Модели выбора оптимального портфеля ценных бумаг

–PAGE_BREAK–1.3. Рыночная модель

Предположим, что доходность обыкновенной акции за данный период времени (на­пример месяц) связана с доходностью за данный период акции на рыночный индекс, такой, например, как широко известный S
&
P
5005. В этом случае с ростом рыночного индекса, вероятно, будет расти и цена акции, а с падением рыночного индекса, веро­ятно, будет падать и цена акции. Один из путей отражения данной взаимосвязи носит название рыночная модель (market

model
):

где -доходность ценой бумаги iза данный период;

  — доходность на рыночный индекс I  за этот же период;

     
  — коэффициент смещения;

— коэффициент наклона;

— случайная погрешность
Предположив, что коэффициент наклона положителен, из уравнения можно заметить следующее: чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше будет до­ходность ценной бумаги (заметим, что среднее значение случайной погрешности рав­няется нулю).

Проблема выбора портфеля активным инвестором
Классическая формулировка проблемы выбора портфеля относится к инвестору, который должен выбрать из эффективного множества портфель, представляющий собой оптимальную комбинацию ожидаемой доходности и стандартного отклонения, исходя из предпочтений инвестора относи­тельно риска и доходности. На практике, однако, это описание неадекватно характе­ризует ситуацию, с которой сталкивается большинство организаций, управляющих деньгами институциональных инвесторов.

Мы хотим рассмотреть, как можно моди­фицировать проблему выбора портфеля для того, чтобы удовлетворить потребности: ин­ституциональных инвесторов.

Определенные типы институциональ­ных инвесторов, такие, как, например, пен­сионные и сберегательные фонды (которые мы будем называть клиентами), обычно на­нимают внешние фирмы (которые мы бу­дем называть менеджерами) в качестве агентов для инвестирования своих финан­совых активов. Эти менеджеры обычно спе­циализируются на каком-то одном опреде­ленном классе финансовых активов, таком, например, как обыкновенные акции или ценные бумаги с фиксированным доходом. Клиенты устанавливают для своих менед­жеров эталонные критерии эффективнос­ти. Этими эталонами могут быть рыночные индексы (например, S
&
P
500) или специа­лизированные эталоны, которые отражают специфику инвестиций (например, растущие акции с малой капитализацией).

Клиенты нанимают менеджеров, которые в результате своей работы должны до­стигнуть эталонного уровня. Такие менед­жеры называются пассивными менеджерами (см. гл. 24). Клиенты нанимают и других менеджеров, которые должны превыситьдоходность, обеспечиваемую эталонными портфелями. Таких менеджеров называют активными менеджерами.

Для пассивных менеджеров проблема выбора портфеля является тривиальной. Они просто покупают и удерживают те цен­ные бумаги, которые соответствуют этало­ну. Их портфели называют индексными фондами. Для пассивных менеджеров нет никакой необходимости иметь дело с эффективными множествами и предпочтениями но риску и доходности. Данные понятия являются заботой их клиентов. (Эффективность выбранных клиентами эталонов; является отдельным вопросом, поэтому мы не будем здесь его рассматривать, хотя он очень важен.)      

            Перед активными менеджерами стоят гораздо более сложные задачи. Они долж­ны сформировать портфели, которые обес­печивают доходность, превосходящую до­ходность установленных эталонов постоян­но и на достаточную величину.

Наибольшей проблемой, препятствую­щей активным менеджерам, является недо­статок информации. Даже наиболее способ­ные из них совершают многочисленное ко­личество ошибок при выборе ценных бумаг. Несмотря на небылицы, рассказывае­мые про менеджеров, которые обеспечива­ют каждый год рыночную доходность в 10 процентных пунктов, менеджеры, работаю­щие на рынке обыкновенных акций, которые превышают эталонную доходность (после всех выплат и издержек) на 1—2 про­центных пункта (ежегодно, рассматриваются как исключительно эффективные исполнители. Менеджеры с недостатком квали­фикации (под квалификацией в данном случае подразумевается умение точно про­гнозировать доходность ценных бумаг) бу­дут в проигрыше по сравнению с эталоном, так как их гонорары и операционные из­держки уменьшают доходность.

Доходность, кото­рую активный менеджер получает сверх эта­лонной доходности, называют активной доходностью. Например, менеджер, порт­фель которого обеспечивает доходность в 7%, в то время как эталонный портфельобеспечивает доходность в 4%, имеет активную доходность в 3% (7% — 4%). Ожидаемая активная доходность наиболее искус­ных превысит ожидаемую активную доход­ность менее талантливых менеджеров. Од­нако в каждый конкретный период сущест­вует определенная вероятность того, что активная доходность менее способного ме­неджера превысит активную доходность вы­сококвалифицированного менеджера.

Так как результаты инвестиционных решений активного менеджера являются неопределенными, их доходность относи­тельно эталонной меняется в течение вре­мени. Стандартное отклонение активной доходности будем называть активным рис­ком (
active

risk
).

Активные менеджеры могут увеличить ожидаемую активную доходность, идя на больший активный риск. Предположим, что менеджер X
предсказал, что акции IBM
принесут доходность выше ожидаемой доходности эталонного портфеля. Акции IBM
составляют 2% в эталонном портфеле. Менед­жер Xможет «поставить» на IВМ, увеличив долю данных акций в своем портфеле до 4%. Разницу между долей акций в реальном портфеле и в эталонном назовем активной пози­цией (active

position
) ( + 2% = 4% — 2%). Если дела IBM
складываются удачно, активная доходность менеджера X
умень­шится. Чем более активна позиция менеджера X
по IBM
, тем больше ожидаемая активная доходность. Однако и активный риск менеджера при этом возрастает.

Активный риск (и, таким образом, ак­тивная ожидаемая доходность) может быть исключен, если включить в портфель все ценные бумаги в тех же долях в которых они входят в установленный эталонный портфель. Пассивные менеджеры следуют этому подхо­ду. Активные менеджеры принимают на себя активный риск, когда их портфель отличается от эталонного. Рациональные и искусные активные менеджеры идут на активный риск только в том случае когда они ожидают роста активной доходности. 

Теперь становится ясной суть проблемы выбора портфеля для активного мене­джера. Его не волнует соотношение ожидаемой доходности портфеля и стандартного отклонения. Скорее менеджер выбирает между более высокой ожидаемой активной доходностью и более низким активным риском.  

Данный процесс требует от нас пред­положений о способностях менеджера к предсказанию доходности ценных бумаг. Имея такую информацию, мы можем пост­роить для данного менеджера эффективное множество (исходя из ожидаемой доходности и активного риска), которое по­казывает комбинации наивысшей активной доходности на единицу активного риска и наименьшего активного риска на единицу ожидаемой активной доходности. Эффективное множество более искусных менеджеров, будет находиться выше и левее эф­фективного множества их менее квалифи­цированных коллег.

Кривые безразличия, аналогичные рассматриваемым в классической теории вы­бора портфеля, отражают различные ком­бинации активного риска и активной до­ходности, которые менеджер считает рав­ноценными. Крутизна наклона кривых без­различия отражает степень избегания рис­ка инвестором и имеет непосредственное отношение к оценке менеджером реакции клиентов на различные результаты своей деятельности.

Оптимальной комбинацией активного риска и активной доходности менеджера является та сточка на эффективном множестве, в которой одна из кривыхбезразличия касается данного множества.Мы можем рассматривать данную точку как желаемый уровень агрессивности менеджера в реализации его прогнозов доходности ценных бумаг. Менеджеры (и их клиенты) с большей степенью избегания риска выберут портфель с меньшим уровнем активного риска. Наоборот, менеджеры и ихклиенты, в меньшей степени избегающие риска, выберут портфель с более высоким уровнем активного риска.

Рассмотрим акции А, для которых аiI= 2% и biI= 1,2. Это означает, что для акции А рыночная модель будет выглядеть следующим образом:

гA= 2%+1,2гI+AI.                           

Таким образом, если рыночный индекс имеет доходность в 10%, то ожидаемая доход­ность ценной бумаги составляет 14% (2% + 1,2 х 10%). Если же доходность рыноч­ного индекса равняется —5%, то доходность ценной бумаги А ожидается равной —4% (2% + 1,2 х (-5%)).
Случайная погрешность
Случайная погрешность (random

error

term
) показывает, что рыночная модель не очень точно объясняет доходности ценных бумаг. Другими словами, когда рыночный индекс возрастает на 10% или уменьшается на 5%, то доходность ценной бумаги А не обязательно равняется 14% или — 4% соответственно. Разность между действительным и ожидаемым значениями доходности при известной до­ходности рыночного индекса приписывается случайной погрешности. Таким образом, если доходность ценной бумаги составила 9% вместо 14%, то разность в 5% является случайной погрешностью (т.е.AI= —5%; этот факт будет проиллюстрирован на рис. 8.11). Аналогич­но, если доходность ценной бумаги оказалась равной — 2% вместо — 4%, то разность в 2% является случайной погрешностью AI= +2%.

Случайную погрешность можно рассматривать как случайную переменную, кото­рая имеет распределение вероятностей с нулевым математическим ожиданием и стан­дартным отклонением, обозначенным . Таким образом, ее можно рассматривать как результат вращения колеса рулетки специального типа.

Например, случайную погрешность ценной бумаги А можно рассматривать как переменную, связанную с колесом рулетки, на котором равномерно расположены це­лые значения от -10% до +10%7. Это означает, что существует 21 возможный результат вращения колеса рулетки, каждый из которых равновероятен. Отсюда следует, что при заданном наборе чисел среднее значение случайной погрешности равняется нулю:

[ -10 х 1/21] + [-9 х 1/21] +… + [9 х 1/21] + [Ю х i/21] = 0.

Можно заметить, что данное вычисление представляет собой сумму произведений всех возможных результатов на вероятность их появления. Теперь можно показать, что стандартное отклонение данной случайной погрешности равняется 6,06%:

{[(-10— 0)2 х 1/21] + (-9 — 0) х 1/21] +… + [(9 — 0) х 1/21,] +
 + [(10 — 0)2 х 1/21]}1/2 = 6,06.

Данное вычисление включает в себя вычитание среднего значения из каждого воз­можного результата, затем возведение в квадрат каждой из этих разностей, умноже­ние каждого квадрата на вероятность получения соответствующего результата, сумми­рование произведений и, наконец, извлечение квадратного корня из результирующей суммы.

Рисунок 9 представляет колесо рулетки, соответствующее этой случайной по­грешности. В общем случае случайные погрешности ценных бумаг соответствуют ру­леткам с другими крайними значениями и другими неравномерными интервалами между значениями. Хотя все они имеют математическое ожидание, равное нулю, стандартные отклонения у них могут быть различными. Например, ценная бумага В может иметь случайную погрешность с нулевым ожидаемым значением и стандартным отклонени­ем, равным 4,76%8.
1.4. Графическое представление рыночной модели

Прямая линия в части (а) рис. 10 представляет собой график рыночной модели для ценной бумаги А. Уравнение прямой, построенной для ценной бумаги А, выглядит следующим образом:

По вертикальной оси отложена доходность ценной бумаги (r
A
), а по горизонтальной оси доходность на рыночный индекс (rI). Линия проходит через точку на вертикальной оси, соответствующую значению, которое в данном случае составляет 2%. Линия имеет наклон, равный AI, или 1,2.

Часть (б) рис. 10 представляет собой график рыночной модели ценной бумаги В. Уравнение данной прямой имеет следующий вид:
    продолжение
–PAGE_BREAK– Эта линия идет из точки на вертикальной оси, связанной со значением αВI, которое в данном случае равняется –1%. Заметим, что наклон данной прямой равняется βBI, или 0,8.

рис. 9. Случайная погрешность ценной бумаги А

рис. 10. Рыночная модель
«Бета»-коэффициент
Отметим, что наклон в рыночной модели ценной бумаги измеряет чувствительность ее доходности к доходности на рыночный индекс. Обе линии на рис. 10 имеют положи­тельный наклон, показывающий, что чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше доходности этих ценных бумаг. Однако прямые имеют различный наклон. Это означает, что бумаги имеют различную чувствительность к доходности на индекс рын­ка. Точнее, А имеет больший наклон, чем В, показывающий, что доходность А является более чувствительной к доходности на рыночный индекс, чем доходность В.

      Предположим, что ожидаемая доходность на рыночный индекс составляет 5%. Тогда если фактическая доходность на рыночный индекс составит 10%, то она превысит на 5% ожидаемую доходность. Часть (а) рис. 10 показывает, что доходность ценной бу­маги А должна превысить изначально ожидаемую доходность на 6% (14% — 8%). Аналогич­но, часть (б) показывает, что доходность ценной бумаги В должна превысить изначально ожидаемую доходность на 4% (7% — 3%). Причиной разности в 2% (6% — 4%) является тот факт, что ценная бумага А имеет больший наклон, чем ценная бумага В, т.е. А является более чувствительной к доходности на рыночный индекс, чем В.

Коэффициент наклона рыночной модели часто называют «бета»-коэффициентом (
beta
) и вычисляют так:

где обозначает ковариацию между доходностью акции iи доходностью на рыночный индекс, а обозначает дисперсию доходности на индекс. Акция, которая имеет до­ходность, являющуюся зеркальным отражением доходности на индекс, будет иметь «бета»-коэффициент, равный 1 (ему соответствует рыночная модель следующего вида: ri=rI+iI). То есть акции с «бета»-коэффициентом больше единицы (такие, как А) обладают большей изменчивостью, чем рыночный индекс, и носят название «агрессив­ные» акции (aggressive

stocks
). И наоборот, акции с «бета»-коэффициентом меньше еди­ницы (такие, как В) обладают меньшей изменчивостью, чем рыночный индекс, и на­зываются «оборонительными» акциями (defensive

stocks
).
Действительные доходности
Случайная погрешность позволяет сделать предположение, что при данной доходности на рыночный индекс действительная доходность ценной бумаги обычно лежит вне пря­мой, задаваемой уравнением рыночной модели. Если действительные доходности на ценные бумаги А и В составляют 9 и 11% соответственно, а действительная доходность на индекс составляет 10%, то можно заметить, что действительные доходности на А и В состоят из трех следующих компонентов:

Ценная бумага А
Ценная бумага В

Координаты точки пересечения

2%

-1%

Произведение действительной доходности на рыночный индекс и «бета»-коэффициента

12%=10%*1,2

8%=10%*0,8

Величина случайной погрешности

-5%=9%-(2%+12%)

4%=11%-(-1%+8%)

Действительная доходность

9%

11%

В данном случае можно просто сказать, что мы «прокрутили» колесо рулетки для А и В ив результате этого действия получили значения (которые являются значениями случайной погрешности) –5% для А и +4% для В. Можно заметить, что данные значения равняются вертикальным расстояниям, на которые действительные доходности ценных бумаг от­клоняются от прямой линий рыночной модели, как это показано на рис.11.

рис.11. Рыночная модель и действительные доходности

1.5.Диверсификация
Исходя из рыночной модели, общий риск ценной бумаги i, измеряемый ее дисперсией и обозначенный как  состоит из двух частей:  рыночный (или систематический) риск market

risk
);собственный (или несистематический) риск (unique

risk
).

Общий риск портфеля, измеряемый дисперсией его доходности выражается:

Общий риск портфеля состоит из двух компонентов, аналогичных двум компонентам общего риска отдельных ценных бумаг. Эти компо­ненты также носят название рыночного риска () и собственного риска().

 Рыночный риск портфеля
 В общем случае можно заметить, что чем более диверсифицирован портфель (т.е. чем большее количество ценных бумаг внего входит), тем меньше каждая доля Хi
. При этом значение не меняется существенным образом, за исключением случаев пред­намеренного включения в портфель ценных бумаг с относительно низким или высо­ким значением «беты». Так как «бета» портфеля является средним значением «беты» ценных бумаг, входящих в портфель, то нет оснований предполагать, что увеличение диверсификации портфеля вызовет изменение «беты» портфеля и, таким образом, ры­ночного риска портфеля в какую-либо сторону. Таким образом, можно утверждать, что диверсификация приводит к усреднению рыночного риска.

Этот вывод имеет важное значение, так как в случае плохого или хорошего экономи­ческого прогноза большинство ценных бумаг упадут или соответственно возрастут в цене. Несмотря на уровень диверсификации портфеля, всегда можно ожидать, что та­кие рыночные явления будут влиять на доходность портфеля.
Собственный риск портфеля

Совершенно другая ситуация возникает при рассмотрении собственного риска порт­феля. В портфеле некоторые ценные бумаги могут возрасти в цене в результате распро­странения неожиданных хороших новостей, касающихся компаний, эмитировавших данные ценные бумаги (например, о приобретении патента). Другие ценные бумаги упадут в цене в результате распространения неожиданных плохих новостей, относя­щихся к данным компаниям (например, об аварии). В будущем можно ожидать, что количество компаний, о которых станут, известны какие-либо хорошие новости, при­близительно будет равняться количеству компаний, о которых станут известны какие-либо плохие новости, что приведет к небольшому ожидаемому чистому воздействию на доходность хорошо диверсифицированного портфеля. Это означает, что чем больше диверсифицируется портфель, тем меньше становится собственный риск и, следова­тельно, общий риск.Диверсификация существенно уменьшает собственный риск.

Проще говоря, портфель, состоящий из 30 или более случайно выбранных ценных бумаг, будет иметь относительно низкую величину собственного риска. Это означает, что общий риск будет ненамного больше величины имеющегося рыночного риска. Таким образом, указанные портфели являются хорошо диверсифицированными. Рису­нок 12 показывает, как диверсификация приводит к снижению собственного риска и усреднению рыночного риска.

Пример
Рассмотрим две ценные бумаги А и В, о которых шла речь ранее. Эти бумаги имеют коэффициенты «бета», равные 1,2 и 0,8 соответственно; стандартные отклонения их случайных погрешностей составляют 6,06 и 4,76%. Таким образом, из заданных значений еА = 6,06% и еB= 4,76% следует, что 2еА=6,062 = 37 и 2еB= 4,762 = 23. Теперь предположим, что стандартное отклонение рыночного индекса уIсоставляет 8%. Это подразумевает, что дисперсия рыночного индекса равняется 82, или 64. Значения дисперсии для ценных бумаг А и В:

рис. 12. Риск и диверсификация
Рассмотрим комбинацию ценных бумаг А и В в портфеле, образованном вложением равного количества денег инвестора в каждую ценную бумагу. То есть рассмотрим порт­фель, в котором ХА = 0,5 и ХВ
= 0,5. Так какAI= 1,2 и BI= 0,8, то «бета» данного портфеля может быть вычислена с помощью уравнения:

pI= (0,5 х 1,2) + (0,5×0,8) = 1,0.

Можно вычислить дисперсию случайного отклоне­ния портфеля:

2еp= (0,52 * 37) + (0,52 * 23) = 15

Из уравнения (8.11а) видно, что портфель будет иметь следующую дисперсию:

2p= (1,02 х 64) + 15 = 79.

Данное выражение представляет общий риск портфеля, состоящего из двух ценных бумаг.
2. модель марковица

Определение структуры и местоположения
эффективного множества
Существует бесконечное число портфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор должен рассматривать только те портфели, ко­торые принадлежат эффективному множеству. Однако эффективное множество Мар­ковица представляет собой изогнутую линию, что предполагает наличие2. бесконечного числа точек на ней. Это означает, что существует бесконечное количество эффектив­ных портфелей. Метод  решения включает в себя алгоритм квадратического программирования, известный как метод критических линий (
critical
–
line

method
).

Рассмотрим портфель из трех акций. Проведем оценку вектора ожидаемых доходностей, обозначенного как ER
, и ковариационной матрицы, обозначенной как VС:

          16,2                              146   187  145

ER=  24,6                   VC=  187   854  104

           22,8                              145  104   289
Затем через алгоритм определяется количество «угловых» портфелей, которые свя­заны с ценными бумагами и полностью описывают эффективное множество. «Угло­вой» портфель — это эффективный портфель, обладающий следующими свойствами: любая комбинация двух смежных «угловых» портфелей представляет из себя третий портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя «угловыми» портфелями. Данное утверждение можно проиллюстрировать примером.

Алгоритм начинается с определения портфеля с наивысшей ожидаемой доходно­стью. Данный портфель соотносится с точкой S
на рис. 1 и является эффективным портфелем. Он состоит только из одной ценной бумаги с наибольшей ожидаемой до­ходностью. То есть если инвестор хочет приобрести данный портфель, все, что он дол­жен сделать, это купить акции компании с наивысшей ожидаемой доходностью. Лю­бой другой портфель будет иметь меньшую ожидаемую доходность, так как в конечном счете часть фондов инвестора будет помещена в акции других компаний, имеющих ожидаемую доходность ниже S
.

Например, компанией, акции которой наиболее доходны, является компания Baker
. Соответствующим эффективным портфелем будет первый «угловой» портфель, опре­деленный алгоритмом. Его состав описывается следующим вектором весов, обозна­ченным Х(1):

             0,00

Х(1) =  1,00

             0,00

Его ожидаемая доходность и стандартное отклонение связаны только с ожидаемой доход­ностью и стандартным отклонением акций Baker
и соответственно составляют 24,6% и (854)1/2, или 29,22%. На рис. 13 данный «угловой» портфель обозначен как С(1).

Затем алгоритм определяет второй «угловой» портфель. Данный портфель распо­лагается на эффективном множестве ниже первого «углового» портфеля. Его состав определяется следующим вектором весов, обозначенным Х(2):

             0,00

Х(2) =  0,22

             0,78

То есть второй «угловой» портфель представляет собой портфель, в котором инвестор вкладывает 22% своих фондов в обыкновенные акции компании Baker
, a78% в обык­новенные акции компании Charlie
. Ожидаемую доходность и стандартное отклонение данного «углово­го» портфеля, которые составляют соответственно 23,20 и 15,90%. На рис. 13 данный «угловой» портфель обозначен как С(2).

Говоря о первом и втором «угловых» портфелях, важно отметить, что они являются смежными эффективными (adjacent
) портфелями и любой эффективный портфель, ле­жащий в эффективном множестве между двумя данными, будет представлять собой просто комбинацию их составов. Например, эффективный портфель, лежащий посере­дине между ними, будет иметь следующий состав:

                                                 0,00            0,00     0,00

[0,5*Х(1)] + [0,5*Х(2)] = 0,5*  1,00 + 0,5* 0,22 =  0,61

                                        0,00            0,78     0,39
рис. 8.13. «Угловые» портфели

Таким образом, веса распределены следующим образом: 0,61 — в акции Baker
и 0,39 — в акции Charlie
. Ожидае­мую доходность и стандартное отклонение данного портфеля составляют 23,9 и 20,28% соответственно.

Определив второй «угловой» портфель, алгоритм затем определяет третий. Он имеет следующий состав:

            0,84
    продолжение
–PAGE_BREAK–