Міністерство транспорту України
Дніпропетровський державний технічний університет
залізничного транспорту
Кафедра “Теоретична механіка “
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО ВИКОНАННЯ РОЗРАХУНКОВОЇРОБОТИ“ДОСЛІДЖЕННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ
ЕОМ КОЛИВАНЬ СИСТЕМИ З ОДНИМ
СТУПЕНЕМ ВІЛЬНОСТІ ”Вільні коливання та вимушені коливання точки
при негармонічному збуренні
Частина ІІ
Укладачі: Л. А. Манашкін
Л. Г. Маслєєва
Д. Б. Астраханцев
А.Ю. Журавльов
Для студентів других курсів
спеціальностей : 7.092107,
7.100501, 7.092202, 7.090603,
7.092203, 7.100502
Дніпропетровськ 2001
Зміст.
Вступ………………………………………………………………………………………….Постановка задачі Складання диференціального рівняння вимушених коливань механічної системи Визначення амплітудно- та фозово- частотних характеристик системи Розкладання функції в ряд Фур’є та визначення параметрів гармонік збурюючої сили Дослідження вимушених коливань механічної системи.
Визначення (за допомогою ЕОМ)“точного” рішення диференціального рівняння. Аналіз рішення.
Підбір (за допомогою ЕОМ)раціональної кількості гармонік в розкладенні функції
Побудова аналітичного рішеннядиференціального рівняння. Підбір раціональної кількості гармонік в розкладенні функції Стисла характеристика програми Порядок підготовки вихідних даних для виконання розрахунку на ЕОМ. Схеми механічних систем та розрахункові дані до них. Перелік літератури.
Вступ.
Друга частинарозрахункової роботи по дослідженню коливань системи з одним ступенем вільностівключає задачу про дослідження малих вимушених коливань системи тіл з пружнимиелементами (пружинами) при дії на одне з тіл системи періодичної збурюючої силинегармонічного типу. Рішення задачі зводиться до визначення закону руху системи(в узагальнених координатах) при нульових початкових умовах. При цьомувикористовується як аналітичний метод рішення задачі, так і метод численногоінтегрування диференціального рівняння руху системи з використаннямперсональної ЕОМ.
Методичні вказівки містять приклад виконаннярозрахункової роботи. Тут приведені також стисла характеристика програми
Виконання розрахункової роботи складається ізслідуючи етапів:
– складання диференціальногорівняння руху механічної системи (в узагальнених координатах);
– виконання розрахунку на ЕОМ;
– визначення аналітичногорішення;
– зіставлення результатіврозрахунків на ЕОМ і аналітичного рішення.
Постановка задачі
Методику дослідження малих коливань системи при дії негармонічноїперіодичної сили розглянемо нанаступному прикладі.
Механічна система, що зображена на рис.1, складається з трьох тіл масою та
Така механічна система має один ступінь вільності.
Нехайрух системи викликається періодичною збурюючи силою ) з параметрами -амплітуда збурюючой сили, і
Будемовважати, що рух системи починається із положення статичної рівноваги.
Розрахункипроведемо у наступному порядку:
1.1. За допомогою рівняння Лагранжа ІІ-го роду складемо рівняння руху механічноїсистеми. За узагальнену приймемо координату, яка визначає положення тіла 1відносно його положення статичної рівноваги: в’язкого опору рухупідберемо із умови [ ], щоб вільніколивання системи згасали до 0,1 початкової амплітуди за час
Початковіумови задачі візьмемо нульовими, так як рух системи починається із положеннястатичної рівноваги:
1.2. Визначимо (за допомогою ЕОМ)амплітудно-частотну (АЧХ) та фазово-частотну (ФЧХ) характеристики системи.
1.3. Розкладемо функцію в ряд Фур’є івизначимо (за допомогою ЕОМ) параметри гармонік в розкладенні.
1.4. Визначимо (за допомогою ЕОМ)рішення диференціальногорівняння руху механичної системи для випадку, коли збурююча сила задаєтьсякусочно-лінійною функцією (“точне”рішення).
Розглянемотакож випадок, коли сила задається сумою гармонік. При цьомувстановимо, при якому раціональному значенні функція визначається з 5%точністю (по відношенню до “точного рішення”).
Проаналізуємохарактер коливального процесу при різних значеннях
1.5. Користуючись АЧХ и ФЧХ системита знайденими параметрами гармонік у розкладенні сили диференціального рівняння, руху механічної системи.
При цьому встановимо, при якому раціональне значені аналітичнерішення визначається з 5% точністю по відношенню до “точного” рішення.
Співставленнярішень будемо проводити для контрольного моменту часу
2. Складання диференціальногорівняння вимушених коливань механічної системи.
Рівняння вимушених коливань заданоїмеханічної системи (рис.1) складемо за допомогою рівняння Лагранжа ІІ-го роду:
( )
де і — узагальненакоордината та швидкість, і — кінетична іпотенціальна енергії системи відповідно, — функція розсіювання, — узагальненанепотенціальна сила.
Складемо вираз кінетичної енергії системи в їїдовільному положенні, враховуючи, що тіло 1 виконує поступальний рух, а тіла 2і 3 – обертальний рух; при цьому швидкості усіх тіл виразимо черезузагальнену швидкість
У виразі та — моменти інерції тіл2 і 3 відносно центральної осі.
Позначимо коефіцієнт — зведена масасистеми. Тоді:
( )
Складемо вираз потенціальноїенергії системи: — потенціальна енергіясил ваги, а — потенціальна енергіясил пружності, що діють на тіла системи.
Обчислемо потенціальну енергію системи в їїдовільному положенні як роботу потенціальних сил на переміщенні системи іздовільного положення в положення статичної рівноваги:
де
тут — статичні подовженняпружин; — зміна довжини відповідноїпружини при відхиленні системи від стану статичної рівноваги; — подовження пружини вдовільному положенні системи.
Врахуємо, що
Вираз потенціальної енергії системи та її похідної мають вигляд:
При рівновазі системи (
Тоді вираз потенціальної енергіїсистеми приймає вигляд:
( )
де
Функцію розсіювання будемо вважатизалежною від узагальненої швидкості
де — коефіцієнт в’язкості(дисипативний коефіцієнт).
До непотенціальних сил, що діютьна систему, відноситься тільки збурююча сила
Візьмемо відповідні похідні іскладемо рівняння Лагранжа для заданої системи:
( )
де і
Диференціальне рівняння ( ) представляє собою неодноріднедиференціальне рівняння другого порядку відносно узагальненої координати
Рішення задачі про дослідження вимушених коливаньсистеми зводиться до рішення цього диференціального рівняння при заданихпочаткових умовах задачі. Оскільки у розглянутому випадку рух системипочинається із стану статичної рівноваги, то початкові умови будуть нульовими:
при ( )
Як відомо, аналітичне рішення рівняння ( ) складається із суми двох рішень
Слід зауважити, що рішення в даному випадку (привідповідному підборі коефіцієнта
Визначимо чисельні значення параметрів системи такоефіцієнтів в рівнянні ( ):
.м –1;
–1;
.с.м –1;
с–1.
Для перевірки вірності визначення коефіцієнту рекомендуєтьсяпідрахувати значення співмножника в рішенні при .0,861 = 4,31с:
Таке значення співмножника (наближене до нуля) врішенні знайдено вірно.
3. Визначення амплітудних- тафазово-частотних характеристик системи.
Шляхомвиведення, за допомогою ЕОМ, для заданої механічної системи з параметрами .м –1; 0,456кН.с.м–1 получимо (шляхом введення надрукарський пристрій – принтер) амплітудно- та фазово-частотніх характеристикисистеми та приведемо їх на рис.2 і рис.3 (відповідно).
4. Розкладання функції F(t)в ряд Фур’є та визначення параметрів гармонік збурюючої сили.
Розкладемо функцію в ряд Фур’є:
( )
де
Визначимо (за допомогою ЕОМ)параметри гармонік: амплітуди , частоти та початкової фази
Для заданої сили “прямокутного” типу з параметрами значення параметрівгармонік наведені у табл.1.
Таблиця1.
Номер гармоніки,
кН
рад.
1
0,764
2
2
0,255
6
3
0,153
10
4
0,109
14
5
0,085
18
5. Дослідження вимушених коливань механічної системи.
5.1. Визначення (задопомогою ЕОМ) “точного” рішення диференціального рівняння. Аналіз рішення.
Визначимо за допомогою ЕОМ “точне” рішення диференціальногорівняння для випадку, коли сила представлена однієюгармонікою ( для відповіднихвипадків виводяться на екран ЕОМ. Перед виводом графіків на друкарськийпристрій їх треба “промасштабувати”, тобто получити рішення на заданомувідрізку інтегрування 0 рекомендуєтьсязадавати рівним 8 для заданої механічноїсистеми. Лінія 1 відображає “точне” рішення, а лінія 2 – рішення у випадку
Із графіків видно, що функції получаютьсяперіодичними, тобто рух механічної системи получається періодичним-коливальним.І в першому, і в другому випадку при явно виражені двічастоти – одна дорівнює (див. лінію 2 длявипадку ) значення
5.2. Підбір (задопомогою ЕОМ) раціональної кількості гармонік в розкладанні функції
Визначимо (за допомогою ЕОМ) функції для випадків для “точного” рішення,а лініями 2 – графіки тих же функцій для випадків практично невідрізняється від “точного” рішення.
Значення відповідних функції при D= 5,7%, а при D= 3,7%.
За одержаним результатам можназробити висновок, що для отримання рішення з 5% точністюдостатньо взяти кількість гармонік = 3 в розкладенні збурюючої сили в ряд Фур’є.
5.3. Побудова аналітичного рішеннядиференціального рівняння. Підбірраціональної кількості гармонік в розкладанні функції
Побудуємоаналітичне рішення диференціального рівняння ( ), представивши збурюючу силу розкладенням вряд Фур’є:
Врахуемо, що при рішення практично згасає. Тодідля цих моментів часу:
( ).
Відмітимо, що рішення змінюється з частотою
Користуючисьданими табл. 1 та графіками АЧХ і ФЧХ системи, визначимо значення коефіцієнтадинамічності та зсувуфаз для
гармонік(, що відповідають цим гармонікам.
Значення знайдених величинзведемо у табл. 2.
Таблиця 2.
Номер гармоніки,
-1
1
2
0,274
1,08
0,0562
0,0607
0,088
2
6
0,823
2,63
0,0188
0,0497
0,076
3
10
1,37
1,06
0,0113
0,012
3,09
4
14
1,92
0,366
0,008
0,0029
3,09
5
18
2,47
0,195
0,006
0,0012
3,09
Із табл. 2 випливає, щовизначальними є амплітуди коливаньпершої (та другої (гармоніки в рішенні , значення цих амплітуд одногопорядку; амплітуди третьої гармоніки ( в рішенні
Обмежимося значенням для випадку усталенихвимушених коливань ( має вигляд:
= (м).
Знайдемо значення узагальненоїкоординати в момент часу
D= 4,2%.
Ізрозрахунків випливає, що визначальними є значення рішення для перших двохгармонік. При = 3аналітичне рішення добре збігається з“точним” рішенням на ЕОМ (відхилення рішення не перевищує D= 5%).
6. Стисла характеристикапрограми
Если надо– [email protected]