ТЕМАМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ПОВЕДЕНИЯ И СПРОСА
/>
Содержание
Введение
1 Моделираспределения доходов
2 Количественныйподход к анализу полезности и спроса
3 Отношениепредпочтения и функция полезности
4 Кривые безразличия.Решение задачи об оптимальном выборе потребителя
5 Функции спроса.Коэффициент эластичности
6 Изменение цен икомпенсация
Заключение
Введение
Микроэкономика – основа всей современной экономической науки. Ее главнаязадача – выяснение того:
· как принимают решения и ведут себясубъекты хозяйственной деятельности – отдельные потребители (домашниехозяйства) и производители (предприятия), которые имеют специфические стимулы(интересы) и руководствуются определенными принципами;
· как устанавливаются на рынке цены наразличные блага и услуги;
· как, исходя из цен, осуществляетсяраспределение ресурсов.
Микроэкономикуиногда называют «теорией цен», поскольку ее предметом является механизмраспределения ресурсов, главными индикаторами которого выступают цены. В центревнимания микроэкономического анализа – достижение равновесия между спросом ипредложением на рынке посредством цен. Спрос и предложение определяютсяпроизводством и потреблением, за которыми, в свою очередь, стоят индивидуальныепланы потребления и производства. Первые составляются отдельными потребителями,преследующими цель максимизировать полезный эффект потребления. Планыпроизводства разрабатывают предприятия, стремящиеся максимизировать прибыль.Необходимые предпосылки микроэкономического анализа – предположения о существованиисвободного рынка и о рациональном характере поведения индивидов./>/>/>/>
1 Моделираспределения доходов
Рыночныйспрос определяется на базе решений,которые принимаются множеством отдельных лиц, исходя из их потребностей ирасполагаемых доходов. Но чтобы распределить средства между разнообразнымипотребностями необходимо их как-то сопоставить. В качестве основы длясопоставления различных потребностей в конце ХIХ века экономисты принялиполезность. Сам термин «полезность» был введен английским философом И.Бентамом (1748-1832). Согласно Бентаму максимизация полезности являетсяруководящим психологическим принципом поведения людей. Категория полезностибыла взята на вооружение экономистами и легла в основу теории потребительскогоповедения, которая в свою очередь базируется на гипотезе о сопоставимости полезностисамых разнообразных благ. Считалось, что при заданных ценах потребители стремятсятак распределить свои средства на покупку различных благ, чтобы максимизироватьожидаемое удовлетворение или полезность от их потребления. При этом онируководствуются своими личными вкусами и представлениями.
Экономистамиво второй половине ХIХ века было выдвинуто два подхода к сравнению и соизмерениюполезности различных благ – количественный и порядковый.
Практическиодновременно английский экономист Стенли Джевонс, австрийский экономист КарлМенгер (1840-1921) и швейцарский экономист Леон Вальрас предложили количественнуютеорию полезности. В основе этой теории лежала гипотеза о возможностисоизмерения различных благ. Эту теорию разделял А. Маршалл.
Однако,эта теория встретила серьезную критику. Английский экономист Френсис Эджуорт(1845-1926), Вильфредо Парето и американский экономист Ирвинг Фишер предложилиальтернативную количественной порядковую теорию полезности, которая внастоящее время является наиболее распространенной.
В основемоделей потребительского поведения и спроса лежат модели распределения доходови теория полезности. Рассмотрим вначале модели распределения доходов.
В основепостроения моделей личного потребления лежит принцип распределения потребителейпо группам, для формирования которых используются как данные о социальномположении семей, так и сведения об их доходах. В соответствии с этим подходомвсе множество потребителей, т.е. население страны или региона, рассматриваетсякак совокупность нескольких групп семей, каждая их которых характеризуетсяопределенным уровнем дохода и примерно одинаковым социальным статусом(служащие, рабочие, крестьяне и т.п.). При этом считается, что каждая такаягруппа обладает некоторой общностью в выборе и предпочтении тех или иныхпотребительских благ. При разбиении потребителей на группы по различным уровнямдохода обычно используют модели распределения доходов различных типов.
Дляхарактеристики равномерности распределения доходов в обществе частоиспользуется т.н. кривая Лоренца. Она строится следующим образом: все множествопотребителей данной страны или региона разбивается на некоторое количествогрупп, обычно равных по численности, но различных по доходам. Затемподсчитывается, какую долю национального дохода получает каждая такая группа,причем счет ведется, начиная с группы с наименьшим доходом в сторону егоувеличения.
Далее надиаграмме (рис. 5.1.) наносятся точки, соответствующие вычисленным долям впроцентах. Очевидно, что совершенно равномерному распределению дохода отвечаетпрямая линия (биссектриса угла на диаграмме), если же распределение неравномерное,то возникает кривая линия, причем ее кривизна и отклонение от биссектрисы будеттем более, чем менее равномерным оказывается распределение доходов.
На рис.1.1 представлены три случая распределения доходов в случае, когда населениеразделено на 5 равных по численности (по 20% каждая) групп. Прямая ОА соответствуетравномерному распределению, кривая ОВ иллюстрирует следующеераспределение доходов:
/>
Рис. 1.1. Кривые Лоренца
1 группаимеет 15% дохода, 2 группа – 18%, 3 группа – 20%, 4 группа – 22% и 5 группа –25%.
Кривая ОСотвечает еще более неравномерному распределению доходов.
1 группаполучает 10%, 2 группа 15%, 3 группа 18%, 4 группа 20%, 5 группа 37%.
Модельраспределения доходов, принадлежащая В.Парето, также предназначена для анализахарактера неравномерности доходов в обществе. Она строится следующим образом:
Обозначимчерез Im – наименьший доход, который может получать семья в данномобществе. Тогда для характеристики относительного числа семей (в процентах) N(I),получающих доход не менее, чем I, может быть использовано соотношение:
/>
которое является модификацией формулы В.Парето.
Исследования,проведенные в различных странах и в разные периоды времени дают основаниеполагать, что указанное соотношение вполне применимо и в том случае, когда речьидет о доходах от недвижимости и капитальных вложений. При этом показатель a обычно находится в интервале от 1.2 до 2. Очевидно, чтоменьшие значения a соответствуют болееравномерному распределению доходов в обществе, а высокое значение a свидетельствует о резкой дифференциации доходов. Влитературе можно встретить мнение о том, что при a = 1,5 имеет место сравнительно справедливое распределениедоходов (рис. 1.2.).
/>
Рис. 1.2. Модель распределениядоходов В. Парето
Здесьлиния АВ соответствует распределению дохода с a =1.5, линии АС и АД значениям a = 2 и a =1,2.
Разбиениена доходные группы в случае a =1.5 может бытьвыполнено следующим образом:
· первая группа, имеет доход от Imдо 2Im, состоит из 65% потребителей;
· вторая группа, имеет доход от 2Imдо 3Im, включает 17% потребителей;
· третья группа с доходом 3Imдо 4Im, в нее входят 7% потребителей и т.д. (рис. 1.3.).
/>
Рис. 1.3. Доходные группынаселения при a=1.5
Результатыисследований, проведенных в обществах, где основным источником доходов являетсязаработная плата, показывает, что эти доходы распределяются скорее понормальной кривой, впрочем, не совсем симметричной и с урезанными концами (рис.1.4.).
Такой видкривой объясняется наличием как нижнего, так и верхнего предела заработков;причем возможность получения высокой заработной платы ограничена вследствиевоздействия многих факторов, совокупное влияние которых и приводит кквазинормальной кривой распределения доходов.
/>
Рис. 1.4. Нормальная криваяраспределения доходов
Разбиениена доходные группы в этом случае имеет вид, представленный на рис. 1.5.
/>
Рис. 1.5. Квазинормальноераспределение доходов
Выборконкретной модели распределения доходов, а следовательно и способ формированиядоходных групп определяется в результате анализа данных о доходах потребителейв рассматриваемом обществе или регионе.
Вдальнейшем изложении основ теории потребления мы будем исходить из того, чтоуказанное формирование групп произведено и множество потребителей представленокак совокупность m групп с номерами i=1,…,m.
При этом,как уже отмечалось выше, предполагается, что члены группы достаточно схожи в определениисвоих предпочтений, и, следовательно, вся группа может рассматриваться какединый потребитель в вопросах формирования спроса на товары и услуги,выступающие на потребительском рынке./>/>/>/> 2 Количественныйподход к анализу полезности и спроса
Исходнымпунктом функционирования любой экономической системы являются потребностилюдей. Потребление – процесс удовлетворения потребностей. Благо –средство удовлетворения потребностей. Существует огромное количество благ,удовлетворяющих потребности. Какое именно благо, и в каком количестве следуетпроизводить, определяет потребитель. В условиях рыночной экономики допускаетсяпроизводство только таких благ, которые могут быть проданы по цене, превышающейзатраты на их производство. Потребители, покупая такие блага, оценивают работупроизводителей. Каждый потребитель принимает решение самостоятельно. Считается,что единой шкалы оценки благ не существует. Но у каждого потребителя есть свояшкала предпочтений. Каждый потребитель стремится выбрать максимально предпочтительныйдля себя набор благ в пределах своего дохода. Это предположение – гипотеза о рациональномповедении потребителя.
Еслитовар или услуга удовлетворяет желания и нужды потребителя, то они обладаютполезностью. Полезность – удовлетворение или удовольствие, полученноечеловеком от потребления того или иного товара или услуги.
Концепцияполезности изучает удовлетворение или удовольствие, получаемое от владения,использования, употребления или извлечения выгод из товара или услуги.Полезность заключается в качественных характеристиках, благодаря которым ониудовлетворяют потребности. Это результат индивидуального вкуса и восприятия.Одни и те же товары имеют разную полезность для разных потребителей.
Общаяполезность – всё количествоудовлетворения, полученное от данного количества товара за определённыйпромежуток времени. Общая полезность возрастает по мере потребления, но всё болеемедленными темпами. Такая её динамика объясняется тем, что полезность каждойдополнительной единицы товара убывает.
Существуетдва основных подхода к измерению полезности: кардиналистский (количественный)и ординалистский (порядковый).
Количественныйподход к анализу полезности основан на представлении о возможности измеренияполезности различных благ в гипотетических единицах – ютилах (utility –полезность). Предполагается, что потребитель может сравнивать разные товары сточки зрения их предпочтений и упорядочить их по определённой шкалепредпочтительности, то есть потребитель может определить разницу полезностейразных товаров или их набора. Это означает, что конкретный потребитель можетсказать, что потребление одной чашки кофе приносит ему удовлетворение в 30ютилов, двух чашек кофе – 56 ютилов, двух чашек кофе и одной сигареты – 70ютилов и т.д. Этот подход лежит в основе потребительского выбора, цельюкоторого является максимизация общей полезности при ограниченном доходе.
Следуетиметь в виду, что количественные оценки полезности того или иного товара имеютисключительно индивидуальный, субъективный характер. Один и тот же товар можетпредставлять большую ценность для одного потребителя и никакой ценности длядругого. Для некурящего и непьющего кофе человека, их потребление не имеетникакой полезности, скорее наоборот приносит вред. Следовательно,количественный подход не имеет возможности объективно измерить полезность тогоили иного товара в ютилах. Невозможно также сравнить размеры удовлетворения,получаемые различными потребителями. Предполагается, что только конкретныйпотребитель может дать количественную оценку в ютилах полезности любогопотребляемого им товарного набора.
Количественнаяфункция общей полезности (TU) вначале возрастающая, имеет точку максимума (S), послекоторой она становится убывающей. Для конкретных потребителей очень важнопочувствовать точку максимума полезности и прекратить избыточное потреблениеблаг. Поэтому и говорят, что самое ценное чувство, это чувство меры.
/> TU
S
QA
MU
QA
Рис.5.6. Графикфункции общей (вверху) и предельной полезности
Предельнаяполезность (MU) – это прирост общей полезности товарного набора приувеличении объема потребления данного товара на единицу:
/>
Чащевсего, как видно на нижнем графике предельная полезность падает и в точкемаксимума становится равной нулю, а далее – отрицательной.
Однако,возможности человека оценивать полезность того или иного товарного набора вопределенном количестве единиц полезности подвергнуты сомнению. Болеераспространенной считается точка зрения, что человеку присущи отношенияпредпочтения при оценке или полезности тех или иных товаров./>/>/>/> 3 Отношениепредпочтения и функция полезности
В отличиеот предыдущего, второй подход не требует измерения полезности в каком-либоколичестве. Потребитель здесь может сравнить полезность отдельных товаров илиих набора и упорядочить их по степени предпочтения. Теория оптимального выборапотребителя исходит из того, что он осуществляет право сравнения и свободноговыбора на некотором множестве X потребительских наборов, в каждый из которыхвключаются все виды продукции, являющиеся предметами потребления для даннойгруппы семей. Не умаляя общности, можно считать, что всякий такой набор состоитиз фиксированного числа ( n ) элементов и имеет вид:
x = (x1,…, xj,…,xn) ,
гдеэлементы xj ³ 0, поскольку они выражают количество потребляемойпродукции.
Далеепредполагается, что сравнительная оценка различных наборов данным потребителемс точки зрения его вкусов, привычек, традиций и т.д., может быть выражена припомощи т.н. бинарного отношения слабого предпочтения.
Этоотношение определено на множестве потребительских наборов X, выражаетсяформулой «предпочтительнее чем… или равноценен», записывается при помощизнака «=/>«.
Формула «x=/>y», гдеx и y суть потребительские наборы означает, что данныйпотребитель (группа семей) в равных условиях либо предпочтет набор xнабору y, либо не видит различия между ними, т.е. считает их равноценными.На базе отношения слабого предпочтения вводится отношение безразличия(равноценности): два набора x и y безразличны для потребителя,если одновременно выполняются условия «x=/>y» и «y=/>x». Фактравноценности двух наборов обычно записывается при помощи«y ~ x».Понятие строгого (сильного) предпочтения /> определяется следующим образом: «x/> y»тогда и только тогда, когда «x=/>y», а соотношение «y=/>x» неимеет места.
В теориипотребления обычно исходят из того, что отношение слабого предпочтенияудовлетворяет важным предположениям, которые называются аксиомами теориипотребления. Таким образом, основой служит использование следующих аксиом:
· Транзитивности: если первая величина сравнима со второй, а вторая – стретьей, то первая сравнима с третьей;
· Полной или совершенной упорядоченности.Согласно ей, потребитель способен упорядочить всевозможные товары или их наборыс помощью отношений предпочтения и безразличия;
· Ненасыщения: если к любому набору товаров добавить дополнительнуюединицу товара, то полученный набор всегда предпочтительнее прежнего, так какобладает большей полезностью.
Перваяаксиома гласит, что рассматриваемоеотношение является совершенным, транзитивным и рефлексивным. Совершенностьотношения означает для любых двух наборов из множества X обязательноимеет место либо соотношение «x =/>y», либо «y =/>x»,либо оба вместе, т.е. «x ~ y».
Этоозначает, что не существует таких наборов, которые потребитель не мог бысравнить с другими. Транзитивность отношения состоит в том, что из соотношений«x =/>y» и «y =/>z», следует, что «x =/>z», гдеx, y, z – потребительские наборы. Это требование отражает совместимость(непротиворечивость) оценок потребителей и вызывает обычно много дополнительныхобсуждений. Рефлексивность отношения, т.е. выполнение для любого набора соотношения«x =/>x», вытекает из его совершенства.
Следуетзаметить, что вследствие выполнения первой аксиомы соответствующее отношениебезразличия ~ оказывается т.н. отношением эквивалентности. Это означает,что все множество X потребительских наборов распадается на попарнонепересекающиеся множества – классы эквивалентности, каждый из которых называетсямножеством безразличия.
Рассмотримдва примера отношений предпочтения и соответствующих множеств безразличия.
1) Пусть n= 2 и количества продуктов в наборе x=(x1, x2)выражены в весовых единицах (кг), а потребитель строит свою сравнительнуюоценку следующим образом: «набор x предпочтительнее набора y илиравноценен ему, если его суммарный вес больше или равен весу второго набора»,т.е. «x =/>y»; если x1+x2=/>y1+y2.
Нетрудновидеть, что это отношение удовлетворяет первой аксиоме, и каждый класс безразличиябудет состоять из наборов одинакового веса.
2)лексикографическое предпочтение: количества продуктов в наборе x=(x1,x2) выражены в любых единицах, потребитель считает первыйпродукт чрезвычайно ценным и сравнивает наборы по правилу «набор x предпочтительнеенабора y, если количество первого продукта в этом наборе больше его количествав наборе y, а если количества первого продукта в обеих наборах равны, топредпочтение определяется по количеству второго продукта».Этот способсравнительной оценки определяется формулой:
«x /> y», если x1>y1
или, если x1 = y1 и x2>y2.
Этоотношение также удовлетворяет первой аксиоме, и каждый набор образует свойсобственный класс безразличия.
Длямножества безразличия, состоящего из наборов, которые равноценны некоторомунабору x, используется обозначение:
Cx = { y ÎX ½y ~ x }.
Обозначиммножество всех слабо предпочтительных по отношению к x наборов через />, амножество всех слабо не предпочитаемых наборов через />.
Втораяаксиома теории потребления состоит в том, что для любого набора x обамножества /> и /> являются замкнутымиподмножествами векторного пространства Rn. Это означает, чтооба множества содержат все свои предельные точки и множество безразличия:
/> ,
т.е.определяется как пересечение этих множеств. Отношение предпочтения, обладающеетаким свойством, называется непрерывным.
Извыполнения этих двух основных аксиом вытекает, что существует непрерывнаяскалярная функция u(x), определенная на связном множестве X потребительскихнаборов и являющаяся индикатором предпочтения, поскольку она обладает следующимхарактеристическим свойством:
«x =/>y» тогда и только тогда,когда u(x) />u(y).
Такимобразом, если потребитель слабо предпочитает набор x набору y, тозначение функции u в точке x будет иметь не меньшее значение, чемв точке y, и наоборот, если значение индикатора для некоторого набора xне меньше, чем для набора y, то потребитель слабо предпочитает набор xнабору y.
Индикаторпредпочтения функции – функцияu(x) – обычно называется функциейполезности потребительских наборов. Нетрудно видеть, что любое монотонноепреобразование функции полезности, например функции />, /> или/> (где a>0), опятьявляются функциями полезности, поскольку они обладают указаннымхарактеристическим свойством. Таким образом, функция полезности не являетсяизмерителем какой-то конкретной «полезности», но лишь дает представление оранжировании (порядке) различных наборов, почему она и называется часто функциейпорядковой или ординальной полезности.
Заметим,что каждому множеству Сx безразличия соответствует свое постоянноезначение функции полезности: u(x) = const.
Рассмотримс точки зрения построения функций полезности приведенные выше примеры:
1)«весовое» предпочтение удовлетворяет обеим аксиомам теории потребления, а вкачестве функции полезности можно использовать сам вес набора, т.е.
u(x) = u(x1,x2) = x1+x2;
2)лексиграфическое упорядочение не является непрерывным, поскольку предпочтительноемножество (/>) и непредпочтительноемножество (/>) не пересекаются между собой.В связи с этим функция полезности (индикатор предпочтения) здесь не существует.
Порядковыйподход к анализу полезности является наиболее распространенным. От потребителяне требуется, чтобы он умел соизмерять блага в каких-то искусственных единицахизмерения. Достаточно, чтобы потребитель был способен упорядочить все возможныетоварные наборы по их «предпочтительности». В порядковой теории полезностипонятие «полезность» означает не что иное, как порядок предпочтения.Утверждение: «Набор А предпочтительнее для данного потребителя, чем набор В», –тоже самое, что и утверждение: «Набор А полезнее для данного потребителя, чемнабор В». Вопрос на сколько единиц полезнее набор А, чем набор В не ставится.Потребитель выбирает предпочтительный набор товаров из всех доступных для него.
/>/>/>/>/>4 Кривыебезразличия.Решение задачи об оптимальном />выборепотребителя
Основойизучения личного потребления (индивидуальных потребителей и домашних хозяйств)служат кривые безразличия. Кривая безразличия – линия, каждая точкакоторой представляет собой такую комбинацию двух товаров, что потребителюбезразлично, которую из них выбрать. Кривые безразличия графически отражаютсистему предпочтений потребителя.
Дляудобства воспроизведения используется двумерное пространство, т.к. выводы,полученные для двумерного случая (для двух товаров), справедливы для скольугодно большого количества товаров.
Рассмотримпростой пример. Допустим, домашнее хозяйство может потреблять два вида благ(благо 1 и благо 2). Пусть в течение некоторого периода первое благопотребляется в количестве y1, а второе – вколичестве Y2. Двумерный вектор(y1, y2) назовем планом потребления. Домашнее хозяйство сравниваетвектор потребления (набор потребляемых благ) А= (Y1A, Y2A) с другимвектором потребления, В = (Y1B, Y2B) и выносит одно из следующих суждений:
а) векторА предпочтительнее, чем вектор В;
б) векторВ предпочтительнее, чем вектор А;
в)векторы А и В равно предпочтительны (потребителю безразлично, какой из векторовА или В выбрать).
Криваябезразличия здесь – это все планыпотребления, которые находятся в отношениях безразличия с рассматриваемымпланом потребления.
Еслиобозначить через U = U(y1, y2) функцию, или, иначе говоря, индекс полезности, которуюможно получить от потребления благ, заданных вектором (y1, y2), то криваябезразличия это набор значений
(y1, y2), которые приводят к одному и тому же значению U.
Существуютразличные виды кривых безразличия, определяемые способом задания функцииполезности. Но существуют также и общие свойства кривой безразличия,независимо от её вида:
· через любую точку в графическомпространстве товаров всегда можно провести соответствующую кривую безразличия,т.к. для любой комбинации двух товаров всегда найдётся множество другихкомбинаций, полезность которых будет такой же, как у этой точки. Данное свойствоосновано на том, что потребитель может сравнить все товары или их набор спомощью отношений предпочтения или безразличия (аксиома полнойупорядоченности);
· кривые безразличия никогда непересекаются (аксиома транзитивности и аксиома ненасыщения);
· на основании первых двух свойств можнопостроить карту кривых безразличия, содержащую информацию о системепредпочтений потребителя. Кривая, более отдалённая от начала координат, имеетбольшую общую полезность: более предпочтительна;
· кривая безразличия имеет отрицательныйнаклон, так как сокращение количества одного товара должно быть компенсированоили заменено увеличением количества другого товара, чтобы была сохранена общаяполезность набора;
· кривая безразличия в широком смыслевогнута по отношению к началу координат: наклон кривой безразличия уменьшаетсяпри движении вдоль горизонтальной оси от начала координат. Это объясняется тем,что готовность потребителя замещать один товар другим при этом падает.
Чтобыпостроить кривую безразличия, необходимо выразить один из аргументов функцииполезности через другой аргумент и значение функции полезности U. Так, дляфункции полезности (1) получаем:
/> ,
а дляфункции (2) – получаем:
/>.
/>
Рис.5.7. Кривые безразличия
Данныйтип кривой (Рис. 5.7.)присущ товарам-субститутам, причём, абсолютным.Это значит, что увеличение спроса на одно из двух благ (товаров) сопровождаетсяпадением спроса на другое благо: эти два блага находятся в отношениях взаимозаменяемости.В качестве примера можно привести кофе и чай.
Касательнопоследнего свойства кривой безразличия – при замене строгого неравенства нанестрогое в условии вогнутости функции приходим к понятию вогнутой линейнойфункции.
/>
Рис.5.8.Кривые безразличия
Тип этих кривых(Рис. 5.8.), строго говоря, является одним из смешанных, так как существует ещётип кривых безразличия для комплементарных товаров (благ). При увеличенииспроса на одно из двух таких благ растет спрос и на второе благо: они находятсяв отношениях взаимодополнения. Например, кофе и сахар.
Рассмотримнаборы только из двух товаров C и U. (Товары C и U можно рассматриватькак комбинированные товары).
Отношенияпредпочтения, характерные для каждого индивида, отражают посредством кривойбезразличия (рис.5.9.).
Криваябезразличия отражает множество точек,каждая из которых представляет собой такой набор из двух товаров, чтопотребителю безразлично, какой из этих наборов выбрать. Наборы А и В с точкизрения данного потребления равноценны и лежат на одной и той же кривойбезразличия. Для нашего потребителя любой набор, лежащий на кривой II,предпочтительнее любого набора, лежащего на кривой I и т.д.
/>
Рис. 5.9. Кривые безразличия
Взависимости от функций полезности различают следующие типы кривых безразличия:
1).Функция полезности с полным взаимозамещением благ (чай и кофе) имеет вид:
/>,
гдеa,b – параметры;
U – полезность;
X,Y – товары.
Изфункции полезности можно найти Y :
/>/>
ипостроить кривые безразличия линейного типа (рис. 5.10.).
/>
Рис. 5.10. Кривые безразличиялинейного типа
2).Неоклассическаяфункция полезности имеет вид:
/>, где a+b £ 1
Чтобыпостроить кривые безразличия необходимо найти Y:
/>
/>
Рис. 5.11. Кривые безразличиянеоклассического типа
3)Функции с полным взаимодополнением благ (при увеличении спроса на одно из двухблаг растет спрос и на второе благо, например, сахар и чай, бензин и моторноемасло) имеют кривые безразличия в виде точки на пересечении двух прямых.Избыток одного блага не имеет значения. Полезность достигается лишь приопределенной комбинации обеих благ.
/>
математическая модельпотребительский спрос
/>
Рис. 5.12. Кривые безразличияфункций с полным взаимодополнением благ
Основнымипонятиями теории потребления являются предельная полезность и предельная нормазамещения. Пусть U(Y1, Y2) —функция полезности. Достигаемый при фиксированном уровнепотребления первого блага и незначительном изменении уровня потребления второгоблага прирост функции полезности называется предельной полезностью (marginal utility) второго блага. То есть предельная полезность – полезность,получаемая от потребления дополнительной единицы блага.
Величина,определяющая наклон кривой безразличия, называется предельной нормойзамещения (marginal rate of substitution; MRS) потребительских благ. Она показывает, в какой степенипотребитель готов заменить один товар другим, чтобы получить при этом ту жеобщую полезность.
Другимисловами, предельной нормой замещения блага X блага Y (MRSxy) называют количество блага Y, которое должно бытьсокращено «в обмен» на увеличение количества блага X на единицу, с темчтобы уровень удовлетворения потребителя остался неизменным:
/> при условии, чтоU= const
Согласноаксиоме ненасыщения, любая точка, лежащая выше кривой безразличия, всегда болеепредпочтительна для потребителя, обладая большей общей полезностью. А любаяточка, лежащая ниже, кривой безразличия, соответственно, менее предпочтительнадля потребителя.
Еслииспользовать функцию полезности неоклассического типа, то можно убедиться всуществовании закона убывающей предельной нормы замещения. Этот закон явилсярезультатом интерпретации закона убывающей предельной полезности с позицийтеории выбора (теории порядковой полезности, ординалистского подхода) исчитается одной из центральных идей современной микроэкономической теории. Законубывающей предельной нормы замещения может быть сформулирован следующимобразом: при стремлении поддерживать неизменным уровень полезности путемзамещения первого блага вторым субъективное удовлетворение, получаемое отпредельного потребления первого блага, в сравнении с удовлетворением,получаемым от предельного потребления второго блага, будет неуклонноуменьшаться.
Естественнопотребитель стремится приобрести товарный набор, принадлежащий наиболееудаленной от начала координат кривой безразличия. Однако, это не всегдавозможно, т.к. потребительское поведение ограничивается средствами, которыми онрасполагает.
Еслиобозначать рыночные цены блага X через Рх, а блага Y через Py,/>а егодоход через I, то бюджетное ограничение потребителя можно записать ввиде уравнения:
/>.
Доходпотребителя равен сумме его расходов на покупку товаров X и Y.
Преобразуемуравнение и получим уравнение бюджетной линии, которая имеет вид прямой линии(рис. 5.13.). Чем выше доход, тем дальше от начала координат находится линиябюджетного ограничения.
/>
/>
Рис. 5.13. Бюджетная линия
Пустьзадана линия бюджетного ограничения и несколько кривых безразличия. Какойтоварный набор выбирает потребитель?
/>
Рис. 5.14. Оптимальный выборпотребителя
Оптимумпотребителя будет в точке С. В рамках бюджетного ограничения индивидпостарается так распределить свой доход между различными благами, чтобымаксимизировать полезность U. Соответствующий набор благ называется оптимальным планомпотребления и обычно обозначается точкой касания бюджетной линии и кривойбезразличия. Итак, в условиях, когда рыночные цены и доход индивида заданыизвне, оптимальный план потребления индивида определяется на основе принципамаксимизации полезности. Оптимальный план потребления изменяется в зависимостиот цен и дохода (рис. 5.14.).
В точкеоптимума выполняется равенство:
/>
Соотношениецены блага X к цене блага Y равно предельной норме замещения блага X блага Y.
В общемслучае рассмотрим потребителя (группу семей) с определенным доходом I, предназначеннымдля приобретения набора товаров X=(x1 ,…, xj ,…, xn), цены которых соответственно равны P=(p1,…, pj ,…, pn).
Здесь X,P – неотрицательные векторы.
Ограниченностьвозможного выбора потребителя выражается с помощью бюджетного ограничения
/>
Постановказадачи оптимального выбора потребителя может быть сформулирована двояко: а) втерминах отношения предпочтения: наилучшим (оптимальным) считается набор />, которыйявляется «наиболее предпочтительным по отношению «=/>« среди всехнеотрицательных векторов x, удовлетворяющих бюджетному ограничению.Наиболее предпочтительным на множестве R обычно называется набор/>, обладающийтем свойством, что он удовлетворяет условию
«/>=/>x» для всех x Î R
Очевидно, чтоединственность такого набора, вообще говоря, не обеспечена,
б) втерминах функции полезности: оптимальный набор /> соответствует наибольшемузначению u(x) в указанных выше условиях, т.е. является решением задачи:
u(x) = u(x1 ,…, xj ,…, xn)®max
приусловиях
/>;xj³ 0 (j = 1,…, n)
Прианализе задачи оптимального выбора обычно применяется еще одно важноепредположение теории потребления, которое носит название гипотезы ненасыщенияпотребителя и состоит в том, что для любых двух наборов x и y справедливосоотношение:
если x³ y, то «x =/>y».
Такжесчитается справедливым и более точное соотношение:
если x³ y и x ¹ y, то «x > y».
Этоозначает, что для «ненасыщаемого» потребителя всякий набор x, которыйсодержит любого продукта столько же, либо (хотя бы по одной позиции) несколькобольше, чем набор y, оказывается более предпочтительным. Предположение оненасыщении при помощи функции полезности выражается следующим образом:
· если x ³ y, то u(x) ³ u(y).
· если x ³ y и x ¹ y, то u(x) > u(y).
Такимобразом, функция полезности является монотонно возрастающей по каждомуаргументу xj.
Еслифункция полезности имеет производные по своим аргументам, то из предположения оненасыщаемости (и монотонности u(x)) следует, что все первые частныепроизводные функции полезности являются положительными, т.е.:
/> (j = 1, …, n)
длялюбого набора потребительских благ. Величина частной производной:
/>
имеетследующий экономический смысл: она показывает, на сколько увеличится полезностьнабора, если количество потребляемого блага увеличится на «малую единицу». Всвязи с этим указанная производная носит название предельной (маргинальной,дифференциальной) полезности.
Вэкономических исследованиях, как правило, используются некоторые конкретныевиды выпуклых функций полезности, причем подбор вида функции и оценка числовыхзначений параметров производится на основе наблюдений и анализа поведенияпотребителей. Чаще всего применяются линейная, квадратическая и логарифмическаяфункция вида:
/>
Впространстве двухэлементных наборов x=(x1, x2)поверхности безразличия (т.е. линии u(x1, x2)=const)обычно называются кривыми безразличия.
Например,для логарифмической функции:
u(x1, x2)= log x1 +log x2
кривыебезразличия имеют вид:
logx1 + logx2 = log(x1 x2) = const,
т.е.являются просто гиперболами в положительном ортанте, удовлетворяющимиуравнениям:
(x1× x2) = const
/>
Рис. 5.15. Кривые безразличия
На рис.5.15 C2 > C1, т.е. более высокая криваябезразличия соответствует большему уровню полезности тех наборов, которыесоставляют кривую безразличия.
Рассмотримзадачу оптимального выбора потребителя для ненасыщаемого потребителя:
Нетруднозаметить, что оптимальный набор />(/>,/>, />) необходимо должен удовлетворятьбюджетному ограничению как точному равенству. В самом деле, если бы оптимальныйнабор достигался бы при условии:
/>,
то потребительмог бы купить на оставшиеся деньги некоторое количество любого блага, и темсамым получить новый набор с большей полезностью. Это означает, что внутренняяточка множества не может быть оптимальным набором.
Такимобразом, задача об оптимальном наборе имеет вид:
u(x) = u(x1 ,…, xj ,…, xn)®max
/>.
Решениеэтой задачи на условный экстремум находится при помощи метода множителей.Оптимальный набор определяется путем решения следующей системы из (n+1)уравнения:
/>
относительно(n+1)-го неизвестного, а именно элементов оптимального набора (/>,/>, />) и множителяЛагранжа />.
Такимобразом, при заданной системе цен потребитель должен выбрать такой набор, акотором все предельные полезности пропорциональны ценам. При этом оптимальноезначение множителя Лагранжа /> часто называют «предельнойполезностью денег» и трактуют как прирост максимальной полезности приувеличении дохода I на малую единицу. Заметим, что соотношения оптимальностимогут быть представлены в виде:
/>,
которыйдопускает любопытную интерпретацию: в оптимальной точке величина дополнительнойполезности в расчете на одну денежную единицу должна быть одинакова для всехтоваров и услуг. Необходимо также отметить, что для некоторых товаров могутбыть выполнены соотношения:
/>,
которыеозначают, что такие товары сравнительно мало полезны и относительно дороги, апоэтому и не должны быть включены в оптимальный набор потребителя,максимизирующего свою полезность при ограниченном доходе.
Рассмотримпростой пример.
Пусть n=2,функция полезности:
u(x1, x2) = ln x1 + ln x2,
бюджетноеограничение:
p1x1 + p2x2 = I.
Решениезадачи оптимального выбора
/>
отсюда:
/>
Используябюджетное ограничение, имеем:
/>
Как видноиз приведенного решения оптимальный выбор потребителя имеет очень естественныйвид: количество потребляемого блага прямо пропорционально доходу (I) иобратно пропорционально его цене. Геометрическая интерпретация решения задачиоптимального выбора приведена на рис. 5.14.
В болеереалистичных вариантах постановки задачи оптимального выбора при помощидополнительных условий могут быть учтены ограничения по ассортиментупотребляемых товаров и услуг, возможность взаимной замены различных продуктов ит.п./>/>/>/> 5 Функцииспроса. Коэффициент эластичности
Врезультате решения задач оптимального выбора оказывается возможным проследитьсвязь между изменением систем цен и доходов группы потребителей, с однойстороны, и спросом этой группы на товары и услуги, с другой; и построить, такимобразом, функцию оптимального спроса.
Вдостаточно общей форме оптимальный спрос выражается при помощи функций вида:
/> />.
В рядеслучаев функции оптимального спроса имеют особенно простой вид. Так, еслифункция полезности имеет логарифмический вид, то оптимальный спрос выражаетсяформулой:
/>, где />.
Вподавляющем большинстве случаев, однако, конкретная форма функции спросаопределяется путем статистической обработки результатов специальных наблюденийза доходами и расходами представителей различных социальных групп. В результатеизучения функции спроса обычно устанавливаются некоторые классификационныепризнаки товаров.
Если длянекоего товара выполняется условие:
/>
то товарназывается нормальным, так как спрос на него снижается по мере увеличения егоцены. Однако существуют товары, спрос на которые повышается, невзирая наповышение цены. Эта парадоксальная ситуация возникает тогда, когда приповышении цены на малоэффективный товар (например, картофель) группапотребителей с низким доходом просто не может приобретать болеевысококалорийный продукт (мясо) и вынуждена компенсировать нехватку калорийусиленной покупкой картофеля.
Товары,для которых имеет место неравенство:
/>,
называютсяаномальными или товарами Гиффина.
Прификсированном доходе и в практических целях для нормальных товаровиспользуются, как правило, функции спроса двух видов:
1)линейная функция спроса
/> ,
где a0> 0, a1 > 0, статистически оцениваемыепараметры модели.
2)степенная функция спроса:
/>.
Во многихприкладных исследованиях значительную роль играет коэффициент эластичности.
Мерареагирования эндогенной переменной на изменение экзогенной переменнойназывается эластичностью. Однако это определение слишком общее. Конкретнее, эластичностьможно определить как предел соотношения между относительным приращением функцииy:
/>
(зависимойпеременной) и относительным приращение независимой переменной x:
/> ,
когда /> иобозначается Ex(y).
Такимобразом эластичность можно выразить формулой:
/> при />
или внепрерывном случае:
/>
Изпрактических соображений эластичность относят к проценту прироста независимойпеременной. В этом случае эластичность показывает, насколько процентовповышается или понижается эндогенная переменная Y, если независимаяпеременная X изменяется на 1%.
Различаютдуговую эластичность, то есть среднюю на каком-то отрезке кривой, и точечнуюэластичность – значение производной в заданной точке. Для практическоговычисления эластичности используется формула английского математика иэкономиста Рой Аллена (1906 – 1983). Он предложил использовать среднюю точкуинтервала, по которому происходит изменение в качестве знаменателя дроби. Тогдавычисляются:
· относительное изменение эндогеннойпеременной
/> ;
· относительное изменение экзогеннойпеременной
/>.
Затемвычисляется отношение первого ко второму. Необходимо помнить, что формулаАллена, хотя и популярная, но не единственно возможная. Однако ее не следуетприменять к очень широким интервалам, так как в этом случае она может ввести взаблуждение.
Дляопределения эластичности спроса от цены можно воспользоваться формулой:
/> при />
или
/>,
Коэффициентэластичности спроса по цене показывает, насколько процентов уменьшится (увеличится) спрос, если цена товара увеличится(уменьшится) на 1%.
Длялинейной функции спроса принимается, что:
/>,
где /> — среднеезначение цены, /> — среднее значение спроса поиспользованной выборке.
Очевидно,что для cтепенной функции спроса:
/>.
Есликоэффициент эластичности близок к нулю, то спрос на товар практически независит от его цены. В этом случае говорят, что спрос неэластичен по цене. Этоотносится в основном к предметам первой необходимости. Спрос называетсянормально эластичным, если Edp» 1, что имеет местодля товаров длительного пользования. Для предметов роскоши обычно Edp> 1, т.е. спрос является суперэластичным.
Припостоянных ценах товары различаются по характеру изменения спроса в зависимостиот величины дохода I. Товар j называется ценным (или товаромвысшего ряда), если
/>,
т.е.спрос на него возрастает по мере перехода от менее доходных групп потребителейк более доходным. Для малоценного товара имеет место противоположноенеравенство:
/>,
что означаетвытеснение этого товара из потребительского набора группы потребителей по мереувеличения ее категории доходности.
На основевведенной выше классификации товаров по трем группам можно представитьизменение спроса в зависимости от повышения дохода при помощи графика,представленного на рис. 5.16.
/>
Рис. 5.16. Изменение спроса взависимости от дохода
Здесь погоризонтальной оси (I) отложены относительные величины дохода, а повертикали доли расходов по указанным трем группам товаров.
Нетрудновидеть, что доля спроса на товары первой необходимости падает с 70% (при малыхдоходах) до 35% (при доходе в 10 раз большем); сравнительно стабильна (впределах от 20% до 27%) доля расходов на товары второй группы и значительновозрастает доля расходов на предметы роскоши (от 10% до 43%). Для изученияизменения спроса в зависимости от дохода различных потребительских группприменяются в основном модели двух типов:
1) Моделистепенного вида (функции Энгеля):
/>.
Здесьпоказатель g имеет смысл коэффициентаэластичности: т.к. он показывает на сколько процентов увеличится спрос натовар, если доход увеличится на 1%. Коэффициент эластичности спроса от доходанаходится как:
/> при />
Дляпредметов первой необходимости показатель g , т.е. при увеличении дохода дополнительные затраты на этитовары этой категории, составляют все убывающую долю. Для предметов длительногопользования показатель эластичности gприблизительно равен 1, что означает примерное постоянство доли расходов на этипредметы в дополнительном доходе. Для предметов роскоши показатель эластичностиg > 1. Это означает,что при значительном увеличении дохода все большая часть его прироста тратитсяименно на товары этой группы.
2) Идеяразделения потребляемых товаров и услуг на ряд различных групп развита далеепри конструировании так называемых функций Торнквиста. Для товаровпервой необходимости эта функция ищется в виде:
/>,
где a1,b1 – параметры модели.
Заметим,что при очень большом доходе, условно представляемом как (I®¥) величина спроса />, что выражает фактасимптотического насыщения потребителя предметами первой необходимости.
Функцияспроса Торнквиста для товаров длительного пользования отражает тот факт, чтоспрос на эти товары возникает лишь с некоторого (достаточно высокого) уровнядохода I2. Соответствующее выражение имеет вид:
/> ,если I ³ I2,
где a2,b2 – параметры модели,
/>,если I I2.
Каквидно, спрос на товары этой группы также имеет асимптотическую тенденцию кнасыщению, поскольку
/>
Дляпредметов роскоши используется формула, в которой отсутствует тенденция кнасыщению, а спрос начинается с еще более высокого уровня дохода I3:
/> , если I ³ I3;
/>, если I .
Легковидеть, что при достаточно больших значениях дохода I:
/>.
Этоозначает, что в этой ситуации практически весь прирост дохода тратится напредметы роскоши. Графическое изображение функций Энгеля и Торнквистапредставлено на рис 5.17. и 5.18.
/>
Pис. 5.17. Кривые Энгеля: ростспроса на различные группы товаров в зависимости от дохода
/>
Рис. 5.18. Кривые Торнквиста
Графикифункций Торнквиста для трех групп товаров./>/>/>/> 6 Изменение цени компенсация
Проблемакомпенсации путем увеличения дохода потребителя возникает во всех тех случаях,когда происходит повышение цен на один или несколько потребляемых товаров. Приэтом возможны различные подходы к решению этой проблемы. Наиболее прямой из нихиспользует понятие функции спроса в достаточно общей форме и опирается напонятие компенсации как на такое увеличение дохода, которое позволяет оставитьспрос на товар на том уровне, который определялся прежней ценой. Таким образом,применяется функция спроса
D = D(I, p),
где
I – исходный уровень дохода,
p – исходный уровень цены.
Обозначим новыйуровень цены:
/>,
акомпенсирующее изменение дохода
/>.
Легковидеть, что спрос остается неизменным, если выполняется условие
/>.
Длянормальных и ценных товаров /> и />, поэтому при повышении цены (Dp>0), длясохранения уровня спроса необходимо увеличение дохода в размере
/>.
Вконкретном случае, когда функция спроса имеет вид:
/>,
получаемследующее простое соотношение между повышением цены и компенсацией
/> или />.
Этоозначает, что относительное увеличение дохода должно быть пропорциональноотносительному изменению цены с коэффициентом пропорциональности, равнымотношению эластичностей этих факторов.
В болеесложном случае многих товаров указанный подход основан на использовании функцийспроса вида:
/>
Повышениецены одного из товаров (например, с номером n) изменяет, вообще говоря,спрос на каждый товар. Если для некоторого товара j имеет местосоотношение:
/>,
т.е. приповышении цены на товар n падает спрос на товар j, то продукты nи j являются взаимодополняющими (например, автомобили и бензин).
Нетрудновидеть, что, если среди перечня товаров имеются взаимодополняющие, то в общемслучае невозможно точно решить задачу компенсации путем увеличения дохода.
Если жедля товара j справедливо неравенство:
/>,
т.е.повышение цены на товар «n» вызывает увеличение спроса на товар «j»,то они называются взаимозаменяемыми (масло и маргарин). Функция спроса обладаетсвойством сильной валовой заменимости, если все товары являются взаимозаменяемыми.Нетрудно видеть, что в этом случае повышение цены на один товар приводит кснижению спроса только на этот товар, но увеличивает спрос на все остальные. Вэтой ситуации для расчета необходимой компенсации можно использовать подход,рассмотренный выше для случая одного товара. Однако при этом получается слишкомвысокий уровень компенсации, поскольку повысится потребление практически всехтоваров.
В связи сэтим применяется более экономный способ оценки размера компенсации, основанныйна использовании понятия функции полезности. При таком подходе объемы спроса наразличные товары рассматриваются как решение задачи об оптимальном выборепотребителя в условиях ограниченности дохода:
u(x1, …, xn) ® max
/>
xj ³0 (j = 1, …, n)
Решениеэтой задачи:
/>
определяетмаксимально достижимый уровень функции полезности />, который очевидно, зависит и отсистемы цен p = (p1, …, pn) и от уровня дохода I.
Пустьтеперь, как и прежде, повышена цена pn товара «n».Решение модифицированной задачи будет таково, что максимальный уровень /> понизится. Всвязи с этим возникает естественный вопрос: насколько нужно увеличить доход I,чтобы восстановить прежнее значение />, а следовательно, и прежнийуровень удовлетворения потребителя. В достаточно общей форме ответ на этотвопрос дает уравнение Слуцкого, основные выводы из которого будут далее рассмотренына простом примере.
Пусть n=2,функция полезности:
/>.
Решениезадачи оптимального выбора имеет вид:
/>.
Максимальныйуровень функции полезности:
/>
Условиесохранения максимального уровня имеет вид:
/> или />.
Отсюдаполучаем выражение для компенсации в случае изменения цен:
/>.
Такимобразом, если цена p2 возрастает (dp2 > 0),а цена p1 остается неизменной (dp1 = 0), тоспрос на второй товар упадет, а спрос на первый товар не изменится. Размеркомпенсации определяется в этом случае отношением
/>
Такимобразом, достигнутый уровень удовлетворения будет сохранен, если доход будетувеличен ровно настолько, чтобы потребитель мог приобрести прежний объемвторого товара. Однако, нетрудно показать, что на самом деле потребительиспользует компенсацию следующим образом: его спрос на товар с повышенной ценой(товар 2) уменьшится, но возрастет объем закупок первого товара. При этомуровень полезности останется тем же, каким он был до повышения цен и получениякомпенсации. Иллюстрацию этого перехода можно найти на рисунке 5.19.
/>
Рис. 5.19. Оптимальный набор приизменении цен и компенсации
Здесь:
· линия С – кривая безразличия,соответствующая максимальному уровню полезности;
· линия АВ – бюджетная линия доповышения цен;
· точка D – оптимальный набор;
· линия FВ – бюджетная линия послеповышения цены p2, но до выплаты компенсации;
· линия А¢B¢ – бюджетная линия после выплаты компенсации (А¢В¢|| FВ), точка D¢ – оптимальный набор в новых условиях.
В болееобщем случае, когда задача оптимального выбора имеет вид:
/> ,
можно показать, что компенсационная доплата, сохраняющаяпрежний уровень максимальной полезности, связана с изменением цен соотношением:
/>,
где /> – оптимальныйспрос на j – товар до изменения цен, а /> – изменение цены на j-тыйтовар./>
Заключение
Итак,экономическая наука, как и любая другая имеет свою специфику, котораяопределяется общей спецификой наук о человеке. Все общественные науки изучаютсамую сложную и высокоорганизованную форму движения – социальную. На современномэтапе экономические взаимоотношения между субъектами образуют экономическиесистемы со сложной структурой, большим количеством элементов и связей междуними, которые и являются причиной почти всех особенностей экономических задач.
В данномразделе описан механизм функционирования экономической системы со стороныпотребления. Неотъемлемой категорией теории потребления является понятие полезности.Существуют различные разработки методов измерения полезности. Но главнымкритерием применимости того или иного метода является проверка результатовисследования на практике. Уже поэтому полезность можно считать достаточносложным компонентом данной теории – измерить его реально не представляетсявозможным. То же можно сказать, соответственно, и о понятии предельнаяполезность.
Поведениепотребителя определяют, во-первых, отношения предпочтения потребителя, а,во-вторых, ограничением выступает бюджетное ограничение. Отношения предпочтенияописывают кривые безразличия, тип которых зависит от вида потребляемых товаров.Бюджетное ограничение отражает бюджетная линия, зависящая от уровня дохода иуровня цен на товары. В этих условиях оптимальный план потребления определяется,исходя из максимизации общей полезности. Выражая оптимальный план потреблениячерез зависимость от цен и дохода, получили функцию спроса отдельного домашнегохозяйства.
Крометого, следует учитывать то, что экономические системы развиваются и усложняютсясами, изменяется их структура, а иногда и содержание, обусловленноенаучно-техническим прогрессом. Это делает устаревшими многие методы,применявшиеся ранее, или требует их корректировки. В то же времянаучно-технический прогресс влияет и на сами математические методы, посколькупоявление и усовершенствование электронно-вычислительных машин сделаловозможным широкое использование методов, ранее описанных лишь теоретически, илиприменявшихся лишь для небольших прикладных задач.