КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
На тему: «Мода. Медиана. Способы ихрасчета»
Введение
Средниевеличины и связанные с ними показатели вариации играют в статистике оченьбольшую роль, что обусловлено предметом ее изучения. Поэтому данная темаявляется одной из центральных в курсе.
Средняяявляется очень распространенным обобщающим показателям в статистике. Этообъясняется тем, что только с помощью средней можно охарактеризоватьсовокупность по количественно варьирующему признаку. Средней величиной встатистике называется обобщающая характеристика совокупности однотипных явленийпо какому-либо количественно варьирующему признаку. Средняя показывает уровеньэтого признака, отнесенный к единице совокупности.
Изучаяобщественные явления и стремясь выявить их характерные, типичные черты вконкретных условиях места и времени, статистики широко используют средниевеличины. С помощью средних можно сравнивать между собой различные совокупностипо варьирующим признакам.
Средние,которые применяются в статистике, относятся к классу степенных средних. Изстепенных средних наиболее часто применяется средняя арифметическая, реже –средняя гармоническая; средняя гармоническая применяется только при исчислениисредних темпов динамики, а средняя квадратическая – только при исчислениипоказателей вариации.
Средняяарифметическая есть частное от деления суммы вариант на их число. Онаприменяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всейсовокупности образуется как сумма значений признака у отдельных ее единиц.Средняя арифметическая – наиболее распространенный вид средних, так как онасоответствует природе общественных явлений, где объем варьирующих признаков всовокупности чаще всего образуется именно как сумма значений признака уотдельных единиц совокупности.
По своемуопределяющему свойству средняя гармоническая должна применяться тогда, когдаобщий объем признака образуется как сумма обратных значений вариант. Ееприменяют тогда, когда в зависимости от имеющего материала веса приходиться неумножать, а делить на варианты или, что то же самое, умножать на обратное ихзначение. Средняя гармоническая в этих случаях – это величина обратная среднейарифметической из обратных значений признака.
К среднейгармонической следует прибегать в тех случаях, когда в качестве весовприменяются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этихединиц на значение признака.
1. Определениемоды и медианы в статистике
Средниеарифметическая и гармоническая являются обобщающими характеристикамисовокупности по тому или иному варьирующему признаку. Вспомогательными описательнымихарактеристиками распределения варьирующего признака являются мода и медиана.
Модой встатистике называется величина признака (варианта), которая чаще всеговстречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта,имеющая наибольшую частоту.
Медианной встатистике называется варианта, которая находится в середине вариационногоряда. Медиана делит ряд пополам, по обе стороны от нее (вверх и вниз) находитсяодинаковое количество единиц совокупности.
Мода имедиана в отличии от степенных средних являются конкретными характеристиками,их значение имеет какая-либо конкретная варианта в вариационном ряду.
Модаприменяется в тех случаях, когда нужно охарактеризовать наиболее частовстречающуюся величину признака. Если надо, например, узнать наиболеераспространенный размер заработной платы на предприятии, цену на рынке, покоторой было продано наибольшее количество товаров, размер ботинок,пользующийся наибольшим спросом у потребителей, и т.д., в этих случаях прибегаютк моде.
Медиана интереснатем, что показывает количественную границу значение варьирующего признака,которую достигла половина членов совокупности. Пусть средняя заработная платаработников банка составила 650000 руб. в месяц. Эта характеристика может бытьдополнена, если мы скажем, что половина работников получила заработную плату700000 руб. и выше, т.е. приведем медиану. Мода и медиана являются типичнымихарактеристиками в тех случаях, когда взяты совокупности однородные и большойчисленности.
2. Нахождениемоды и медианы в дискретном вариационном ряду
Найти моду имедиану в вариационном ряду, где значения признака заданы определеннымичислами, не представляет большой трудности. Рассмотрим таблицу 1. сраспределение семей по числу детей.
Таблица 1.Распределение семей по числу детейГруппа семей по числу детей Число семей 10 1 30 2 75 3 35 4 20 5 15 Итого 185
Очевидно, вэтом примере модой будет семья, имеющая двоих детей, так как этому значениюварианты соответствует наибольшее число семей. Могут быть распределения, гдевсе варианты встречаются одинаково часто, в этом случае моды нет или, иначе,можно сказать, что все варианты одинаково модальны. В других случаях не одна, адве варианты могут быть наибольшей частоты. Тогда будет две моды, распределениебудет бимодальным. Бимодальные распределения могут указывать на качественнуюнеоднородность совокупности по исследуемому признаку.
Чтобы найтимедиану в дискретном вариационном ряд, нужно сумму частот разделить пополам и кполученному результату добавить ½. Так, в распределении 185 семьи почислу детей медианой будет: 185/2 + ½ = 93, т.е. 93-я варианта, котораяделит упорядоченный ряд пополам. Каково же значение 93-ей варианты? Для тогочтобы это выяснить, нужно накапливать частоты, начиная, от наименьшей варианты.Сумма частот 1-й и 2-й вариант равна 40. Ясно, что здесь 93 варианты нет. Еслиприбавить к 40 частоту 3-й варианты, то получим сумму, равную 40 + 75 = 115.Следовательно, 93-я варианта соответствует третьему значению варьирующегопризнака, и медианой будет семья, имеющая двоих детей.
Мода имедиана в данном примере совпали. Если бы у нас была четная сумма частот(например, 184), то, применяя указанную выше формулу, получим номер медианнойварианты, 184/2 + ½ =92,5. Поскольку варианты с дробным номером несуществует, полученный результат указывает, что медиана находится посерединемежду 92 и 93 вариантами.
3. Расчетмоды и медианы в интервальном вариационном ряду
Описательныйхарактер моды и медианы связан с тем, что в них не погашаются индивидуальные отклонения.Они всегда соответствуют определенной варианте. Поэтому мода и медиана нетребуют для своего нахождения расчетов, если известны все значения признака.Однако в интервальном вариационном ряду для нахождения приближенного значениямоды и медианы в пределах определенного интервала прибегают к расчетам.
Для расчетаопределенного значения модальной величины признака, заключенного в интервале,применяют формулу:
Мо= ХМо + iМо *(fМо – fМо-1)/((fМо – fМо-1) + (fМо – fМо+1)),
Где ХМо– минимальная граница модального интервала;
iМо – величина модальногоинтервала;
fМо – частота модальногоинтервала;
fМо-1 – частота интервала,предшествующего модальному;
fМо+1 –частота интервала, следующего за модальным.
Покажемрасчет моды на примере, приведенном в таблице 2.
Таблица 2.Распределение рабочих предприятия по выполнению норм выработкиВыполнение норм выработки, % Численность рабочих 90 – 95 6 95 – 100 12 100 -105 104 105 – 110 98 110 -115 40 115 и более 20 Итого 280
Чтобы найтимоду, первоначально определим модальный интервал данного ряда. Из примеравидно, что наибольшая частота соответствует интервалу, где варианта лежит впределах от 100 до 105. Это и есть модальный интервал. Величина модальногоинтервала равна 5.
Подставляячисловые значения из таблицы 2. в указанную выше формулу, получим:
Мо= 100 + 5 * (104 -12)/((104 – 12) + (104 – 98)) = 108,8
Смысл этойформулы заключается в следующем: величину той части модального интервала,которую нужно добавить к его минимальной границе, определяют в зависимости отвеличины частот предшествующего и последующего интервалов. В данном случае к100 прибавляем 8,8, т.е. больше половины интервала, потому что частотапредшествующего интервала меньше частоты последующего интервала.
Исчислимтеперь медиану. Для нахождения медианы в интервальном вариационном рядуопределяем сначала интервал, в котором она находится (медианный интервал).Таким интервалом будет такой, комулятивная частота которого равна или превышаетполовину суммы частот. Комулятивные частоты образуются путем постепенногосуммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака.Половина суммы частот у нас равна 250 (500:2). Следовательно, согласно таблицы3. медианным интервалом будет интервал со значением заработной платы от 350000 руб.до 400000 руб.
Таблица 3.Расчет медианы в интервальном вариационном рядуЗаработная плата, тыс. руб. Частоты Комулятивные частоты 200 – 250 10 10 250 – 300 50 60 300 – 350 100 160 350 – 400 115 275 400 – 450 180 455 450 – 500 45 500 Сумма 500 –
До этогоинтервала сумма накопленных частот составила 160. Следовательно, чтобы получитьзначение медианы, необходимо прибавить еще 90 единиц (250 – 160).
Приопределении значения медианы предполагают, что значение единиц в границахинтервала распределяется равномерно. Следовательно, если 115 единиц,находящихся в этом интервале, распределяются равномерно в интервале, равном 50,то 90 единицам будет соответствовать следующая его величина:
50 * 90/115 =39,1
Прибавивполученную величину к минимальной границе медианного интервала, получим искомоезначение медианы:
Ме= 350 +39,1 = 389,1 тыс. руб.
Формулаисчисления медианы для интервального вариационного ряда имеет следующий вид:
Ме= ХМе + iМе * (∑f/2 – SМе-1)/fМе,
Где ХМе– начальное значение медианного интервала;
iМе – величина медианногоинтервала;
∑f – сумма частот ряда(численность ряда);
SМе-1 – сумма накопленныхчастот в интервалах, предшествующих медианному;
fМе – частота медианногоинтервала.
Подставляя вэту формулу значения из примера, приведенного выше, получим значение медианы:
Ме= 350 + 50 * (500/2 – 160)/115 = 389,1 тыс. руб.
Следовательно,в наших примерах мода равна 108,8, а медиана – 389,1.
4. Квартилии децили – дополнительные характеристики вариационного ряда
Дополнительнок медиане для характеристики вариационного ряда исчисляют квартили, которыеделят ряд по сумме частот на четыре равные части, и децили, которые делят рядна десять равных частей. Второй квартиль равен медиане, а первый – Q1 и третий – Q3 исчисляют аналогичнорасчету медианы, только вместо медианного интервала берется для первогоквартиля интервал, в котором находится варианта, отсекающая ¼ численностичастот, а для третьего квартиля – варианта, отсекающая ¾ численностичастот. Исчислим для нашего примера первый и третий квартили:
Q1 = XQ1 +iQ1 * (∑f/4 – SQ1-1)/fQ1,
Q1 = 300 + 50 * (125–60)/100= 332,5
Для расчетапервого квартиля находим ¼ всех частот: ∑f/4 составит 125 (500/4).Из таблицы 3 видно, что 125-я варианта находится в интервале 300 – 350.
Следовательно,XQ1 = 300. Сумма накопленныхчастот до этого интервала равна 60 (SQ1-1), частота этогоинтервала – 100. Расчет дает значение первого квартиля 332,5 тыс. руб. Этоозначает, что у трех четвертей всех рабочих заработная плата составляет 332,5тыс. руб. и выше.
Рассчитаемтретий квартиль. Три четверти численности частот (3/4 ∑f) составит 375 = 500*3/4. 375-я варианта находится в интервале 400 – 450. Следовательно:
Q3 = XQ3 + iQ3 * (3/4∑f – SQ3-1)/fQ3,
Q3 = 400 + 50 *(375 –275)/180 = 427,75
Третийквартиль составляет 427,75 тыс. руб. Следовательно, заработная плата каждогочетвертого работника превышает 427,75 тыс. руб.
Заключение
Исходя изконтрольной работы, можно сделать вывод, что средние величины и ихразновидности в статистике играют большую роль. Средние показатели широкоприменяются в анализе, так как именно в них находят свое проявлениезакономерности массовых явлений и процессов как во времени, так и впространстве. Так, например, закономерность повышения производительности труданаходит свое выражение в статистических показателях роста средней выработки наодного работающего в промышленности, закономерность неуклонного роста уровняблагосостояния населения проявляется в статистических показателях увеличениясредних доходов рабочих и служащих и т.д.
Широкоеприменение имеют такие описательные характеристики распределения варьирующегопризнака как мода и медиана. Они являются конкретными характеристиками, ихзначение имеет какая-либо конкретная варианта в вариационном ряду.
Так, чтобы охарактеризоватьнаиболее часто встречающуюся величину признака, применяют моду, а чтоб показатьколичественную границу значения варьирующего признака, которую достиглаполовина членов совокупности – медиану.
Такимобразом, средние величины помогают изучать закономерности развитияпромышленности, конкретной отрасли, общества и страны в целом.