Содержание Введение…1.Построение и анализ регрессионных моделей…1.1 Построение модели парной регрессии… 1.2 Построение модели множественной регрессии…7 Заключение…11 Список использованных источников ….12 Введение Эконометрика является одной из основных базовых дисциплин подготовки экономистов и менеджеров. Она позволяет оперативно строить математические модели экономических процессов, по которым можно спрогнозировать
как будут изменяться экономические показатели развития рыночной среды. Исходя из этого, контрольная работа по дисциплине «Эконометрика» является актуальной для моей будущей деятельности. Целью работы является получение практических навыков построения эконометрических моделей. Основными задачами работы являются. 1.Построение эконометрической модели парной регрессии. 2.Построение экономической модели множественной регрессии.
При построении экономической модели парной регрессии мною были решены следующие частные задачи. Рассчитаны параметры уравнения линейной парной регрессии. Оценена теснота связи зависимой переменной с помощью показателей корреляции и детерминации. На основе использования коэффициента эластичности выполнена количественная оценка влияния объясняющей переменной на результативную переменную. Определена средняя ошибка аппроксимации.
С помощью F-критерия Фишера выполнена статистическая оценка надежности моделирования. При построении экономической модели множественной регрессии мною были решены указанные выше частные задачи и дополнительно выполнена оценка статистической значимости полученных коэффициентов регрессии. 1. Построение и анализ регрессионных моделей. 1.1 Построение и анализ моделей парной линейной регрессии. В соответствии с вариантом задания, исходные данные которого приведены в таблице 1: 1. Рассчитать параметры уравнения линейной парной регрессии. 2. Оценить тесноту связи зависимой переменной с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации. 3. Используя коэффициент эластичности, выполнить количественную оценку влияния объясняющей переменной на результативную переменную. 4. Определить среднюю ошибку аппроксимации.
5. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность моделирования. Исходные данные для построения модели парной линейной регрессии приведены в таблице 1. Линейное уравнение парной регрессии имеет вид: ŷ=b0+b1x, где ŷ – оценка условного математического ожидания у; b0,b1 – эмпирические коэффициенты регрессии, подлежащие определению. Таблица 1 – Исходные данные № п/п Область Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, у.д.е y
Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, у.д.е x 1 Орловская 2 Рязанская 3 Смоленская 4 Тверская 5 Тульская 6 Ярославская 250 Эмпирические коэффициенты регрессии b0, b1 будем определять с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» табличного процессора MS Excel. ВЫВОД
ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,038154922 R-квадрат 0,001455798 Нормированный R-квадрат -0,248180252 Стандартная ошибка 7,65655705 Наблюдения 6 Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 1 0,341869919 0,34187 0,005832 0,94279539
Остаток 4 234,4914634 58,62287 Итого 5 234,83 Коэффициенты Y-пересечение 223,1210366 Переменная X 1 0,008841463 Рисунок 1- Протокол решения задачи Из рисунка 1 видно, что эмпирические коэффициенты регрессии соответственно равны: b0 = 223 b1 = 0,0088 Тогда уравнение парной линейной регрессии, связывающее величину ежемесячной пенсии y с величиной прожиточного минимума x, имеет вид: ŷ= 223+0,0088х. Далее, в соответствии с заданием необходимо оценить тесноту статистической связи между величиной прожиточного минимума x и величиной ежемесячной пенсии y. Эту оценку можно сделать с помощью коэффициента корреляции ryx. Величина этого коэффициента на рисунке 1 обозначена как множественный R и соответственно равна = 0,038. Поскольку, в общем случае, величина данного коэффициента находится
в пределах от -1 до +1, то можно сделать вывод о несущественности статистической связи между величиной прожиточного минимума х и величиной ежемесячной пенсии у. Параметр R – квадрат , представленный на рисунке 1, представляет собой квадрат коэффициента корреляции r2yx и называется коэффициентом детерминации. Величина данного коэффициента характеризует долю дисперсии зависимой переменной у, объясненную регрессией (объясняющей переменной х).
Соответственно величина 1- r2yx характеризует долю дисперсии переменной у, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных. Из рисунка 1 видно, что доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет: 1-0,00145 = 0,998 или 99,8%. На следующем этапе, в соответствии с заданием, необходимо выполнить количественную оценку влияния объясняющей
переменной х на результативную переменную у, используя коэффициент эластичности. Коэффициент эластичности для модели парной регрессии определяется в виде: Тогда Следовательно, при изменении прожиточного минимума на 1% величина ежемесячной пенсии изменяется на 0,000758%. Далее определяем среднюю ошибку аппроксимации по зависимости: . Для этого исходную таблицу 1 дополняем двумя колонками, в которых определяем значения ŷ, рассчитанные с использованием зависимости и значения разности . Таблица 2 – Расчет средней ошибки аппроксимации № п/п Область Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, у.д.е у Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, у.д.е х ŷ 1 Орловская 232 166 224 0,032 2 Рязанская 215 199 225 0,045 3
Смоленская 220 180 225 0,021 4 Тверская 222 181 225 0,012 5 Тульская 231 186 225 0,028 6 Ярославская 229 250 225 0,017 Тогда средняя ошибка аппроксимации равна: Из практики известно, что значение средней ошибки аппроксимации не должно превышать (12…15)%. На последнем этапе выполним оценку статистической надежности моделирования с помощью F – критерия Фишера. Для этого выполним проверку нулевой гипотезы
Hо о статистической не значимости, полученного уравнения регрессии по условию: если при заданном уровне значимости теоретическое значение F – критерия Fт больше его критического значения Fкрит, то нулевая гипотеза отвергается, и полученное уравнение регрессии принимается значимым. Из рисунка 1 следует, что Fт = 0,0058. Критическое значение F – критерия Fкрит, определяем с помощью использования статистической функции
FРАСПОБР ( ) табличного процессора MS Exel. Входными параметрами функции является уровень значимости (Вероятность) и число степеней свободы 1 и 2. Для моделей парной регрессии число степеней свободы соответственно равно 1 ( одна объясняющая переменная ) и n-2 = 6-2=4. Критическое значение F – критерия Fкрит =7,71. Так как Fт < Fкрит , то нулевая гипотеза не отвергается и полученное регрессионное уравнение статистически
не значимо. 1.2 Построение модели множественной регрессии В соответствии с вариантом задания, используя статистический материал, необходимо. 1. Построить линейное уравнение множественной регрессии. 2. Дать сравнительную оценку тесноты объясняющих переменных с зависимой переменной с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности. 3. Оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью F – критерия. 4. Оценить качество уравнения посредством определения средней ошибки аппроксимации. Таблица 3 – Исходные данные № п/п Чистый доход, мл. долл. США, у Оборот капитала, мл. долл. США, х1 Использованный капитал, мл. долл. США, х2 1 6,6 6,9 83,6 2 2,7 93,6 25,4 3 1,6 10,0 6,4 4 2,4 31,5 12,5 5 3,3 36,7 14,3 6 1,8 13,8 6,5 7 2,4 64,8 22,7 8 1,6 30,4 15,8 9 1,4 12,1 9,3 10 0,9 31,3 18,9 Технологии построения уравнения регрессии аналогична алгоритму, изложенному в п.п.1.1.
Протокол построения уравнения регрессии показан на рисунке 2. ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0,901759207 R-квадрат 0,813169667 Нормированный R-квадрат 0,759789572 Стандартная ошибка 0,789962026 Наблюдения 10 Дисперсионный анализ df
MS F Значимость F Регрессия 2 9,50635999 15,23357 0,00281881 Остаток 7 0,624040003 Итого 9 Коэффициенты t-статистика Y-пересечение 1,113140304 2,270238114 Переменная X 1 -0,000592199 -0,061275574 Переменная X 2 0,063902851 5,496523193 Рисунок 2 – Протокол решения задачи
Из рисунка 2 видно, что эмпирические коэффициенты регрессии соответственно равны: b0 = 1,11; b1 = -0,0006; b2 = 0,064. Тогда уравнение множественной линейной регрессии, связывающее величину чистого дохода у с оборотом капитала х1 и использованным капиталом х2 имеет вид: ŷ = 1,11 – 0,0006х1 + 0,064х2. На следующем этапе, в соответствии с заданием необходимо выполнить количественную оценку влияния объясняющих переменных х1 и х2 на результативную переменную у, используя коэффициенты
эластичности. Коэффициенты эластичности для модели множественной линейной регрессии определяется в виде: Тогда : Следовательно, при изменении оборота капитала на 1 %, величина чистого дохода компании изменяется на 0,56%. На третьем этапе исследования необходимо оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t – критерия и нулевую гипотезу о значимости уравнения с помощью F – критерия. Технология оценки статистической значимости коэффициентов регрессии также основывается на проверке нулевой гипотезы о не значимости коэффициентов регрессии. При этом проверяется выполнения условия: если tT > tкрит , то нулевая гипотеза отвергается, и коэффициент регрессии принимается значимым. Из рисунка 2 видно, что tT для первого коэффициента регрессии равен -0,061, а для второго 5,5. Критическое значение tкрит при уровне значимости α = 0,05 определяем с использованием статистической функции СТЬЮДРАСПОБР ( ).
Входными параметрами функции является уровень значимости (Вероятность) и число степеней свободы. Для рассматриваемого примера число степеней свободы соответственно равно n-3 (так как, для двухфакторной модели множественной регрессии, оценивается три параметра b0, b1, b2). Тогда число степеней свободы равно 10-3=7. Критическое значение tкрит=2,36. Так как tT > tкрит для первого коэффициента регрессии (0,061<2,36), то нулевая гипотеза не отвергается
и объясняющая переменная х1 является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии. И наоборот, для второго коэффициента регрессии tT > tкрит (5,5>2,36) и объясняющая переменная х2 является статистически значимой. Проверка значимости уравнения множественной регрессии в целом с использованием F – критерия аналогична проверке уравнения парной регрессии. Из рисунка 2 следует, что FT = 15,23. Критическое значение
F – критерия Fкрит , определяем с помощью использования статистической функции FРАСПОБР ( ).Для модели множественной регрессии с двумя переменными число степеней свободы соответственно равно 2 (две объясняющие переменные х1 и х2) и n-k-1(где k=2 – число объясняющих переменных). И второе число степеней свободы равно 10-3=7. Критическое значение Fкрит, = 4,74. Следовательно: Fт > Fкрит, (15,23 > 4,74), и уравнение регрессии в целом является значимым . На последнем этапе исследования необходимо оценить качество уравнения посредством определения средней ошибки аппроксимации по зависимости. С этой целью представим таблицу 3 в виде вспомогательной таблицы 4. Тогда средняя ошибка аппроксимации составит: Значительная ошибка объясняется последним и предпоследним значением колонки . Исключая последнее значение из анализа, можно показать, что средняя ошибка аппроксимации
в данном случае не превысит 15%, что также является свидетельством достоверности и адекватности полученной эконометрической модели реальному процессу. Таблица 4 – Расчет средней ошибки аппроксимации Чистый доход, мл. долл. США, у Оборот капитала, мл. долл. США, х1 Использованный капитал, мл. долл. США, х2 ŷ 6,6 6,9 83,6 6,5 2,7 93,6 25,4 2,7 1,6 10,0 6,4 1,5 2,4 31,5 12,5 1,9 3,3 36,7 14,3 2,0 1,8 13,8 6,5 1,5 2,4 64,8 22,7 2,5 1,6 30,4 15,8 2,1 1,4 12,1 9,3 1,7 0,9 31,3 18,9 2,3
Заключение 1. Сформирована эконометрическая модель в виде линейного уравнения парной регрессии, связывающая величину ежемесячной пенсии у с величиной прожиточного минимума х ŷ= 223+0,0088х. 2. На основании анализа численного значения коэффициента корреляции ryx =0,038 установлено отсутствие статистической связи между величиной прожиточного минимума х и величиной ежемесячной пенсии у. Показано, что доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно
составляет 99,8%. 3. Путем расчета коэффициента эластичности показано, что при изменении прожиточного минимума на 1% величина ежемесячной пенсии изменяется несущественно, всего на 0,000758% 4. Рассчитана средняя ошибка аппроксимации статистических данных линейным уравнением парной регрессии, которая составила 2,6%, что является недопустимой величиной. 5. С использованием F-критерия установлено, что полученное уравнение парной регрессии в целом является статистически незначимым, и неадекватно описывает изучаемое явление связи величины ежемесячной пенсии у с величиной прожиточного минимума х. 6. Сформирована эконометрическая модель множественной линейной регрессии, связывающая величину чистого дохода условной фирмы у с оборотом капитала х1 и использованным капиталом х2 ŷ = 1,11 – 0,0006х1 + 0,064х2 7. Путем расчета коэффициентов эластичности показано, что при изменении оборота капитала на 1% величина
чистого дохода компании изменяется на 0,0008%, а при изменении использованного капитала на 1% величина чистого дохода компании изменяется на 0,56%. 8. С использованием t-критерия выполнена оценка статистической значимости коэффициентов регрессии. Установлено, что объясняющая переменная х1 является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии, в то же время объясняющая переменная х2 является статистически значимой. 9. С использованием F-критерия установлено, что полученное уравнение множественной
регрессии в целом является статистически значимым, и адекватно описывает изучаемое явление связи величины чистого дохода условной фирмы у с оборотом капитала х1 и использованным капиталом х2. 10. Рассчитана средняя ошибка аппроксимации статистических данных линейным уравнением множественной регрессии, которая составила 29,8%. Показано, за счет какого наблюдения в статистической базе величина данной ошибки превышает допустимое значение. Список использованных источников 1.Эконометрика. /
Под ред.члена-корреспондента Российской Академии наук И.И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. 2.Доугорти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.:ИНФРА-М, 2001. 3.Кремер Н.Ш Путко Б.А Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2002. 4.Эконометрика: Курс лекций / Степанов В.Г. – М.: МИЭМП, 2004. 5.Эконометрика: Учебная программа для студентов высших учебных заведений / Сост.: С.А.Харламов. – М.: МИЭМП, 2004. 6.Додж М Кината К Стинсон К. Эффективная работа с Microsoft Excel 97. – СПб: Издательство «Питер», 2000.