ЗАПАДНО-КАЗАХСТАНСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. УТЕМИСОВА
Кафедра математики
КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ПРОИЗВОЛЬНЫХЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
(курсовая работа)
Содержание
Введение
1. Нормальная форма линейного преобразования
2. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме
2.1 Собственные и присоединенныевекторы линейного преобразования
2.2 Выделение подпространства, вкотором преобразование А имеет только одно собственное значение
2.3 Приведение к нормальной формематрицы с одним собственным значением
3. Инвариантные множители
Заключение
Литература
Введение
«Человек утверждается наземле, постигая тайны явлений природы или делая определенные умозаключения».
Абай, слова назидания, Слово7.Перевод С. Санбаева.
Мною была выбрана темадля курсовой работы «Канонический вид произвольных линейных преобразований»,так как курс линейной алгебры читается на механико-математическом факультетеуниверситетов, что непосредственно связано не только с моей специальностьюмагистранта, но также и с моей работой преподавателем математики впедагогическом институте. И поэтому для меня эта тема является очень важной иактуальной.
Обычно мы изучаем различныеклассы линейных преобразований n –мерного пространства, имеющих nлинейно независимых собственных векторов. Матрица базиса, состоящего изсобственных векторов линейного преобразования, имеет особенно простой вид(диагональную форму).
Но число линейнонезависимых собственных векторов у линейного преобразования может быть меньше,чем n. А такое преобразование не можетбыть приведено к диагональной форме. Моя же работа дает ответ на возникшийвопрос: каков простейший вид матрицы такого линейного преобразования? Курсоваяработа подробно описывает канонический вид произвольных линейных преобразований,а именно:
1) нормальную формулинейного преобразования;
2) применениепроизвольного преобразования к нормальной форме:
а) собственные иприсоединенные векторы линейного преобразования;
b) выделение подпространства, вкотором преобразование А имеет только одно собственное значение;
с) приведение кнормальной форме матрицы с одним собственным значением;
3) инвариантныемножители.
Каждый раздел содержитопределения, примеры, упражнения
1. Нормальнаяформа линейного преобразования
Мы знаем, что в базисе,состоящем из собственных векторов линейного преобразования n-мерного пространства, его матрицаимеет особенно простой вид, так называемую диагональную форму.
Однако число линейнонезависимых собственных векторов у линейного преобразования может быть меньше,чем n. Такое преобразование заведомо неможет быть приведено к диагональной форме, так как базис, в котором матрицапреобразования диагональна, состоит из собственных векторов. Возникает вопрос:каков простейший вид матрицы такого линейного преобразования?
В этой работе дляпроизвольного преобразования указан базис, в котором его матрица имеетсравнительно простой вид (так называемая жорданова нормальная форма). Вслучае, когда число линейно независимых собственных векторов преобразованияравно размерности пространства, эта нормальная форма совпадает с диагональной.Сформулируем окончательный результат.
Пусть заданопроизвольное линейное преобразование А в комплексном пространстве nизмерений. Предположим, что у Аимеется k(k£n) линейно независимых собственныхвекторов
e1, f1, …, h1,
соответствующихсобственным значениям l1, l2, …, lk. Тогда существует базис, состоящий из kгрупп векторов:
e1, …, ep; f1, …, fq; …; h1, …, hs, (1)
в которомпреобразование А имеет следующий вид:
Ae1= l1e1, Ae2 = e1 + l1e2, …, Aep= ep-1+ l1ep;
Af1= l2e1, Af2 = f1 + l1f2, …, Afq= fq-1+ l2fq; (2)
Ah1= lkh1, Ah2 = h1 + lkh2, …, Ahs= hs-1+ lkhs.
Мы видим, что базисныевекторы каждой группы переходят при нашем преобразовании в линейную комбинациювекторов той же группы. Отсюда следует, что каждая группа базисных векторовпорождает подпространство, инвариантное относительно преобразования А.Рассмотрим несколько подробнее преобразование, задаваемое формулами (2).
В подпространстве,порожденном каждой группой, есть собственный вектор; например, вподпространстве, порожденном векторами е1, е2, …, ер,таким собственным вектором является е1.
Вектор е2называют присоединенным собственным вектором первого порядка. Это значит, чтоАе2 пропорционально е2 с точностью до собственноговектора, как это видно из равенства
Ae2= l1e2 + e1.
Аналогично е3,е4, … называют присоединенными векторами второго, третьего и т. д. порядков.
Каждый из них является«как бы собственным», т. е. собственным с точностью до присоединенного векторанизшего порядка
Aek= l1ek+ ek-1.
Таким образом, базискаждого инвариантного подпространства состоит из одного собственного вектора итакого количества присоединенных, которое нужно добавить, чтобы получить базисданного подпространства.
В каждом из этихподпространств имеется, с точностью до множителя, лишь один собственныйвектор.
Теорема. Пусть в комплексном n– мерном пространстве заданолинейное преобразование А. Тогда можно найти базис, в котором матрица линейногопреобразования имеет нормальную форму. Другими словами, можно найти базис, вкотором линейное преобразование имеет вид (2).
2. Приведениепроизвольного преобразования к нормальной форме
Уже упоминалось в п. 1,что в случае, когда у преобразования А не хватает линейно независимыхсобственных векторов (т. е. когда их число меньше размерности пространства),базис приходится дополнять за счет так называемых присоединенных векторов (ихточное определение будет дано чуть позже). В этом разделе дается способпостроения базиса, в котором матрица преобразования А имеет жордановунормальную форму. Этот базис мы непосредственно наберем из собственных иприсоединенных векторов, и такой способ выбора является, в некотором смысле.Наиболее естественным.
2.1Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования
Пусть l0– некоторое собственное значение преобразования А.
Определение 1. Вектор х ¹0 называется собственным векторомпреобразования А, отвечающим собственному значению l, если
Ах = lх, т. е. (А — lЕ)х = 0. (1)
Рассмотрим совокупностьвсех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном l0. Ясно, что совокупность этих векторов являетсяподпространством пространства R
Обозначим его />. Легко видеть, что /> инвариантно относительнопреобразования А.
Заметим, чтоподпространство /> состоит из всехсобственных векторов преобразования А, отвечающих собственному значению l0, к которым добавлен еще нулевой вектор.
Определение 2. Вектор х называетсяприсоединенным вектором 1-го порядка преобразования А, отвечающим собственномузначению l, если вектор
у = (А — lЕ)х
является собственнымвектором преобразования А.
Пусть l0– собственное значение преобразования А.
Подпространство,состоящее из всех векторов х, для которых выполнено условие
(А — lЕ)2х = 0, (2)
т. е. ядро преобразования(А — l0Е)2, обозначим />./> является инвариантнымподпространством пространства R. Аполучается это подпространство, если к подпространству /> добавить присоединенныевекторы 1-го порядка.
Аналогично вводимподпространство />, состоящее извсех векторов х, для которых
(А — lЕ)kх = 0. (3)
Это подпространствоинвариантно относительно преобразования А. Ясно, что подпространство /> содержит предыдущееподпространство />.Определение3. Вектор х называется присоединенным вектором k-го порядка, если вектор
у = (А — lЕ)х
есть присоединенныйвектор порядка k-1.
Пример. Пусть R – пространство многочленов степени £ n-1 и преобразование А – дифференцирование:
АР(t) = />P(t).
Легко видеть, что l = 0 есть собственное значение.Соответствующий ему собственный вектор P(t) = const. Найдем для этого преобразованияподпространства />. По определению /> состоит из всехмногочленов P(t), для которых АkР(t) =0, т. е.
/>
Это будут все многочлены,степень которых не превышает k-1.Присоединенными векторами k-гопорядка будут многочлены, степень которых в точности равна k-1.
2.2Выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только однособственное значение
Пусть l1 – некоторое собственное значение преобразования А.Пространство R можно разложить в прямую сумму двухинвариантных подпространств, в первом из которых преобразование А имеет лишьодно собственное значение l1, а вовтором у преобразования А уже нет собственного значения l1.
Не ограничивая общности,можно считать, что l1 = 0.
Действительно, пусть l1 ¹ 0. Рассмотрим преобразование В = А — l1Е;оно уже имеет собственное значение, равное нулю. Очевидно также, чтоинвариантные подпространства преобразований А и В совпадают.
Итак, будем считать, чтопреобразование А имеет собственное значение l=0. Докажем это утверждение сначала для частного случая, когда в пространственет присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению, а естьтолько собственные векторы.
Нам нужно построить дваинвариантных подпространства, прямая сумма которых равна R. В качестве первого из них, вкотором l= 0 есть единственное собственное значение, можновзять совокупность N0всех собственных векторов,отвечающих собственному значению l=0 или, другими словами, ядро преобразования А.
В качестве второгоподпространства возьмем образ М пространства R при преобразовании А, т. е. совокупность векторов у = Ах,где х пробегает все пространство R.Легко видеть, что каждое из этих подпространств инвариантно.
Они дают разложениепространства в прямую сумму. Так как сумма размерностей ядра и образа длялюбого преобразования А равна n, тодостаточно доказать, что пересечение этих подпространств равно нулю.
Предположим, что это нетак, т. е. пусть существует вектор у ¹ 0 такой, что уÎМ и уÎN0. Так как уÎМ, то он имеет вид
у = Ах, (4)
где х – некоторый векториз R. Так как уÎN0, то
Ау = 0, где у ¹0. (5)
Равенство (5) означает,что у есть собственный вектор преобразования А, отвечающий собственномузначению l= 0, а равенство (4) при этомозначает, что х есть присоединенный вектор первого порядка, отвечающий тому жесобственному значению. Мы же предположили, что у преобразования А нетприсоединенных векторов, отвечающих собственному значению l= 0.
Таким образом доказано,что подпространства М и N0не имеют общих векторов кроменулевого.
Вспоминая, что суммаразмерностей образа и ядра равна n, мыполучаем отсюда, что пространство R разложимо в прямую сумму инвариантных подпространств М и N0:
R= M+ N.
Замечание. Из приведенного выше доказательствавидно, что образ и ядро имеют пересечение, отличное от нуля в том и толькослучае, когда преобразование А имеет присоединенные векторы, отвечающиесобственному значению l= 0.
Разобранный частныйслучай дает нам идею того, как проводить доказательство в общем случае, когда Аимеет также и присоединенные векторы, отвечающие собственному значению l= 0. Подпространство N0при этом оказывается слишком узким, и его естественнорасширить за счет добавления всех присоединенных векторов, отвечающиесобственному значению l= 0. Второеже подпространство М оказывается при этом слишком большим.
Теорема. Пространство Rможно разложить в прямую суммуинвариантных подпространств />и />. При этом подпространство /> состоит только изсобственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению l= 0, а в подпространстве /> преобразование А обратимо ( т. е. l= 0 не является собственным значением преобразования Ав подпространстве />).
Если l1 – некоторое собственное значение преобразования А, топространство R можно разложить в прямую суммуинвариантных подпространств R1 и />,в первом из которых преобразование А имеет только собственное значение l1, а во втором все собственные значения А отличны от l1.
Применяя полученныйрезультат к преобразованию А в пространстве /> ик некоторому собственному значению l2этого преобразования, мы «отщепим» инвариантное подпространство, отвечающеесобственному значению l2. Продолжаяэтот процесс, пока не будут исчерпаны все собственные значения преобразованияА, мы получим доказательство следующей теоремы:
Теорема. Пусть преобразование Апространства Rимеет kразличных собственных значений l1, …, lk… Тогда Rможно разложить в прямую сумму kинвариантных подпространств /> , …, />:
R= />+ … + />.(6)
Каждое изподпространств />состоит только изсобственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению li.
Осталось еще только однане менее важная задача – выбрать в каждом из этих подпространств базис, вкотором матрица преобразования имеет жорданову нормальную форму.
2.3 Приведениек нормальной форме матрицы с одним собственным значением
В случае, если пространство состоиттолько из собственных векторов, базис в пространстве можно выбирать произвольнои матрица преобразования в этом базисе имеет диагональный вид.
В общем случаенеосторожный выбор базиса может запутать картину.
Чтобы выбрать базис, вкотором матрица преобразования имеет наиболее простой вид, мы будем тянутьцепочки собственных и присоединенных векторов, выбрав некоторый базис вподпространстве /> ипоследовательно применяя к векторам этого базиса преобразование А.
Определение. Векторы из пространства Rназываются относительно линейнонезависимыми над подпространством R1, если никакая их линейная комбинация,отличная от нуля, не принадлежит R1.
Заметим, что всякиелинейно зависимые векторы из Rотносительно линейно зависимы над любым пространством.
Определение. Базисом пространства Rотносительно подпространства R1называется такая система е1,…, еkлинейно независимых векторов из R, которая после пополнениякаким-нибудь базисом из R1образует базис во всем пространстве.
Такой базис легкопостроить. Для этого достаточно будет выбрать какой-нибудь базис в R1, дополнить его до базиса во всем пространстве и затемотбросить вектор исходного базиса из R1. Числовекторов в таком относительном базисе равно разности размерностейпространства и подпространства.
Всякую системуотносительно линейно независимых векторов над R1 можно дополнить до относительного базиса. Для этого нужно квыбранным векторам добавить какой-нибудь базис подпространства R1. Получится некоторая система векторов из R, которые, как легко проверить,линейно независимы. Чтобы получить относительный базис, нужно дополнить этусистему до базиса во всем пространстве R, а затем отбросить базис подпространства.
Итак, пустьпреобразование А в пространстве Rимеет только одно собственное значение. Не ограничивая общности можно,предположить, что оно равно нулю.
3. Инвариантныемножители
Определение. Матрицы А и А1= С-1АС, где С – произвольная невырожденнаяматрица, называются подобными.
Если А1подобнаматрице А2, то и обратно, А2 подобна А1.Если две матрицы А1 и А2 подобны одной итой же матрице А, то они подобны между собой.
Пусть А – матрицапреобразования А в некотором базисе. При переходе к другому базису матрица Азаменяется подобной ей матрицей С-1АС, где С – матрицаперехода от первого базиса ко второму. Таким образом, подобные матрицы – этоматрицы одного и того же линейного преобразования в различных базисах.
Лемма. Если С – произвольнаяневырожденная матрица, то общие наибольшие делители миноров k-го порядка матриц А — lЕ и С(А — lЕ) совпадают. Аналогичное утверждениеимеет место и для (А- lЕ)С.
Лемма. У подобных матриц многочлены Dk(l) совпадают.
Так как при переходе отодного базиса к другому матрица линейного преобразования заменяется подобной,то из последней леммы вытекает следующая
Теорема. Пусть А – линейноепреобразование. Тогда наибольший общий делитель Dk(l) миноров k-го порядка матрицы А — lЕ, где А – матрица преобразования А внекотором базисе, не зависит от выбора базиса.
Для того чтобысуществовал базис, в котором матрица преобразования диагональна, необходимо идостаточно, чтобы инвариантные множители этой матрицы имели лишь простые корни.
Теорема. Для того чтобы две матрицы былиподобны, необходимо и достаточно, чтобы их инвариантные множители совпадали.
Теорема. Нормальная форма линейногопреобразования однозначно определяется самим линейным преобразованием.
Заключение
«Образность того илииного явления или предмета, прочность закрепления его в памяти находится впрямой зависимости от силы впечатления произведенного этим предметом илиявлением.»
Абай, Слова назидания,Слово 43.
А., 1982. ПереводС.Санбаева.
Курсовая работа,описывающая канонический вид произвольных линейных преобразований, включает всебя 3 небольших раздела. Каждый раздел содержит необходимые определения, подробноразобранные примеры, упражнения с подробно разобранными решениями..
В основном курсоваяработа написана по Гельфанду И.М. «Лекции по линейной алгебре». Также помогалив написании этой работы Гельфанду И.М. и самостоятельно занимались этимразделом алгебры (и не только): Граев М.И., Пономарев В, Шапиро З.Я., КурошА.Г., Фомин С.В., Цетлин М.Л., Турецкий А.Е. и Райков Д.А.
Эту курсовую работу можноиспользовать для чтения лекций по линейной алгебре, а именно раздела курса:линейные преобразования. Конечно же, при чтении лекции полностью на эту работу опиратьсянельзя, так как она не охватывает все виды линейного преобразования и требуетопределенного дополнения.
Литература
1. Гельфанд И. М.Лекции по линейной алгебре. М., 1971.
2. Курош А. Г. Курсвысшей алгебры. М., 1971.
3. Мальцев А. И.Основы линейной алгебры. М., 1956.
4. Шимов Г. Е.Введение в теорию линейных пространств. М.-Л., 1952.