К МЕХАНИЗМУ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ С ГРАФИТОВЫМНАПОЛНИТЕЛЕМ
Р.Г.Закинян, Ю.Л. Смерек, А.Р. Закинян.
Введение. В работе [1] экспериментально исследоваласьзависимость электропроводности магнитной жидкости с графитовым наполнителем отнаправления магнитного поля. Было установлено, что при направлении магнитногополя, совпадающем с направлением электрического поля, электрическаяпроводимость магнитной жидкости увеличивается. Если же магнитное полеперпендикулярно электрическому полю, то электрическая проводимость уменьшается.Это объясняется тем, что частички графита можно рассматривать как «магнитныедырки», которые в магнитном поле ориентируются вдоль силовых линий магнитногополя. Возникающая анизотропия магнитной жидкости с графитовым наполнителемявляется причиной зависимости электрической проводимости от направлениямагнитного поля.
В работе [2] была предложена теория,объясняющая наблюдаемую зависимость электрической проводимости от направлениямагнитного поля. Суть теории [2] заключается в следующем. Предполагается, что вмагнитной жидкости всегда имеются примесные ионы, которые в результатеадсорбции с частицами магнетита заряжают их. Поэтому электрический токобусловлен движением заряженных частиц магнетита. Частицы же графита,помещенные в магнитную жидкость, оказывают сопротивление движению частиц магнетита.Если представить частицы графита в виде вытянутых эллипсоидов, то в результатеориентации в магнитном поле, частота столкновений частиц магнетита с частицамиграфита будет зависеть от направления магнитного поля. Это приводит к зависимостисопротивления (соответственно, проводимости) магнитной жидкости от направлениямагнитного поля.
Полученные в работе [2] зависимостиэлектрической проводимости от направления магнитного поля давали несколькозавышенные результаты по сравнению с экспериментом [1]. Поэтому сделан вывод,что предлагаемый в работе [2] механизм не полностью объясняет наблюдаемую вэксперименте зависимость. В работе [3] был предложен новый механизм,объясняющий зависимость проводимости магнитной жидкости с графитовымнаполнителем от направления магнитного поля. Суть нового механизма заключаласьв следующем. Так как частицы магнетита являются проводящими, то вэлектрическом поле на них должен индуцироваться заряд противоположного знака. Аэто приведет к тому, что заряженные частицы магнетита будут притягиваться кчастицам графита, компенсируя образовавшийся заряд. Таким образом, число частицмагнетита, обусловливающих электрический ток, уменьшается. Но степень этогоуменьшения будет зависеть от ориентации частиц графита. Если частицы графита вцелом электронейтральны, то электрическое поле около незаряженной частицыграфита будет иметь симметричный вид, изображенный на рис. 1.
/>
Рис. 1. Искажение электрического поляоколо незаряженной частицы графита.
Симметричное распределение силовыхлиний электрического поля есть следствие теоремы Гаусса (заряд равен нулю,поэтому число силовых линий подходящих к частице равно числу силовых линийисходящих из частицы).
Но если частицы магнетита заряжены,то они будут стремиться присоединиться к противоположно заряженным сторонамчастицы графиты. В результате этого частица графита заряжается. Поэтомусогласно теореме Гаусса, электрическое поле около заряженной частицы графитапринимает несимметричный вид, изображенный на рисунке 2.
/>
Рис.2. Искажение электрического поля около заряженной частицы графита.
Если предположить, что частицыграфита могут принимать заряды разных знаков, то картина, изображенная нарисунке 2 не будет иметь места. Действительно, если представить магнитнуюжидкость в целом электронейтральной, то в ней объемный заряд равен нулю. Тоесть число положительно заряженных и отрицательно заряженных частиц магнетитаодинаково. И будет иметь место картина, изображенная на рис. 1. Поэтому картинана рисунке 2 может возникнуть только лишь при униполярном заряжении частиц графита,то есть при наличии объемного заряда того или иного знака. Далее для определенностибудем говорить об объемном заряде положительного знака.
Частицы графита, помещенные вмагнитную жидкость, представляют собой «магнитные дырки», обладающие магнитныммоментом, направленным против внешнего поля. При изменении магнитного полячастицы графита будут ориентироваться вдоль поля. Но если представить частицыграфита в виде идеальных сфер, то, очевидно, что никакой анизотропии возникнутьне может. Поэтому анизотропию электрических свойств магнитной жидкости сграфитовым наполнителем, можно объяснить, только если предположить, что частицыграфита имеют эллипсоидальную форму (или произвольную вытянутую форму).
В работе [3] при определениипредельного заряда, который образуется на частице графита в результатеадсорбции заряженных частиц магнетита, форма частиц графита считаласьсферической. Целью настоящей статьи является – развить количественную теориюописанного выше механизма для частиц графита эллипсоидальной формы.
1. Магнитное поле параллельноэлектрическому полю. Предельныйзаряд, накапливающийся на частице графита, найдем из теоремы Гаусса [4]:
/>, (1)
где /> – поток вектораэлектрической напряженности; Е – результирующее поле, обусловленноесуперпозицией Е1 внешнего поля вблизи частицы графитаи отталкивающего поля Е2, обусловленногонакапливающими на частице графита зарядами; /> –площадь поверхности графита (рис. 3). На рис. 3 /> -напряженность невозмущенного электрического поля.
/>
Рис.3. К результирующему потоку вектора напряженности электрического поля.
Напряженность электрического поля Е1вблизи поверхности проводящего эллипсоида, помещенного первоначально воднородное электрическое поле, определяется выражением [5]
/>, (2)
где /> – полуоси эллипсоида,причем полуось /> направлена вдольоси />; /> – декартовы координатыповерхности эллипсоида; /> –коэффициент деполяризации, определяемый для вытянутого эллипсоида вращения (/>) с эксцентриситетом />, выражением [5]
/>, (3)
где /> – обратный гиперболическийтангенс: />. Из (3) следует, что
/>, (4)
то есть дляпроводящей сферы формула (2) принимает вид
/>, (5)
где /> – радиус сферы. Если жесфера является диэлектриком, то в этом случае формула (5) имеет вид [5]
/>, (6)
где /> – относительнаядиэлектрическая проницаемость сферы. При /> из(6) получается выражение (5) для проводящей сферы. Поэтому предлагаемый нижемеханизм электропроводности можно применить и для случая с диэлектрическимнаполнителем эллипсоидальной формы.
Накапливающиеся на проводящемэллипсоиде заряды порождают отталкивающее поле, препятствующее приходу новыхзаряженных частиц магнетита. Отталкивающее поле вблизи эллипсоида задаетсяформулой [5]
/>, (7)
где /> – заряд, накапливающийсяна поверхности эллипсоида; /> – числозаряженных частиц магнетита, несущих элементарный заряд />. Для случая сферы формула(7) принимает вид
/>. (8)
В результате суперпозиции получимрезультирующее поле, направленное перпендикулярно поверхности эллипсоида.Результирующее поле равно
/>. (9)
Причем /> при/>
/>. (10)
Так как в формуле (2) выражение подкорнем есть медленно меняющаяся функция, то можно ее приблизительно заменитьсредним значением:
/>. (11)
Тогдавыражения для /> и /> можно приближенно записатьв виде
/>, (12)
/>. (13)
Тогда длярезультирующего поля запишем
/>. (14)
Для нахождения потока векторанапряженности электрического поля по формуле (1), нам необходимо знатьвыражение для элемента площади поверхности эллипсоида вращения, котороесогласно [6] имеет вид
/>. (15)
С учетом (14)и (15) выражение (1) для потока вектора напряженности получим
/>. (16)
Интегралы вформуле (16) элементарно интегрируются [7]:
/>
/>. (17)
/>.(18)
С учетом формул (17) и (18) выражениедля потока вектора напряженности примет вид
/>
/>. (19)
Упростимвыражение (19), принимая во внимание, что />.
/>. (20)
Насыщение частицы графита зарядомпроизойдет, когда поток вектора напряженности /> станетравным нулю. То есть заряжение частиц графита будет происходить до тех пор,пока индуцированный заряд не будет скомпенсирован. Из условия /> найдем предельный зарядчастицы графита для случая, когда магнитное поле параллельно электрическомуполю:
/>. (22)
Предельноечисло /> заряженных частицмагнетита с элементарным зарядом e, отдающих заряд частицеграфита, в электрическом поле с напряженностью /> равно:/>.
2. Магнитное поле перпендикулярноэлектрическому полю. Рассмотрим, чтопроизойдет, если частица графита под действием магнитного поля будеториентирована перпендикулярно электрическому полю. Как было отмечено выше, есличастица графита представляет собой сферу, то никаких изменений не произойдет. Есличастица графита представляет собой вытянутый эллипсоид, то она большейполуосью, а значит, большей площадью поперечного сечения, будет расположенаперпендикулярно току.
Пусть в результате такой ориентацииполуось /> эллипсоида параллельна оси/>. В этом случаенапряженность электрического поля Е1 вблизи поверхностипроводящего эллипсоида определяется выражением (2), в котором необходимозаменить /> на />
/>, (23)
/>, />. (24)
Отталкивающее поле вблизи эллипсоидазадастся формулой (7)
/>. (25)
Результирующее поле запишется в виде
/>. (26)
Из условия /> находим />:
/>. (27)
Аналогично,запишем приближенные выражения для /> и /> в виде
/>, (28)
/>. (29)
Длярезультирующего поля запишем
/>. (30)
Выражение для элемента площадиповерхности эллипсоида вращения в этом случае имеет вид
/>. (31)
Поток вектора напряженностиэлектрического поля в этом случае определится формулой
/>. (32)
Из условия /> найдем предельный зарядчастицы графита для случая, когда магнитное поле перпендикулярно электрическомуполю:
/>. (33)
Введем следующие обозначения
/>, />, (34)
которыеназовем коэффициентами формы, соответственно, для эллипсоида, расположенногопараллельно току, и перпендикулярно току. Тогда выражения для предельных зарядов,соответственно, запишутся в виде
/>, (35)
/>. (36)
Расчетыпо формулам (35) и (36) показывают, что />.Таким образом, частица графита ориентированная перпендикулярно электрическомуполю заряжается больше, чем в случае, когда она ориентирована параллельноэлектрическому полю. Это приводит к уменьшению основного тока.
3.Удельная проводимость магнитной жидкости с графитовым наполнителем. Если быописанный выше механизм не имел бы место, то невозмущенный ток можно записать,согласно определению [4], в виде
/>, (37)
где />– плотность невозмущенноготока; />– площадь обкладок ячейки[1]. Плотность тока записывается в виде [4]
/>, (38)
где /> – концентрация заряженныхчастиц магнетита в невозмущенном потоке; />–удельная проводимость магнитной жидкости при отсутствии частиц графита; /> – скорость упорядоченногодвижения заряженных частиц магнетита. Отсюда удельную проводимость записывают ввиде [4]
/>, />, (39)
где /> – подвижность заряженныхчастиц магнетита; /> – объемный зарядневозмущенного потока.
Концентрациючастиц графита обозначим />. Ввыражении для плотности тока необходимо учесть, что часть объемного зарядаоседает на частицах графита и не участвует в токе. Поэтому для плотности тока,когда магнитное поле направлено параллельно электрическому полю, можно записать
/>. (40)
Отсюда дляудельной проводимости получим
/>. (41)
Аналогично,получим выражение для удельной проводимости, когда магнитное поле направленоперпендикулярно току:
/>. (42)
Из (41) и(42) следует
/>. (43)
Учитывая, что/>, то (43) можно приближеннозаписать в виде
/>. (44)
Из (44)видно, что когда магнитное поле параллельно току, то удельная проводимость больше,чем когда магнитное поле перпендикулярно току. Аналогично, из (41) и (42) запишемвыражения для удельных сопротивлений
/>, />, (45)
где /> и />– удельные сопротивлениямагнитной жидкости с графитовым наполнителем в магнитном поле, соответственно,параллельном электрическому полю и перпендикулярному электрическому полю; /> – удельное сопротивлениемагнитной жидкости в отсутствии частиц графита. В эксперименте [1] измерялосьсопротивление ячейки. Соответственно, для сопротивлений запишем выражения
/>, />, (46)
где /> – сопротивление магнитнойжидкости в отсутствии частиц графита. Отсюда
/>, (47)
где />. Откуда видно, чтосопротивление ячейки в магнитном поле, параллельном электрическому полю,меньше, чем в магнитном поле, перпендикулярном электрическому полю.
/>Сделанный вывод согласуются с данными экспериментальных исследований,результаты которых приведены на рисунке.
Такимобразом, из вышеизложенного следует, что проводимость магнитной жидкости сграфитовым наполнителем изменяется в зависимости от направления магнитногополя. Проводимость магнитной жидкости с графитовым наполнителем в магнитномполе, параллельном электрическому полю больше, чем в магнитном поле,перпендикулярном электрическому полю: />.
4.Расчеты. Из формулы (47) следует, что анизотропия электрических свойствмагнитной жидкости с графитовым наполнителем будет существенно зависеть отконцентрации частиц графита, что действительно наблюдалось в эксперименте [1].При малых концентрациях частиц графита эффект не существенен.
Концентрациючастиц графита найдем по формуле [8]
/>, (48)
где /> – объемная концентрациячастиц графита. В эксперименте [1] объемная концентрация была равна />, а радиус частиц графитабыл порядка /> мкм. Подставляя численныезначения в (48), для полной концентрации частиц графита получим />м-3. Примем />мкм, /> мкм. Это соответствует эксцентриситетам/> и />, соответственно,коэффициенты формы /> и />. Примем />. Объемный заряд, оседающийна частицах графита, равен /> Кл/м3.На частицу графита, расположенную перпендикулярно току, оседает на /> заряженных частицмагнетита больше, чем на частицу, расположенную параллельно току.
Согласно[9], объемный заряд можно оценить по формуле
/>, (49)
/> – постоянная Больцмана; /> –абсолютная температура.
Вэксперименте [1] имело место отношение /> принапряженности электрического поля /> В/м.Для этого значения напряженности электрического поля объемный заряд, согласно(49), равен /> Кл/м3, чтосоответствует концентрации заряженных частиц магнетита /> м-3. Размерчастиц магнетита примем равным /> нм.Объемная концентрация магнетита в эксперименте была />.Тогда для концентрации частиц магнетита получим /> м-3.Отсюда видно, что не все частицы магнетита заряжены, что согласуется срезультатами [9]. Подставляя численные значения в (47), получим теоретическоезначение отношения./>. Как виднотеоретическое значение отношения сопротивлений почти в два раза меньшеэкспериментально наблюдаемого. Возможная причина расхождения теории сэкспериментом может заключаться в полидисперсности частиц графита, применяемыхв эксперименте. Расчеты же велись в предположении монодисперсности частицграфита.
Выводы.Предложен механизм, объясняющий анизотропию электрических свойств магнитнойжидкости с графитовым наполнителем в магнитном поле. Думается, что имеют местооба механизма: и механизм, предложенный в [2], и в настоящей работе. В дальнейшемпредполагается построить общую теорию, опирающуюся на оба предложенных механизма.В заключение выражаем благодарность профессору Ю. И. Диканскому, под научнымруководством которого была выполнена настоящая работа.