–PAGE_BREAK–1.3 Достатня умова ергодичності
Теорема 1.3.1 (Теорема Фостера).
Регулярна Марковська ланцюг з безперервним часом і рахунковим числом станів ергодична
має нетривіальне рішення таке, що При цьому існує єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним. [2, с. 8-14]
Ергодичність досліджуємо відповідно до теореми 1.3.1. Розглянемо умови теореми.
Регулярність треба з того, що .
, , .
Відповідно до малюнка 1.1, одержимо:
, , .
Таким чином, регулярність виконується.
Тому що всі стани повідомляються з нульовим, тобто в будь-який стан можна перейти з нульового й у можна перейти з будь-якого стану, шляхом надходження, обслуговування й відходу заявок з мережі.
Примітка – тут ураховується, що матриця переходів неприводима.
Як нетривіальне рішення системи рівнянь із теореми 1.3.1 візьмемо . Тоді для ергодичності буде потрібно, щоб . Тоді одержимо,
,
де
,
Останній ряд сходиться по ознаці порівняння, якщо сходиться ряд
Умова (1.3.1) і є шукана умова ергодичності. Якщо ця умова буде виконаються, то буде існувати єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним.
2. Полумарковська модель мережі із трьома вузлами
Нехай є відкрита мережа масового обслуговування, що складає із трьох вузлів, у яку надходить найпростіший потік заявок з параметром . Причому, у першу систему масового обслуговування, що входить заявка надходить із імовірністю . Часи обслуговування заявок в -ом вузлі задані функцією розподілу часу обслуговування -им приладом однієї заявки , . При цьому накладає наступна вимога
, . (2.1)
Дисципліни обслуговування заявок у системах мережі LCFS PR — заявка, що надходить в -ий вузол, витісняє заявку із приладу й починає обслуговуватися. Витиснута із приладу заявка стає в початок черги. Схематично мережа зображена на малюнку 2.1.
Стан мережі описується випадковим процесом
,
де , , — залишковий час обслуговування заявки, що коштує в -ой позиції.
Примітка. Випадковий процес
,
де — число заявок в -ом вузлі в момент , не є марковським процесом. Для марковизації процесу включаємо додаткові змінні. Щоб був марковським процесом, додаткові змінні візьмемо, як залишкові часи від моменту часу до повного завершення відповідних часів. Виходить, процес — марковський процес.
Таким чином, з вищесказаного треба, що побудовано полумарковська модель відкритої мережі із трьома вузлами.
2.1 Диференційно-різницеві рівняння Колмогорова
У відповідності методом диференціальних рівнянь і малюнком 2.1, складемо наступні рівняння
, (2.1.1)
де , .
Скористаємося наступними формулами:
,
[7]
Тоді рівняння (2.1.1) запишуться в такий спосіб
(2.1.2)
Зважаючи на те, що деякі події є неможливими (вони дорівнюють нулю), рівняння (2.1.2) приймуть наступний вид
Розкладання функції в ряд Тейлора, має вигляд
де — позиція елемента й відповідно.
Використовуючи розкладання функції в ряд Тейлора, перетворимо рівняння (2.1.3)
.
Переносимо в ліву частину рівності, потім ділимо обидві частини на й спрямовуємо , одержимо
(2.1.4)
.
Таким чином, рівняння (2.1.4) і є шукані рівняння Колмогорова.
2.2 Пошук рішення диференційно-різницевих рівнянь Колмогорова
Рішенням рівнянь Колмогорова (2.1.4) є:
.
Перевіримо знайдене рішення (2.2.1) безпосередньою підстановкою в рівняння (2.1.4), одержимо
Таким чином, 0=0, тобто рішення (2.2.1) задовольняє рівнянням (2.1.4).
продолжение
–PAGE_BREAK–