: если мы ведем карандашом по поверхности, то рисуемлинию. Объясняется происхождение термина линия ( от латинского слова linea – лен, льняная нить, веревка).
Сообщается, чтосуществует множество видов линий и рассматриваются следующие из них: замкнутаяи не замкнутая ( на основе того можно линию обвести карандашом или нет);самопересекающаяся линия и линия без самопересечений.
На основе рисункавводятся такие понятия как внутренняя и внешняя области и граница.
Главные линии: прямая иокружность
Понятие линий и их видов учащимся уже знакомо. На интуитивномуровне и вводится понятие прямой. Рассматриваются ее свойства как линии ивозможности ее получения.
Далее, аналогичнымспособом вводится понятие окружности и круга, и их составляющие элементы.
Части прямой. Ломаная
Учащиеся знакомятся с понятием луча: точка О на прямой АВделит ее на две части – лучи ОА и ОВ.
Если несколько, нележащих на одной прямой, точек соединить отрезками, то мы получим ломаную.Вводятся элементы ломаной: вершины, стороны (звенья).
Длина линии
Отрезки можно сравнивать друг с другом. Если отрезкирасположены на одном листе бумаги, то это легко сделать с помощью циркуля. Ноэто не всегда удобно. Другой способ – сравнить длины отрезков. Длину можно найти,если измерить отрезок, а для этого нужны единицы измерения. Вводятся единицыизмерения. Сообщается, что для измерения длин отрезков используется линейка.
§2. Углы
Как обозначают исравнивают углы
Проведем на плоскости два луча АВ и АС с общим началом вточке А. Часть плоскости, ограниченная этими лучами, называется углом.
Углы так же как и отрезкиможно сравнивать. Для этого используется наложение одного угла на другой.
Вводится понятиебиссектрисы, как луча, который делит угол на два равных угла.
Далее вводятся виды угловв сравнении с прямым, но не используя градусную меру.
Измерение углов
Вводится понятие градуса, и уже через градусную мерурассматриваются виды углов.
Учащиеся знакомятся сновым измерительным прибором- транспортиром.
Глава 3. Многоугольники
§1. Прямоугольники итреугольник
Ломаные и многоугольники
Замкнутая ломаная линия без самопересечений, которой четыревершины называется четырехугольником. Четырехугольник это один из видовмногоугольников.
Вводятся элементы фигуры:вершины, стороны, углы, диагональ.
Прямоугольники
Четырехугольники бывают различных видов, среди них один, ужехорошо знакомый ребятам – прямоугольник. Прямоугольник – это четырех угольник,у которого все углы прямые.
У прямоугольникапротивоположные стороны равны, а две другие (смежные) стороны могут бытьразличны.
Если же у прямоугольникавсе стороны равны, то он называется квадратом. Т.о., всякий квадрат являетсяпрямоугольником.
Треугольники и их виды
Самым простым многоугольником является треугольник.
Далее рассматриваются всевиды треугольников:
Равнобедренный (равныестороны называются боковыми, а третья сторона — основанием), а треугольник, укоторого все стороны равны, называется равносторонним.
Вид треугольникаопределяется не только числом равных сторон, но и величиной углов:прямоугольный, тупоугольный, остроугольный (виды углов ученикам уже знакомы).
§2. Площади
Площадь прямоугольника
Отрезки и углы дети уже умеют сравнивать, причем двумяспособами: геометрическим- наложением и арифметическим – с помощью измерения.Ставится вопрос о сравнении прямоугольников, на который дает ответ понятиеплощади.
Вводятся единицыизмерения площади и определение площади, а далее формулы площади дляпрямоугольника и квадрата.
Единицы площади
Вводятся новые единицы измерения, предназначенные дляизмерения площадей земельных участков: ар и гектар.
Глава 5. Многогранники
§1. Геометрическиетела
Предметы и их форы
Математики изучают не предметы, а их формы. Вместо предметовони рассматривают геометрические тела: цилиндр, шар, конус и т.д.
Происходит знакомство сэлементами многогранников.
Изображениегеометрических тел
Параграф носит повествовательный характер. Учеников знакомятс основными правилами изображения геометрических тел.
§2. Параллелепипед ипирамида
Прямоугольный параллелепипед
Многогранники могут иметьсамую различную форму. Среди них выделяют прямоугольный параллелепипед.Вводятся все элементы прямоугольного параллелепипеда.
Среди всехпараллелепипедов выделяется один, уже хорошо известный ученикам – куб.
Пирамида
Важным и интересным семейством многогранников являютсяпирамиды. Вводятся элементы пирамиды. И рассматривается простейший вид пирамиды.-треугольная.
Развертки
Изображена фигура и сообщается, что если ее вырезать исложить, то получится куб. И наоборот, разрезав куб по некоторым ребрам, мыможем развернуть его на плоскости. При этом мы получим развертку куба.
Математика 6 класс
Глава 2. Прямые наплоскости и в пространстве
Пересекающиеся прямые
Напоминаются ужеизвестные свойства прямой: бесконечна, незамкнутая, через две точки можнопровести только одну прямую.
На рисунке изображены двепересекающиеся прямые. Они делят плоскость на четыре угла. У этих углов общаявершина – точка пересечения прямых.
Вводится понятиевертикальных углов и объясняется, что они равны, т.к. каждый из этих угловдополняет один и тот же угол до развернутого угла.
Далее вводится понятиеперпендикулярных прямых. Если одну пару вертикальных углов составляют острыеуглы, то другую – тупы. Но может оказаться так, что все четыре угла между собойравны, тогда каждый из них равен 90. В этом случае прямые называютперпендикулярными. Объясняется происхождение термина и вводится стандартныйсимвол для обозначения перпендикулярных прямых.
На основе рисункасообщается, что перпендикулярные прямые можно построить с помощью угольника илис помощью транспортира.
Параллельные прямые
Случай, когда прямыепересекаются был рассмотрен в предыдущем пункте, а если прямее не пересекаются,для них существует свой термин, они называются параллельными.
Вводится символ дляобозначения параллельных прямых и поясняется история его происхождения.
Далее приводитсяподробный план построения параллельных прямых с помощью угольника и линейки. Нопредварительно свойство, характеризующее параллельные прямые и котороепозволяет выполнить построение с помощью циркуля и линейки: если провестинесколько параллельных прямых и прямую их пересекающую, эта прямая пересечеткаждую из этих параллельных прямых под одним и тем же углом.
На основе рисункавводится свойство параллельных прямых: если прямые перпендикулярны одной и тойже прямой, то они параллельны.
На примере кубарассматривается следующий случай взаимного расположения прямых в пространстве.Вводится определение скрещивающихся прямых.
Расстояние
Рассматриваетсярасстояние между точками, от точки до прямой, между параллельными прямыми и отточки до плоскости.
Глава 5. Окружность
Прямая и окружность
На основе серии рисунковвводится взаимное расположение прямой и окружности.
С помощью рисункасообщается свойство касательной: касательная перпендикулярна радиусу,проведенному в точку касания.
Далее на основе этогосвойства приводится подробный прян построения касательной к окружности.
Две окружности наплоскости
Объяснение видоввзаимного расположения двух окружностей на плоскости проводится аналогичнопредыдущему пункту.
Построение треугольника
Сначала приводитсяподробное построение треугольника со сторонами 3, 4, 5 см с помощью циркуля и линейки.
Далее приводится попыткапостроения треугольника со сторонами 1, 2, 4 см. Такое построение не возможно осуществляется вывод и сообщается неравенство треугольника.
Круглые тела
Рассматривается цилиндр,шар и конус. Знакомство осуществляется по следующему плану:
1.  Историческая справка (происхождениетермина)
2.  Составляющие элементы
Глава 7. Симметрия
Осевая симметрия
Проводится практическая работа. Возьмите лист бумаги.Перегните его по некоторой прямой и проткните иглой. Развернув лист, вы увидитедве точки, расположенные по разные стороны от этой прямой. Эти точкисимметричные относительно прямой – линии сгиба.
Если через полученныеточки провести прямую, то можно убедиться, что она перпендикулярна линии сгиба,а точки находятся от нее на одинаковом расстоянии (важное свойство симметрии).
Затем, рассматриваетсяалгоритм для построения точки, симметричной данной. С помощью этих знаний можностроить фигуру, симметричную данной.
Если фигуры симметричны,то они равны!
Аналогом осевой симметриив пространстве является симметрия относительно плоскости – зеркальнаясимметрия.
Ось симметрии фигуры
Говорят, что фигура симметрична относительно некоторойпрямой, если при перегибании по этой прямой части фигуры совпадают. Именно эталиния сгиба и называется осью симметрии фигуры.
Построения циркулем илинейкой
Задача: пусть дан отрезок АВ. Требуется построить прямую, емуперпендикулярную и проходящую через его середину.
Выполняется построение,после вводится специальное название – серединный перпендикуляр.
Центральная симметрия
Ведутся аналогичные рассуждения (см. центральную симметрию).
Глава 12.Многоугольники и многогранники
Сумма угловтреугольника
Ученикам в классе предлагается начертить по треугольнику. Спомощью транспортира измерить все углы и найти их сумму. У всех должнополучится 180 градусов. Затем этот же факт объясняется с помощью рассуждений: спомощью прямых, параллельных основанию.
Параллелограмм
Рассматриваются и поясняются свойства параллелограмма. Кромеэтого выполняется построение параллелограмма с помощью циркуля и линейки.
Правильные многоугольники
Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы,называют правильным.
Рассматриваются некоторыесвойства правильных многоугольников. Например, все вершины правильногомногоугольника лежат на одной окружности. Этот факт можно использовать дляпостроения.
Далее рассматриваютсяправильные многогранники.
Площади
Две фигуры, имеющие одинаковые площади, называютравновеликими. Затем, вычисляются площади данных квадрата и прямоугольника.
Если фигуры составлены изодинаковых частей, или, как говорят, равносоставлены, то они имеют равныеплощади.
Призма
В этом пункте учащиеся знакомятся еще с одним семействоммногогранников – призмами. Вводятся все составляющие элементы на основетреугольной и прямоугольной призм.
Выводы
Геометрическая линиянаиболее полно представлена в УМК Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. Подробнорассматриваются многие темы. Особенно такие, как: «Линии», «Треугольник»,«Симметрия». Изучение происходит не только на ознакомительном уровне. Изучаютсясвойства фигур.
Многие задания имеютпрактическую направленность, что еще раз подтверждает эффективность курса.Авторы показывают учащимся возможности применения геометрических знаний вреальной жизни.
К каждой теме подобранодостаточно много заданий по изучаемому материалу. Предлагаются задания двухуровней сложности. Задания второго уровня чаще носят исследовательскийхарактер.
Предлагаются задания врабочих тетрадях. Это задания такого характера как: построить, начертить,измерить, вычислить. Некоторые задание предлагаются для развития глазомера. Вдидактических материалах есть обучающие и проверочные задания по всем темамкурса. Авторы отдельное внимание уделяют интеллектуальному развитию ребенка. Наэто направлены знания, представленные в дополнительных разделах. Авторы,познавательный материал предлагают для дополнительного изучения, тем самым,подталкивая учащегося к самостоятельной деятельности.
геометрия школьник учебник пропедевтика

Глава 2. Методическая разработкаматериалов для проведения уроков по геометрии в 5-6 классах
Наши первые учителя – наши руки, ноги,глаза. Заменить все это книгами, это значит научить нас не рассуждать, апользоваться разумом других людей; это значит научить нас многое принимать наверу и никогда ничего не знать. Руссо
 
§1. Система упражненийпропедевтики и развития интереса к математике
Программа по математикеуказывает на важность формирования у учащихся навыков логического мышления,развития пространственных представлений, воображения и творческого мышления.
В решении этих задачособое место принадлежит геометрии, так как ее изучение неразрывно связано сосуществлением таких операций, как абстрагирование, конкретизация и применениеполученных знаний на практике. Школьному курсу геометрии традиционно отводитсяважная роль в развитии учащихся — развитие пространственных представлений.
Из всех трех видов мышленияцеленаправленное внимание в курсе математики уделяется словесно-логическому,понятийному мышлению. Именно поэтому в более комфортных условиях находятсяучащиеся с научным складом мышления. Это и является причиной победы некоторыхучащихся на математических олимпиадах, с одной стороны, и неуспеваемостиучащихся с художественным и практическим складом мышления, с другой. Хорошо,если учащиеся художественного типа мышления реализуют себя в творчестве,посещая художественные и музыкальные школы, кружки, но на уроках математикитакие учащиеся испытывают большие затруднения. В основе их неуспеваемости лежатпсихологические проблемы.
В настоящее время вкачестве одного из главных критериев математического развития личности многиепсихологи рассматривают уровень развития пространственного мышления, которыйхарактеризуется умением оперировать пространственным образом. Математикаявляется одним из тех предметов, при изучении которого важное место отводитсязрительному каналу поступления информации.
1.1 Упражнения,направленные на развитие графической культуры
Характеристика заданий:
— задания на развитиетонкой моторики руки;
— задания нанаблюдательность, внимательность и аккуратность;
— навыки работы сциркулем и линейкой.
Учимся чертить правильно.
1. Начертите по линейке илинии тетради несколько линий так, чтобы они не пересекались.
2.Возьмите угольник иобрисуйте его. Рядом повторите то же самое, не обрисовывая, а используя толькоодну сторону линейки.
3. Возьмите циркуль иначертите окружность
а) любого радиуса.
б) радиуса 2 см.
4. Дорисуйте окружность
/>/>
5. Начертите кусокорнамента в тетради и продлите его по всей длине страницы.
/>/>
6. Придумайте соседу попарте орнамент и обменяйтесь рисунками.
7. Какая из фигур,приведенных на рисунке, лишняя?Почему?
/>
 
1.2 Упражнения наразвитие наглядно-образное мышление
Характеристика заданий:
-умение находить заданныепростые геометрические фигуры разной величины и в разных положениях;
— подготовка кправильному обозначению геометрических фигур;
— развитие мысленныхобразов;Фигуры, вычерчиваемые однимросчерком
1. Попробуйте начертитькаждую из предложенных фигур, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя поодной линии дважды.

/>
2. Фигуру, показанную нарисунке, нужно обвести, не отрывая карандаш от бумаги и не обводя одно и то жеребро дважды. Если допустить, что линии могут пересекаться, то задача решаетсяпросто. Решение весьма усложняется, если пересечение линий запрещено:
/>
3. Фигуру, изображеннуюна рисунке, обвести, не отрывая карандаш от бумаги и не обводя одно и тожеребро дважды. Пересечение линий возможно:
/>
4. Говорят, что Магометописывал одним росчерком состоящий из двух рогов Луны знак, представленный нарисунке. Попробуйте это сделать
/>
5. На озере семь островов, которые соединены между собоймостами так, как показано на рисунке. На какой остров должен доставить катерпутешественников, чтобы они могли пройти по каждому мосту и только один раз? Скакого острова катер должен снять этих людей?
/>
6. Возьмите лист бумаги инанесите на него девять точек так. чтобы они расположились в форме квадрата,как показано на рисунке. Перечеркните теперь все точки четырьмя прямыми линиямине отрывая карандаш от бумаги:
/>
7. Сколько различныхквадратов с вершинами в данных точках можно начертить:
/>

8. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линиюдважды, нарисуй следующие фигуры
/>/>/>
/>/>
9. Каждую из фигур на рисунке нарисуй, не отрывая карандашаот бумаги и не проводя одну линию дважды. Для каждой фигуры найди все точки, скоторых можно начинать рисунок
/>
10. Попробуй нарисоватьтакую фигуру, как на рисунке, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя им поодному и тому же месту дважды.
/>
11. Проложи дорожки
а) От каждого из двух домиков положи (нарисуй) дорожки кгаражу, колодцу и к станции так, чтобы они не пересекались.
б) Попробуй сделать то же самое для трех домиков (третийдомик находится правее второго).
/>
/>
12. Положите 12 спичектак, чтобы получилось 5 квадратов. Переложите 3 спички так, чтобы получилось 3равных квадрата.
В геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечатьразличные особенности геометрических фигур, делать выводы из замеченныхособенностей. Эти умения, которые вместе можно назвать «геометрическим зрением»,необходимо постоянно тренировать и развивать (задания №13-18 перерисовать втетрадь и записать ответ).
13. На отрезке АВ взятыточки К и М. Сколько получили разных отрезков? На первый взгляд кажется, чтоих три: АК, КМ и MB. Но есливнимательно рассмотреть этот рисунок 1, то можно найти еще три отрезка: AM, KB и АВ. Сколько отрезков изображено на рисунке 2?
1./>2./>
14. Прямоугольник ABCD разделенна части прямыми КМ и ОР. Сколько получилось разных прямоугольников? Четыре?Нет! Найдите на этом рисунке девять прямоугольников
/>
15. Сколько четырехугольников на рисунке?
/>
16. Сколько треугольников на рисунке?
/>
17. Найдите 27 треугольников в фигуре на рисунке
/>
18. Найдите звезду нарисунке
/>
1.3 Система упражненийна развитие пространственных представлений
Характеристика заданий:
— задания на развитиепространственного мышления;
— задания на развитиеумения увидеть по чертежу на плоскости объемное тело;
— первичные навыкиразвертывания поверхности геометрических тел;
1.Указать число кубиков,из которых состоит фигура:
/>
2. Сколько граней у неотточенного шестигранного карандаша?
Куб находится на рабочем столе. Сколько граней можнопокрасить не переворачивая?
3. Сколько разных красокпонадобится, если противоположные грани куба раскрасить одним цветом, асоседние разными?
4. Заштрихуйте грань,противоположную данной;

/>
5. Достройте рисунок так,чтобы получился куб:
/>
6. Сначалапереворачивается без скольжения 2 раза на 90° фигура слева в направлениистрелки, а затем переворачивается один раз на 90° фигура справа в направлениистрелки:
/>
7. Найдите получившеесяобъединение фигур:
/>

8. Определите количествоквадратов, которое содержат фигуры:
/>
9. Сколько одинаковых квадратов надо взять, чтобы из нихможно было сложить в два раза больший квадрат ?
Сколько одинаковых кубиков надо взять, чтобы получился в трираза больший куб?
10. Обозначим нижнюю грань куба буквой Н, верхнюю буквой В,боковые Б. Расставьте на развёртках куба буквы в соответствии с уженамеченными:
/>
/>
11. Какие буквы совместятся с буквой А при склеиванииразвёртки изображённой на рисунке:

/>
12. Какие из заготовок на рисунке не могут быть развёрткамикуба и почему?
/>
13. Мысленно сверните куб из развёрток, представленных нарисунках, и определите, какая грань является верхней, если нижняя граньзакрашена:
/>
14. Четыре грани кубика окрашены не засыхающей краской так,как показано на рисунке. Какой след оставит кубик на листе бумаге, если егопереворачивать без скольжения вправо из положения слева три раза на 90°?
/>

§2. Задачи длякружковой работы
 
2.1 Задачи погеометрии, решаемые методами оригами
Слово«оригами» происходит от двух японских слов: «ори» –сложенный, «ками» – бумага, и может быть переведено как«сложенная бумага». Складывание фигурок из бумаги имеет многовековуюисторию и своими корнями тесно связано с культурой Востока.
Неопределяемыми понятиямигеометрии являются: точка, прямая и плоскость. В традиционном школьном курсегеометрии решаются задачи на построение при помощи циркуля и линейки. В решениитаких задач с помощью линейки можно провести произвольную прямую; произвольнуюпрямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данныеточки. При помощи циркуля можно описать окружность данного радиуса и отложитьотрезок на данной прямой от данной точки.
Возможности перегибания листа бумагивключают в себя не только «геометрию линейки», но и «геометриюциркуля», что обеспечивает возможность решения большого разнообразиясерьезных, а порой и забавных задач. Как правило, решение задач методами перегибаний(оригами) проще и нагляднее. Некоторые задачи, решаемые методами оригами, припомощи циркуля и линейки просто не имеют решения!
Наглядность иотносительная простота освоения оригами могут помочь и при изучении геометрии.Такой подход оживляет и заметно облегчает освоение целого ряда абстрактных, ипотому сложных для освоения многим учащимся геометрических понятий, делает ихизучение более ясным и доступным, убеждает в правильности классическихутверждений, теорем и побуждает к дальнейшим исследованиям. Ученики учатсяпонимать то, о чем говорят сами, и то, что говорят другие, учатся мыслить.
 

Условные знаки иприемы складывания
/>Делениеотрезка на равные части
Из произвольного листабумаги при помощи сгибов можно получить квадрат. Если на этом листе бумаги данотрезок, который требуется разделить, то всегда сначала можно построить квадратсо стороной равной этому отрезку, а затем разделить сторону квадрата.
В задачах этого разделапроисходит деление на равные части стороны квадрата (прямоугольника) при этомподразумевается, что длина заданного отрезка равна стороне квадрата.
1.  Методом перегибания точно разделитьсторону квадрата на три равные части.
2. 
/>

Разделить сторонуквадрата на 11 равных частей
/>
3.  Разделить прямоугольник ABCD на 9 равных прямоугольников, неиспользуя измерительных приборов, как на рисунках 1 и 2.
/>

Вариант 2/>Прямойугол
1.  Методом складывания разделить один изуглов квадрата на три равных угла
/>Геометриялиста произвольной формы
1.  Из произвольного листа бумагиполучите с помощью сгибов квадрат

/>
/>
2.  Из произвольного листа бумагиполучить равносторонний треугольник
/>
3.  На листе бумаги проведены прямая, атакже даны центр окружности и некоторая точка на ней (сама окружность ненарисована). Как с помощью перегибаний найти точки пересечения воображаемойокружности с проведенной прямой?
О- центр окружности
А- лежит на окружности
/>
2.2 Задачи на геопланеЧтотакое геоплан?
Геоплан представляетсобой плоскую поверхность с закрепленными на ней тонкими стержнями,располагающимися в форме квадратной сетки или каким-либо другим способом (ввиде окружности, многоугольника). Построение фигур осуществляется на геопланепри помощи эластичных шнуров (резиновых нитей или колец), которые фиксируютсямежду стержнями.
Главное достоинство геопланасостоит в возможности быстрого построения геометрических фигур. При этом нетребуются ни бумага с карандашом, ни доска с мелом и не нужно ничего стирать:любую конфигурацию можно быстро изменить или построить заново.Какстроить фигуры на геоплане
Строить (изображать) нагеоплане можно различные геометрические фигуры: отрезки, углы, ломаные,треугольники, квадраты, ромбы, прямоугольники, параллелограммы, трапеции,всевозможные многоугольники, а также различные конфигурации, образованныелиниями. Можно иллюстрировать или устанавливать свойства геометрический фигур:равенство сторон, углов, площадей, периметров.
Даже незначительные перемещения эластичныхнитей по полю геоплана способны изменить (преобразовать) начальную ситуацию:упростить или усложнить ее, рассмотреть частный или более общий случай.Длячего решать задачи на геоплане
Решение задач на геопланеразвивает геометрическую зоркость, умение видеть (распознавать) на чертежегеометрические фигуры или их отдельные элементы, устанавливать их свойства.Работа с геопланом учит наблюдать, анализировать чертеж, проводить опыт,пользоваться здравым смыслом, прикидкой. Все эти умения необходимы каждомучеловеку. А, кроме того, решать задачи на геоплане это увлекательно!Какизготовить геоплан самому
Геоплан можно смастеритьсамому в школьной мастерской или дома. Для этого необходимо подобратьдеревянную доску, фанерку или картонку подходящего размера, нанести на нееквадратную сетку и вбить тоненькие гвоздики без шляпок в ее узлах. Желательно,чтобы расстояние между двумя соседними гвоздиками по вертикали или горизонталибыло равно 1 дм. В качестве эластичных шнуров можно использовать обычныерезиновые жгутики с маленькими петельками или шайбочками на концах, а такжетоненькие резиночки со связанными концами (кольца).
При решении задач можновоспользоваться и бумажным прототипом геоплана – обычной ученической тетрадью снаколотой шилом или набитой тонким гвоздиком квадратной сеткой на всех еелистах.Отрезки
1.  Два отрезка, длиной по 5 дм каждый,постройте на геоплане таким образом, чтобы они пересекались в точке, делящей ихна четыре отрезка длиной 1 дм, 2 дм, 3 дм, 4дм.
2.  На четвертой части геоплана (5х5 дм)разместите десять отрезов длиной 1 дм, 1 дм, 1 дм, 2 дм, 2 дм, 3 дм, 3 дм, 4дм, 4 дм и 5 дм таким образом, чтобы никакие два из них не имели общей точки.
3.  Постройте три отрезка с общим концомтак, чтобы длина первого из них равнялась 2 дм, второго – 3 дм, а длинатретьего была бы больше длины первого, но меньше длины второго. Найдите дварешения.
4.  Выберите точку и постройте на вашемгеоплане три самых маленьких по длине попарно неравных отрезка с концами в этойточке.
5.  Постройте самый короткий и самыйдлинный отрезки геоплана так, чтобы их общая точка делила один из них на дверавные по длине части.
6.  Постройте отрезок, являющийсядиагональю прямоугольника со сторонами 4 дм и 6 дм. Постройте еще два отрезка,пересекающие первый и разбивающие его на три равные по длине части.Ломаные
1.  Постройте ломаную из пяти звеньев,длиной по 3 дм каждое, так, чтобы расстояние между ее концами равнялось 9 дм;было больше 9 дм; было меньше 9 дм.
2.  Из отрезков длиной, равной длинедиагонали прямоугольника со сторонами 2 дм и 1 дм, постройте ломаную, состоящуюиз трех, пяти, семи звеньев, так, чтобы расстояние между ее концами равнялось 1дм.
3.  Постройте ломаную, состоящую из шестизвеньев, таким образом, чтобы ее длина была больше 18 дм, но меньше 19 дм.
4.  Постройте ломаную в виде буквырусского алфавита, состоящую из двух, трех, четырех звеньев.
5.  Постройте ломаную в виде буквы Мрусского алфавита Переместите одну из ее вершин таким образом, чтобыобразовалась ломаная в виде другой буквы русского алфавита.
6.  Турист в течении дня несколько разизменял направление своего движения. До обеда он прошел 4 км на север, затем повернул на восток и двигался 2 км, а далее прошел некоторое расстояние внаправлении на северо-восток, больше двух км, но меньше 3 км, и, наконец, км на восток. После обеда он начал двигаться на юг и прошел км, затем повернул назапад и двигался 3 км, а далее он прошел в направлении на юго-запад такое жерасстояние, какое он прошел в направлении на северо-восток до обеда. Врезультате турист оказался в пункте, отстоящем от начальной точки движения нарасстоянии 2 км в направлении на восток. Выберите подходящий масштаб ипостройте ломаную, изображающую маршрут туриста.
*В данных задачах речьидет лишь о незамкнутой простой ломаной, т.е. о такой, у которой конецпоследнего звена не совпадает с началом первого и несоседние звенья непересекаются.Углы
1.  Постройте углы величиной 45, 90, 135,180 градусов таким образом, чтобы все они имели общую вершину и каждый меньшийпо величине угол содержался внутри большего.
2.  Постройте смежные углы таким образом,чтобы величина одного из них была бы больше 135 градусов.
3.  Изобразите на геоплане несколько слов,состоящих из букв русского алфавита, в написании которых встречаются лишьпрямые углы.
4.  Постройте острый угол, величинакоторого равна 45 градусов. Выберите внутри его точку и постройте еще один уголтаким образом, чтобы стороны обоих углов были соответственно перпендикулярными.
5.  Постройте два угла, стороны которыхпопарно параллельны, таким образом, чтобы при пересечении этих сторонобразовался прямоугольник, имеющий площадь 6 дм2.
6.  Постройте два угла, стороны которыхпопарно перпендикулярны, таким образом, чтобы при пересечении этих сторонобразовался отрезок, имеющий длину 2 дм.Треугольники
1.  Постройте треугольник, у которогодлина первой стороны больше 2 дм, но меньше 3 дм, длина второй стороны больше 3дм, но меньше 4 дм, длина третьей стороны больше 4 дм, но меньше 5 дм.
Четырех угольники
1.  Постройте четырехугольник, всестороны которого имеют длину, равную диагонали прямоугольника размером 3х1 дм.Найдите несколько решений.
2.  Постройте четырехугольник, всестороны которого имеют различные длины от 4 до 5 дм.
3.  Постройте квадрат со стороной 6 дм.Постройте все различные квадраты, вершины которых лежат на сторонах исходногоквадрата.
4.  Постройте прямоугольник, площадькоторого равна 12 дм2, четырьмя различными способами.
5.  Постройте шесть квадратов, площадикоторых равны 4 дм2, 16 дм2, 64 дм2, такимобразом, чтобы каждый меньший по площади квадрат содержался внутри каждогобольшего.
6.  Постройте два прямоугольника,имеющих: а)равные периметры и равные площади; б)равные площади и разныепериметры.
2.3 Геометрия на клетчатойбумаге
Рекомендации попроведению уроков
Ø Начинать обучать школьниковжелательно с пятого класса.
Ø Преподавание должно вестисьнепринужденно, почти в импровизационном стиле. Эта видимая легкость на самомделе требует от учителя большой и серьезной подготовки.
Ø Занятия лучше проводить внестандартной форме.
Ø Необходимо использовать на уроках какможно больше наглядного материала: различных карточек, картинок, наборов фигур,иллюстраций к решению задач, схем.
Ø При разборе темы нужно старатьсядобиваться понимания, а не зазубривания.
 

Урок №1
Цель: развиватькомбинаторные навыки (рассмотреть различные способы построения линии разрезафигур, правила, позволяющие при построении этой линии не терять решения),развивать представления о симметрии.
Задачи 1-4 решаем науроке, задача 5 – на дом.
1.  Квадратсодержит 16 клеток. Разделите квадрат не две равные части так, чтобы линияразреза шла по сторонам клеток. (Способы разрезания квадрата на две части будемсчитать различными, если части квадрата, полученные при одном способеразрезания, не равны частям, полученным при другом способе). Сколько всегоразрезаний имеет задача?
Указание. Найти несколькорешений этой задачи не так уж сложно. На рисунке некоторые из них показаны,причем решения б) и в) одинаковы, так полученные в них фигур можно совместитьналожением (если повернуть квадрат в) на 90 градусов).
/>
Но найти все решения и ниодно решение не потерять уже труднее. Заметим, что ломаная, делящая квадрат надве равные части симметрична относительно центра квадрата. Это наблюдениепозволяет шаг за шагом рисовать ломаную с двух концов. Например, если началоломаной в точке А, то конец ее будет в точке В. Убедитесь, что для даннойзадачи начало и конец ломаной можно нарисовать двумя способами.
При построении ломаной, чтобыне потерять какое-либо решение, можно придерживаться такого правила. Еслиследующее звено ломаной можно нарисовать двумя способами, то сначала нужнозаготовить второй такой же рисунок и выполнить этот шаг на одном рисункепервым, а на другом вторым способом. Аналогично нужно поступать, когда способовне два, а три. Указанный порядок действий помогает найти все решения.
/>
/>
/>
2.  Прямоугольник3х4 содержит 12 клеток. Найдите пять способов разрезания прямоугольника на дверавные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток (способыразрезания считаются различными, если части, полученные при одном способеразрезания, не равны частям, полученным при другом способе).
3.  Прямоугольник3х5 содержит 15 клеток и центральная клетка удалена. Найдите пять способовразрезания оставшейся фигуры на две равные части так, чтобы линия разреза шлапо сторонам клеток.
4.  Квадрат6х6 разграфлен на 36 одинаковых квадратов. Найдите пять способов разрезанияквадрата на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадрата.
5.  Задача4 имеет более 200 решений. Найдите хотя бы 5 из них.
Урок №2
Цель: продолжатьразвивать представления о симметрии (осевой, центральной).
1.  Разрежьтефигуры, изображенные на рисунке, на две равные части по линиям сетки, причем вкаждой из частей должен быть кружок.
/>
2.  Фигуры,изображенные на рисунке, надо разрезать по линиям сетки на четыре равные частитак, чтобы в каждой части был кружок. Как это сделать?
/>
3.  Разрежьтефигуру, изображенную на рисунке, по линиям сетки на четыре равные части исложите из них квадрат так, чтобы кружочки и звездочки расположилисьсимметрично относительно всех осей симметрии квадрата.
/>
4.  Разрежьтеданный квадрат по сторонам клеток так, чтобы все части были одинакового размераи формы и чтобы каждая содержала по одному кружку и звездочке.
/>
5.  Разрежьтеквадрат 6х6 из клетчатой бумаге, изображенный на рисунке, на четыре одинаковыечасти так, чтобы каждая из них содержала три закрашенные клетки.
/>
 
Урок №3
Цель: научиться разрезатьпрямоугольник на две равные части, из которых можно сложить квадрат, другойпрямоугольник. Научиться определять, из каких прямоугольников, разрезав их,можно составить квадрат.
Дополнительные задачи 7-8(эти задачи можно рассмотреть в начале урока для разминки).
1.  Прямоугольник4х9 клеток разрежьте по сторонам клеток на две равные части так, чтобы из нихзатем можно было сложить квадрат.
2.  Можноли прямоугольник 4х8 клеток разрезать на две части так, чтобы из них можно былосоставить квадрат?
3.  Изпрямоугольника 10х7 клеток вырезали прямоугольник 1х6, как показано нарисунке. Разрежьте полученную фигуру на две части так, чтобы из них можно былосложить квадрат.

/>
4.  Изпрямоугольника 8х9 клеток вырезали закрашенные фигуры, как показано на рисунке.Разрежьте полученную фигуру на две равные части так, чтобы из них можно былосложить прямоугольник 6х10.
/>
5.  Наклетчатой бумаге нарисован квадрат размером 5х5 клеток. Покажите, как разрезатьего по сторонам клеток на 7 различных прямоугольников.
6.  Разрежьтеквадрат 13х13 на 5 прямоугольников по сторонам клеток так, чтобы все десятьчисел, выражающих длины сторон прямоугольников, были различными целыми числами.
7.  Разделитефигуры, изображенные на рисунке, на две части. (Разрезать можно не только полиниям клеток, но и по их диагоналям.)
/>
8.  Разрежьтефигуры, изображенные на рисунке, на четыре равные части.
/>
2.4 Задачи наразрезание треугольника
Задачами на разрезаниеувлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач наразрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первыйсистематический трактат на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа, знаменитогоперсидского астронома Х века, жившего в Багдаде. Геометры всерьез занялисьрешением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующеесоставление из них той или иной новой фигуры лишь в начале ХХ века. Одним изосновоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитыйсоставитель головоломок Генри Э. Дьюдени.
В наши дни любителиголоволомок увлекаются решением задач на разрезание прежде всего потому, чтоуниверсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто беретсяза их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию испособность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глубокоезнание геометрии, то любители иногда могут даже превзойтипрофессионалов-математиков.
Вместе с тем, задачи наразрезание не являются несерьезными или бесполезными, они не так уж и далеки отсерьезных математических задач.
Задачи на разрезаниепомогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьниковна разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты,закона и порядка в природе.
1.  Можно ли провести разрезпроизвольного треугольника так, чтобы получить два треугольника?
2.  Можно ли провести разрез треугольникатак, чтобы получить три треугольника?
3.  Можно ли провести два разрезатреугольника, чтобы получить три треугольника?
4.  Можно ли проведением двух разрезовтреугольника получить четыре треугольника?
5.  Можно ли провести два разрезатреугольника так, чтобы получить пять треугольников?
6.  Как нужно провести два разрезатреугольника, чтобы получить шесть треугольников?
7.  Можно ли двумя разрезами разбитьтреугольник на семь треугольников?
8.  Можно ли двумя разрезами разбитьтреугольник на восемь треугольников?
9.  Какое количество треугольников можнополучить при проведении трех разрезов данного треугольника?
/>
10. Сколькотреугольников изображено на рисунке? Назовите их.
11. Сколько углов вывидите на рисунке? Назовите их.
/>
12. Сосчитайтесколько треугольников изображено на рисунке?
/>
Схема рассуждений
Цепочка задач построенатаким образом, что при переходе к каждой последующей фигуре увеличивается числоискомых треугольников (принцип нарушается при переходе от случая «в» к случаю«г», но в случае «г» усложняется «геометрический фон», т.е. появляются такиевзаимопроникающие треугольники, которые состоят, например, из треугольника ичетырехугольника, а в случае «в» все взаимопроникающие треугольники можнорассматривать состоящими только из треугольников).
Оценка выполнения задания
Случай «а»
1)  Если учащийся увидел большойтреугольник, состоящий из двух маленьких, т.е. всего три треугольника, то онполучает 1 балл.
2)  Если учащийся не видит какой-либо изтрех треугольников, то он получает 0 баллов.
Случай «б»
На данном рисунке изображенбольшой треугольник, состоящий из трех маленьких, всего четыре треугольника.Такое решение оценивается в 1 балл.
Случай «в»
Схема рассуждений и ходрешения
/>/>
1.  Сосчитаем все маленькие треугольники,их всего шесть
/>/>
2.  Сосчитаем треугольники, состоящие издвух маленьких, их всего три
/>/>
3.  Сосчитаем треугольники, состоящие изтрех маленьких, их всего шесть
/>/>
4.  Треугольник, состоящий из шестималеньких треугольников – 2
Всего получилось 16треугольников
Оценка выполнения задания
1)  Учащиеся сосчитали (увидели) всевзаимопроникающие треугольники, подсчет вели с помощью алгоритма – 2 балла.
2)  Задача решалась без примененияалгоритма (какие треугольники учащийся увидел, такие и сосчитал, но нашелбольше семи треугольников – 1 балл).
3)  Учащийся при решении насчитал меньшесеми треугольников, т.е. не увидел взаимопроникающих треугольников, — оценка 0баллов.
Случай «г»
Схема рассуждений и ходрешения
1)  Сосчитаем треугольники в «нижней»части рисунка, их всего шесть, причем все они состоят только из треугольников.
2)  Добавляем «верхнюю» часть, получаемтреугольники, состоящие из треугольников и четырехугольника.
Всего получилось:(3+2+1)+(3+2+1)=12 треугольников.
Оценка выполнения задания
1)  Учащийся подсчитал все треугольники спомощью алгоритма (выбор алгоритма значения не имеет) – оценка 3 балла.
2)  Учащийся применил для решенияалгоритм, не позволяющий выделить все имеющиеся на рисунке треугольники –оценка 2 балла.
3)  Учащиеся, не увидевшиевзаимопроникающих треугольников, получают 1 балл.
4)  Учащиеся, увидевшие на рисунке меньшесеми треугольников, получают 0 баллов.
13. Сосчитайте числотреугольников, изображенных на рисунке.
/>
Ответы: а) 13треугольников; б) 27 треугольников; в) 47 треугольников; г) 27 треугольников;д) 32 треугольника; е) 48 треугольников.
14.  Начертите треугольник. Пересеките егодвумя прямыми так, чтобы на рисунке оказалось:
а) Пять треугольников
Схема рассуждений
Надо получить пятьтреугольников. Один треугольник уже есть, он построен по условию задачи. Еслииз любой вершины провести прямую, пересекающую противоположную сторону, тополучим еще два треугольника. В одном из полученных треугольников черезвершину, лежащую на стороне исходного треугольника, проведем прямую,пересекающую противоположную сторону этого треугольника, получим еще дватреугольника.
б) Восемь треугольников
Схема рассуждений
Чтобы получилось семьтреугольников (один уже есть), достаточно провести прямые через две вершины,пересекающие противоположные им стороны исходного треугольника.
Оценка выполнения задания
Верное решениеоценивается в 3 балла. Попытки, близкие к верному решению, — 1 балл и невернорешенная задача – 0 баллов.
§3. Материалы дляпроведения уроков
 
3.1«Цепочки» задач по теме «Точки и прямые плоскости»
Задачи направлены наразвитие математических способностей учащихся.
В этом разделе содержатсязадачи, которые интересны и полезны для учащихся любого возраста.
В предлагаемых задачах прекрасно работает«математическая интуиция» и «математическое воображение»,которые в среднем школьном возрасте как бы полностью открыты, ничем незагромождены (знания и опыт часто заслоняют эти очень важные качества).Интуитивное предвидение верных фактов, комбинаций и даже методов – это одно изогромных достоинств предлагаемых ниже задач.
Сначала рассмотримзадачи, для решения которых фактически не требуется никаких теоретическихзнаний.
Методическиерекомендации: данные задачи можно использовать для устной работы при проведенииурока на этапе актуализации знаний.
1.  Есть одна точка. Проведите через этуточку прямую. Сколько прямых можно провести через данную точку? Какая фигурапри этом получится плоская или пространственная?
2.  Есть три точки. Как они могут бытьрасположены? Сколько через них можно провести прямых? Почему? (Эта задача можетбыть сформулирована для любого числа точек).
3.  На листе бумаги отметили пять точек ипровели всевозможные прямые, каждая из которых проходит через какие-либо две изэтих точек. Как расположить точки, чтобы оказались проведенными: а) пятьпрямых; б) шесть прямых?
4.  На листе бумаги отметили n точек и провели всевозможные прямые,каждая из которых проходит через какие-либо из этих точек. Оказалось, чтопроведено шесть прямых. Возможно ли, что n=3; n=4; n=5; n=6?Для тех случаев, когда это возможно, сделайте чертежи.
5.  На полу классной комнаты отметиммелом точу А.
Ø Сколько прямых задают эта точка А иточки, являющиеся вершинами углов в классной комнате? Сделайте чертежи,обозначьте вершины углов класса и выпишите все получившиеся прямые.
Ø Представьте себе, что на каждой стенекласса отмечена точка (сколько таких точек отмечено?). Мысленно соедините этиточки прямыми. Сколько образовалось прямых?
Ø Сколько получится прямых, еслидобавить к точкам на стенах класса точку А, отмеченную на полу класснойкомнаты?
Ниже приведем системутворческих задач, решение которых требует нестандартного подхода.
Методическиерекомендации: задачи из данной группы можно использовать как дополнительныйматериал на уроке для тех детей, которые раньше всех справятся с заданием наурок. За выполнение этих заданий можно поставить оценку в журнал.
6.  Могут ли шесть прямых пересекаться ввосьми точках?
7.  Могут ли семь прямых пересекаться ввосьми точках? Сколько точек пересечения может быть у семи прямых?
8.  Как расположить пять точек и двепрямые, чтобы на каждой прямой было по три точки?
9.  Можно ли шесть деревьев посадить вчетыре ряда так, чтобы в каждом ряду было по три дерева?
3.2 Разработка урокапо теме «Угол»
/>/>
Учащимсяпредлагается рассмотреть заранее заготовленные рисунки. Перед учащимисяставятся вопросы:
– Назовителучи, изображенные на рисунках.
– Назовитеначало каждого луча.
– Что можносказать о лучах на рисунке 2? (Они имеют общее начало – точку А).
– Что можносказать о лучах на рисунке 1? (Начало лучей в разных точках).
– Показатьобласть плоскости, на которые ее делят лучи на рисунке 2.
– Можно лиуказать определенные части плоскости, на которые ее делят лучи на рисунке1?(Нет).
2. По«рис.3» предлагаются вопросы:
/>
– Назовителучи, имеющие общее начало и лежащие в одной области плоскости. (ОА и ОВ, ОА иОС, ОС и ОD, ОD и ОВ)
– Назовитепары лучей, имеющие общее начало. (ОА и ОВ, ОА и ОС, ОС и ОD, ОD и ОВ, ОD и ОА,ОВ и ОС)
– Покажитеобласти, на которые делят ее пары лучей.
3. После такойподготовительной работы дается понятие угла. По рис. 1, 2 предлагается указатьугол, выясняется, каких признаков угла недостает на рис.1.
4. Вводитсяобозначение угла по рис.2 (А – вершина, АВ и АС – стороны, чтение угла).
5. Подруководством учителя всеми учащимися проводится практическая работа: “Из листабумаги вырезать угол”. Учащиеся приготавливают лист бумаги, чертежныеинструменты, ножницы. Выясняется последовательность построения угла, выбираетсяначало (вершина), проводятся два произвольных луча из вершины. Учащиеся строятугол. Вырезают. Учитель, выполняя у всех на глазах эту же работу, предлагаетзадание учащимся:
– Покажитеугол.
/>
– Чтопредставляет собой оставшаяся часть? (Выясняется, что тоже угол – обе фигурычасто называют плоским углом.)
Делаетсявывод: получили две фигуры, каждая есть угол. Учащимся указывается обозначениеугла.
6.Предлагается начертить в тетради произвольный угол, назвать его, сделатьподпись под чертежом. (Эту же работу выполняет ученик, вызванный к доске).После выполнения задания учащиеся сверяют его с чертежом на доске. Еще раз впамяти детей восстанавливается понятие угла, его обозначение, чтение.
7. Учащиесясамостоятельно по рис.3 записывают множество образовавшихся углов. Ответсверяют с плакатом, на котором записан ответ. При проверке самостоятельнойработы учащиеся выясняют пропущенные углы, а затем дается разъяснения, особеннодля углов АОD и ВОС.
8. Проводятсяустные упражнения, выясняется, является ли фигура на «рис.5» углом.
/>
9.Выполняются упражнения с записью в тетрадях и на классной доске.
10. Заданиена дом.
На следующихуроках для закрепления понятия угла проводится такая работа:
1.  По готовым чертежам надо записатьмножество углов, полученных пересечением прямых.
/>
/>
/>
/>
По плакату с изображениемразличных геометрических фигур предлагается назвать углы каждой фигуры.
2.  Проводится особая подготовка квыполнению упражнения: “Начертить два угла так, чтобы их общей частью был: а)угол; б) четырехугольник; в) луч; г) отрезок «рис.10». С этой цельюбыли выполнены следующие упражнения:

/>
а) НачертитьВDE и провести прямую MN так, чтобы общей частью угла и прямой был: а) отрезок;б) точка; в) луч «рис.11»
/>
Попутно сответами учащимся предлагается определить, будет ли решением отрезок М1N1,точка А, стороны DB и DE, угол BDE (рис.11).
Упражнениеэто выполняется в тетрадях и на классной доске со всеми комментариями.
б) Начертитьугол МКЕ и провести луч АD так, чтобы их общую часть составляли: отрезок,точка, луч.
Этоупражнение учащиеся выполняют самостоятельно в тетради, затем сверяют счертежом на доске.
3.  Проводится практическая работа поопределению областей данного угла (работа выполняется на отдельном листкебумаги). Разделите данный угол двумя отрезками на две области, на три области,на четыре области.

Заключение
Изучив психолого-педагогическую и методическую литературу попоставленной проблеме, мы сделали следующие выводы:
— в 5-6 классах учащиеся уже способны к восприятию довольноабстрактного геометрического материала, но при его изучении необходимо усилитьпрактическое применение;
— изучение геометрического материала в 5-6 классах позволяетобобщить и систематизировать знания, полученные в начальной школе на основепрактической деятельности;
— знакомство с геометрическими понятиями в курсе математики 5-6классов носит пропедевтический характер по отношению к дальнейшему изучениюгеометрии и имеет практическую направленность.
Исследуя структуру пропедевтического курса геометрии, мыпришли к выводу, что формирование начальных геометрических представлений можетпроходить в рамках одного предмета — математики, однако с целью углубления ирасширения интеллектуального уровня учащихся и развития их пространственныхпредставлений можно изучать элементы геометрии отдельным блоком.
Анализ различных учебников математики 5-6 классов показал,что геометрический материал тесно связан с арифметическим и алгебраическим.Однако в большинстве учебников недостаточно внимания уделяется рассмотрениюсвойств геометрических фигур, геометрическому смыслу решаемых задач. Однако следуетотметить, что, дополнять базисный учебный план различными темами по геометрии,нежелательно, потому что перегрузка геометрическим содержанием можетпроисходить за счет сокращения арифметического материала курса. Увеличиваяобъем содержания геометрического материала, необходимо помнить о важностиформирования у учащихся вычислительных навыков, навыков решения текстовыхзадач, уравнений. Поэтому, на наш взгляд, не следует чрезмерно пересыщать урокиматематики в 5-6 классах геометрическим содержанием. Зная о высоком развивающемзначении геометрии, а также о трудностях, которые могут возникнуть у учащихсяпри изучении систематического курса, мы пришли к выводу о необходимостисовершенствования методики обучения элементам геометрии в 5-6 классах, уделяя внимание,прежде всего практическим работам.

Библиография:
 
1.  Белим, С.Н. Задачи по геометрии,решаемые методами складывания (оригами) [Текст] – М.: Аким, 1998]
2.  Гусев, В.А. Психолого-педагогические основыобучения математике [Текст] / В.А. Гусев. – М.: Вербум, Академия, 2003. – 432с.
3.  Екимова, М.А. Задачи на разрезание[Текст] – М.: МЦНМО, 2005.-120 с.: ил
4.  Зайкин, М.И. Развивай геометрическую интуицию[Текст]: 5-9 кл.: Кн. для учащихся / М.И. Зайкин.— М.: Просвещение: Владос, 1995.—112 с.: ил.
5.Зубарева, И.И. Рабочая тетрадь №1 [Текст]: 5 кл.:Учеб. Пособие для общеобразоват. Учреждений / И.И. Зубарева. – 2-е изд. – М.:Мнемозина, 2006.- 64 с.: ил.
6. Зубарева, И.И. Рабочая тетрадь №2 [Текст]: 5 кл.:Учеб. Пособие для общеобразоват. Учреждений / И.И. Зубарева. – 2-е изд. – М.:Мнемозина, 2006.- 68 с.: ил.
7. Зубарева, И.И. Рабочая тетрадь №1 [Текст]: 6 кл.:Учеб. Пособие для общеобразоват. Учреждений / И.И. Зубарева. – 2-е изд. – М.:Мнемозина, 2006.- 94 с.: ил.
8. Зубарева, И.И. Рабочая тетрадь №2 [Текст]: 6 кл.:Учеб. Пособие для общеобразоват. Учреждений / И.И. Зубарева. – 2-е изд. – М.:Мнемозина, 2006.- 98 с.: ил.
9. Зубарева, И.И. Математика [Текст]: 5 кл.: Учеб. Дляобщеобразоват. Учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.-6-е изд.,стереотип.-М.: Мнемозина, 2007.- 270 с.: ил.
10. Зубарева, И.И. Математика [Текст]: 6 кл.: Учеб. Дляобщеобразоват. Учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.-6-е изд.,стереотип.-М.: Мнемозина, 2007.- 270 с.: ил.
11. Зубарева, И.И. Математика [Текст]: 5-6 кл.:Методическое пособие для кчителя / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.-2-е изд.-М.:Мнемозина, 2005.- 104 с.: ил.
12. Игнатьев, Е.И. В царстве смекалки [Текст] / Е.И.Игнатьев.- М.: Столетие, 1994.- 192 с.6.
13. Кордемский, Б.А. Математическая смекалка [Текст] /М.И. Зайкин. – М.: Наука: Гл. ред. Физ. Мат. Лит., 1991.- 576 с
14. Математика [Текст]: Учеб. Для 5 кл.общеобразоват. Учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И.Швацбурд; 18-е изд.- М.: Мнемозина, 2006.-142 с.: ил.
15. Математика [Текст]: Учеб. Для 6 кл.общеобразоват. Учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И.Швацбурд; 18-е изд.- М.: Мнемозина, 2006.-142 с.: ил.
16. Математика [Текст]: Учеб. Для 5 кл.общеобразоват. Учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников,А.В. Шевкин; 2-е изд.-М.: Просвещение, 2000.-255 с.: ил.
17. Математика [Текст]: Учеб. Для 6 кл.общеобразоват. Учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников,А.В. Шевкин; 2-е изд.-М.: Просвещение, 2001.-270 с.: ил.
18. Методика обучения геометрии [Текст]: Учеб. Пособие для студ. Высш.Пед. Учеб. Заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред.В.А. Гусева.-М.: Академия .-2004.-368 с.
19. Математика [Текст]: Учеб. Для 5 кл.общеобразоват. Учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.;Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина.-М.: Просвещение.-1994.-272 с.: ил.
20. Математика. Анализ данных. Доли [Текст]: Рабочая тетрадь для 5 кл.общеобразоват. Учреждений /Е.А. Бунимович, К.А. Краснянская, Л.В. Кузнецова,И.А. Лурье, С.С. Минаева, Л.О. Рослова, С.Б. Суворова.- М.: Просвещение.-1994.-96 с.
21. Математика [Текст]: Учеб. Для 6 кл.общеобразоват. Учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.;Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина.-М.: Просвещение.-2002.-208 с.: ил.