СОДЕРЖАНИЕ
планирование эксперимент модель
ВВЕДЕНИЕ
1 Общие сведения о планировании эксперимента
2 Краткая характеристика методики составления плановэксперимента для моделей первого и второго порядков
2.1Общие положения о планировании второго порядка
2.2Ортогональные центральные композиционные планы второго порядка
2.3Рототабельные планы второго порядка
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Список использованных источников
/>ВВЕДЕНИЕ
Развитие современной науки итехники связано с созданием новых и постоянным совершенствованием существующихнаучных и технологических процессов. Основой их разработки и оптимизацииявляется эксперимент. Заметное повышение эффективности экспериментальныхисследований и инженерных разработок достигается использованием математическихметодов планирования экспериментов. В процессе экспериментирования и приобработке полученных данных существенно сокращает сроки решения, снижаетзатраты на исследования и повышает качество полученных результатов.
Цель планирования эксперимента –нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удаетсяполучить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратойтруда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме сколичественной оценкой точности.
1. Общие сведения о планировании эксперимента
Инициатором применения планированияэксперимента является Рональд А. Фишер, другой автор известных первых работ –Френк Йетс. Далее идеи планирования эксперимента формировались в трудах Дж.Бокса, Дж. Кифера. В нашей стране — в трудах Г.К. Круга, Е.В. Маркова и др.
Часто, приступая к изучениюкакого-либо процесса экспериментатор не имеет исчерпывающих сведений омеханизме процесса. Можно только указать параметры определяющие условияпротекания процесса, и, возможно требования к его результатам. Поставленнаяпроблема является задачей кибернетики. Действительно, если считать кибернетику«наукой, изучающей системы любой природы, способные воспринимать, хранить иперерабатывать информацию для целей оптимального управления» [3], то такуюсистему можно представить в виде черного ящика.
Черный ящик – объект исследования,имеющий (k + p) входов и m выходов.
/>
Зависимость между выходнымипараметрами (откликом) и входными параметрами (факторами) называется функциейотклика. Математическая запись функции отклика представлена в виде формулы (1):
/> (1)
Этому уравнению в многомерномпространстве соответствует гиперповерхность, которая называется поверхностьюотклика, а само пространство – факторным пространством.
/>
Рисунок2 – Поверхность отклика
Для математического описанияповерхности отдыха используют уравнение:
/> (2)
где /> – перемешнные факторы при i=1,…,k; u=1,…,k; i/>u;
/>
/>
/>.
Это уравнение являетсяразложением в ряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки с />.
На практике по результатамэксперимента производится обработка дан\ных по методу наименьших квадратов.Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов />, и данныйполином заменяется уравнением вида:
/> (3)
которое является регрессионноймоделью (моделью регрессионного анализа). В этом выражении /> означает модельное,т.е. рассчитываемое по уравнению модели, значение выхода. Коэффициентырегрессии определяются экспериментально и служат для статистической оценкитеоретических коэффициентов, т.е.
/> (4)
В регрессионной модели членывторой степени />, />/> характеризуют кривизнуповерхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тем больше в моделирегрессии членов высшей степени. На практике чаще всего стремятся ограничитьсялинейной моделью [1].
Эксперимент можно проводить по-разному.В случае, когда исследователь наблюдает за каким-то неуправляемым процессом, невмешиваясь в него, или выбирает экспериментальные точки интуитивно, наосновании каких-то привходящих обстоятельств, эксперимент считают пассивным. Внастоящее время пассивный эксперимент считается неэффективным.
Гораздо более продуктивнопроводится эксперимент, когда исследователь применяет статистические методы на всехэтапах исследования, и, прежде всего, перед постановкой опытов, разрабатываясхему эксперимента, а также в процессе экспериментирования, при обработкерезультатов и после эксперимента, принимая решение о дальнейших действиях.Такой эксперимент считают активным, и он предполагает планирование эксперимента.
Под планированием экспериментапонимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых идостаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.
Под математической модельюпланирования понимается наука о способах составления экономических экспериментальныхданных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации обобъекте исследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработкиданных и их использование для оптимизации производственных процессов, а также инженерныхрасчетов [3].
/>2. Краткая характеристика методики составления планов/> эксперимента для моделей первого и второго порядков
Использование теории планированияэксперимента является одним из путей существенного повышения эффективностимногофакторных экспериментальных исследований. В планировании экспериментовприменяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высокихпорядков используются в инженерной практике редко. В связи с этим далееприводится краткое изложение методики составления планов эксперимента длямоделей первого и второго порядков. Под планом первого порядка понимают такиепланы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии,содержащего только первые степени факторов и их произведения:
/> (5)
Планы второго порядка позволяютпровести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего и вторыестепени факторов:
/> (6)
Нахождение уравнения регрессииметодом планирования экспериментов состоит из следующих этапов:
· выбор основных факторов и их уравнений;
· планирование и проведение собственного эксперимента;
· определение коэффициентов уравнения регрессии;
· статистический анализ результатов эксперимента [1]./> 2.1 Общие положения о планировании второго порядка
Описание поверхности откликаполиномами первого порядка часто оказывается недостаточным. Во многих случаяхудовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоватьсяполиномом второго порядка (6).
В этом случае требуется, чтобыкаждый фактор варьировался не менее чем на трех уровнях. В этом случае полныйфакторный эксперимент содержит слишком большое количество опытов, равное />. Так, при /> их 27, а числокоэффициентов />, при /> число опытов 243, а коэффициентов21. В связи с этим осуществление полного факторного эксперимента (ПФЭ) дляпланов второго порядка не только сложно, но и нецелесообразно.
Сократить число опытов можно,воспользовавшись так называемым композиционным или последовательным планом,разработанным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции отклика /> второго порядкапредставляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипса и т.д., описываемуюв общем виде уравнением:
/>. (7)
Для определений такойповерхности необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, т.е.факторы />и /> должныварьироваться не менее чем на трех уровнях. Поэтому план эксперимента вплоскости факторов />и />на рисунке 3, а не может состоятьлишь из опытов 1, 2, 3, 4, располагающихся в вершинах квадрата, как этоделается для модели первого порядка. К ним должны быть добавлены опыты(звездные точки) 5, 6, 7, 8, расположенные на осях />и />с координатами /> и обязательно опыт 9 вцентре квадрата, чтобы по любому направлению (5-9-6), (1-9-4) и т.д.располагалось три точки, определяющие кривизну поверхности в этом направлении.
/>
Рисунок3 – Планы второго порядка при />: а – ортогональный;
б –рототабельный
Таким образом, в общем случае ядрокомпозиционного плана составляет при /> ПФЭ />, а при /> – дробную реплику от него. Еслилинейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо:
1) добавить (2 – k)звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства /> /> /> где /> – звездноеплечо, или расстояние до звездной точки;
2) провести />опытов при значенияхфакторов в центре плана.
При k факторах общее число опытов в матрице композиционного планасоставит:
/> (8)
При этом величина звездного плеча /> и число опытовв центре плана />зависит от выбранного видакомпозиционного плана.
Композиционный план для /> и /> представлен втаблице 1.
Таблица 1 – Композиционный планвторого порядкаНомер опыта Факторы Результат
/>/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Ядро
плана
1
2
3
4
5
+1
+1
+1
+1
+1
— 1
+1
— 1
+1
/>
— 1
— 1
+1
+1
+1
— 1
— 1
+1
+1
+1
+1
+1
/>
+1
+1
+1
+1
/>
/>
/>
/>
/> Звездные точки
6
7
8
+1
+1
+1
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> Центр плана 9 +1
/>
Аналогичным образом строятся планыи для большего числа факторов [1].
/>2.2 Ортогональные центральныекомпозиционные планы второго порядка
В общем виде план,представленный в таблице 1, неортогонален так как
/> (9)
Приведем его к ортогональномувиду, для чего введем новые переменные (преобразования для квадратичныхэффектов):
/> (10)
при этом
/> (11)
Тогда уравнение регрессии будетзаписано как
/> (12)
Композиционные планы легкопривести к ортогональным, выбирая звездное плечо />. В таблице 2 приведено значение адля различного числа факторов k и числа опытов в центреплана />.
Таблица 2 – Значения звездныхплеч в ортогональных планах второго порядка
Число опытов в центре плана />
Звездное плечо /> при различном числе факторов k
/>
/>
/>
/>
(в ядре полуреплики) 1 1,000 1,215 1,414 1,546 2 1,077 1,285 1,471 1,606 3 1,148 1,353 1,546 1,664 4 1,214 1,414 1,606 1,718 5 1,267 1,471 1,664 1,772 6 1,320 1,525 1,718 1,819 7 1,369 1,575 1,772 1,868 8 1,414 1,623 1,819 1,913 9 1,454 1,668 1,868 1,957 10 1,498 1,711 1,913 2,000
В частности, ортогональный планвторого порядка для /> и />/>представлен в таблице 3, а егогеометрическая интерпретация — на рисунке 3, а.
Представленный на рисунке 3, а и втаблице 3 прямоугольный (квадратный) план эксперимента для модели второгопорядка работоспособен, хотя и несколько избыточен (9 опытов для определения 6коэффициентов). Благодаря трем избыточным опытам, он позволяет усреднитьслучайные погрешности и оценить их характер.
Таблица 3 – Ортогональный центральныйкомпозиционный план второго порядкаНомер опыта Факторы Результат
/>/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Ядро
плана
1
2
3
4
+1
+1
+1
+1
— 1
+1
— 1
+1
— 1
— 1
+1
+1
+1
— 1
— 1
+1
+1/3
+1/3
+1/3
+1/3
+1/3
+1/3
+1/3
+1/3
/>
/>
/>
/> Звездные точки
5
6
7
8
+1
+1
+1
+1
/>
/>
/>
/>
+1/3
+1/3
— 2/3
— 2/3
— 2/3
— 2/3
+1/3
+1/3
/>
/>
/>
/> Центр плана 9 +1 — 2/3 — 2/3
/>
В этой таблице
/>. (13)
В силу ортогональности матрицыпланирования ее коэффициенты равны:
/> (14)
Уравнения регрессии /> определяются независимоодин от другого по формулам.
Здесь i — номер столбца в матрице планирования; j — номер строки;суммы в знаменателях различны для линейных, квадратичных эффектов и взаимодействий.
Дисперсии коэффициентов уравнениярегрессии следующие:
/>. (15)
Следует особо отметить, чтокоэффициенты уравнения регрессии, получаемые с помощью ортогональных плановвторого порядка, определяются с разной точностью (см. уравнение (14)), в товремя как ортогональные планы первого порядка обеспечивают одинаковую точностькоэффициентов, т.е. план, представленный в таблице 3, являющийся ортогональными обеспечивающий независимость определения коэффициентов b,не является рототабельным.
В результате расчетов по матрице спреобразованными столбцами для квадратичных эффектов получаем уравнениерегрессии в виде:
/> (16)
Для преобразования к обычной формезаписи следует перейти от коэффициента /> к коэффициенту />, используя выражение:
/>. (17)
При этом дисперсия этогокоэффициента рассчитывается по следующему соотношению:
/> (18)
В дальнейшем, зная дисперсиювоспроизводимости, проверяют значимость коэффициентов и адекватность уравнения:
/> (19)
Значимость коэффициентовпроверяется по критерию согласия Стьюдента />. Коэффициент значим, если />, где m – число степеней свободы дисперсиивоспроизводимости.
Адекватность уравнения проверяется покритерию Фишера
/>
Уравнение значимо, если составленотаким образом F — отношение меньше теоретического: />, где /> – числосвободы дисперсии адекватности; /> – число степеней свободыдисперсии воспроизводимости; I — число коэффициентов вуравнении регрессии второго порядка, равное числу сочетаний из />по 2, т.е.
/> (20)/>2.3 Рототабельные планы второго порядка
Как было установлено, план второгопорядка, представленный в таблице 3, не обладает свойством рототабельности. Рототабельнымназывают планирование, для которого дисперсия отклика (выходного параметра) />, предсказанногоуравнением регрессии, постоянна для всех точек, находящихся на равномрасстоянии от центра эксперимента. Экспериментатору заранее неизвестно, гденаходится та часть поверхности отклика, которая представляет для него особыйинтерес, поэтому следует стремиться к тому, чтобы количество информации, содержащеесяв уравнении регрессии, было одинаково для всех равноотстоящих от центраэксперимента точек. Действительно, удаление от центра точек 5,6,7,8 в /> раза меньше,чем удаление точек 1: 2, 3, 4 (см. рисунок 3,: а), и, следовательно,коэффициент уравнения регрессии определяются с различной дисперсией. Бокс иХантер предложили рототабельные планы 2-го порядка. Для того чтобыкомпозиционный план был рототабельным, величину звездного плеча /> выбирают из условия:
/>/> (21)
Или в общем случае
/>,
где k –число факторов;
p –дробность реплики (для ПФЭ p = 0, для полуреплики p =1, для четвертьреплики p = 2 ит.д.).
Число точек в центре плана/> увеличивают.В таблице 4 приведены значения а для различного числа независимых факторов.
Таблица 4 — Значения звездных плечи числа точек в центре ротатабельных плановПараметр плана Значение параметров при числе независимых факторов
/>2
/>3
/>4 5 6 6 6 7 7 Ядро плана
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> Звездное плечо 1,414 1,682 2,00 2,378 2,00 2,828 2,378 3,333 2,828
Число точек в центре плана /> 5 6 7 10 6 15 9 21 14
Рассмотрим идею выбора значениязвездного плеча /> на примере матрицы рототабельногопланирования второго порядка для />, представленной в таблице 5.
Размещение точек этого планапоказано на рисунке 3, б. Для обеспечения рототабельности точек 5, 6, 7, 8необходимо удалить их от центра плана на расстояние /> в /> раз большее, чем удаление точек1, 2, 3, 4 от осей/>и />. В результате этого все точкиплана (таблица 5) оказываются лежащими на окружности. Учитывая существеннобольшее влияние на функцию отклика случайной ошибки в точке 9, рекомендуетсяставить в этой точке плана не один, а несколько дублирующих опытов (в данномслучае опыты с 9 до 13) для усреднения полученных результатов и дляосуществления статистического анализа результатов всего эксперимента в целом.
Таблица 5 – Рототабельный планвторого порядкаНомер опыта Факторы Результат
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Ядро
плана 1 +1 -1 -1 +1 +1/3 +1/3
/> 2 +1 +1 -1 -1 +1/3 +1/3
/> 3 +1 -1 +1 -1 +1/3 +1/3
/> 4 + +1 +1 +1 +1/3 +1/3
/> Звездные точки 5 +1 +1,414 2
/> 6 +1 -1,414 2
/> 7 +1 +1,414 2
/> 8 +1 -1,414 2
/> Центр плана 9 +1
/> 10 +1
/> 11 +1
/> 13 +1
/>
Учитывая специфический характеррототабельного плана в общем виде, можно также получить формулы для расчетакоэффициентов уравнения регрессии и их дисперсий:
/> (22)
/>; (23)
/>/> (24)
/> (25)
/> (26)
/>/> (27)
/> (28)
где /> />/> (29)
/> /> (30)
/> /> (31)
/> (32)
Здесь /> – число опытов в центре плана; /> – числоостальных опытов.
Матрица рототабельногопланирования, оказывается неортогональной, так как:
/> (33)
Следовательно, если какой-либо изквадратичных эффектов оказался незначимые, то после его исключения коэффициентыуравнения регрессии необходимо пересчитать заново.
При использовании рототабельныхпланов второго порядка дисперсию воспроизводимости можно определить по опытам вцентре плана. В связи с этим при проверке адекватности уравнения регрессии,полученного по рототабельному плану второго порядка, поступают следующимобразом.
Находят остаточную сумму квадратов:
/> (34)
с числом степеней свободы
/> (35)
По опытам в центре плана определяютсумму квадратов воспроизводимости:
/> (36)
с числом степеней свободы />
Далее находят сумму квадратов,характеризующих неадекватность />, число степеней свободы которой
/> (37)
Проверяют значимость по критериюсогласия Фишера:
/>. (38)
Уравнение значимо, если />
Если модель второго порядкаоказалась неадекватной, следует повторить эксперименты на меньшем интервалеварьирования факторов или перенести центр плана в другую точку факторногопространства. В тех случаях, когда адекватность модели по-прежнему недостигается, рекомендуется перейти к планам третьего порядка [1].
/>ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Использование теории планированияэксперимента является одним из путей существенного повышения эффективностимногофакторных экспериментальных исследований. Под планированием экспериментапонимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых идостаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Основныепреимущества активного эксперимента связаны с тем, что он позволяет:
1. Минимизироватьобщее число опытов;
2. Выбирать четкиелогически обоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментаторомпри проведении исследования;
3. Использовать математическийаппарат, формализующий многие действия экспериментатора;
4. Одновременноварьировать всеми переменными и оптимально использовать факторное пространство;
5. Организоватьэксперимент таким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылкирегрессионного анализа;
6. Получатьматематические модели, имеющие лучшие в некотором смысле свойства по сравнениюс моделями, построенными из пассивного эксперимента;
7. Рандомизироватьусловия опытов, то есть многочисленные мешающие факторы превратить в случайныевеличины;
8. Оцениватьэлемент неопределенности, связанный с экспериментом, что дает возможностьсопоставлять результаты, полученные разными исследователями.
В планировании экспериментовприменяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высокихпорядков используются в инженерной практике редко. В данном реферате былократко изложена методика составления плана эксперимента для моделей первогопорядка и более подробно представлено понятие о планировании второго порядка ипостроение планов второго порядка [2].
/>Список использованных источников
1. Спирин Н.А., Лавров В.В. Методыпланирования и обработки результатов инженерного экспиремента: конспект лекцииН.А. Спирина – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, 2004.- 257 с.
2. Налимов В.Н. Логическиеоснования планирования эксперимента: учебник Е.А. Шалыгина -2-е изд. – М.:Колос, 2001.
3. Планирование эксперимента –Режим доступа: URL: opds.sut.ru/electronic_manuals/pe/f053.htm