МОДЕЛЮВАННЯ НА ЕОМ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН І ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ
Содержание
Вступ
1. Принципи моделювання на ЕОМвипадкових елементів
2. Моделювання випадкових величин іззаданими ймовірнісними характеристиками
Моделювання випадкових величин, що приймають дискретнізначення
Моделювання випадкових величин із заданими щільностямиімовірностей методом обернених функцій
Моделювання випадкових величин із заданими щільностямиімовірностей методом суперпозиції
Моделювання гаусових випадковихвеличин методом сумації
Моделювання випадкових величин із експоненціальнимрозподілом та розподілом Релея/>
Вступ
При статистичному моделюванні на ЕОМ систем та мереж зв’язкувиникає необхідність моделювання різних випадкових елементів — одержання на ЕОМреалізацій випадкових величин та випадкових процесів, які описують реальні фізичніявища, події та процеси функціювання цих систем. Розглянемо основні принципи, методита алгоритми моделювання на ЕОМ типових випадкових величин та випадкових процесів,що можуть бути використані для статистичних випробовувань при моделюванні системта мереж зв’язку на ЕОМ.
1. Принципи моделювання на ЕОМвипадкових елементів
При моделюванні випадкових елементів (ВЕ) на ЕОМ розглядаютьтри об’єкти: реальний фізичний об’єкт, його математичну модель, алгоритм моделюванняна ЕОМ реалізацій ВЕ на основі вибранної математичної моделі. Наприклад, в системахта мережах зв’язку такими реальними фізичними об’єктами можуть бути повідомлення,сигнали-переносчики, модульовані сигнали, завади, потоки заявок, процеси обслуговуваннязаявок, процеси комутації. Математичні моделі цих фізичних процесів — це різні класивипадкових процесів з імовірнісними характеристиками, що відповідають реальним фізичнимпроцесам. Результатом моделювання на ЕОМ є вибірки реалізацій процесів, що одержуютьсяза допомогою спеціальних моделюючих алгоритмів. Моделювання ВЕ базується на такихпринципах:
ВЕ визначається (“конструюється”) як відповідна борелівськафункція від найпростіших базових випадкових величин (БВВ);
повинна бути забезпечена близькість (за вибраним критерієм)імовірнісних характеристик реальних фізичних процесів та змодельованих реалізаційвипадкових процесів.
БВВ одержують в результаті проведення на ЕОМ найпростішоговипадкового експерименту.
Експеримент полягає в “киданні точки навмання“ в інтервал[0,1) (мал.1). Математичною моделлю такого експерименту є ймовірнісний простір />, де /> – це простір незалежнихелементарних подій />; /> – це елементарна подія, яка полягаєв тому, що координата кинутої точки дорівнює />; /> – це />-алгебра, що породжена напівінтерваламиз простору />;/> – це імовірніснаміра, яка визначена для підмножин />і збігаєтьсяз мірою Лебега, так що /> />
/>
Рисунок 1 — Графічне пояснення найпростішого випадковогоексперименту для одержання реалізацій БВВ
Випадкова величина />, що задана на просторі />, породжує іншийімовірнісний простір />, де /> – це множина значень на числовій осі;/> – борельова/>алгебра, /> – індуктована імовірніснаміра. Фактично, /> – це функція розподілу БВВ />, що у даному випадкумає вигляд
/> (1)
Відповідна їй щільність розподілу рівномірна на півінтервалі[0,1]
/> (2)
На рис.2 наведені графічні зображення функції і щільностірозподілу ВВ />.
моделювання випадкова величина алгоритм
/>/>
а б
Рисунок 2 — Графічне зображення функції розподілу (а)та щільності розподілу (б) БВВ.
У кожній ЕОМ є генератори (спеціальні програми) одержаннявипадкових величин, що мають вказані ймовірнісні характеристики. При послідовномузвертанні /> раздо таких програм моделюється вибірка із /> незалежних реалізацій БВВ />, яка в подальшомувикористовується для побудови ВЕ із необхідними ймовірнісними характеристиками.
При моделюванні на ЕОМ складних ВЕ, зокрема, випадковоївеличини (ВВ) або випадкового процесу (ВП) з заданими ймовірнісними характеристикамирозглядається складний випадковий експеримент, що полягає в проведенні /> раз описаного вище найпростішого експерименту.Цей складний експеримент описується імовірнісним простором />, де /> – декартовий добуток: />; /> – найменша /> – алгебра, що побудованана />; /> – імовірніснаміра, отримана як добуток імовірнісних мір для найпростішого експерименту.
В результаті проведення такого складного експериментуотримуємо /> БВВ.Далі відповідно до першого принципу моделювання ВЕ на ЕОМ будь-який складний випадковийелемент /> отримуєтьсяяк борелівська функція від /> БВВ
/>. (4)
Підбирають функцію /> і число /> таким, щоб імовірнісні характеристикиотриманого ВЕ /> збігалися з імовірнісними характеристикамиоригіналу, що моделюється. Існують різні критерії близькості імовірнісних характеристикВЕ — оригіналу і ВЕ, отриманого при моделюванні, зокрема, критерій Пірсона, критерійКолмогорова.
2. Моделювання випадкових величиніз заданими ймовірнісними характеристиками
Оскільки моделювання випадкових процесів на ЕОМ зводитьсядо моделювання послідовності випадкових величин із заданими ймовірнісними характеристиками,спочатку розглянемо особливості моделювання деяких випадкових величин.Моделювання випадкових величин, що приймають дискретнізначення
Розглянемо моделювання випадкових величин />, що приймають /> дискретнихзначень /> іззаданими ймовірностями /> (/>). Моделювання таких ВВ може бути зведенедо моделювання повної групи /> незалежних подій, які відбуваютьсяз імовірностями />. Для цього використовується датчикБВВ із математичною моделлю />.
Введемо систему таких підмножин />, щоб їх можна було розглядати як повну групу незалежних подій на />. При цьому повиннізадовольнятись умови />; />; />. Визначимо ці підмножини так
/>, (5)
де /> і /> – це межі інтервалів, які визначаютьсяза формулою
/>, причому />. (6)
Зважаючи на те, що БВВ розподілена рівномірно на інтервалі/>, імовірностіпідмножин /> визначаютьсячерез щільність розподілу БВВ відповідним спввідношенням
/>. (7)
Це означає, що імовірність попадання значення БВВ в інтервал/> дорівнює довжиніцього інтервалу (рис.3).
/>
Рисунок 3 — Геометричне пояснення моделювання групи незалежнихподій з допомогою БВВ
Таким чином, моделювання ВВ />, яка приймає дискретні значення, полягаєу виборі значення БВВ за допомогою генератора, перевірки попадання значення БВВдо однієї з підмножин /> і винесенні рішення про те, що модельованеВВ приймає значення />
/>, (8)
де /> – це характеристична функція множини.(9)
Моделювання випадкових величин із заданими щільностямиімовірностей методом обернених функцій
Розглянемо моделювання ВВ /> із заданою щільністю ймовірності /> та функцією розподілу
/>. (10)
Якщо функція /> є строго монотонно зростаючою, тоіз рівняння /> можназнайти обернену функцію
/>. (11)
Підставивши замість /> БВВ />, можна одержати алгоритм моделюванняВВ із заданим розподілом:
/>. (12)
Таким чином, для моделювання на ЕОМ ВВ /> із заданою щільністю ймовірності,потрібно виконати такі операції:
знайти функцію розподілу, користуючись заданою щільністюймовірності;
знайти функцію, що буде оберненою до функції розподілу;
одержувати реалізації БВВ />;
обчислювати значення ВВ /> як значення знайденої функції />.
Виконуючи ці операції /> – разів, одержимо вибірку реалізацій/>. Скориставшисьнею, можна побудувати гістограму розподілу і порівняти її з заданою щільністю ймовірності.
Даний метод моделювання має недоліки тому, що не завждивдається аналітично розрахувати для заданої щільності ймовірностей /> інтеграл для одержання/>, і не длявсякої функції розподілу вдається одержати обернену функцію.Моделювання випадкових величин із заданими щільностямиімовірностей методом суперпозиції
Цей метод базується на зображенні складних щільностейймовірностей /> через простіші. Зокрема, можна податибудь-яку щільність ймовірності випадкової величини /> у вигляді суміші простих розподілів
/>, (13)
де /> – деякі коефіцієнти, причому />, а /> – щільності розподілуВВ, для яких досить просто виконати моделювання на ЕОМ.
В основі моделювання лежить такий математичний апарат.Нехай існують ВВ /> і /> незалежні між собою і задані на томусамому імовірнісному просторі />. Нехай /> – це функція розподілу ВВ /> і /> – це умовна щільністьймовірності ВВ /> за умови, що ВВ /> прийняла якесь значення/>
/>. (14)
Тоді безумовна щільність ймовірності ВВ />
/>. (15)
Припустимо, що /> – це ВВ, яка приймає дискретні значення/> з імовірностями
/>. (16)
У цьому випадку />, отже приходимо до раніше наведеноїсуміші розподілу. У ролі щільностей ймовірності найпростішого типу можуть виступати:гаусові, прямокутні, трикутні розподіли.
На рис.6 для прикладу показано, як за допомогою гаусовихрозподілів апроксимується щільність розподілу складнішого виду
/> (17)
/>
Рисунок 6 — Апроксимація складної щільності ймовірностіза допомогою гаусових розподілів
Таким чином, алгоритм моделювання ВВ методом суперпозиціїмістить у собі такі етапи:
вибір вигляду найпростішої щільності розподілу, за допомогоюякої апроксимується задана щільність ймовірності;
моделюється реалізація ВВ, яка приймає дискретні значення/> з заданимиімовірностями />;
для отриманого значення i моделюються реалізація ВВ з />-тою щільністю ймовірності;
з нову моделюється реалізація ВВ, яка приймає дискретнізначення />;
потім виконується процес моделювання реалізації ВВ ізновим номером щільності ймовірності;
зазначені етапи моделювання повторюються доти, доки небуде отримана вибірка реалізацій ВВ необхідного обсягу.
Моделювання гаусових випадкових величин методом сумації
Введемо стандартну гаусову ВВ /> із нульовим математичнимсподіванням /> іодиничною дисперсією />
/>, (18)
де /> – символ гаусової щільності ймовірності.
У математичній статистиці доведено, що сумма значногочисла незалежних між собою і рівномірно розподілених ВВ має гаусовий закон розподілу.Тому стандартну гаусову ВВ можна моделювати відповідно до виразу:
/>, (19)
де /> – незалежні міжсобою БВВ.
У загальному випадку довільних /> гаусову ВВ можна записатияк
/>, (20)
де /> – це необхідні математичне сподіванняі дисперсія ВВ.
Таким чином, алгоритм моделювання гаусової ВВ із заданимиматематичним сподіванням і дисперсією містить такі операції:
одержання /> незалежних реалізацій БВВ і виконання над нимиперетворення відповідно до зазначеного співвідношення (19);
виконання перетворень (20) для одержання ВВ із заданими/>.
Моделювання випадкових величин із експоненціальним розподіломта розподілом Релея
Для моделювання вказаних ВВ використовуються стандартнігаусові випадкові величини />. Спочатку виконується моделюванняВВ згідно виразу
/>, (21)
де /> – стандартні ВВ із гаусовим розподілом(/>).
Випадкова величина /> (21) має />-розподіл з /> ступенями свободи
/>, (22)
де />, /> – це гамма-функція.
В окремому випадку /> ця ВВ має експоненціальний розподілз параметром />
/>. (23)
ВВ, що визначається співвідношенням
/>, (24)
має розподіл Релея
/>.
Тут />, /> – незалежні між собою стандартні гаусовіВВ.
Наведені співвідношення для одержання ВВ фактично є моделюючимиалгоритмами, що містять такі етапи:
моделювання /> стандартних гаусових ВВ (/>);
виконання операцій обчислення ВВ згідно (21) (для />-розподілу);
для експоненційного розподілу алгоритм той же, тільки/>;
для розподілу Релея (24) моделювання згідно (24).