«логические объекты» А. Тарского: онтологические основания теоретико-модельной семантики

Е.Г.Драгалина-Черная«ЛОГИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ» А.ТАРСКОГО: ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНОЙ СЕМАНТИКИ1Строгие дефиниции понятий «истина» и «логическое следование», сформулированные А.Тарским, предопределили теоретико-модельный образ логики ХХ века. Чем, в свою очередь, были стимулированы семантические исследования самого Тарского, и что обусловило их собственный теоретико-модельный стиль? Ответ на эти вопросы предполагает, на мой взгляд, как обращение к математическому, а именно, теоретико-множественному базису семантического метода Тарского, так и выявление его философской направленности, задаваемой специфическим пониманием природы «логических объектов» и границ логики. В ранних работах Тарского 30-х годов («Понятие истины в формализованных языках», «О понятии логического следования», «Основание научной семантики»), задачей логики признается описание дедуктивных систем. Под дедуктивной системой S в языке L понимается множество всех логических следствий некоего множества X предложений L. Таким образом, центральным для логики оказывается понятие логического следования, которое до Тарского традиционно определялось теоретико-доказательственным образом: если A – множество логических аксиом, а R – множество правил вывода, то множество логических следствий X в L есть наименьшее множество предложений L, включающее X и А и замкнутое относительно правил в R. Тарский отметил, однако, что не все свойства дедуктивных систем могут быть описаны исключительно в теоретико-доказательственных терминах. Как показали результаты Гёделя, в любой достаточно богатой дедуктивной теории можно построить предложение, которое следует из теорем этой теории, но не может быть доказано в самой теории. По мнению Тарского, этот факт свидетельствует о принципиальной недостаточности теории доказательств для логики. Он полагает, что отношение логического следования коренится в неких специфических связях языка и мира, то есть в семантике. Под семантикой Тарский понимает «совокупность исследований, касающихся таких понятий, которые, говоря огрублено, выражают некоторые связи между выражениями языка и теми объектами и положениями дел, к которым они относятся» [Tarski 1983, с. 401]. Тарский указывает два важнейших свойства логического следования: оно является необходимым и формальным. Характеризуя свойство формальности, он пишет: «Поскольку мы имеем здесь дело с понятием логического, то есть формального следования, и, таким образом, с отношением, которое детерминируется исключительно формой предложений, между которыми оно существует, на это отношение не может никоим образом влиять эмпирическое знание и, в частности, знание об объектах, к которым относится предложение Х или предложения класса К. На отношение логического следования не может повлиять замена в предложении десигнаторов одних объектов на десигнаторы каких-либо других объектов» [там же, с. 414 – 415]. В этой характеристике Тарский, по-видимому, предполагает подстановочную интерпретацию неэмпирической природы логического следования: оно сохраняется при любых правильных подстановках нелогических терминов. Однако дальше он отмечает ограниченность такой интерпретации, ставящей отношение логического следования в зависимость от выразительных возможностей языка (см. [там же, с. 415 – 416]), и предпочитает теоретико-модельное истолкование неэмпиричности логического следования и логических терминов. Точным образом отношение логического следования в терминах теории моделей определяется Тарским так: предложение Х логически следует из предложений класса К, если и только если каждая модель класса К является также моделью предложения Х (cм. [там же, с. 417]). В совместной с А.Линденбаумом работе «Об ограниченности средств выражения дедуктивных теорий» (1935 год) Тарский формулирует свое понимание неэмпирической природы логических отношений следующим образом: «Каждое отношение между объектами (индивидами, классами, отношениями и т.д.), которое может быть выражено чисто логическими средствами, инвариантно относительно любого взаимно – однозначного отображения “мира” (то есть класса всех индивидов) на себя, и эта инвариантность логически доказуема» [там же, с. 385]. Через 30 лет в знаменитой лекции 1966 года «Что такое логические понятия?», впервые опубликованной лишь после его смерти в 1986 году, Тарский подтверждает этот тезис. «Рассмотрим, – предлагает он, – класс всех взаимно – однозначных преобразований пространства, или универсума рассмотрения, или “мира” на себя. Что за наука будет заниматься понятиями, инвариантными относительно самого широкого класса преобразований? Здесь мы имеем … понятия очень общего характера. Я полагаю, что эти понятия являются логическими, и что мы называем некое понятие “логическим”, если оно инвариантно относительно любых возможных взаимно – однозначных преобразований мира на себя» [Tarski 1986, с. 149]. Таким образом, логическими Тарский признает понятия, которые определяют объекты, инвариантные относительно любых биективных преобразований (перестановок) универсума2. Инвариантность логических терминов относительно перестановок универсума свидетельствует о том, что они не различают индивидные объекты в области. Они являются формальными в том смысле, что касаются лишь тех свойств модели, которые не зависят от её неструктурных модификаций, то есть преобразований, не затрагивающих её структуру. Точным образом идея такой неструктурной модификации модели выражается понятием её изоморфного преобразования. Изоморфные модели U и U1 могут считаться неразличимыми в любом смысле, если только мы не желаем рассматривать внутреннее строение элементов их объектных областей. Любые две изоморфные модели служат представлением одной и той же абстрактной (в смысле Клини) системы. Система (непустое множество объектов с заданными на них отношениями) называется абстрактной, если об объектах системы мы не знаем ничего, кроме соотношений, имеющихся между ними в системе. «В этом случае, – как отмечает С.Клини, – устанавливается только структура системы, а природа её объектов остается неопределенной во всех отношениях, кроме одного, – что они согласуются с этой структурой» [Клини 1957, с. 30]. «Быть формальным» означает, таким образом, «быть инвариантным относительно изоморфных преобразований модели». Какие конкретно объекты оказываются логическими в смысле Тарского? В лекции 1966 года он приводит некоторые примеры логических понятий: Никакой индивид не является логическим понятием (в том случае, если существуют по крайней мере два индивида). Среди классов индивидов логическими являются только пустой и универсальный классы. Среди бинарных отношений логическими являются только пустое отношение, универсальное отношение и равенство. Среди свойств классов (индивидов) логическими являются только те, которые характеризуют кардинальность этих классов (как, например, свойства класса состоять из трех или четырех элементов, быть конечным или бесконечным). Среди отношений между классами (индивидов) логическими признаются отношения включения класса в класс, пересечения классов и т.п.Тарский не дает исчерпывающей характеристики всей совокупности своих «логических объектов». Однако, как свидетельствует относительно недавний результат В.МакГи, класс логических операторов, удовлетворяющих критерию инвариантности Тарского, в точности совпадает с классом операторов, определимых в бесконечном языке L[McGee 1996, с. 572]. L- чрезвычайно богатый язык, допускающий конъюнкции и дизъюнкции произвольной длины, а также универсальную и экзистенциальную квантификацию последовательностей переменных любой мощности. По сути, результат МакГи свидетельствует о том, что первопорядковый язык, обогащенный логическими операторами, инвариантными относительно перестановок индивидов в области, выразительно эквивалентен языку логики второго порядка (см., [Feferman, 1999, с. 38]). Таким образом, принимая критерий инвариантности Тарского, мы должны признать полноправной логикой второпорядковую логику, эту, по выражению У.Куайна, «теорию множеств в овечьей шкуре» [Quine, 1986, c. 66]. Не удивительно, что критерий инвариантности, имеющий по сути теоретико-множественную природу и сформулированный Тарским под впечатлением грандиозных успехов современной ему теории множеств в точном определении неточных понятий, приводит, в конечном счете, к слишком тесному сближению логики с теорией множеств. Вместе с тем, было бы принципиально неверно сводить теорию моделей, созданную Тарским, к теории множеств. Действительно, как замечает Дж. Сакс, теория моделей обескураживает своим сходством с теорией множеств, «с этой пленительной областью математики, которая почти не касается фундаментальных логических вопросов» [Сакс 1976, с. 9]. Вряд ли прав, однако, М.Резник, по мнению которого теория моделей, сформулированная как математическая аксиоматическая теория подобно, скажем, теории групп и теории чисел, «может быть рассмотрена как раздел аксиоматической теории множеств» [Resnik 1980, р. 111]. Сама аксиоматическая теория множеств, будучи конкретной математической теорией, строится на основе теоретико-модельных рассмотрений. Трактуя теорию моделей как частную математическую теорию, мы должны были бы, как замечает Я.Хинтикка, поставить перед собой абсурдную задачу построения теории моделей для теории моделей (см. [Hintikka 1988, с. 13]). В принципе нельзя исключать возможность построения теории моделей на неких основаниях, отличных от теории множеств. О предпочтительности подобной интерпретации логического исчисления Шрёдера уже в 1891 году писал, например, Э.Гуссерль, полагавший, что переменные этого исчисления можно трактовать как пробегающие не по совокупностям объектов (множествам), а по «объектам, подпадающим под концептуальные смыслы» (см. [Husserl 1979, с. 13 – 18]). Подобная интенсиональная интерпретация представляется желательной при обсуждении, скажем, «онтологических обязательств» языка. Как отмечает Г.Кюнг, «понятие «онтологического обязательства» является интенсиональным, так как говорит о классе понятий (интенсионале), а не просто о некотором классе. Например, предположение о существовании единорогов не то же самое, что предположение о существовании фиолетовых слонов, хотя оба эти класса пусты и, следовательно, экстенсионально эквивалентны» [Кюнг 1999, с. 165]. Подобная интерпретация сталкивается, однако, с рядом трудных вопросов. Для каждого ли класса существует понятие, имеющее этот класс в качестве экстенсионала? Для каждого ли понятия существует экстенсионал? И, главное, каковы неэкстенсиональные критерии отождествления интенсионалов? Трудности построения не теоретико-множественной теории моделей не отменяют того принципиального факта, что фундаментальное теоретико-модельное метапонятие соотнесения языка и модели в любом случае выходит за пределы теории множеств. Все, что угодно, может быть моделью всего, что угодно: «быть моделью» не есть природное свойство вещи или системы вещей. Решающим является принятие модели в качестве модели. Как отмечает М.Вартофский, «наша репрезентация чего-либо посредством физического устройства, диаграммы или логической или математической теории всегда несет в себе наше отношение к ней как к модели – свойство, которым объект репрезентации не обладает, если только он не тождественен своей модели» [Вартофский 1988, с. 35]. Вопрос о критериях выбора в качестве модели той или иной математической теории является «внешним» по отношению к самой математической теории. Принято различать, как известно, два аспекта онтологической проблематики: собственно онтологический и метафизический. Онтологическим (в узком смысле слова) признается вопрос о тех допущениях об объектах, которые нас принуждает делать принимаемый язык. Метафизическим – вопрос о приемлемости этих допущений (например, с точки зрения их «соответствия» или «несоответствия» реальности). В принципе такое различение совпадает с карнаповской дихотомией “внутреннего” и “внешнего” вопросов о существовании. Как пишет Р. Карнап, «мы должны различать два вида вопросов о существовании: первый – вопросы о существовании определенных объектов нового вида в данном каркасе, мы назовем внутренними вопросами; и второй – вопросы, касающиеся существования или реальности системы объектов в целом, называемые внешними вопросами» [Карнап 1959, с. 300]. “Внешние” метафизические вопросы признаются Карнапом не теоретическими, а прагматическими. «Будем осторожны, – пишет он, – в утверждениях и критичны в их исследовании, но будем терпимы в допущении языковых форм» [там же, с. 320]. Что касается прагматических оснований того или иного ответа на “внешние” вопросы, то даже сторонник Карнапа Г.Максвелл назвал его “мучительно лапидарным” по этому поводу (см. [Вартофский 1988, с. 47]). По сути, Карнап рассматривает метафизику как вид искусства. «Метафизик верит, что он действует в области, в которой речь идет об истине и лжи. В действительности он ничего не высказывает, а только нечто выражает как художник… Метафизики – музыканты без музыкальных способностей» [Карнап 1998, с. 88]. Известно, что сам Тарский резко выступал против использования теоретико-модельных методов в онтологии, отождествляемой им с метафизикой. В работе 1944 года “Семантическое понятие истины и основания семантики” он придерживается той позиции, что онтология, понимаемая как “общая теория объектов” вообще “едва ли имеет какую-либо связь с семантикой” [Тарский 1998, с. 119].Безусловно, «внешний» метафизический вопрос не решается теоретико – модельной интерпретацией самой по себе. Обычно различаются два типа интерпретаций: интерпретация одной теории в другой (скажем, силлогистики в логике предикатов) и семантическая интерпретация. Предполагается, что первая процедура связывает два различных языка, а вторая – язык и “мир”, язык и “реальность”. Однако, строго говоря, любая интерпретация есть интерпретация одного языка в другом. Поэтому выяснение онтологии какого – либо языка теоретико – модельными методами неизбежно релятивизировано к онтологии “базисного” языка интерпретации, что полностью соответствует принципу онтологической относительности У.Куайна, согласно которому выявление онтологии любого языка L1 всегда релятивизировано к онтологии некоего базисного языка (a background language) L2 (см. [Quine 1969, с. 50]). Особенностью интерпретации в классической теории моделей является то, что она сопоставляет любым категориям выражений интерпретируемой теории имена теоретико – множественных сущностей (индивидов, отношений, функций). В той мере, в какой такая интерпретация рассматривается как процедура приписывания значений, язык теории множеств признается “базисным”. Некритическое смешение исследований, касающихся выразительных возможностей языков формальных систем, с конструированием «априорных» онтологий таит в себе опасность регресса к докантовской догматической онтологии. Признаки такого регресса можно увидеть, на мой взгляд, в новейших попытках конструирования некоей «внутренней логики бытия» путем гипостазирования структуры частных формальных языков и частных семантических моделей. Как пишет К.О.Апель, «предпринимаемые в наше время во имя логики языка попытки заново обосновать онтологию – как онто – семантику – на самом деле возвращают нас к докантовскому статусу догматической метафизики натуралистической направленности» [Апель 1997, с. 90]. Онтологизация метода влечет отрицание рациональных оснований для сравнения различных «онтологий», каждая из которых оправдывается свои методом, и, как следствие, ведет к скептицизму и релятивизму. Вместе с тем, скептическое отношение Тарского к использованию семантических методов в онтологии объясняется именно её натуралистическим истолкованием, приписыванием ей статуса дисциплины «которая должна быть развита исключительно эмпирическим путем и которая отличается от других эмпирических наук только своей общностью» (см. [Тарский 1998, с. 119]). Его скептицизм не распространяется, таким образом, на трансцендентальную онтологию, накладывающую запрет на любые некритические объективации. Трансцендентальная онтология не является теорией эмпирического или трансцендентного бытия, но учением о трансцендентальной реальности, то есть о тех априори, которые обеспечивают возможность объективного знания. Модель есть некий мыслимый, «возможный» мир, релятивизированный относительно принятого языка теории. Априори трансцендентальной онтологии – те характеристики, которыми должны обладать модели («возможные миры») теорий, чтобы эти теории были возможны для нас. С трансцендентальной точки зрения «онтологические» аспекты теоретико-модельной семантики, группирующиеся вокруг понятия адекватности, обладают концептуальным приоритетом по отношению к аспектам нормативным, связанным с понятиями полезности, простоты и экономности.ЛИТЕРАТУРА[Апель 1997] ^ Апель К.О. Трансцендентально-герменевтическое понятие языка // Вопросы философии, 1997, №1, с. 76 – 72[Вартофский 1988] Вартофский М. Модели. Репрезентация и научное понимание. М.: Прогресс, 1988[Карнап 1998] Карнап Р. Преодоление метафизики логическим анализом языка // Аналитическая философия: становление и развитие. М.: Дом интеллектуальной книги, 1998, с. 69-89[Клини, 1973] Клини С. Введение в метаматематику. М.: Изд-во иностранной литературы, 1957[Кюнг 1999] ^ Кюнг Г. Онтология и логический анализ языка. М.: Дом интеллектуальной книги, 1999[Сакс 1976] Сакс Дж. Теория насыщенных моделей. М.: Мир, 1976[Тарский 1998] Тарский А. Семантическое понятие истины и основания семантики // Аналитическая философия: становление и развитие. М.: Дом интеллектуальной книги, 1998, с. 90 – 129[Feferman 2004] Feferman, S. Tarski’s Conception of Logic // Annals of Pure and Applied Logic 126, 2004, p. 5-13[Hintikka 1988] Hintikka, J. On the Development of the Model-Theoretic Viewpoint in Logical Theory // Synthese, v. 77, 1988, p. 1 – 36 [Husserl 1979] Husserl, E. The Deductive Calculus and the Logic of Contents // The Personalist, 1979, v. LX, p. 7 – 25[McGee 1996] McGee, V. Logical Operations // Journal of Philosophical Logic 25, 1996, p. 567-580[Quine 1969] ^ Quine, W.v.O. Ontological Relativity and Others Essays. New York, 1969[Quine, 1986] [Quine, W.V. Philosophy of Logic. Cambridge, 1986.[Resnik 1980] Resnik, M. Frege and the Philosophy of Mathematics, Ithaca, 1980[Tarski 1983] Tarski, A. Logic, Semantics, Metamathematics, Indianapolis, 1983[Tarski 1986] Tarski, A. What are Logical Notions? // History and Philosophy of Logic 7, 1986 1 Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант 05-03-03270а 2 Взаимно-однозначным отображением множества Е на множество F, или биективным отображением, или биекцией, называется такое отображение f множества E в F, что для всякого yF существует и единственно xE, для которого f(x)=y. Биекция множества А на А называется перестановкой множества А.