Министерство общего и профессионального образования РФ Воронежский государственный университет факультет ПММ кафедра Дифференциальных уравнении Курсовая работа Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре Исполнитель студент 4 курса 5 группы Никулин Л.А. Руководитель старший преподаватель
Рыжков А.В. Воронеж 1998г. ОГЛАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ Математическая модель 3 Пуассона и для граничных условий раздела сред Уравнение
Пуассона 5 Граничные условия раздела сред 8 Общий алгоритм численого решения задачи Метод установления 10 Метод переменных направлений 13 Построение разностных схем 16 ПРИЛОЖЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре Математическая модель Пусть jx,y – функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой
структуре. В области оксла СDEF она удовлетворяет уравнению Лапласа d2j d2j 0 dx2 dy2 а в области полупроводника прямоугольник ABGH – уравнению Пуассона d2j d2j 0 dx2 dy2 где q – элементарный заряд e enn -диэлектрическая проницаемость кремния Ndx,y -распределение концентрации донорской примеси в подложке Nax,y -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке e0 -диэлектрическая постоянная 0
D E y B G C F A H x На контактах прибора задано условие Дирихле j BC Uu j DE Uз j FG Uc j AH Un На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение однородного условия Неймана вытекающее из симметричности структуры относительно линий лежащих на отрезках AB и GH dj 0 dj 0 dy AB dy GH На боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана означающее что в направлении оси OY отсутствует течение электрического тока dj 0 dj 0 dy DC dy EF На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие сопряжения j -0 j 0 eok Ex -0 – enn Ex 0 – Qss где Qss -плотность поверхностного заряда eok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния enn -диэлектрическая проницаемость полупроводника . Под символом 0 и-0 понимают что значение функции берется бесконечно близко к границе CF со стороны либо полупроводника либо окисла кремния .
Здесь первое условие означает непрерывность потенциала при переходе границы раздела сред а второе – указывает соотношение связывающее величину разрыва вектора напряженности при переходе из одной среды в другую с величиной поверхностного заряда на границе раздела. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ Использование разностных схем для решения уравнения
Пуассона и для граничных условий раздела сред Уравнение Пуассона В области x,y 0 x Lx , 0 y Ly вводится сетка Wx,y 0 i M1 , 0 j M2 x0 0 , y00, xM1 Lx , yM2 Ly xi1 xi hi1 , yj1 yj rj1 i 0 M1-1 j 0 M2-1 Потоковые точки xi xi hi1 , i 0,1 M1-1 2 yj yj rj1 , j 0,1 M2-2 Обозначим Uxi,yj Uij Ixi,yj Ii,j Ixi,yj Ii,j
Проинтегрируем уравнение Пуассона Dj – q Nd Na e0en Qx,y по области Vij x,y xi- x xi , yj- y yj xi yj xi yj т т Dj dxdy т т Qx,ydxdy xi- yj- xi- yj- Отсюда yj xi тExxi,y – Exxi y dx тEyx,yj – Eyx,yj-dy yj- xi- xi yj т т Qx,ydxdy xi- yj- Здесь Exx,y – djx,y dx Eyx,y – djx,y dy x у-компоненты вектора напряженности электрического поля
Е. Предположим при yj- y yj- Exxi ,yj Ei ,j const yj- y yj- Exxi – ,yj Ei- ,j const xi- x xi Eyxi, yj Ei,j const xi- x xi Eyxi, yj – Ei,j – const xi- x xi yj- y yj – Qx,y Qij const Тогда Exi ,j – Exi – ,j rj Eyij – Eyij- hi Qijhi rj где hi hi – hi1 , rj rj – rj2 Теперь Еi ,j выражаем через значение jx,y в узлах сетки xi1 тExx,yjdx – ji1,j – jij xi из при yyj Exi ,j – ji1j – jij hi1 Анологично Eyi,j – jij1 – jij rj1 Отсюда Djij 1 j i1,j – j ij – j i j – j i-1,j 1 j i j1 – j ij – j ij – j ij-1 hi hi1 hi rj rj1 rj Ndij Naij Граничные условия раздела сред SiO2 e1 Si y en x Для области V0j yj x ene0 тExx ,y – Ex0,ydy ene0 т Eyx,yj – Eyx,j- dx yj- 0 x yj q т т Nd Nadxdy 0 yj-
Для области V0j yj x ene0 тE-x0,y – Exx ydy ene0 т Eyx,yj – Eyx,j-dx 0 yj- 0 где Ex0,y и E-x0,y -предельные значения х компоненты вектора Е со стороны кремния и окисла.Складывая равенства и учитывая условия ene0 dj – e1e0 dj – -Qss dx dx имеем yj x т ene0Exx,y – e1e0Exx y – Qssydy ene0т Eyx,yj Eyx,yj-dx yj- 0 0 x yj e1e0 т Eyx,yj – Eyx,yj-dx q т т
Nd Nadxdy x- 0 yj- Сделав относительно Ex и Ey предположения анологичные положив Qssy Qss const при yj- y yj и учитывая условия j j- dj dj – dy dy – со стороны кремния со стороны окисла Получим ene0Ex,j – e1e0Ex j – Qss rj ene0h1 e1e0h-1 . Ey0,j – Ey0,j- 2 2 q Nd0j – Na0j h1rj 2 что можно записать 1 ene0 jij -j0j – e1e0 j0j – jij ene0h1 e1e0h-1 j0,j1 – j0j – j0j – j0,j-1 h h1 h-1 2hrj rj1 rj – q
Nd0j – Na0j . h1 – Qss 2 h h где h h1 h-2 Общий алгоритм численого решения задачи Метод установления Для вычисленя решений многих решений многих многих стационарных задач математической физики, описывающих равновесные состояния, рассматриватривают последнии как результат установленияразвивающегося во времени процесса, расчт которых оказывается проще, чем прямой расчт равновесного состояния. Рассмотрим применение метода установления на примере алгоритма для вычисления решения задачи
Дирихле LxxUmn LyyUmn jxm,yn 1 Umnг Ysmn m,n 1,2 M-1 аппроксимирующий дифференциальную задачу Дирихле d2U d2U jx,y 0 x 1 dx2 dy2 2 Uг Ys 0 y 1 Вслучае задачи 1 удатся провести теоретический анализ различных алгоритмов установления с помощью конечных рядов Фурье. Способыточного решения задачи 1 выдерживающие обобщения на случай переменных коэффициенто и областей скриволинейной границей, например, метод исключения Гаусса , при сколько-нибудь больших и становится неудобным и не применяются. Решение Ux,y Задачи 2 можно понимать как не зависящую от времени температуру в точке x,y пластинки, находящейся в теплолвом равновесии. Функция jx,y и Ys означаютв таком случае соответственно распределения источников тела и температуру на границе. Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о распределении тепла dV d2V d2V – jx,y dt dx2 dy2
Vг Ys 3 Vx,y,0 Y0x,y где j и Y те же что и в задаче 2, а Y0x,y – произвольная. Поскольку источники теплп jx,y и температура на границе Ys не зависит от времени, то естественно, что и решение Vx,y,t с течением времени будет менятся вс медленнее, распределение температур Vx,y,t в пределе при t OO превращается в равновесное распределение тмператур
Ux,y, описываемое задачей 2. Поэтому вместо стационарной задачи 2 можно решать нестационарную задачу 3 до того времени t, пока е решение перестат менятся в пределах интересующей нас точности. В этом состоит идеал решения стационарных задач методом установления. В соответствии с этим вместо задачи 2 решается задача 3, а вместо разностной схемы 1 для задачи 2 рассмотрим и составим три различные разностные схемы для задачи 3.
Именно, рассмотрим простейшую явную разностною схему Up1mn – Upmn LxxUpmn LyyUpmn – jxm,yn t Up1mnг Ysmn 4 U0mn Y0xm,yn Рассмотрим так же простейшую неявную разностную схему Up1mn – Upmn LxxUp1mn LyyUp1mn – jxm,yn t Up1mnг Ysmn 5 U0mn Y0xm,yn и исследуем схему применения направлений
U mn – Upmn 1 LxxU mn LyyUpmn – jxm,yn t 2 Up1mn – U mn 1 LxxU mn LyyUp1mn – jxm,yn t 2 6 Up1mnг U mnг Ysmn U0mn Y0xm,yn Будем считать, что Y0xm,yn по уже известному UpUpmn для схемы 4 оссуществляется по уже явным формулам. Вычисление Up1 Up1mn по схеме 5 требует решения задачи LxxUp1mn LyyUp1mn – Up1mn jxm,yn – Upmn t t 7 Up1mnг Ysmn Вычисление Up1 Up1mn по уже известным Up Upmn по схеме 6 осуществляется прогонками в направлении оси OX для вычисления решений U mn одномерных задач при каждом фиксированом n, а затем прогонками в направлнии оси OY для вычисления решений Up1mn одномерных задач при каждом фиксированом m. Для каждой из двух разностных схем 4 и 6 рассмотрим разность для счта погрешностеи вычислений epmn
Upmn – Umn между сеточной функцией Up Upmn и точным решением U Umn задачи 1. Решение Umn задачи 1 удовлетворяет уравнениям Upmn – Umn LxxUmn – jxm,yn t Umnг Ysmn U0mn Umn Вычитая эти равенства из 4 почленно, получим для погрешности epmn следующую разностную задачу ep1mn – epmn Lxxepmn Lyyepmn t ep1mnг 0 9 e0mn Y0xm,yn – Umn Сеточная функция epmn при каждом p p0,1 обращается в ноль на
границе Г. Метод переменных направлений Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности dU LU fx,t , xОG02 , tО0,t0 dt Uг mx,t 1 Ux,0 U0x LU LU L1 L2U , где LaU d2U , a1,2 dx2 Область G0a G0 0 xa la , a1,2 -прямоугольник со сторонами l1 и l2, Г – граница G0 G0 Г. В G0 построили равномерную по xa сетку vh с шагами h1 l1N1 , h2 l2N2. Пусть nh – граница сеточной области wh, содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его вершин,
vh wh nh. Оператор La заменим разностным оператором La Lay yxaxa , L L1 L2 В случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к разностной краевой задаче вида Aiyi-1 – Ciyi Biyi1 -F , i1 N-1 y0m1 2 ynmN Ai 0, Bi 0, Ci Ai Bi которая решается методом прогонки. Рассмотрим теперь нашу двимерную задачу в прямоугольнике.
Сетку vh можно представить как совокупность узлов, расположенных на строках i20,1,2 N2, или как совокупность узлов расположенных на столбцах i11,2 N1. Всего имеется N11 столбцов и N21 строк. Число узлов в каждой строке равно N11, а в каждом столбце N21 – узлов. Если на каждой строке или столбце решать задачу вида 2 методом прогонки при фиксированом i2или i1, то для отыскания решения на всех строках или столбцах, т.е. во всех узлах сетки, понадобится ОN1N2 арифметических действий. Основная идея большинства экономичных методов и состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач вида 2 вдоль строк и вдоль столбцов. Наряду с основными значениями искомой сеточной функции yx,t, т.е. с y yn и y yn1 вводится промежуточное значение y yn , которое можно формально рассматривать как значение при t tn tn .
Переход от слоя n на слой n1 совершается в два этапа с шагами 0.5t . yn – yn L1yn L2yn jn 3 0.5t yn1 – yn L1yn L2yn1 jn 4 0.5t Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах x xi сетки vh и для всех tth 0. Первая схема неявная по направлению х1 и явная по х2, вторая схема явная по х1 и неявная по х2. К уравнениям 3,4 надо добавить начальные условия yx,0 U0x , xОvh 5 и разностно краевые условия, например, в виде yn1 mn1 при i10, i2N2 6 yn m при i10, i2N1 7
где m 1 mn1 mn – t L2mn1 – mn 8 2 4 Т.о разностная краевая задача 3-8 соответствует задаче 1. Остановимся на методе решения этой задачи. Пререпишем 3 и 4 в виде 2 y – L1 y F , F 2 y L2 y j t t 9 2y – L2 y F , F 2 y L1 y j t t Введм обозначения xi i1h1 , i2h2 F Fi1,i2 y yi1,i2 при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то его не пишем. Тогда 9 можно записать в виде 2, т.е.
1 yi1-1 – 2 1 1 yi1 1 yi11 – Fi1 h21 h21 t h21 i1 1 N1-1 10 y m при i1 0,N1 1 yi2-1 – 2 1 1 yi2 1 yi21 – Fi2 h22 h22 t h22 i2 1 N2-1 11 y m при i2 0,N2 Пусть задано ууn. Тогда вычисляем тF, затем методом прогонки вдоль строк i21 N2-1 решаем задачу 10 и определим y во всех узлах сетки wh, после чего вычисляем
F и решаем задачу 11 вдоль столбцов i11 N1-1, определяя yyn1. При переходе от слоя n1 к слою n2 процедура повторяется, т.е. происходит вс время чередование направлений. Построение разностных схем Для каждой области МДП – структуры построим консервативную разностную схему, учитывая при этом заданные условия. Разобьм данную МДП – структуру на несколько областей следующим образом L M N y K0 K1 x I jk0,y Un t . jki-1,y 1 t t . jkij – t . jki1y Yij 2hihi 2hihi1 2hi2hi 2hihi1 jk1,y Un где Yij jkij t Lyjkij f kij 2 Ly 1 jkij1 – jkij – jkij – jkij-1 rj rj1 rj II jijU3 t . jki-1,j 1 t t . jk ij – t jki1,j 2hihi 2hihi1 2hihi 2hihi1 jkij t Lyjkij 2 , 0 i k0-1 L j M eok . jk i-1,j – enn – eok . jk ij en . jk i1,j
Yij , ik0 hi-1 hhi hhi-1 hihi t . jki-1,j 1 t t . jk ij – t . jki1,j 2hihi 2hihi 2hihi 2hihi1 jkij t Lyjkij – f kij ,k01 i k1 2 jk1,j Un III jk0,j Uc t . jki-1,j 1 t t . jk ij – t jki1,j 2hihi 2hihi1 2hihi 2hihi1 jkij t Ly jkij – f kij , M1 j N 2 jk1,j Un Разностные схемы I-III решаются методом прогонки в направлении оси OX. y K0 K1 x Разностные схемы IV-VI также решаются методом прогонки в направлении оси
OY. ЛИТЕРАТУРА 1. Годунов С.К Рыбинский В.С. Разностные схемы 2. Кобболд Р. Теория и приминение транзисторов 3. Самарский А.М. Теория разностных схем 4. Самарский А.М Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений 5. Самарский А.А Андреев В.Б. Разностные методы решения эллиптических уравнений 6.
Калиткин Н.Н. Численные методы