Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики

–PAGE_BREAK–
Теорема 2. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

○Пусть S– площадь данного квадрата , и a– длина его стороны. Докажем, что
Рассмотрим сначала случай, когда а – рациональное число, т.е. , где pи q– натуральные числа. Если q= 1, то утверждение теоремы непосредственно следует из формулы (***), поэтому предположим, что q> 1. Рассмотрим квадрат 1, сторона которого равна p, и разобьем его на q
2равных друг другу квадратов так, как было показано выше. Так как p=аq
, то сторона каждого из этих маленьких квадратов равна а, поэтому эти квадраты равны квадрату . Следовательно, их площадь равна S. По формуле (**) S
=р2, а по формуле (*)

S
(1) = p
2
=
q
2
s
. Отсюда следует, что
Рассмотрим теперь случай, когда а – иррациональное число. Допустим, что формула (***) неверна, т.е. S≠a
2и, следовательно, .

Пусть для определенности  Подберем рациональные числа α1 и α2 так, чтобы α1а

Ясно, что площадь данного квадрата  заключена между площадью квадрата со стороной α1 и площадью квадрата со стороной α2 (рис. 6).

Согласно сказанному  α12 а — а ●

2.2 Площадь прямоугольника
Условимся одну из сторон параллелограмма, в частности прямоугольника, называть основанием, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, высотой параллелограмма.

Теорема 3. Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.

○ Пусть S– площадь прямоугольника  (рис. 7а). Примем сторону ABза основание, а  AD– за высоту и докажем, что S
=
ab, где a= AB, b= AD.

Рассмотрим квадрат  со стороной a
+
b. На стороне GHвозьмем точку Nтак, чтобы GH= b
и проведем через точки Mи Nпрямые, перпендикулярные соответственно к сторонам GHи GL(рис. 7б). По лемме 2 эти прямые разлагают квадрат  на четыре прямоугольника, которые на рисунке 7б обозначены через F
1
,
F
2
,
F
3
,
F
4
.

Прямоугольники F
1
,
F
3равны прямоугольнику , поэтому площадь каждого из них равна S. Четырехугольники F
2  и  F
4являются квадратами со сторонами b
и  aсоответственно, поэтому по теореме 2 (пункт 2.1) их площади равны b
2и a
2. По той же теореме, площадь квадрата  равна (a
+
b
)2. По условию А2 измерения площадей площадь квадрата  равна сумме площадей прямоугольников F
1
,
F
2
,
F
3
,
F
4
.Отсюдаполучаем(a + b)2= S + b2 + S + a2, т.е. S = ab.●

Следствие. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов   S
=
ab
.
2.3 Площадь треугольника
Одну из сторон треугольника часто называют основанием. Если основание выбрано, то под «высотой» подразумевают ту из высот треугольника, которая проведена к основанию.

Теорема 4. Площадь треугольника равна половине произведение его основания на высоту.

○Пусть S– площадь треугольника ABC(рис. 8). Примем сторону ABза основание треугольника и проведем высоту СН. Докажем, что .

Если точка Н совпадает с одной из точек А или В (рис. 8а), то утверждение теоремы непосредственно из следствия теоремы 3, поэтому допустим, что А,  В и Н   — попарно различные точки. Возможны два случая:

а) Точка Н лежит на отрезке АВ (рис. 8б). В этом случае высота СН разлагает треугольник ABC
на два прямоугольных треугольникаАНС и ВНС, поэтомуS

=
S
(АНС) +
S
(ВСН). Используя следствие теоремы 3, получим

б) Точка Н лежит вне отрезка АВ. Пусть, например, В – А – Н (рис. 8в). В этом случае отрезок АС разлагает треугольник BC
Нна два треугольника ABC
и АСН, поэтому S
(
BCH
) =
S
(АВС) +
S
(
ACH
). Аналогично предыдущему получаем:  ●

Следствие. Если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований.

Теорема 5. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

○ Пусть S– площадь треугольника ABC, AB
=с, АС=
b
,
CH
=
h
, где CH— высота треугольника. Докажем, что
Если  = 90°, то формула (2.4) вытекает из следствия теоремы 3, поэтому рассмотрим два случая:

а) Угол А – острый (рис. 8б). В прямоугольном треугольнике АСН . Поэтому .

б) Угол А – тупой (рис. 8в). В прямоугольном треугольнике АСН . Следовательно, ●

Следствие. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.

Площадь треугольника можно вычислить, зная длины сторон треугольника a,b,c, по формуле , где . Эта формула называется формулой Герона.

Также треугольник со сторонами a
,
b
,
c
  и площадью Sимеет следующие свойства:

а) , где р – полупериметр треугольника;

б) .
2.4 Площадь параллелограмма
Теорема 6. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

○ Пусть S– площадь параллелограмма ABCD. Примем сторону АВ за основание параллелограмма и проведем высоту DH. Докажем, что (рис. 9)
Диагональ BDразлагает параллелограмм на два равных треугольника ABDи CDB. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников. По условиям А1 и А2 измерения площадей (п.1 §1) имеем: . Отсюда, используя теорему 4, получаем: .●

Докажем еще одну теорему о площади параллелограмма, которой часто пользуются при решении задач.

Теорема 7. Площадь параллелограмма равна: а) произведению смежных сторон на синус угла между ними; б) половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

○ Пусть S– площадь параллелограмма ABCD, диагонали ACи BDкоторого пересекаются в точке О.

а) Треугольники ABDи CBDимеют равные основания ABи CD, и равные высоты, поэтому их площади равны (рис. 9). Следовательно, . По теореме 5 площадь треугольника ABDравна , следовательно, .

б) Треугольники AOB, AOD, BOCи CODимеют равные площади, так как любые два из этих треугольников, которые имеют общую сторону, имеют равные основания и общую высоту, следовательно, . По теореме 5 , поэтому .●

2.5 Площадь трапеции
Условимся высотой трапеции называть перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Теорема 8. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

○ Пусть S– площадь трапеции ABCDс основаниями ADи DCи высотой ВН. (рис. 10). Докажем, что . Диагональ BDразлагает трапецию на два треугольника и . Примем отрезки АDи ВС за основания этих треугольников, тогда ВН и DH
1– их высоты. Так как отрезки ВН и DH
1являются высотами трапеции ABCD, то BH
=
DH
1.

Из условия А2 измерения площадей и теоремы 4 получаем:

.●

2.6 Площадь произвольного многоугольника
Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно разлагают данный многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника. Используем этот метод для решения задачи (см. Приложение 1)

Для вычисления площади произвольного многоугольника можно применять также другой метод, основанный на понятии равносоставленности двух многоугольников. Два многоугольника называются равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число соответственно равных многоугольников. Очевидно, два равносоставленных многоугольника равновелики, т.е. имеют равные площади. На этом свойстве основан следующий метод вычисления площади многоугольника: данный многоугольник  разлагают на конечное множество многоугольников таких, чтобы из них можно было «сложить» многоугольник ‘, площадь которого известна. Именно таким способом в школьном курсе геометрии находят формулу вычисления площади параллелограмма. [2]
Глава
II
«Изучение геометрии в 7-9 классах»
§1 Психологические особенности подросткового возраста.
Подростковый возраст — трудный период полового созревания и психологического взросления ребенка.

В самосознании подростка происхо­дят значительные изменения: появляется чувство взрослости — ощущение себя взрослым человеком; возникает страстное жела­ние если не быть, то хотя бы казаться и считаться взрослым.

От­стаивая свои новые права, подросток ограждает многие сферы своей жизни от контроля родителей и часто идет на конфликты с ними. Кроме стремления к независимости, подростку присуща сильная потребность в общении со сверстниками. Появляются подростковая дружба и объединение в нефор­мальные группы. Подростки стремятся во всем походить на сверстников и пытаются выделиться в группе, хотят заслужить уважение и бравируют недостатками, требуют верности и меняют друзей.

Возникают яркие, но обычно сменяющие друг друга увлечения. Благо­даря интенсивному интеллектуальному развитию появляется склонность к самоанализу; впервые становится возможным само­воспитание. У подростка складываются разнообразные образы своего «Я», однако изменчивые и подверженные внешним влияниям. [10]

Подростковый возраст традиционно считается самым трудным в воспитательном отно­шении. Известный отечественный педагог А.П. Краковский, сравнивая особенности поведения младших школьников и младших подростков, у которых разница в возрасте составляет всего один год, констатирует следующее: «Подростки в сравнении со своими младшими товарищами в 6 раз чаще проявляют упрямство, в 9 раз чаще бравируют своими недостатками, в 10 раз чаще противопоставляют себя родителям. В целом количество немотивированных отрицатель­ных поступков подростков отмечается в 42 раза(!) боль­ше, чем у младших школьников». [11]

Наибольшее количество детей с так называемой школьной дезадаптацией, т. е. не умеющих приспособиться к школе (что может проявляться в низкой успеваемости, плохой дисциплине, расстройстве взаимоотношений со взрослыми и сверстниками, появлении негативных черт в личности и поведении и т. п.), приходится на средние классы.

Так, по данным исследователей, если в младших классах школьная дезадаптация встречается в 5—8% случаев, то у подростков—в 18— 20%. В старших классах ситуация вновь несколько стабилизиру­ется, хотя бы уже потому, что многие «трудные» дети покидают школу.

Возникают трудности во взаимоотношениях между мальчиками и девочками в школе в период полового созревания и зрелости. В одном классе учатся мальчики и девочки одного возраста, но между 11 и 15 годами девочка практически на 2 года старше мальчика того же возраста. Она опережает мальчика по развитию, она выше ростом, у нее более «взрослые» интересы. Ей хочется принимать ухаживания, а он еще маленький дикарь, который считает постыдным обращать внимание на девчонок. [12]

Границы подросткового периода значительно варьируются. Одни дети вступают в подростковый возраст раньше, другие — позже, подростковый кризис может возникнуть и в 11, и в 13 лет. Начинаясь с кризиса, весь период обычно протекает трудно и для ребенка, и для близких ему взрос­лых. Поэтому подростковый возраст иногда называют затянувшимся кризисом.

Учитывая все вышеизложенные особенности, проанализируем изучение темы «Многоугольники. Площади многоугольников» в учебниках геометрии под редакцией авторов Атанасяна и Погорелова с целью выявления наиболее оптимальной методики формирования знаний, умений и навыков по данной теме, необходимых для успешного обучения в ВУЗах.    продолжение
–PAGE_BREAK–