Кручение упругопластического стержня

–PAGE_BREAK–2. Математическая корректность

Теперь покажем, что задача З1 математически корректна.

Задача называется математически корректной, если выполнены три условия:

1)      ее решение существует (условие существования);

2)      решение единственно (условие единственности);

3)      решение задачи непрерывно зависит от данных задачи (условие устойчивости).

Проверим выполнение всех трех условий.

2.1 Существование решения

Существование решения обеспечивается теоремой вариационного исчисления о том, что полунепрерывный выпуклый функционал достигает своей точной нижней грани на непустом, выпуклом, замкнутом подмножестве рефлексивного банахова пространства.
                                            (2.1.1)   

 – рефлексивное банахово пространство,

Подмножество  является непустым, замкнутым и выпуклым множеством.

 

Покажем, что  – непрерывный и выпуклый функционал.

                                                                                       (2.1.2)

Пусть :  в

Тогда  в  и  в , при

Следовательно, ,

 т.е. функционал является непрерывным.
Покажем выпуклость функционала, используя его запись в  общем виде.

                                                                                                        (2.1.3)

      

Таким образом, все условия указанной выше теоремы выполнены, и, следовательно, задача З1 имеет решение.
2.2 Единственность решения

Утверждение 1.  Билинейная форма  – V-эллиптическая.
Доказательство:  (в силу эквивалентности норм в пространстве );

                                 
Утверждение 2.  Решение задачи З1 единственно.
Доказательство:
Будем доказывать это утверждение от противного.

Пусть существуют различные , которые доставляют минимум функционалу .

Тогда, из (1.11) выполнено:                               (2.2.1)

                                                                             (2.2.2)

Подставим в (2.2.1)  вместо , в (2.2.2)  вместо .

Получим                                                                            (2.2.3)  

                                                                                           (2.2.4)  

Умножим (2.2.4) на -1:

Отсюда,

               

Форма  – эллиптическая, .

Окончательно,

 
    продолжение
–PAGE_BREAK–