Реферат на тему:
Математичне моделювання
та диференціальні рівняння.
1.1. Поняття математичного моделювання.
Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по своєму. Ми будемо його пов’язувати з нашою спеціалізацією – прикладна математика. Під математичним моделюванням ми будемо розуміти метод дослідження процесів або явищ шляхом пибудови їхніх математичних моделей і дослідження цих процесів. В основу методу покладемо адекватність між змінними складеного рівняння і досліджуваного процесу. Зрозуміло, що на практиці ці процеси не будуть абсолютно ідентичні. Але можна удосконалювати математичну модель, яка більш точно буде описувати цей процес. Треба пам’ятати, що в останньому випадку, як правило, математичні рівняння ускладнюються. А це означає, що їх моделювання на ЕОМ потребує більше часу, або ж більше не визначаючих обчислювальних комплексів.
Схема таких досліджень починається з постановки задачі і щакінчується проведенням ефективного обчислювального експеременту. Її умови можна записати в такй формі:
а) постановка задачі;
б) побудова математичної моделі;
в) перевірка її адекватності;
г) узагальення та теоретичне дослідження данного класу задач;
д) створення програмного забезпечення;
е) проведення обчислювального експеременту;
ж) впровадження цих результатів в виробнитство.
Розглянемо питання використання диіеренціальних рівнянь в деяких предметних областях.
1.2. Диференціальні рівняння в екології.
Екологія вивчаеє взаємо відношення людини і, взагалі, живих організмів з навколишнім середовищем. Основним об’єктом дослідження в екології являється еволюція популяцій (сукупність одного виду рослин, тварин, чи мікроорганізмів, які населяють протягом тривалого часу певну територію).
Опишемо математично процес розмноження чи вмирання популяцій.
Нехай />– кількісний стан популяції в момент />,/>– число, яке відповідає кількості народжених, />– умираючих в одиницю часу. Тоді запис зміни координати />задається формулою:
/>(1.1)
В (1.1) />і />можуть залежити від />. Наприклад:
/>(1.2)
Де />– коефіцієнт народжуваності, />– смертності. Маємо з (1.2)
/>(1.3)
Розв’язок диференціального рівняння запишемо в вигляді
З розв’язку (1.4) видно, що при />популяція вижчваюча, а при/>– вмираюча.
/>(1.4) Рівняння (1.3) в деяких випадках береться нелінійне
/>(1.5)
Це рівняння Беруллі при />і його розв’язок запишеться в такому вигляді
/>(1.6)
З формули (1.6) видно, що при />. При цьому можливі випадки
/>, та />
Рівняння (1.5) описує.
Можна говорити і про більш складні рівняння, системи рівнянь.
Розглянемо більш детально двух видову модель «хижак-жертва», яка була побудована для виявлення коливань рибних уловів в Адріатичному морі.
Нехай />–число великих риб-хижаків, />– число малих риб-жертв в момент часу />, тоді число риб-хижаків буде рости до тих пір, поки у них буде їжа. Якщо корму не буде вистачати, то кількість риб-хижаків буде зменьшуватися і тоді, починаючи з деякого моменту, буде рости число риб-жертв. Модель має вигляд
/>(1.7)
де />– додатні константи.
В (1.7) доданок />виражає залежність прирісту великих риб від числа малих, />– зменьшення числа малих риб від великих.
1.3. Закони Кеплера руху планет.
Згідно закону всесвітнього тяжіння два тіла, які знаходятся на віддалі />друг від друга і які мають маси />і />притягаються з силою
/>(1.8)
де /> — константа тяжіння.
Опишемо рух планети з масою />навколо Сонця маси />.Вплив других планет на них не будемо враховувати. (Мал 1.1).
/>
Сонце знаходиться в початку координат, а планета має положення />вмомент часу />. Використавши другий закон Ньютона маємо:
/>(1.9) Враховуючи, що
Позначимо />, прийдемо до системи
/>
/>(1.10)–PAGE_BREAK–
Без обмеження загальності візьмемо початкові умови:
/>при />(1.11)
Перейдемо до полярних координат:
/>
/>
/>
Позначивши отримані вирази в (1.10) будемо мати
/>
Помножимо перше рівняння на />, друге на/>і складемо:
/>(1.12)
/>Домножимо перше рівняння на />, друге на/>і складемо:
/>(1.13)
Перепишемо в нових змінних умови (1.11):
Рівняння (1.13) перепишемо у вигляді
/>(1.14)
/>(1.15)
Звідки маємо
/>(1.6)
Константа />має цікаву гнометричну інтерпретацію. З курсу математичного аналізу відомо, що площа сектора />обчислюється за формулою Звідки
/>(1.17)
/>, або />
Останній вираз означає секторну швидкість. З (1.16) випливає, що вона являється постійною. Це означає, що радіус-вектор “замітає” за рівні проміжки часу рівні площі.
1-ій закон Кеплера: кожна із планет рухається по плоскій кривій відносно Сонця так, що радіус-вектор, який зв’язує Сонце і кожну з планет, “замітає” рівні площі за рівні проміжки часу.
Задачу Кощі (1.12)-(1.14) можна розв’язати. Розв’зок має еліпсоідальну форму, на основі цього робиться наступний висновок:
2-ій закон Кеплера: траєкторії планет рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.
З аналізу траєкторій випливає таке твердження:
3-ій закон Кеплера: квадрати періодів обертання планет пропорційні кубам великих осей їх орбіт.
1.4. Диференціальні рівняння закону пропиту і пропозиції в економічних дослідженнях.
Пропит і пропозиція – економічній категорії товарного виробництва. Пропит– представлена на ринку потреба в товарах, пропозиція– продукт, який є на ринку чи може бути доставлений на нього.
Нехай />– ціна, наприклад, на фрукти,/>– тенденція формування ціни. Тоді, як попит так і пропозиція будуть функціями введених величин. Як показує практика, ці функції можуть бути різними.Часто попит />і пропозиція />задаються лінійними
/>(1.17)
залежностями. Наприклад:
Для того, щоб попит відповідав пропозиції необхідно:
/>
Звідки
/>(1.8)
Припустимо, що в момент />1кг фруктів коштував 1крб. Тоді />,/>, отже
/>(1.19)
Це закон зміни цін, щоб між попитом і пропозицією була рівновага.
1.5 Найпростіші рівняння руху частинок в електромагнитних поясах.
Швидкість зміни імпульсу частинки
/>
дорівнює силі Лоренса, яка діє на неї
/>(1.20)
де />– зарядове число, />– заряд частинки,/>– вектор напруженності прискорюючого поля, />– вектор магнітної індукції,/>– вектор швидкості частинки.
/>
де />– маса спокою, />-приведена енергія частинки.
/>
— векторний добуток двох змінних.
З (1.20) маємо:
/>(1.21)
Рівняння (1.21) не враховує власного поля пучка(кулонівських сил).
Систему (1.21) перепишемо в скалярній формі:
/>(1.22)
Визначимо
/>
тобто
/>
так як />, то визначимо/>:
/>
Тому
/>(1.23)
Підставляючи (1.23) в (1.22) отримаємо рівняння руху.
Але в ці складні рівняння ще входять компоненти електромагнітного поля, які визначаються рівняннями максвела: продолжение
–PAGE_BREAK–
/>(1.24)
Тут />– електрична і магнітна сталі, />– об’ємна густина заряду, />– вектор густини струму, />— знак транспонування.
А (1.24) – це рівняння в частинних похідних з складними граничними умовами. Задача заключається не тільки в моделюванні рівнянь руху, а й в розрахунках оптимальних систем.
1.6. Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних обчисленнях.
Біологія.Необхідно знайти залежність площі />молодого листка, що має форму круга, від часу />.Відомо, що швидкість зміни площі />вмомент />пропорцієн площі листка, довжини його ободу та косинусу кута між падаючим на листок сонячним променем і верікаллю листка. Маємо модель:
/>де />(1.25)
/>– const, />,/>– коефіцієнт пропорційності; розв’язуючи рівняння (1.25) ми отримаємо таку залежність:
/>(1.26)
Математика. Обчислити невласний інтеграл
/>(1.27)
залежний від параметра />.
Знайдемо похідну:
/>
Отримали диференціальне рівняння
/>(1.28)
При цьому відомо:
/>(1.29)
Розв’язуючи задачу Коші (1.28),(1.29), отримаємо:
/>(1.30)
1.7. Побудова диференціальнихрівнянь з заданими параметричними сімействами кривих.
Припустимо, шо задано однопараметричне сімейство кривих:
/>(1.31)
Задача полягає в тому, щоб знайти диференціальне рівняння, розв’язками якого являються криві (1.31). Вважаючи, що функція (1.31) має повну похідну за xзапишемо:
/>(1.32)
Тоді з (1.31) та (1.32) як з системи рівнянь, вилучаємо сталу />і отримаємо шукане диференціальне рівняння першого порядку.
Якщо ж задано /> — параметричне сімейство кривих:
/>(1.33)
то до (1.33) додаються дані співвідношення:
/>(1.34)
з(1.33) та (1.34), як з системи рівнянь, кількість яких />, вилучаються сталі />і отримане таким чином співвідношення між />
/>(1.35)
і буде шуканим диференціальним рівняння />-го порядку.
В (1.32) та (1.34) />означають частинні похідні відповідних порядків за вказаними змінними. При цьому припускаємо, що похідні існують, тобто функції (1.32) та (1.34) являються диференційовними відповідну кількість разів.
Аналогічно поступають і при складанні систем рівнянь.
Приклад 1.1. Знайти диференціальне рівняння першого порядку, розв’язками якого буде однопараметричне сімейство
/>(1.36)
Розв’язання.Продиференйіюємо за />праву частину нашого співвідношення в припущенні, що />.
/>(1.37)
Враховуючи (1.36) рівність (1.37) перепишемо таким чином:
/>(1.38)
З (1.38) знаходимо />
/>
і підставивши в (1.36) отримаємо шукане диференціальне рівняння
/>(1.39)
Приклад 1.2.Знайти диференціальне рівняння другого порядку, розв’язками якого буде двопараметричне сімейство
/>(1.40)
Розв’язання. Згідно описаного вище складаємо систему рівнянь:
/>(1.41)
З якої вилучивши />і />знаходимо шукане диференціальне рівняння:
/>/>(1.42).