УДК 537.8
МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПОСТРОЕНИЯ И АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛАВ.В. Сидоренков
МГТУ им. Н.Э. Баумана
На основе первичных фундаментальных соотношений электромагнетизма — закона Кулона взаимодействия неподвижных электрических точечных зарядов и закона сохранения электрического заряда цепочкой последовательных физико-математических рассуждений построена система дифференциальных уравнений Максвелла классической электродинамики.
В курсе общей физики при изложении природыэлектричества [1] концепция электромагнитного поля является центральной, поскольку посредством такого поля реализуется один из видов фундаментального взаимодействия разнесенных в пространстве материальных тел. Физические свойства указанного поля математически представляются системой функционально связанных между собой уравнений в частных производных первого порядка, первоначальная версия которых была получена во второй половине XIXвека Дж.К. Максвеллом [2] обобщением эмпирических фактов.В структуре этих уравнений, описывающих поведение электромагнитного поля в неподвижной среде, заложена основная аксиома классической электродинамики — неразрывное единство переменных во времени электрического и магнитного полей. В современной форме такая система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:
(a) />, (b) />,
(c) />, (d) />. (1)
Здесь векторные поля: электрической /> и магнитной /> напряженности, соответственно, электрической /> и магнитной/> индукции,а также плотности электрического тока />; /> и /> — абсолютные электрическая и магнитная проницаемости, /> — удельная электрическая проводимость материальной среды, /> — объемная плотность стороннего электрического заряда.
Покажем, как на основе первичных фундаментальных соотношений электромагнетизма — закона Кулона взаимодействия электрических точечных неподвижных зарядов
/> (2)
и закона сохранения электрического заряда [1]
/> (3)
цепочкой последовательных физико-математических рассужденийможнопостроить систему электродинамических уравнений Максвелла (1). Представляется, что логика таких рассуждений позволит обучаемым яснее и глубже понять сущность корпускулярно-полевого дуализма природы электричества.
Фундаментальность закона Кулона (2) состоит в том, что его посредством описывается силовое взаимодействие разнесенных в пространстве неподвижных электрически заряженных материальных тел, где для изучения следствий такого взаимодействия вводят понятие электрического поля в виде напряженности – силы Кулона на единицу заряда: />, где /> — пробный точечный заряд. Топология структуры электрического поля точечного заряда /> такова, что интеграл от этой функции по сфере любого радиуса константен: />, а при использовании понятия телесного угла несложно убедиться: поток вектора поля электрической индукции (смещения)/> через произвольную замкнутую поверхность Sтождественно равен суммарному стороннему электрическому заряду /> в объеме /> внутри этой поверхности, причем на самой указанной поверхности посредством интегрирования поля электрической индукции /> определяется индуцируемыйполяризационный электрический заряд />, так что />:
/>.
Такие рассуждения называют электростатической теоремой Гаусса. Онаописывает результат электрической поляризации. Правда, обычно в физические подробности процесса поляризации не вникают, а потому в данной теореме о заряде /> в теореме просто не говорят. Здесь надо иметь в виду, что равенство нулю суммарных величин указанных зарядов, соответственно, электрического потока: />, вовсе не означает отсутствие электрического поля в этой области пространства, поскольку электрические заряды бывают положительными и отрицательными, и указанное поле может создаваться электронейтральными источниками, например, электрическими диполями. Это свойство электростатического поля качественно отличает его от ньютоновского поля тяготения, где источники такого поля – гравитирующие массы имеют один знак. В системе электродинамических дифференциальных уравнений (1) теорема Гаусса представлена (см. теорему Гаусса-Остроградского) соотношением (1b), описывающим результат электрической поляризации среды, где в случае электронейтральности (/>) среды оно имеет вид />.
Воспользуемся теперь другим первичным фундаментальным законом электромагнетизма — законом сохранения электрического заряда (3), структурно представляющим собой уравнение непрерывности. Закон гласит: изменение заряда в данной точке пространства /> единственно возможно лишь за счет транспорта зарядов извне />, ведь по определению (теорема Гаусса-Остроградского) дивергенция — это объемная плотность потока векторного поля в данной точке. Тогда подстановка в (3) уравнения (1b) дает формулу />. И с учетом того, что для любого векторного поля />, получаем еще одно уравнение обсуждаемой здесь системы: /> (1с). Это уравнение обычно называют законом полного тока: электрические токи проводимости и смещения порождают вихревое магнитное поле, силовые линии векторов напряженности /> которого охватывают линии этих токов.
Итак, в области существования движущихся зарядов и переменных во времени электрических полей />, то есть в уравнении (1с) функция /> является чисто вихревой, а потому для математического уточнения данной топологии магнитного поля введем соотношение />. Тем самым получим следующее уравнение системы (1) – уравнение (1d). Поскольку дивергенция — объемная плотность потока векторного поля в данной точке, то уравнение /> способно описать не только вихревые свойства функции />, но и ее потенциальную версию, случай когда />. В этой ситуации соотношение (1d)математически представляетфизический результат магнитной поляризации материальной среды. Комментируя физическое содержание такого уравнения, обычно говорят, что оно наглядно иллюстрирует отсутствие в Природе сторонних магнитных зарядов, подобных зарядам электрическим, при этом, входя в противоречие, безосновательно называют /> теоремой Гаусса магнитного поля, хотя в рамках логики уравнений Максвелла базы для этой теоремы — магнитного закона Кулона принципиально не существует.
Наконец, частным дифференцированием по времени /> уравнения (1d) получаем на основе /> адекватное с учетом знака закону электромагнитной индукции Фарадея уравнение (1а), последнее в системе (1). Итак, изменяющееся во времени поле магнитной индукции порождает в данной точке пространства вихревое электрическое поле. Ввиду того, что в уравнении (1a) />, то функция поля /> является вихревой, и эту топологиюспособно уточнить, согласно вышесказанному о дивергенции, уже полученное нами ранее уравнение (1b) в виде />. Как видим, дивергентные уравнения (1b) и (1d) как математически, так и физически весьма содержательны.
И это только то, что лежит на поверхности. А если взглянуть глубже, то уравнения /> и /> содержат сведения о полях электрического /> и магнитного /> векторных потенциалов, связанных с электрической — /> и магнитной — /> поляризациями. На сегодня установлено [3, 4], что векторные потенциалы – полноправные физически значимые поля, и учет этого обстоятельства позволяет углубить и кардинально модернизировать концептуальные основы классической электродинамики, где обсуждаемая здесь система уравнений Максвелла будет лишь рядовым частным следствием.
Однако вернемся к уравнениям системы (1). Убедимся, что данная система замкнута и может быть представлена в виде математической задачи Коши — решение уравнений с заданными начальными условиями. Для этого, прежде всего, надо показать, что уравнение (1d) является следствием уравнения (1а), а уравнение (1b) есть следствие уравнения (1c). Вообще говоря, все это уже установлено в наших рассуждениях при построении уравнений системы (1), и все же проделаем обратное в явном виде. Итак, возьмем дивергенцию от (1а):
/> /> /> /> />.
Поскольку уравнение (1d) /> удовлетворяется при любых />, то оно верно и для />. Таким образом, уравнение (1d) действительно является начальным условием для уравнения (1а). Аналогичная процедура с уравнением (1c) и сравнение этого результата с уравнением непрерывности (3) дает цепочку:
/> /> /> /> />.
А так как уравнение (1b) /> справедливо при любых />, то оно верно и для />. Следовательно, уравнение (1b) — это начальное условие для уравнения (1c).
В итоге с учетом уравнения непрерывности (3) система (1)действительно замкнута – 16 скалярных уравнений: (1a), (1c), (3) — 7 и материальные соотношения — 9 для нахождения 16 скалярных функций: компонент векторов />, />,/>, />, /> и плотности заряда />.
Важнейшим фундаментальным следствием уравнений Максвелла является тот факт, что /> и /> компоненты электромагнитного поля распространяются в пространстве в виде волн. Например, из (1а) и (1c) сравнительно просто получить волновое уравнение для поля электрической напряженности />:
/>. (4)
Аналогично получается и уравнение волн поля магнитной напряженности />, структурно полностью тождественное уравнению (4). Видно, что скорость распространения этих волн определяется только лишь электрическими и магнитными параметрами пространства материальной среды: />, /> и />, в частности, в отсутствие поглощения (/>) скорость волн />.
С целью ответа на вопрос, что переносят эти волны, воспользуемся уравнениями Максвелла (1), являющиеся, в сущности, первичными уравнениями электромагнитной волны, откуда на основе уравнений (1а) и (1с) получаем закон сохранения энергии в форме, так называемой теоремы Пойнтинга:
/>. (5)
Видно, что поступающий извне в данную точку среды поток электромагнитной энергии, определяемый вектором Пойнтинга />, идет на компенсацию джоулевых (тепловых) потерь в процессе электропроводности и изменение электрической и магнитной энергий, либо наоборот — эти физические процессы вызывают излучение наружу потока электромагнитной энергии. Например, уравнение энергетического баланса (5) показывает, что излучение вовне потока энергии /> возникает при джоулевых потерях /> за счет работы источника ЭДС, в котором /> и /> — антипараллельны. Соответственно, при /> производные от слагаемых других энергий меньше нуля.
Существенно, что вектор плотности потока электромагнитной энергии />, отличен от нуля только там, где одновременно присутствуют электрическая и магнитная компоненты поля, векторы /> и /> которых неколлинеарны. Соответственно, как видно из уравнений (1а) и (1с), переносящая энергию электромагнитная волна принципиально состоит из двух векторных взаимно ортогональных /> и /> компонент. При этом несложно убедиться [1], что уравнения Максвелла (1) описывают электромагнитную волну, колебания /> и /> компонент которой синфазны между собой. Но такие колебания этих двух компонент в принципе не отвечают механизму переноса энергии посредством волн произвольной физической природы, когда в данной точке пространства происходит взаимное преобразование во времени потенциальной (в нашем случае электрической) энергии в кинетическую (магнитную) энергию, и наоборот.
Упрощенно, ради наглядности этот процесс можно пояснить на примере колебаний физического маятника, когда такой вид движения реализуется при сдвиге фазы колебаний смещения и скорости маятника на />, то есть благодаря обмену кинетической и потенциальной энергиями, где полная энергия незатухающих колебаний неизменна во времени. Следовательно, и в случае волны перенос энергии возможен только при сдвиге фазы колебаний между ее компонентами на />, причем в среде без потерь поток энергии не зависит от времени и точек пространства. Однако, согласно уравнениям Максвелла, электромагнитных волн с такими характеристиками в Природе не существуют.
Правда, традиционная логика обсуждения переноса электромагнитной энергии такова, что проблемы здесь как бы и нет — всем все понятно. Действительно, из решения уравнений (1) для волновых амплитуд /> формально, но абсолютно строго следует /> — закон сохранения энергии. В итоге однозначно доказано, что электрическая энергия в точности равна энергии магнитной, переносимых волнами соответствующих компонент электромагнитного поля. Именно так этот вопрос излагается учащимся, причем правомерность такой методики аргументируется тем, что перенос энергии электромагнитными волнами реален, и это физическое явление широко и всесторонне используется во многих областях жизни современного общества. Однако это не ответ на вопрос: как же все-таки эти энергии переносятся?
В качестве конструктивного замечания отметим, что хотя /> и /> компоненты электромагнитных волн распространяются только совместно и их энергии равны, но при этом связи этих энергий между собой нет (синфазность колебаний). Более того, в случае электро- и магнитостатики эти энергии независимы в принципе. Следовательно, необходимо приходим к выводу об объективности раздельного существования электрической и магнитной энергий, при отсутствии каких-либо физических оснований считать, что электромагнитная волна распространяется так же, как и все другие волны, посредством взаимной перекачки энергии одного вида в другой. Но тогда становится совершенно неясным, казалось бы, очевидное для каждого понятие электромагнитной энергии, а также каков реальный механизм волнового переноса этого вида энергии?
Таким образом, проблема с выяснением физического механизма переноса энергии волнами электромагнитного поля объективно существует, она актуальна и для ее разрешения требуется далеко нестандартный подход. Информация: в настоящее время данная проблема активно, а главное успешно исследуется и находится в заключительной стадии разрешения (например, [3]).
Резюме. Показано, как на основе первичных соотношений электромагнетизма — закона Кулона взаимодействия неподвижных электрических точечных зарядов и закона сохранения электрического заряда цепочкой последовательных физико-математических рассуждений можно построить систему дифференциальных уравнений Максвелла классической электродинамики.
Материал этого сообщения может быть полезен студентам при самообразовании, а преподавателям для занятий по курсам общей физики, классической электродинамики и сопутствующим им техническим дисциплинам.
Литература
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. М.: Наука, 1977.
2. Максвелл Дж.К. Трактат об электричестве и магнетизме. Т. I и II. М.: Наука, 1989.
3. Сидоренков В.В. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2006. № 1. С. 28-37; // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2007. Т. 3. № 11. С. 75-82; // Материалы X Международной конференции «Физика в системе современного образования». — Санкт-Петербург: РГПУ, 2009. Том 1. Секция 1. “Профессиональное физическое образование”. С. 114-117; // Материалы VIМеждународного семинара «Физико-математическое моделирование систем» — Воронеж: ВГТУ, 2009. Часть 1. С. 172-177; // Необратимые процессы в природе и технике: Сборник научных трудов. Вып. 3. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С. 56-83;
// http://scipeople.ru/publication/67585.