Министерство образования и науки украины
ХарькОвский Национальний университет радиоэлектроники
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по курсу«Моделированиеэкономики»
длястудентов всех форм обучения специальности «Экономическая кибернетика»
Протокол № 2 від 14.09.04
Утверджено кафедрой
“Экономическая кибернетика”
Харків2004
Конспект лекций покурсу «Моделирование экономики»для студентов всех форм обученияспециальности «Экономическая кибернетика»/> /Сост. Н.Б. Ивченко. – Харьков: ХНУРЭ, 2004 – 50с.
Составитель Н.Б. Ивченко
лекция 1
Вводнаятема
План
1. Предмет, сущность изадачи дисциплины. Содержание курса, взаимосвязь с другими дисциплинами.
2. История развитияэкономико-математических методов ( ЭММ ) и моделей.
1. При подготовкеменеджеров в США и других странах используются два направления :
1) Изучение отчетово деятельности фирм (досье ).
2) Изучение ЭММ имоделей.
В направлении 1 студентунадо за два часа изучить досье на фирму, например « Дженерал моторс » на 20страницах и затем за 80 минут обсудить возможные направления деятельности фирмыи выбрать наилучшие. В направлении 2 используются банки моделей, статистическиебанки. В банке моделей находятся модели расчета цен на товары и услуги, модель месторасположенияфирмы или торговой точки, модель разработки рекламного бюджета и др. Статистическийбанк – совокупность современных методик статистической обработки информации.Банк моделей — набор математических моделей, позволяющих приниматьоптимальные управленческие решения. Эти методики и модели позволяют ответить навопросы :
1) Какие виды деятельностинеобходимо развивать
2) Какие товарыцелесообразно выпускать
3) По каким переменнымлучше всего сегментировать рынок?
4) Что произойдет срынком, если цену товара поднять на 10 %, а расходы на рекламу увеличить на 20% ?
5) Что представляютсобой переменные, влияющие на сбыт
За последние годыразработано множество моделей, в основе которых лежат ЭММ.
Предметом дисциплиныявляются методология, методы и процессы экономико-математическогомоделирования.
Сущностью дисциплиныявляется определение внутренних закономерностей экономических процессов иявлений. Это можно сделать с помощью моделей. Здесь остро встаёт вопрос обадекватности математической модели экономической структуры. Любая модель любогоявления полагает абстрагирование от многих реальных свойств. Что же касаетсямоделирования в экономике, то здесь реальный объект по своей сложностипревосходит многие объекты физической природы. Вместе с тем проверкаадекватности ЭМ модели с помощью единственного критерия истины – практики затруднена,так как экономический эксперимент связан зачастую с колоссальными затратами ипоэтому не всегда возможен.
Некоторые модели хорошозарекомендовали себя. В последнее время три математических теории являетсяосновным инструментом при исследовании экономических задач: линейноепрограммирование, модели типа « затраты — выпуск » и теория производственныхфункций.
Целью дисциплиныявляется формирование системы знаний по методологии, методике и инструментариюпостроения экономических моделей, их анализа и использования.
К задачам дисциплиныотносятся изучение теории и получение практических навыков моделирования ианализа экономических объектов и процессов на макро-, мезо- имикроэкономических уровнях.
Данный курс связан с дисциплинамиматематического цикла и экономического цикла.
2. Первую экономическуюмодель в экономике сформулировал в 16-17 в.в. французский ученый, придворныйврач Франсуа Кенэ. Кенэ долго размышлял над распределением в обществе труда идоходов. Он вычертил схему, которая вошла в историю под именем « Зигзаг доктораКенэ » и « Арифметическая формула ».
Настоящимпервооткрывателем математической экономики в Европе признается французский экономистАнтуан Огюстен Курно, который в 1838 году предложил математический аппарат фирмы,показал спрос как падающую функцию цены. А.О. Курно написал книгу «Исследование о математических принципах теории багатств ».
В 1847 году в Лозанневышла книга Леона Вальраса, в которой он писал
«Чистая теория экономикиесть наука, напоминающая во всем физико-математические науки». Леон Вальрасразработал теории общего конкурентного равновесия и построил обобщенную моделькапиталистической экономики.
Необходимо отметить работыпо моделировапнию экономики В. Леонтьева, Дж. Фон Неймана, В. Парето, Э. Энгела,Ф. Эджворта.
Василий Леонтьев ( 1906-1999г.г. ) — американский экономист, русский по происхождению. Основоположникнаправления, названого им методом « затраты – выпуск » или по отечественнойтерминологии, метода межотраслевого баланса. Получил Нобелевскую премию.
Дж. Фон Нейман ( 1903 –1957 г.г. ) — американский математик, выходец из Венгрии. Разработал логическиеосновы ЭВМ и автоматов, построил вместе с О. Моргенштерном теорию игр. Известнаего математическая модель «расширяющейся » экономики.
В. Парето ( 1848 – 1927г.г. ) — итальянский экономист и социолог. В 1897 году он изобрел формулу, чтоблага распределяются неравномерно, разработал принцип многоцелевой «оптимальности ».
Немец Э. Энгель придумалтеории функций спроса и эластичности показателей.
Англичанин Ф. Эджворт предложилкривые безразличия.
В конце 19 века вЕвропе и США получили большое развитие статистические исследования ( из нуждастрономии для устранения ошибок в наблюдениях ) и возник метод наименьшихквадратов, регрессивный анализ ( из нужд биологии ). Они вошли важной составнойчастью в эконометрию.
Среди отечественныхученых, внесших значительный вклад в ЭМ моделирование необходимо назвать Е.Е.Слуцкого, Л.В. Канторовича, В. С. Немчинова, Н. П. Федоренко, Г. А. Аганбегяна.
В 1939 году свершилосьсобытие, которое сначала никем не было замечено, но потом отозвалось во всеммире. Молодой профессор Ленинградского университета Л.В. Канторович ( 1912 –1986 г.г. ) надумал применить математические приемы к решению производственныхзадач. Такие задачи ему предложил существующий тогда Фанерный трест. Какраскроить фанерные листы с минимальными отходами, как распределить работу постанкам, чтобы результаты были максимальными? Результаты были поразительны.Математический расчет предлагал единственный наиболее эффективный вариант использования ресурсов.
В 1958 году будущийакадемик В. С. Немчинов создал первую в стране ЭМ лаборатори. В 1963 г. на базе лаборатории Немчиновым былорганизован ЦентральныйЭМ институт. Директоромбыл назначен Н. П. Федоренко, впоследствии академик. В Новосибирске был создан Институтэкономики и организации промышленного производства АН СССР, который возглавилакадемик Г.А.Аганбегян.
Ниже приведены данные оботечественных ученых, внесших наибольший вклад в моделирование экономики.
Слуцкий ЕвгенийЕвгеньевич ( 1880 – 1948 г.г. ) — советский математик, экономист и статистик,работал в областной теории спроса и потребления, вывел « уравнение Слуцкого » (характеризующее зависимость между изменением цен на отдельные товары и доходовпотребителей с одной стороны, и структурой покупки спроса с другой ).
Канторович ЛеонидВитальевич ( 1912 – 1986 г.г. ) — советский математик и экономист, внес вклад вразвитие ценообразования, теории эффективности капиталовложений, а такжеразвития ВТ. Лауреат Нобелевскую премии по экономике.
Немчинов ВасилийСергеевич ( 1894 – 1964 г.г. ) – основоположник ЭМ направления науки в стране,руководил работами по межотраслевым балансам страны и регионов.
Аганбегян Абел Газевич (р. 1932 г. ), академик, основные труды по проблемам производительности труда,отраслевой оптимизации.
Фельдман ГригорийАлександрович ( 1884 – 1958 г.г. ), советский экономист, создал первуюдинамическую модель экономического роста.
Федоренко НиколайПрокофьевич ( р. 1917 г. ) академик, советский экономист, организатор идиректор ЦЭМИ до 1985 года, работал в области общих проблем применения ЭММ внародном хозяйстве.
ЛЕКЦИЯ 2
Тема:Классификация ЭММ и моделей
План
Классификационная схемаЭММ и моделей
Понятие модели, видымоделей
ЭМ методы – обобщающееназвание дисциплин, находящихся на стыке экономики, математики и кибернетики,введенное В. С. Немчиновым в начале 60-х годов 20 в. Общепринятой классификацииЭММ и моделей нет, на рис. 2.1
Приведена примернаяклассификация ЭММ и моделей.
/>
Рис. 2.1
Рассмотрим схему ЭММ имоделей:
1. Математическаястатистика – раздел прикладной математики, основанный на выборке изучаемыхявлений.
2. Математическаяэкономика и эконометрия – науки, занимающиеся проверкой экономических теорий нафактическом материале с использованием математической статистики и математическихмоделей.
Эконометрия – наука изучающая конкретныеколичественные закономерности и взаимосвязи экономических объектов и процессовс помощью математических и математико-статических методов и моделей.
Математическаяэкономика – наука, изучающая те же вопросы, что и эконометрия, только безстатистической конкретизации экономических параметров, в виде общихэкономических зависимостей.
Математическойэкономикой – называют прикладную часть математической экономики.
Производственныефункции – ЭМ уравнения связывающие переменные величины затрат с величинамипродукции, применяется в макроэкономических расчетах и на уровне предприятий.
Межотраслевой баланс– каркасная модель экономической таблицы, в которой показываются многообразныенатуральные и стоимостные связи в народном хозяйстве ( за рубежом называютметодом « затраты — выпуск » ).
Теория экономическогороста – позволяет моделировать общее и социальное развитие стран в целом.
Региональный анализ – исследует уровни экономическогоразвития регионов, их специализации, отраслевые структуры.
Пространственныйанализ – исследуетразмещение населенных центров в связи с их экономическим значением, сферойсбыта продукции. Отрасли делятся на пространствоемкие ( сельское хозяйство,рыболовство ), точечные ( обрабатывающая промышленность ), сокращающаярасстояние ( транспорт и связь ).
3. Экономическаякибернетика рассматривает применение общих законов кибернетики в изученииэкономических явлений ( системный анализ экономики, теория экономическойинформации ).
Системный анализэкономики –рассматривает экономические объекты как систему, главный инструмент – модельизучаемой системы.
Теория экономическойинформации — рассматривает процессы происходящие в экономике, только с информационнойстороны, рационализацию потоков экономической информации, ее полезность.
4. Методы принятия оптимальныхрешений ( теория игр, массового обслуживания, управления запасами и др.).
2. Модель – понятие,которое определить трудно. В одной работе было перечислено 31 определение. Этопонятие знакомо каждому: игрушечный самолет – модель самолета. Фотоснимокпейзажа – это модель местности,
s = vt ( путь = скорость * на время, модель движущегося тела,математическая модель ).
Модели могут быть болееили менее точные, более или менее простые или сложные, материальные (вещественные ) и знаковые ( например, графические ).
Материальные модели –модели гидроэлектростанций, воспроизводящие реку, горы ;
Термин «модель»происходит от латинского слова «modulus»- образец Моделью некоторого объекта, явления называется исскуственная системаили объект, которые в определенных условиях могут заменить оригинал путемвоспроизведения свойств и характеристик оригинала.
Модель естьвспомогательным средством, которое в определенной ситуации заменяет оригинал приисследовании его свойств. Различают модели следующих видов
1) физические (внешнего подобия ),
2) схематические (графические ),
3) словесные (вербальные ),
4) математические.
Математические моделиявляются наиболее абстрактными.
Под ЭМ моделямипонимаются математические модели, применяемые для решения экономических задач иописания экономических процессов или явлений. ЭМ модели бывают
1теоретико-аналитические и прикладные,
2 общие и частные,
3 непрерывные идискретные,
4 статические идинамические,
5 детерминированные истохастические,
6 матричные и др.
Большое значение вэкономики имеют оптимизационные модели. Они состоят из целевой функции иликритерия оптимальности и ограничений.
Целевая функция – ( илифункция цели, название оптимизируемой функции ) – функция, оптимум которойтребуется найти
? ( х ) /> opt (max,min).
Критерий оптимальности– признак, характеризующий качество принимаемого решения.
К = opt ? ( х ), x є X.
Ограничения выражаютсяравенствами и неравенствами
F1( х ) > A,
F2( х ) = В.,
Важное свойство ЭМмоделей – их применимость к разным
ситуациям. Например выпускпродукции и внесение удобрений можно описать одинаковой моделью.
Лекция3 Тема: Этапы экономико — математическогомоделирования
План
1. Анализ этапов экономико-математическогомоделирования.
2. Вербально-информационное описание какначальный этап моделирования.
3. Модели мировой динамики.
1. Процесс моделирования,в том числе и экономико-математического, включает в себя три структурныхэлемента: объект исследования; субъект (исследователь); модель, опосредующуюотношения между познающим субъектом и познаваемым объектом. Рассмотрим общуюсхему процесса моделирования, состоящую из четырех этапов.
Пусть имеется некоторыйобъект, который мы хотим исследовать методом моделирования. На первом этапе мыконструируем (или находим в реальном мире) другой объект – модель исходногообъекта-оригинала. Этап построения модели предполагает наличие определенныхсведений об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели определяютсятем, что модель отображает лишь некоторые существенные черты исходного объекта,поэтому любая модель замещает оригинал в строго ограниченном смысле. Из этогоследует, что для одного объекта может быть построено несколько моделей,отражающих определенные стороны исследуемого объекта или характеризующих его сразной степенью детализации.
Навтором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объектисследования.
Например, одну из форм такого исследования составляет проведение модельныхэкспериментов, при которых целенаправленно изменяются условия функционированиямодели и систематизируются данные о ее поведении. Конечным результатом этогоэтапа является совокупность знаний о модели в отношении существенных сторонобъекта-оригинала, которые отражены в данной модели. Третий этап заключается впереносе знаний с модели на оригинал, в результате чего мы формируем множество знаний об исходном объекте и при этомпереходим с языка модели на язык оригинала. Сдостаточным основанием переносить какой-либорезультат с модели на оригинал можнолишь в том случае, если этот результат соответствует признакам сходства оригинала и модели (другимисловами, признакам адекватности).
На четвертом этапе осуществляются практическая проверка полученныхс помощью модели знаний и их использование как для построения обобщающей теорииреального объекта, так и для его целенаправленного преобразования илиуправления им. В итоге мы снова возвращаемся к проблематике объекта-оригинала.
Моделирование представляет собой циклическийпроцесс, т. е. за первым четырехэтапным циклом можетпоследовать второй, третий и т. д. При этом знания обисследуемом объекте расширяются и уточняются, а первоначально построенная модель постепенносовершенствуется. Таким образом, вметодологии моделирования заложены большие возможности самосовершенствования.
Перейдем теперь непосредственно к процессуэкономико-математическогомоделирования, т. е. описания экономическихи социальных систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Эта разновидность моделирования обладает рядом существенных особенностей,связанных как с объектом моделирования, так и с применяемыми аппаратом и средствами моделирования. Поэтомуцелесообразно более детальнопроанализировать последовательность и содержание этаповэкономико-математического моделирования, выделив следующие шесть этапов: постановка экономической проблемы, ее качественный анализ; построениематематической модели; математический анализ, модели; подготовка исходной информации; численное решение;анализ численных результатов и их применение. Рассмотрим каждый изэтапов более подробно.
1. Постановка экономической проблемы и еекачественный анализ. На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру ивзаимосвязь его элементов, хотя быпредварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитиеобъекта.
2. Построение математической модели.Это этап формализации экономической проблемы, т.е. выраженияее в видеконкретных математических зависимостей (функций,уравнений, неравенств и др.). Построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. Сначала определяется тип экономико-математическоймодели, изучаются возможности ееприменения в данной задаче,уточняются конкретный перечень переменных и параметров и форма связей. Длянекоторых сложных объектовцелесообразно строить несколько разноаспектных моделей; при этом каждая модель выделяет лишь некоторыестороны объекта, а другие стороны учитываютсяагрегировано и приближенно. Оправдано стремление построить модель, относящуюся к хорошо изученному классу математических задач, что можетпотребовать некоторого упрощенияисходных предпосылок модели, не искажающего основных черт моделируемогообъекта. Однако возможна и такая ситуация,когда формализация проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре.
3. Математический анализ модели. Наэтом этапе чисто математическими приемами исследования выявляютсяобщиесвойства модели и ее решений. В частности, важныммоментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение,какие переменные могут входить в решение,в каких пределах они изменяются,каковы тенденции их изменения и т. д.Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаютсяаналитическому исследованию; в таких случаяхпереходят к численным методам исследования.
4. Подготовка исходной информации. Вэкономических задачахэто, как правило, наиболее трудоемкий этап моделирования,так как дело не сводится к пассивному сборуданных. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не толькопринципиальную возможностьподготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовкуинформационных массивов. В процессеподготовки информации используются методы теории вероятностей, теоретической иматематической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д.При системном экономико-математическом моделировании результатыфункционирования одних моделей служат исходнойинформацией для других.
5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведениерасчетов; при этом значительныетрудности вызываются большой размерностьюэкономических задач. Обычно расчеты на основе экономико-математической моделиносят многовариантный характер.Многочисленные модельные эксперименты, изучение поведения модели приразличных условиях возможно проводитьблагодаря высокому быстродействиюсовременных ЭВМ. Численное решение существенно дополняет результатыаналитического исследования, а для многихмоделей является единственно возможным.
6. Анализ численных результатов и ихприменение. На этом этапе прежде всего решается важнейшийвопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимостиих как в практической деятельности, так и в целяхусовершенствования модели. Поэтому в первую очередь должна бытьпроведена проверка адекватности модели по тем свойствам, которые выбраны вкачестве существенных (другими словами, должны быть произведены верификация ивалидация модели). Применение численныхрезультатов моделирования в экономикенаправлено на решение практических задач (анализ экономических объектов, экономическое прогнозирование развития хозяйственных и социальных процессов, выработка управленческих решений навсех уровнях хозяйственной иерархии).
Перечисленные этапыэкономико-математического моделирования находятся в тесной взаимосвязи, в частности, могутиметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи илипротиворечива, или приводит к слишком сложной математической модели; в этомслучае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболеечасто необходимость возврата кпредшествующим этапам моделированиявозникает на этапе подготовки исходной информации. Если необходимая информация отсутствует илизатраты на ее подготовку слишкомвелики, приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ееформализации, чтобы приспособиться к доступной исследователю информации.
Выше уже сказано о циклическом характерепроцесса моделирования. Недостатки, которые не удается исправить натех или иных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Однакорезультаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение.Начав исследование с построения простой модели, можно получитьполезные результаты, а затем перейти к созданию более сложной иболее совершенноймодели, включающей в себя новые условия и более точные математическиезависимости.
2. Для создания моделисистемы необходимо сначала дать ее вербально-информационное описание, (слововербальный означает «словесный» от лат. “verbalis”)
Его составные описывают:
1) внешнюю среду;
2) связи системы с внешней средой;
3) элементарный состав системы, еечасти, которые могут рассматриваться как системы меньшего размера;
4) описание связей между элементами системыи ПС или главные связи между элементами и ПС, если нельзя дать все связи;
5) действие системы..
Такое описание можносчитать начальной моделью системы, базой для создания других более специализированныхмоделей высшего уровня.
Некоторые части описаниямогут быть неполными. Иногда (если система сложная) моделирование оканчиваетсявербальным описанием. Если вербальная модель удачная, то она позволяетпринимать эффективные решения, решать разные проблемы, разрабатывать способыуправления системой.
3.Использование численныхматематических методов моделирования позволило создать модели мировойэкономики. Так как ресурсы Земли ограничены, то интересной является проблемаисследования возможных последствий экономического роста. Эта проблема тесносвязана с экономическими факторами.
Американский ученый Дж.Форрестер предложил модель мировой динамики. Интегральная выходная величинамодели – индекс материального роста жизни
M = C/P * N(1-a),
где С – суммарный капитал,(инвестиции в промышленность),
Р – численностьнаселения;
N – наличие природных ресурсов;
a – индекс сельскохозяйственногокапитала.
Все переменные здесь естьусредненными величинами по всему миру.
Взаимосвязь переменныхописывалась системой из 20 нелинейных уравнений. Использовалось имитационноемоделирование.
Результаты оказалисьнеутешительными:
1) если мир не изменится,то качество жизни будет снижаться после max в 70-е годы.
2) увеличениекапиталовложений в промышленность вызовет загрязнение окружающей среды.
3) некоторое стабильноесостояние можно достичь, если уменьшить капиталовложения в промышленность,рождаемость и пользование природных ресурсов.
Исследования мировойдинамики продолжил Д.Медоуз. Его модель характеризуется величинами:
1 – наличие ресурсов;
2 – объемом производствапродуктов питания на душу населения;
3 – численностьнаселения;
4 – объемом промышленнойпродукции на душу населения;
5 – уровнем загрязненияокружающей среды;
6 – общим темпомсмертности;
7 – общим темпом рождаемости;
8 – объемом производствауслуг на душу населения(за год).
Процесс построения моделивключал 4 этапа.
1) определение связеймежду 8 характеристиками системы;
2) составлениезависимостей между характеристиками;
3) компьютерный расчетобщего поведения этих зависимостей во времени;
4) исследования влиянияна глобальную систему различных стратегий развития.
Согласно этой моделипроизводство продуктов питания и численностъ населения растут, пока их незатормозит быстрое снижение ресурсных запасов. Загрязнения природной среды ичисленность населения растут после пика промышленного развития настолько, чтовызовут экономическую, демографическую и экологическую катастрофу.
Чтобы убрать крах мировойсистемы, в модель последовательно вводили 4 стратегии технического прогресса:
1) широкое использованиеядерной энергетики, чтобы удвоить ресурсы, переработка отходов. 2) контрользагрязнения природной среды. 3) увеличение продуктивности земли в 2 раза. 4)контроль за рождаемостью. Однако моделирование показало, что даже приодновременном использовании всех 4 стратегий уменьшается производство продуктовпитания и промышленной продукции на душу населения.
Тогда разработалистабилизирующую стратегию, которая включала следующие предложения:
1) идеальный контроль зарождаемостью (2-е детей в семье);
2) увеличение амортизационныхотчислений;
3) переработка вторичныхресурсов, контроль над состоянием окружающей среды, увеличение сроков службывсех видов капитала, обновление эрозийных земель.
Эти мероприятия должныбыли быть введены ещё в 1975г., иначе выход мира до стабильного состояния будетневозможен.
Эти выводы вызвалиоживленную дискуссию. К критическим мнениям относились: сильнаяагрегированность модели, игнорирование больших различий между регионами Земли.
Другие модели были вообщенеобъяснимыми.
В научных кругах моделимировой динамики вызвали «футурошок» т.е.
ЛЕКЦИЯ 4Тема: Моделированиеэкономических функций
План
1 Функция издержек
2 Функция спроса
3 Функция предложения
4 Функция полезности
1. Анализ издержексодержит изучение влияния издержек производства на объем производства и другиеТЭ показатели.
Чаще всегорассматривается функция вида:
Z=F(x)+?bivi,i=1,n,
где Z — суммарные издержки;
x — количество продукции;
vi — другие условия, отражают различнуюструктуру ОПФ, разные условия производства, разную организацию труда вразличных отраслях.
Поделим обе части на X
/>/>,
где -/> удельные издержки.
Отвлечемся от влиянияфакторов, что, возможно при изучении издержек в общегосударственных масштабах.Тогда
Z=f(x),
/>,
/>
Линейная функция издержекимеет вид:
Z=f(x)=b0+bix.
Функция удельных издержекбудет убывающей. Параметры можно интерпретировать с помощью предельных величин
/>/>,i=1,n;
фактор ?Vi при неизменных уровне выпуска продукции увеличивает издержкина ?Z,
?Z=bi?Vi.
Если ?Vi=1, то ?Z=bi..
Когда Vi выражает какой- то процесс или такое изменениеорганизационной структуры, при котором издержки должны снизится, то bi должно иметь отрицательный знак.
2. Функция спросавыражает зависимость спроса от экономических (доходы, цены) и внешнеэкономических(потребительские привычки) факторов. Функции спроса могут быть какмакроэкономическими, если охватывают всю сферу потребления имикроэкономическими описывающими спрос индивидуальных потребителей.
D (p) — функция спроса или просто спрос (по англ. “demand” — спрос)(количество товара покупаемогона данном рынке за единицу времени по цен Р за единицу). Фундаментальноесвойство функции спроса выражает следующая аксиома: функция спроса являетсяубывающей, при увеличении цены величина спроса на товар уменьшается к 0, приуменьшении цены товара величина спроса увеличивается.
Рассмотрим следующиефункции спроса:
/> /> />
a) б) в)
а) линейно убывающая
D (p) =а-bp, />.
б) обратная
D (p)=1/p, р>0,
в) логарифмическая
D (p)=ln (1+p)/p,p>0.
При изменении условий нарынке или вне его функция спроса может изменится, тогда говорят об измененииспроса. Изменение спроса надо отличать от изменения величины спроса припередвижении по графику данной функции спроса. Например, при повышении цен набензин вполне может повысится спрос на велосипеды. Это означает, что вся криваяспроса передвинется вправо.
Рассмотрим математическиехарактеристики кривой спроса и их экономические иллюстрации. Производнаяфункции спроса по цене
/>,
показывает насколькоизменится величина спроса при изменении цены товара на 1 ед. Т.к. функцияспроса убывающая, то эластичность спроса по цене показывает на сколько %изменится величина спроса при изменении цены товара на 1 %.
Обозначается эластичность
/>.
3. S(p) — функция предложения или предложение (от англ.“supply”- предложение)(количество товарапоставляемого на данный рынок за единицу времени при цене р за ед. товара). Функцияпредложения является возрастающей. Аксиома предложения: при увеличении ценывеличина предложения товара неограниченно увеличивается, при уменьшении ценывеличина предложения уменьшается, приближаясь к 0.
Различают функциипредложения
/> /> />
а)б) в)
а) линейно возрастающая
S (p) = — C + dp,/>,
б) степенная
/>,
в) логарифмическая
/>.
При изменении условий нарынке или вне него функция предложения может изменится, тогда говорят обизменении предложения. При открытии поблизости месторождения алмазов можетувеличится предложение необработанных алмазов а возможно через некоторое время- ювелирных украшений.
Рассмотрим математическиехарактеристики кривой предложения и их экономические иллюстрации.
Производная функции поцене
/>,
показывает насколькоизменится величина предложения при изменении цены товара на 1 ед. Т.к. функцияпредложения возрастающая, то />
Эластичность предложенияпо цене показывает на сколько % изменится предложение при изменении цены товарана 1 %. Обозначается эластичность
/> ;
Рассмотрим:
a) />
/> ;
б) /> ;
/> ;
в) /> ;
/>.
4 Система предпочтений индивида указывает, какой из двух наборовпредпочтительнее для него. Во многих случаях, однако, весьмажелательно и удобно оценивать привлекательность наборатоваров количественно />,приписать каждому набору Xиз пространства товаров С какое-то число и(Х).Получается функция и: С/>R. Главное требование к такой функции, чтобыона отражала отношение (слабого) предпочтения на С, т.е. удовлетворялаусловиям :
и(Х) u{Y), если и только если XY
и(Х) = u(Y), если и только если X~Y, значити
и(Х) если и только если ХY.
Такая функция называется функцией полезности. Видно, что функция полезностипостоянна на каждом классе равноценности, так что ее ивполне правильно представлять себе как функцию, «пересчитывающую»классы равноценности в сторону все большего предпочтения наборовтоваров.
Работать с функцией полезности гораздо удобнее, чем с системой.Однакоматематики выяснили, что если на систему не накладывать никакихограничений, кроме уже рассмотренных ранее, а именно, транзитивность,совершенность и рефлексивность, то функции полезности может и несуществовать. Тем не менее при некоторых естественных условиях, наложенных насистему функция полезности существует.
Теперь можно сформулировать условия, при которых существует функция полезности.
ТеоремаЕсли система предпочтений непрерывна, то существует непрерывная функция полезности.
/>Рис.4.1
Надо отметить, что функцияполезности, если она существует, не определяетсяединственным образом ( рис.4.1).
Основные свойства функции полезности вытекают из еесвязи и подчиненности системе предпочтений. Функция полезностинеубывающая и дифференцируема.
Состояниерынка, при котором спрос равен предложениюназывается равновесным, а цена, при которойдостигается равенство спроса и предложения-называется равновеснойценой
Теоремa Пустьфункции спроса и предложения непрерывны и, D(р0)> S(p0)при некоторой цене р0; тогда существует состояние равновесия.
ЛЕКЦИЯ 5
Тема:Типы производственных функций и их свойства
План
1. Типы производственныхфункций
2. Предельный анализфакторов и однородность производственных функций
3. Эластичностьпроизводственных функций
4. Замещение факторов впроизводственных функциях
5. Производственнаяфункция Кобба-Дугласа
1. Производственныефункции можно разделить по количеству используемых переменных, по виду функцийи по их свойствам.
Под производственнойфункцией понимают уравнение, связывающее выпуск продукции и затраты.Производственные функции по количеству переменных различают:
– однофакторные: /> или />;
– двухфакторные: />;
– многофакторные.
По аналитическому виду:
А) линейныепроизводственные функции
/>.
Здесь параметры /> и /> выражаютпроизводительность факторов /> и />,то есть показывают абсолютный прирост производства, когда один фактор остаетсянеизменным, а другой возрастает на единицу. Линейные функции часто используютсяв краткосрочных и среднесрочных экономических моделях.
б) степенныепроизводственные функции
/>,
/>,
/>.
Параметры /> и /> выражают эластичностьуровня производства /> по отношению к факторам /> и />, то есть показываютотносительный прирост продукции, связанный с относительным приростом /> и />.
/> -объем трудовых ресурсов в натуральном количестве,
/> -число рабочих, число человеко-дней,
/> -выпуск продукции в стоимостном или натуральном виде.
в) более сложныепроизводственные функции CES
/>,
где /> – параметр, выражающий эластичность заменыОФ и занятости.
2. Предполагается, чтопроизводственные факторы удовлетворяют аксиоме. Существует подмножествопроизводства страны затрат, называемое экономической областью />, в которой увеличение любого вида затрат неприводит к уменьшению выпуска. Если /> – две точки этой области,то /> влечет />.
Эта аксиома утверждает,что производственные факторы не какая-то совершенно абстрактная функция,придуманная теоретиками — математиками.
Она отражает утверждение,пусть и не на всей своей области определения, а только на ее части: вмало-мальски разумной экономике увеличение затрат не может привести к уменьшениювыпуска.
В дифференциальной формеэто выражается в том, что в этой области первые частные производные функциинеотрицательны: /> – непрерывная и дифференцируемая
/>.
/>.
Эти производныеназываются предельными продуктами.
Можно составитьпроизводственные функции данного производства даже ничего не зная опроизводстве. Надо только поставить у возможного производства счетчик (человекана какое-то автоматическое увеличение), который будет фиксировать увеличиваемыересурсы и /> – количество продукции, которую производствопроизвело. Если накопить достаточно много такой статической информации, учестьработу производства в различных режимах, то можно прогнозировать выпускпродукции, зная объем ввезенных ресурсов, а это и есть производственная функция.
3 Понятие «однородностьпроизводственной функции» включает в себя следующее ее свойство: равномерноеувеличение всех производственных факторов вызывает пропорциональное увеличениепродукта. Выразим это математически:
Функция /> однородна в степени h. если
/>.
Таким образом, когдакаждая независимая переменная принимает значения />, значениефункции /> возрастает в /> раз.
Величина /> показывает степень использованияпроизводственных факторов или их эффективность. В случае, когда />, эффективность производственных факторовбудет равна 1, при /> говорят, что производственныефакторы обладают растущей эффективностью и соответственно при /> эффективность факторов снижается
4. Эластичностьюэкономического показателя называется его способность реагировать в большей илименьшей степени на изменение другого показателя.
Определим эластичностьобъема производства /> по некоторому фактору какотношение темпов прироста /> к темпам прироста этогофактора.
Рассчитаем коэффициентэластичности /> по основным фондам />:
/>;
/>;
/>;
Здесь /> – непрерывная дифференцируемая функция по />.
Так как на практике это условиевыполняется редко, то коэффициент эластичностьи часто выражается черезприросты.
/>;
Пусть />, тогда
/> -равен относительному изменению />.
/>;
Коэффициент эластичностипоказывает как изменяется (в %) величина />, есливеличина /> возрастает на 1%.
Если коэффициентэластичности в какой-нибудь точке равен 1, то относительная и предельнаявеличины равны друг другу. Это выполняется в точках, в которых относительнаявеличина достигает минимума или максимума.
Иногда экономическиепоказатели характеризуются коэффициентом эластичности. Если />, то говорят, что экономический показательэластичен по />; если />, тоговорят, что экономический показатель абсолютно эластичен.
Так как производственнаяфункция содержит несколько факторов, то следует исследовать эластичность повсем факторам. Вводится понятие частной эластичности.
/>;
/>.
Для функции /> параметры /> и /> являются частными коэффициентамиэластичности.
/>;
/>.
4. Понятие замещенияосновывается на предположении, что производственные факторы могут заменять другдруга, и показывает, как при неизменной величине продукта можно изменятьсоотношения между факторами. Для /> можно поставить вопрос,насколько должно измениться число занятых при некотором изменении объема ОПФ,чтобы величина произведенного продукта осталась неизменной. Оценка замещения /> и /> определяется какотношение двух предельных величин и называется предельной нормой замещения.
/> или/>.
Например, если единичноеизменение /> увеличивает /> на 6единиц, а единичное изменение /> увеличивает /> на 3 единицы, можно сказать, что /> остается неизменным, если при росте /> на одну единицу число занятых увеличиваетсяна 2 единицы. В этом случае
/>;/>;
/> ед.
/> ед.
/> ед.
/> ед.
Различают ПФ (рис. 5.2, аи б).
/>
а) Пф с взаимозаменяемымифакторами
б) Пф с дополняющимифакторами
Рис.5.2
На рисунке изображеныизокванты производственных функций. Каждая точка показывает значение продукта,произведенного с помощью комбинации факторов />.Множество этих точек лежит на поверхности, называемой поверхностьюпроизводственных функций. Пересечение этой поверхности с плоскостями, параллельнымиплоскости />, образуют кривые, называемые изоквантами.Каждая точка на этих кривых дает комбинацию производственных факторов,соответствующих одинаковому значению производственных функций.
Если производственныефакторы можно заменять лишь в фиксированных пропорциях, то говорят, чтопроизводственные функции обладают нулевой предельной нормой замены.
5. ПФ Кобба-Дугласа (CDPF) принадлежит к наиболее известным, широкоприменяемым ПФ.
/>.
Ученые Дуглас и Коббпредприняли попытку оценить значения />, используя данные поамериканской обрабатывающей промышленности за период с 1899 по 1922 года –индекс производства />, индекс основного капитала />, индекс труда />. Онипришли к выводу, что
/>,
(таким образом имеетместо неизменный эффект масштаба). С тех пор формула
/>,
/>,
для которой /> называют функцией Кобба-Дугласа. Функциянаиболее часто используемая претерпела изменения
/>,
где /> – темп научно-технического прогресса. При />
/>.
Предположим, что каждыйпроизводственный фактор вырос на />%, тогда значения этихфакторов будут равны:
/>;
/>.
Величина конечногопродукта вычисляется:
/>;
При /> конечный продукт возрастает больше чем на r%, при /> – меньше,чем на />%, а при /> – на />%.
Частные коэффициентыэластичности равны
/>.
/>,
/>;/>.
Прологарифмируем CDPF
/>.
Производственная функция имеет линейный вид.
/>.
/>,
то есть при увеличениикаждого производственного фактора на />% выпуск продукцииувеличивается на />%.
ЛЕКЦИЯ 6
Тема:Модели типа «затраты – выпуск» В. Леонтьева
План
1. Статическая модель«затраты – выпуск» В. Леонтьева
2. Элементарная теориястатической модели «затраты – выпуск»
3. Этапы построениямодели «затраты – выпуск»
1 Рассмотрим обобщенную модель некоторойэкономической системы (ЭС)
(рис. 6.1).
/>
Рассмотрим выбранноеописание.
Внешней средой являетсяприрода, общество и других экономических систем. На вход подаются ресурсы:природные, трудовые, интеллектуальная информация, капиталы и тому подобное.Экономическая система состоит из ПС производства продукции и ПС распределения.Часть валовой продукции используется для производства другой продукции, а частьиспользуется для потребления, накопления и экспорта.
Например:
Рис. 6.1
Потоки продукции,циркулирующие между экономическими системами, показаны на рис. 6.2./> />
Рис. 6.2
Пусть /> – количество отраслей продукции,
/> -вектор валовой продукции (вектор выпуска),
/> -вектор конечной продукции,
/> -вектор промежуточной продукции (вектор затрат),
где /> – валовая продукция />-йотрасли,
/> -конечная продукция />-й отрасли,
/> -промежуточная продукция />-й отрасли.
Экономическая системахарактеризуется матрицей А ( производственная матрица).
/>,
где /> – количество продукции />-й отрасли, которая затрачивается напроизводство единицы продукции />-й отрасли(предполагается, что в каждой из отраслей производство осуществляется однимтехнологическим способом). Отрасли выпускают однородную продукцию.
/>,/>.
Учитывая, что напроизводство валовой продукции всех видов затрагивается />,/>, /> – межотраслевые потоки />-й продукции, векторы /> и/> свяжем линейным уравнением:
Вид продукции 1 2 …….
/>
/>
/> 1
/>
/>
/>
/>
/> 2
/>
/>
/>
/>
/> ……. ……. ……. ……. ……. …….
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
которую можно привести квиду
/>.
Если />, то есть ЭС использует весь валовый продуктна собственные нужды, то такая экономика и ее модель называются закрытыми. Есливырабатывается хоть один вид, ненулевой конечной продукции, то экономика и еемодель называются открытыми.
Модель Леонтьева можноиспользовать для того, чтобы:
1) вычислить по заданномуколичеству конечной продукции (/>) необходимое количествоваловой продукции (/>).
2) При заданном уровне выпускаваловой продукции (/>) вычислить сколько будет конечногопродукта (/>).
3) Исследовать влияниеизменения технологии на производство, то есть вычислить как влияют изменения /> на /> и />.
Для удобстваматематического исследования модель записывают в векторно-матричной форме
/>,
или в виде />,
где /> – единичная матрица размера />, />,
/> -символ Кронекера.
«дельта» /> а /> – производственнаяматрица ЭС.
С точки зрения общейтеории управления задача 2) известна как задача наблюдения для модели, котораяотображает процесс распределения валовой продукции.
Задача анализа />
Задача синтеза />
(показывает процесспланирования валовой продукции /> по заданному векторуконечной продукции />).
Существование единогорешения такой системы связано с существованием обратной матрицы. Матрица /> называется обратной матрицей Леонтьева илиматричным мультипликатором модели (сокращенно мультипликатором Леонтьева).
По содержанию матрица
/>
является матрицейкоэффициентов полных затрат, так как экономическое объяснение ее элементовследующее: /> показывает потребность в валовой продукции />-й отрасли для производства единицы конечнойпродукции />-й отрасли.
Произведение матрицы /> на вектор конечного продукта /> равняется />.
Решение задачи синтеза /> имеет вид:
/>,
Возникает вопросотносительно условий, при которых существует матрица />,для любого неотрицательного вектора />, вектор /> также неотрицателен. В этом случае матрица /> называется продуктивной. Матрица />, называется неотрицательной, если все ееэлементы неотрицательны. Матрица /> любой ЭС по определениюдолжна быть неотрицательной.
Условия продуктивностинеотрицательной матрицы:
1) max собственное число матрицы /> />, /> -собственный вектор.
2) /> имеет неотрицательную обратную матрицу />.
3) Матричный ряд
/>.
(ряд Неймана) матрицы /> сходится (при этом />).
4) последовательныеглавные миноры матрицы /> положительные.
С 3) выплывает, чторешение задачи синтеза можно получить итерационно, вычисляя по формуле:
/>,
/>,
где приблизительноерешение задачи />, с номером /> -по предыдущему решению />.
Поиск собственных чиселматрицы />
/>,
где /> – собственный вектор.
Пример: Дана матрица />
/>.Найти /> и />
/> и/> связаны уравнением
/>.
/>
Чтобы такая системауравнения имела ненулевое решение, ееопределитель должен быть роавен0.
/>;
/>;
/>/>
/>;/>;/>
для />;
Лекція 7
Тема: Модели межотраслевого баланса
План
1. Балансовый метод.
2. Принципиальнаясхема межсекторного баланса.
3. Модельмежсекторного баланса затрат труда.
1.В основе созданиябалансовых моделей лежит балансовый метод, т.е. метод взаимного сопоставленияимеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них.Если вместо понятия продукт ввести более общее понятие ресурс, то подбалансовой моделью следует понимать систему уравнений, которые удовлетворяюттребованиям соответствия наличия ресурса и его использования. Примеры балансовогосоответствия, как соответствие наличия рабочей силы и количества рабочих мест,платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг и т.д. Приэтом соответствие понимается либо как равенство, либо менее жестко – какдостаточность ресурсов для покрытия потребности и, следовательно, наличиенекоторого резерва.
Важнейшие виды балансовыхмоделей:
· статические;
· динамические;
· частныематериальные, трудовые и финансовые балансы;
· межотраслевыебалансы;
Балансовый метод исоздаваемые на его основе балансовые модели служат основным инструментомподдержания пропорций в народном хозяйстве. Для выявления диспропорцийиспользуется балансовые модели, в которых фактические ресурсы сопоставлялись быс потребностью в них.
Основу информационногообеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентовзатрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. Например, в моделимежотраслевого баланса такую роль играет технологическая матрица. По многимпричинам исходные данные реальных хозяйственных объектов не могут бытьиспользованы в балансовых моделях непосредственно, поэтому подготовкаинформации для ввода в модель является весьма серьезной проблемой. Так, припостроении модели межотраслевого баланса используется специфическое понятиечистой (или технологической ) отрасли, т.е. условной отрасли, объединяющей всепроизводство данного продукта независимо от ведомственной (административной)подчиненности и форм собственности предприятий и фирм. Переход от хозяйственныхотраслей к чистым отраслям требует специального преобразования реальных данныххозяйственных объектов, например, агрегирования отраслей, исключениявнутриотраслевого оборота и др. В этих условиях понятия «межпродуктовый баланс»и «межотраслевой баланс» практически идентичны, отличие заключается лишь вединицах измерения элементов баланса.
Балансовые моделиотносятся к тому типу экономико-математических моделей, которые называютсяматричными. В матричных моделях балансовый метод получает строгоематематическое выражение.
2.Первый квадрант МОБ —это шахматная таблица межотраслевых материальных связей. Показатели, помещенныена пересечениях строк и столбцов, представляют собой величины межотраслевыхпотоков продукции и в общем виде обозначаются xij, где i и j – соответственно номера отраслей производящих ипотребляющих. Так, величина x32 понимается как стоимость средствпроизводства, произведенных в отрасли с номером 3 и потребленных в качествематериальных затрат в отрасли с номером 2. Таким образом, первый квадрант поформе представляет собой квадратную матрицу порядка n, сумма всех элементов которой равняется годовому фондувозмещения затрат средств производства в материальной сфере.
Во втором квадрантепредставлена конечная продукция всех отраслей материального производства, приэтом под конечной понимается продукция, выходящая из сферы производства вобласть конечного использования (на потребление и накопление). В таблице этот раздел дан укрупнённо в видеодного столбца величин Yi; в развернутой схеме баланса конечный продукт каждой отрасли показандифференцированно по направлениям использования на личное потреблениенаселения, общественное потребление, на накопление, возмещение потерь, экспорти др. Итак, второй квадрант характеризует отраслевую материальную структуру национальногодохода, а в развернутом виде — также распределение национального дохода на фонднакопления и фонд потребления, структуру потребления и накопление по отраслямпроизводства и потребителям.
Третий квадрант МОБ такжехарактеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава каксумму чистой продукции и амортизации; чистая продукция понимается при этом каксумма оплаты труда и чистого дохода отраслей. Сумму амортизации (ci) и чистой продукции (vj+mj) некоторой j-й отрасли будем называть условно чистой продукцией этойотрасли и обозначать в дальнейшем Zj.
Четвертый квадрантбаланса находится на пересечении столбцов второго квадранта (конечнойпродукции) и строк третьего квадранта (условно- чистой продукции). Этим определяется содержание квадранта:он отражает конечное распределение и использование национального дохода. Врезультате перераспределения первоначально созданного национального доходаобразуются конечные доходы населения, предприятий, государства. Данныечетвертого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходови расходов населения, источников финансирования капиталовложений, текущихзатрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходовпо группам потребителей. общий итог четвертого квадранта, так же как второго итретьего, должен быть равен созданному за год национальному доходу.
Следует особо отметить,что хотя валовая продукция отраслей не входит в рассмотренные выше четыреквадранта, она представлена на принципиальной схеме МОБ в двух местах в видестолбца, расположенного справа от второго квадранта, и в виде строки нижетретьего квадранта. Эти столбец и строка валовой продукции замыкают схему МОБ ииграют важную роль как для проверки правильности заполнения квадрантов (т.е.проверки самого баланса), так и для разработки экономико-математической моделимежотраслевого баланса.
/>.
/>.
/>.
/>.
/>.
3.Рассмотрим баланс пр-ваи распределения продукции. Обозначим затраты живого труда в производстве j-го продукта через Lj, а объем производства этого продукта(валовой выпуск), как и раньше, через Xj. Тогда прямые затраты трудана единицу j-го вида продукции (коэффициентпрямой трудоемкости) можно задать следующей формулой:
/>.
Введем понятие полныхзатрат труда как суммы прямых затрат живого труда и затрат овеществленноготруда, перенесенных на продукт через израсходованные средства производства.Если обозначить величину полных затрат труда на единицу продукции j-го вида через Tj, топроизведения вида aijTi отражают затратыовеществленного труда, перенесенного на единицу j-го продукта через i-e средство производства; при этомпредполагается, что коэффициенты прямых материальных затрат аij выражены в натуральных единицах.Тогда полные трудовые затраты на единицу j-го вида продукции (коэффициент полной трудоемкости) будутравны
/>.
Введем в рассмотрениевектор-строку коэффициентов прямой трудоемкости t=(t1, t2,…,tn) и вектор-строку коэффициентов полной трудоемкости T=(T1, T2,…,Tn).
Тогда с использованиемуже рассматриваемой выше матрицы коэффициентов прямых материальных затрат А (внатуральном выражении) систему уравнений можно переписать в матричном виде:
Т = ТА + t.
Произведя очевидныематричные преобразования с использованием единичной матрицы Е
Т -ТА = ТЕ -ТА = Т(Е -A) = t,
получим следующеесоотношение для вектора коэффициентов полной трудоемкости:
Т = t(E -A)-1.
Т = tB=t(I-A)-1.
Обозначим через L величину совокупных затрат живоготруда по всем видам продукции, которая с учетом формулы будет равна
/>
Используя соотношения,приходим к следующему равенству:
/>,
tX = ТУ.
Лекция 8
Тема:Одноотраслевые динамические макроэкономические модели
План
1. Дискретная инепрерывная одноотраслевая динамические модели.
2. Открытаяодноотраслевая динамическая модель.
3. Использованиеодноотраслевых динамических моделей.
1.Рассмотрим модельэкономики, являющейся декомпозицией общей вербальной модели (рис. 8.1). Пусть ПС производства выпускаетпродукцию только одного вида(так называемая однопродуктовая или односекторная модель)
/>
Рис. 7.1
Xt=Wt+Ct+At+It.
На рисунке показаныфакторы, характеризующие производственный процесс:
L – трудовые ресурсы,
ОПФ – ОПФ или основнойкапитал,
N – природные ресурсы,
W – предметы труда, возвращенные в производствокак часть валового продукта X.
В блоке распределения Px разделяется на W и конечный продукт Y. В блоке распределения Py разделяется на непроизводственное потреблениеC и инвестиции I. Инвестиции разделяются на амортизационныеотчисления A и чистые инвестиции I1.
В блоке V чистые инвестиции I1 превращаются в прирост производственного капитала ?K.
В модели рассмотримвзаимосвязи: x, y, L, I, I`, C.Предположим, что валовые инвестиции I в том же году полностью используются на прирост ОПФ и амортизацию.
В дискретном варианте этасвязь имеет вид:
It=q??Kt+At, (8.1)
где ?Kt= Kt — Kt-1 – прирост капитала в году t, q – коэффициент пропорциональности (параметр модели), At=??Kt– амортизационные отчисления,
? – коэффициентамортизации,
Kt– производств. капитал в году t.
В непрерывном вариантеаналог уравнения (8.1) есть :
I(t)=qdK(t)/dt+?K(t).
Отсюда выведем уравнениедвижения капитала />,
Вернёмся к дискретномуварианту:
xt=Wt+yt;
yt=It+Ct;
Так как It=q?Kt+At, то
xt=Wt+yt=Wt+It+Ct=Wt+q?Kt+At+Ct;
Если предположить, что промежуточныезатраты W являются пропорциональными выпускуваловой продукции XWt = axt, то
xt = axt+q?Kt+?Kt-Ct,
или?Kt=(1/q)[(1-a)xt-?Kt-Ct] – дискретная однопродуктоваядинамическая модель. Здесь a – коэффициент производственных затрат.
В непрерывном варианте :
K`(t)=(1/q)[(1-a)x(t)-?K(t)-C(t)] – непрерывная однопродуктоваядинамическая модель.
2.Предположим, что всеваловые инвестиции I направлены навведение в действие новых ОПФ (основной производственный капитал неизнашивается), при этом прирост выпуска продукции
?xt= xt+1-xt,
пропорциональныйинвестициям
It = ??xt,
? – коэффициент использованияинвестиций,
тогда
Wt=axt,
a – коэффициент производственныхзатрат.
xt=Wt+yt,
yt=It+Ct ;
xt=axt+??xt+Ct;
В непрерывном варианте этамодель имеет вид
x(t)=ax(t)+?dx(t)/dt+C(t).
3.Рассмотренныединамические модели односекторной экономики могут быть использованы для разныхцелей. С одной стороны на их основе можно создавать более сложные, но и болеереальные многосекторные модели. С другой стороны их можно использовать дляпоиска путей наилучшего развития экономики. Это приводит к задачам оптимальногоуправления.
Из непрерывной однопродуктовойдинамической модели
K`(t)=(1/q)[(1-a)x(t)-?K(t)-C(t)],
можно записать:
x(t)=ax(t)+qK`(t)+?K(t)+C(t).
Наилучшим путем развитияэкономики на отрезке времени [t0, t1], t1
/>,
где C(t) – непроизводственное потребление,
D(t) – функция дисконтирования, которая изображает мерупредпочтений потребления продукции в данный момент времени t, по сравнению с другим моментомвремени.
Выпуск продукции x(t) ограничивается производственными возможностями, которыеопределяются моментом времени t,капиталом K(t), трудовыми ресурсами L(t) и задаютсяфункцией
X = F( t, K(t), L(t) ),
которая являетсяпроизводственной функцией. Для всех t используется неравенство
0?x(t) ?F( t, K(t), L(t) ),
Изменение капиталаограничено снизу
K(t) ? Kmin, t0 ? t ? t1.
Кроме этого считается,что в начальный момент времени известен выпуск
x(t0)=x0.
РЕКОМЕНДОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1 Вітлінський В.В. Моделюванняекономіки: Навч. посібник. – К.: КНЕУ, 2003.- 408с.
2 Пономаренко О.І. Пономаренко В.О.Системні методи в економіці, менеджменті та бізнесі.: Навч.посібник.К.-Либідь,1995. — 240с.
3 Клебанова Т.С., Забродський В.О.,Полякова О.Ю., Петренко В.Л. Моделювання економіки: Навч. посібник. – Харків:Видавництво ХДЕУ, 2001.-140 с., рос. мовою.
4 Бережна О.В., Бережной В.Г.Математичні методи моделювання економічних систем. Навч. посібник. – М.:Фінанси та статистика, 2001. – 368с., рос. мовою.
5 Хачатрян С.Р. Прикладні методиматематичного моделювання економічних систем. Науково-метод. Посібник /Московська академія економіки та права. – М.: “Екзамен”, 2002. — 192с., рос.мовою.
6Губин Н.М. и др. Экономико-математические методы и модели в планировании иуправлении в отрасли связи: Учеб. пособие / Губин Н.М., Добронравов А.С.,Дорохов Б.С. – М.: Радио и связь, 1993. –376с.
7 МалыхинВ.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие. — М.:Издательство УРАО, 1998. – 160с.
8 Экономико-математическиеметоды и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н.Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. — 391с.
9 ЛопатниковЛ.И. Популярный экономико-математический словарь – М.: Знание, 1990. – 256с.
10 Методичні вказівки допрактичних занять з курсу «Економіко-математичні методи та системи вменеджменті» для студентів усіх форм навчання спеціальностей”Інформаційні системи в менеджменті”, «Економічнакібернетика» / Упоряд. Н.Б. Івченко. – Харків: ХТУРЕ, 1999.- 40с.