1.01. В группе из 25 человек 10 учится на «отлично», 8 на «хорошо» и 7 на «удовлетворительно». Найти вероятность того, что из взятых наугад 8 человек 3 человека учатся на «отлично».
Решение. В данном случае испытание состоит в том, что из 25 человек наугад берутся 8 человек. При этом число всех равновозможных, несовместных и единственно возможных исходов равно
/>.
Здесь мы используем сочетания, т.к. подмножества из 8 элементов неупорядочены.
Количество способов, которыми из 10 отличников можно взять 3, есть
/>
Остальных человек (не отличников) в группе из 8 человек у нас будет 8-3=5. Их мы выбираем из оставшихся 25-8=17 человек следующим числом способов: />
Далее, вероятность того, что в группе из 8 человек будут 3 отличника, вычисляем по классической формуле
/>
2.01. Программа экзамена состоит из 30 вопросов. Из 20 студентов группы 8 человек выучили все вопросы, 6 человек по 25 вопросов, 5 человек по 20 вопросов, а один человек 10 вопросов. Определить вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на два вопроса билета.
Решение. Число способов составления билетов по два вопроса из 30 есть
/>
Для каждого из 8 человек, знающих все вопросы, число билетов будет тем же самым, т.е., вероятность найти билет с известными вопросами есть 1 или 100%. Доля таких студентов в группе есть />.
Для следующих 6 человек возможное число билетов с известными вопросами есть />. Вероятность для них найти билет с известными вопросами есть />. Доля таких студентов в группе есть />.
Аналогично, для следующих 5 человек />, />, их доля есть />.
Для того, кто знает только 10 вопросов, число выигрышных билетов есть />, />, его доля есть />.
Теперь воспользуемся формулой полной вероятности
/>=70,9%
3.01. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Найти вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдёт: три, не менее трёх, не более четырёх.
Решение. Так как возможность одновременного всхода и гибели семени нереальна, это несовместные события, то вероятность гибели семени есть q=1-p=0,2.
Вероятность появления ровно 3 раза в серии из 6 событий находим по формуле Бернулли, так как число испытаний n = 6 невелико (n 10):
/>
Не менее трёх ― это означает либо 3, либо 4, либо 5, либо 6. Вычислим вероятность проращивания всех 6 семян: Р6(6)=0,86=0,262.
Соответственно, />
/>
Следовательно, вероятность того, что взойдёт не менее 3 семян, есть
Рn≥3(6)= P3(6)+P4(6)+P5(6)+P6(6)=0,082+0,262+0,246+0,393=0,983
Не более четырёх ― это значит, любое число, кроме 5 и 6, т.е., вероятность такого события есть
Рn≤4(6)=1-(P6(6)+P5(6))=1-0,393-0,262=0,345
Ответ: />, Рn≥3(6)=0,983, Рn≤4(6)=0,345.
4.01. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 1000 деталей будет 10 бракованных.
Решение. В этой задаче число испытаний N= 1000 достаточно велико (N 10), поэтому используем приближенные формулы Лапласа.
Число бракованных деталей равно 10, то есть />. Соответствующую вероятность находим по локальной формуле Лапласа.
/>, где
/>.
Результат вычислений для xокругляем с точностью до 0,01, так как значения функции φ(х0) табулируются в с такой точностью. По специальной таблице, находим: φ(0,71)=0,3101.
Следовательно, />
5.01. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекаются 3 работы. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х ― числа работ, оцененных на отлично. Найти числовые характеристики случайной величины Х. Построить функцию распределения.
Решение. Имеем случайную величину Х ― число отличных работ. Её возможные значения />.
Пусть у нас не попалось ни одной из отличных работ, т.е., вытянули все 3 не отличные. Вероятность этого есть />
Пусть теперь есть только одна отличная работа. Она может быть вытащена в первый, во второй или только в третий раз. Вероятность такого события есть
/>. Здесь 20 и 5 ― соответственно число не отличных и отличных работ в исходном массиве, 25, 24 и 23 ― число работ, последовательно уменьшающихся по мере того как мы выбираем их по одной.
Далее, пусть есть 2 отличных работы и соответственно 1 не отличная. Эта одна не отличная работа может попасться в первый, второй или третий раз:
/>
И наконец, единственный исход со всеми отличными работами:
/>
Полученные значения заносим в таблицу, которая и будет представлять закон распределения данной случайной величины:
xi
0
1
2
3
pi
0,4956
0,4130
0,0870
0,0043
Сумма всех вероятностей />
Для нахождения интегральной функции распределения воспользуемся её определением применительно к каждому промежутку изменения случайной величины
x≤0
F(x)=P(x
0≤x≤1
F(x)=P(x=0,4956
1≤x≤2
F(x)=P(x+p1=0,4956+0,4130=0,9086
2≤x≤3
F(x)=P(x3)=p+p1+p2=0,9956
3≤x≤∞
F(x)=1
Итак, искомая функция распределения выглядит следующим образом:
/>
Чертим график
/>
Найдём числовые характеристики случайной величины:
Мода М0=1
Математическое ожидание
/>
Дисперсия
/>
Среднеквадратичное отклонение />
6.01. Случайная величина Х задана плотностью вероятностей
/>
Определить параметр А, функцию распределения F(x), моду, математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, вероятность того, что в четырёх независимых испытаниях случайная величина Х попадёт 3 раза в интервал (0, 2). Построить графики функций f(x), F(x).
Решение. Так как ненулевая наша функция распределения только на интервале от 1 до ∞, то воспользуемся свойством нормировки плотности вероятности:
/>, откуда А=4
Таким образом, />
Чертим график такой функции
/>
Найдём моду такой функции. Мо=1, так как наибольшее значение плотность вероятности принимает именно при x=1
Найдём медиану:
/>. Отсюда />
Найдём математическое ожидание
/>
Дисперсия
/>
Среднеквадратичное отклонение />
Найдём интегральную функцию распределения:
При x≤1, F(x)=0
При x>1 />
Таким образом, />
Вычерчиваем такой график
/>
Вероятность того, что случайная величина попадает в интервал (0, 2) или фактически в интервал (1, 2), т.к. невозможны значения меньше 1, вычислим, проинтегрировав плотность вероятности в соответствующих пределах:
/>, так как на промежутке от 0 до 1 вероятность выпадения величины равна нулю.
Вероятность того, что только три из четырёх попаданий будет в этот интервал, вычислим по формуле Бернулли
/>
7.01. Срок службы прибора представляет собой случайную величину, подчинённую закону нормального распределения со средним сроком службы в 10 лет и среднеквадратичным отклонением 1,5 года. Определить вероятность того, что прибор прослужит до 15 лет, от 8 до 18 лет, свыше 16 лет.
Решение. Вероятность того, что величина Х попадает в некоторый интервал (α, β) есть />, где Ф ― функция Лапласа, m ― математическое ожидание распределения, σ ― среднеквадратичное отклонение.
В первом случае имеется от 0 до 15 лет, т.е., α=0, β=15
Следовательно, />. Аргумент соответствующей функции Лапласа округляем до сотых. Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(3,33)=0,4996 и Ф(6,67)=0,5000
Следовательно, вероятность того, что прибор прослужит до 15 лет есть Р1=0,4996+0,5=0,996
Соответственно, вероятность того, что он прослужит от 8 до 18 лет есть
/>. Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(1,33)=0,4082 и Ф(5,33)=0,5000. Следовательно, вероятность того, что он прослужит от 8 до 18 лет есть Р2=0,5+0,4082=0,9082
Свыше 16 лет ― это означает от 16 до бесконечности. />. Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(∞)=0,5 и Ф(4)=0,499968. Следовательно, такая вероятность Р3=0,5-0,499968=3,2·10 5.
8.01. Имеются данные о продаже туристических товаров в системе спорткультторга по кварталам за 5 лет в тыс. у.е. рассчитать гарантийный запас товара в тыс. у.е. на квартал с указанной надёжностью γ и проанализировать плановые товарные запасы на квартал
/>
Решение. Поскольку σ неизвестно, то гарантийный запас обуви найдём по формуле />, где />. По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=1-0,96=0,04 и числом степеней свободы k=n-1=19 найдем tγ=2,20.
Составляем расчётную таблицу для нахождения />и S.
№
xi
/>
№
xi
/>
1
396
156816
12
418
174724
2
438
191844
13
412
169744
3
398
158404
14
480
230400
4
412
169744
15
478
228484
5
414
171396
16
519
269361
6
422
178084
17
429
184041
7
436
190096
18
437
190969
8
418
174724
19
391
152881
9
443
196249
20
368
135424
10
474
224676
Σ
8633
3750561
11
450
202500
Параметры вычисляем по формулам:
/>
/>
/>
/>
Тогда />
Границы доверительного интервала ― это 431,65-17,5=414,12 слева и 431,65+17,5=449,18
Таким образом, гарантийный квартальный запас должен быть не менее 414,12 тыс. у.е. и не более 449,18 тыс. у.е. В эти рамки должно укладываться не менее 96% произведённых выборок.
План 460 тыс. у.е. не соответствует этому интервалу.
/>
Определить тесноту связи между Xи Y, составить уравнение регрессии.
Решение. Для определения характера зависимости построим точки xi, yi.
/>
Видно, что все точки, кроме (14, 1346), (14,3, 1359) группируются около некоторой прямой. Следовательно, можно говорить о линейной регрессии.
Будем искать уравнение регрессии в виде />
№
xi
yi
/>
/>
xiyi
/>
/>
1
13.5
1362.0
182.25
1855044
18387
1364.04
2.04
2
13.6
1368.0
184.96
1871424
18604
1362.34
5.66
3
13.7
1357.0
187.69
1841449
18590
1360.64
3.64
4
13.8
1363.0
190.44
1857769
18809
1358.95
4.05
5
13.9
1360.0
193.21
1849600
18904
1357.25
2.75
6
14.0
1346.0
196.00
1811716
18844
1355.55
9.55
7
14.1
1354.0
198.81
1833316
19091
1353.85
0.15
8
14.2
1347.0
201.64
1814409
19127
1352.16
5.16
9
14.3
1359.0
204.49
1846881
19433
1350.46
8.54
10
14.4
1348.0
207.36
1817104
19411
1348.76
0.76
Σ
139,5
330
1946,85
18398712
189203
–
–
Искомые параметры a и b найдём из системы уравнений
/>
а=-16,96969 и b=1593,12727. Следовательно, искомая аппроксимирующая функция есть y=-16,96969х+1593,12727
Рассчитаем по этому уравнению ожидаемые значения выпечки хлеба. По значениям отклонений можно сделать вывод о том, что ожидаемые значения />удовлетворительно согласуются с наблюдаемыми значениями у.
Найдём выборочный коэффициент корреляции
/>
Коэффициент корреляции по модулю равен 0,69 ― связь заметная, обратная (по шкале Чаддока).