№1
1 Двойной интеграл
Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г,
являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) ( D –
произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D
наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается
на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь
D, то (Si – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров
областей обозн (. В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi ((i
, Di) ( Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D ( ( 0 , то число
n областей Di ( (. Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим
сумму:I = [pic]f((i, Di)(Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция
f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел
интегральной суммы.
Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы
при ( ( 0. Обозн:
[pic]или[pic]
2 Понятие числового ряда и его суммы
Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3…
Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его
составляющие- членами ряда.
Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой
ряда: Sn = u1+..+un
Если сущ. конечный предел: [pic], то его называют суммой ряда и говорят,
что ряд сходится, если такого предела не существует, то говорят что ряд
расходится и суммы не имеет.
№ 2
1 Условие существования двойного интеграла
Необходимое, но недостаточное:
Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D.
1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на
замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D.
2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в
замкнутой области D с какой-то границей и непрерывна в ней за исключением
отдельных точек и гладки=х прямых в конечном числе где она может иметь
разрыв, то она интегрируема на D.
2 Геометрический и
арифметический ряды
Ряд состоящий из членов бесконечной геометрической прогрессии наз.
геометрическим: [pic] или
а+ а(q +…+a(qn-1
a ( 0 первый член q – знаменатель. Сумма ряда: [pic]
следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит
от величины q
Возможны случаи:
1 |q|1 [pic] и предел суммы так же
равен бесконечности
т. е. ряд расходится.
3 при q = 1 получается ряд: а+а+…+а… Sn = n(a [pic] ряд расходится
4 при q(1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)n-1a Sn=0 при n четном, Sn=a при n
нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится.
Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифметической прогрессии:[pic] u –
первый член, d – разность. Сумма ряда [pic]
[pic]при любых u1 и d одновременно ( 0 и ряд всегда расходится.
№3
1 Основные св-ва 2ного интеграла
1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.
2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то
она интегрируема и в G.
3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2
области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то: [pic]
4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить
в виде суммы интегралов:
[pic]
5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо
в Д. Если g(x,y) ( 0 то и f/g интегрируема в Д.
6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) =0 то и
[pic]
7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и
|f(x,y)| интегрир. в Д причем
[pic]
обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует
интегрируемость f.
8. Теорема о среднем значении.
Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка ((,
() ( Д, что:
[pic](2), где S – площадь фигуры Д. Значение f((, () опред по ф-ле (2)
наз. средним значением ф-ции f по области Д.
2 С-ва сходящихся рядов
Пусть даны два ряда: u1+u2+…un =[pic](1) и v1+v2+…vn = [pic](2)
Произведением ряда (1) на число ( ( R наз ряд: (u1+(u2+…(un =[pic](3)
Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:
(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) = [pic] (для разности там только – появица)
Т1 Об общем множителе
Если ряд (1) сходится и его сумма = S, то для любого числа ( ряд [pic]=(
([pic] тоже сходится и его сумма S’ = S(( Если ряд (1) расходится и ( ( 0,
то и ряд [pic] тоже расходится. Т. е. общий множитель не влияет на
расходимости ряда.
Т2 Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы = соотв S и S’, то и ряд: [pic]
тоже сходится и если ( его сумма, то ( = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды можно
почленно складывать и вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2)
расходится, то их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба ряда
расходятся. то ихняя сумма (или разность)может как расходится (если un=vn)
так и сходиться (если un=(vn)
Для ряда (1) ряд [pic]называется n – ным остатком ряда. Если нный остаток
ряда сходится, то его сумму будем обозначать: rn = [pic]
Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо
остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма =
частичная сумма ряда Sn + rn
Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не
влияет на сходимость (расходимость) ряда.
№4
1 Сведение
2ного интеграла к повторному
Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)=1)сия ф-ция удовлетворяет
условиям теоремы 1 поэтому сходимость (расходимости) ряда Дирихле
равнозначна сходимости расходимости интеграла: [pic]
Возможны три случая:
1 ( >1, [pic]
Интеграл а потому и ряд сходится.
2 0