Методы квантования систем с нелинейной геометрией
фазового пространства
Шарапов Алексей Анатольевич
Последние
несколько лет мои научные интересы были связаны в основном с развитием общих
методов квантования систем с нелинейной геометрией фазового пространства и
приложением этих методов к различным задачам теоретической физики. Дело в том,
что практически все интересные модели фундаментальных взаимодействий (включая
Стандартную модель, Эйнштейновскую гравитацию, теорию струн и пр.) – это теории
с калибровочной симметрией или, в более широком контексте, гамильтоновыми
системами со связями. Последнее означает, что эффективная динамика в этих
моделях развивается не во всем фазовом пространстве, а лишь на некоторых
поверхностях, оснащенных нелинейными скобками Пуассона. Нелинейность скобок
Пуассона, а также нетривиальность глобальной геометрии эффективного фазового
пространства создают серьезные трудности при построении последовательного
квантовомеханического описания таких моделей и требуют привлечения весьма
изощренных математических методов, не входивших ранее в стандартный набор
инструментов теоретической физики.
С
другой стороны, исследования в данной области теоретической физики породили
новые идеи и конструкции, оказавшие значительное воздействие на развитие
математической мысли. Несколько упрощая, можно сказать, что работа нашей
научной группы была направлена на “глобализацию” методов
БРСТ-квантования (наиболее разработанной схемы квантования калибровочных теорий
общего вида) и их “синтез” с методами деформационного квантования,
получившими большое развитие в математике в самое последнее время.
Следует
отметить, что приложение методов деформационного квантования к
теоретико-полевым моделям приводит к необходимости решить ряд специфических
вопросов, выходящих за рамки чисто формальной математической процедуры.
Например, наличие квантовых расходимостей в теории поля делает нетривиальным
вопрос о выборе правильной схемы квантования даже для полей с простой
геометрией. В настоящее время принято считать, что последовательное квантование
теоретико-полевых моделей должно основываться на представлении операторов
рождения-уничтожения, то есть виковском символе для полевых операторов. К
сожалению, для большинства физических моделей такое представление известно лишь
на уровне свободных полей, а вклад взаимодействия учитывается пертурбативно.
Несмотря на известные достижения пертурбативной теории поля, такое разложение
на свободную часть и взаимодействие не всегда адекватно физической ситуации,
так как может разрушать фундаментальные симметрии исходной классической модели.
Важными примерами здесь могут служить нелинейные сигма-модели, в частности
струны в пространствах ненулевой кривизны.
Мы
развили общий геометрический подход к построению виковского квантования на
общих симплектических многообразиях, оснащенных виковской поляризацией. Мы
также изучили геометрию таких многообразий и нашли явные когомологические
препятствия к эквивалентности вейлевского и виковского квантований. В
частности, для случая кэлеровых многообразий нам удалось показать, что оба
упомянутых типа квантования эквивалентны тогда и только тогда, когда
соответствующее кэлерово многообразие является многообразием Калаби-Яу. В
последующей работе мы обобщили данную схему квантования на случай присутствия в
теории дополнительных связей второго рода.
В
настоящее время концепция деформационного квантования рассматривается не только
как эффективный инструмент квантования уже сформулированных физических моделей,
но и как метод построения новых. В качестве последних примеров такого рода
можно упомянуть калибровочные модели на некоммутативных пространствах и теории
высших спинов. Здесь теория деформационного квантования тесно сближается с
идеями некоммутативной геометрии, являясь, по существу, основным методом
конструирования некоммутативных пространств на основе коммутативных. В русле
развития этих идей мы предложили модель бозонной струны с некоммутативной
геометрией мирового листа. Ключевое наблюдение, лежащее в основе этой
конструкции, состояло в том, что все пререквизиты, необходимые для построения
деформации (симплектическая структура и связность), уже содержатся в исходной
теории в форме метрики Полякова, которая, таким образом, определяет геометрию
мировой поверхности струны и ее деформацию. Другая интересная особенность этой
модели – замечательная аналогия между уравнениями движения некоммутативной
струны и уравнениями Янга-Миллса. Использование этой аналогии позволило нам
найти и описать широкий класс точных решений, являющихся струнными аналогами
инстантонов Янга-Миллса. Также было показано, что наличие некоммутативности
эквивалентно включению взаимодействия бозонной струны с бесконечным
мультиплетом фоновых полей, подчиненных условиям W-симметрии.
Как
правило, в рамках гамильтоновой механики нелинейные скобки Пуассона возникают
не сами по себе, а ассоциируются с теми или иными
алгебраическими/геометрическими структурами, например с группой симметрии
фазового пространства. Большой запас нелинейных скобок Пуассона, связанных с
дополнительными симметриями, доставляют интегрируемые системы, начиная с
хрестоматийного волчка Эйлера и заканчивая группами Пуассона-Ли “одевающих
преобразований” солитонных уравнений. В этой связи встает вопрос о
построении специальных типов квантования, согласованных с этими дополнительными
структурами. Мы предложили ковариантный метод квантования скобок Пуассона,
ассоциированных с классическим уравнением Янга-Бакстера, являющийся некоторым
далеко идущим обобщением квантования Федосова.
Оказалось,
что данная схема квантования допускает чисто алгебраическую переформулировку и
может быть использована, например, для построения квантовых групп и би-алгебр
Ли. В частности, предложенное в этой работе *-произведение решает в общем виде
задачу о нахождении универсальной деформационной формулы, известной ранее лишь
для очень специальных классов алгебр Ли. В дальнейшем на основе БРСТ-теории мы
обобщили схему квантования на случай (нерегулярных) скобок Пуассона,
ассоциированных с симплектическими алгеброидами Ли. Попытка распространить
данный метод на произвольные пуассоновы многообразия вскрыла ряд новых
дифференциально-геометрических конструкций, по-видимому неизвестных ранее в
математике, обобщающих понятие квазисимплектического многообразия на случай
n-алгеброидов Ли (алгеброидов с высшими нетривиальными гомотопиями).
Квантование алгебры наблюдаемых на таких многообразиях представляется очень
интересным и многообещающим направлением исследований.
Еще
одно направление моей научной деятельности, никак не связанное с предыдущим, –
исследование проблемы реакции излучения и перенормировки в классической теории
поля с сингулярными источниками. В простейшей постановке этой задачи речь идет
об описании эффективной динамики точечного заряда с учетом радиационного трения
(при неравномерном движении, как известно, любой заряд с необходимостью
излучает и, следовательно, теряет энергию). Хотя для массивной заряженной
частицы, движущейся в четырехмерном пространстве-времени, эта задача была
решена еще Дираком (соответствующее уравнение называется теперь уравнением
Лоренца-Дирака), безмассовый случай, а также случаи высших измерений оставались
не изученными до самого последнего времени. Мы построили соответствующие
обобщения уравнения Лоренца-Дирака и при этом обнаружили новые интересные
моменты. Например, эффективные уравнения движения для безмассовой частицы имеют
более высокий порядок, чем для массивной, а учет самодействия частицы в
пространстве большего числа измерений не сводится к перенормировке ее массы, но
требует вовлечения дополнительных контр-членов, не имеющих аналогов в исходной
теории. Последнее обстоятельство указывает, в частности, на ограниченность
традиционного отождествления проблемы самодействия точечной частицы с проблемой
“собственной массы”.
Исследование
эффективных уравнений движения для безмассовой частицы показало, что учет
реакции излучения приводит к нестабильности классической динамики в пределе
выключения взаимодействия. Это может теоретически объяснить отсутствие
экспериментальных данных о существовании таких частиц в природе. В дальнейшем
мы использовали этот подход для построения эффективного действия и уравнений
движения для протяженных релятивистских объектов (p-бран), взаимодействующих с
полями (p+1)-форм. Было показано, что при регулярном вложении мировой
поверхности браны в объемлющее пространство все возникающие расходимости
являются лагранжевыми и могут быть сокращены за счет введения конечного числа
контр-членов. Кроме того, мы нашли специальные типы неминимального
взаимодействия, для которых эффективные уравнения движения р-браны оказываются
локальными и лагранжевыми. В дальнейшем предполагается распространить эти
результаты на случай взаимодействия р-браны с динамическим фоном гравитации,
скалярными полями и пр. Мы предполагаем, что наложение условия взаимного
сокращения расходимостей может стать эффективным критерием отбора
фундаментальных моделей взаимодействия.
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://elementy.ru/