Задание 1.4
Максимизация прибылиунивермага
Большой универсальныймагазин собирается заказать новую коллекцию костюмов для весеннего сезона.Решено заказать 4 типа костюмов. Три типа – костюмы широкого потребления (изполиэстеровых смесей, шерстяные, хлопковые). Четвертый тип – дорогие импортныемодельные костюмы из различных тканей. Имеющийся у менеджеров магазина опыт испециальные исследования позволяют оценить средние затраты рабочего временипродавцов на продажу одного костюма каждого типа, объём затрат на рекламу иплощади в расчете на один костюм каждого типа. Все эти данные, а также прибыльот продажи одного костюма представлены в таблице.Тип костюма Прибыль, дол Время, час. Реклама, у.е.
Площадь, м2 Полиэстер 35 0,4 2 1,00 Шерсть 47 0,5 4 1,50 Хлопок 30 0,3 3 1,25 Эластик 90 1,0 9 3,00
Предполагается, чтовесенний сезон будет длиться 90 дней. Магазин открыт 10 часов в день, 7 дней внеделю. Два продавца постоянно будут в отделе костюмов. Выделенная отделукостюмов площадь составляет прямоугольник 100 ´ 60 м2. Бюджет, выделенныйна рекламу всех костюмов на весенний сезон, составляет 15000 у. е.
1. Сколько костюмовкаждого типа надо закупить, чтобы максимизировать прибыль?
2. Допустим, чтоменеджмент магазина считает необходимым закупить не менее 200 костюмов каждоготипа. Как это требование повлияет на прибыль магазина?
При ответе на следующиевопросы сохраните ограничение (2).
3. Изменится лиоптимальное решение, если прибыль от продажи одного полиэстерового костюмапереоценена (недооценена) на 1 у. е, на 2 у. е?
4. Обоснуйте, будет ликаждое из предлагаемых решений полезно для магазина:
отдать в распоряжениеотдела костюмов 400 м2 от отдела женской спортивной одежды.Предполагается, что на этой площади магазин может получить прибыль всего лишь750 у.е. за последующие 90 дней;
истратить дополнительно400 у.е. на рекламу.
5. Если общее числозакупленных костюмов не может превысить 5000 шт., то как такое ограничениеповлияет на оптимальное решение?
Решение задачи 1.4
Обозначим через Х1– количество костюмов из полиэстеровых смесей, Х2 – количествокостюмов из шерсти, Х3 – количество костюмов из хлопка и Х4– количество импортных костюмов.
Целевая функция,определяющая прибыль универмага имеет вид:
/>
Ограничения задачи:
/>
Ограничение по времени:90´10´2=1800.
Решим задачу, с помощьютабличного процессора MS Excel.
Значения переменных будемполучать в ячейках B3:E3. Коэффициенты целевой функциивводим в ячейки B5:E5. Ячейка целевой функции – H5. Поместим в ней курсор, с помощьюМастера функций выберем Категорию Математические и оттуда введем СУММПРОИЗВ, вокне СУММПРОИЗВ указываем адреса массивов B3:E3 и B5:E5.
В ячейках B7:E9 вводим коэффициенты ограничений. В ячейках G7:G9 введем правые части системы ограничений, с помощью функцииСУММПРОИЗВ. В Поиске решения введем направление целевой функции (максимальноезначение), адреса искомых переменных B3:E3, добавим ограничения. Нажимаем кнопкуВыполнить. На экране появится сообщение, что решение найдено.
1). Для получениямаксимальной прибыли в размере 171500 у.е. следует закупить:
500 костюмов изполиэстеровых смесей,
2000 костюмов из шерсти,
2000 костюмов из хлопка и
не закупать дорогие импортныекостюмы.
2). При условии, чтоследует закупить не менее 200 костюмов каждого типа прибыль составит 170330 у.е.,что меньше на 1170 у.е. При этом следует закупать:
733 костюма из полиэстеровыхсмесей,
1335 костюма из шерсти,
2131 костюма из хлопка и
200 импортных костюмов.
3). Если прибыль отреализации полиэстерового костюма увеличить на 1 у.е. или 2 у.е., тооптимальное решение изменится. В первом случае, максимальная прибыль составит171065 у.е. при следующих закупках: 734 полиэтеровых костюмов, 1333 шерстяныхкостюмов, 2133 хлопковых костюмов и 200 импортных костюмов. Во втором случае:максимальная прибыль составит 172225 у.е. при следующих закупках: 1725 костюмовиз полиэтеровых тканей, 200 шерстяных, 2700 хлопковых и 200 импортных костюмов.
Если прибыль отреализации полиэстерового костюма уменьшить на 1 у.е., то оптимальное решениене изменится, уменьшится лишь получаемая прибыль и составит 169587 у.е. Еслиприбыль от реализации полиэстерового костюма уменьшить на 2 у.е., тооптимальное решение изменится. В этом случае общая прибыль составит 169397 у.е.при следующих закупках: 200 костюмов из полиэстера, 2401 шерстяных, 1065хлопковых и 200 импортных костюма.
4). Ни увеличениеплощади, ни увеличение денег на рекламу к увеличению общей прибыли не приводит.При неизменных площадях магазин мог получить прибыль в размере 172250 у.е., припередаче части площади его прибыль составит 170897 у.е. Увеличение денег нарекламу приводит к уменьшению общей прибыли и составит 171056 у.е.
5). Условие о том, чтообщее число закупленных костюмов не превосходит 5000, выполняется при данныхусловиях задачи.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Задание 2.4
Распределениеаудиторов по фирмам
Менеджер – координатораудиторской фирмы должен распределить аудиторов для работы на следующий месяц.Есть заявки от 10 клиентов на 75 аудиторов. В четырех конторах фирмы работают90 аудиторов. 15 аудиторов можно отправить на плановую учебу. Аудиторыразличаются по квалификации и опыту работы. Прежде чем приступить к аудитуконкретной фирмы, они должны затратить определенное время на подготовку иконсультации. Менеджер – координатор, учитывая опыт работы аудиторов каждой конторы,оценил время, необходимое в среднем аудитору каждой конторы для подготовки каудиту конкретного клиента. Результаты приведены в таблице. Знаки вопроса вклетках таблицы означают, что аудиторы из этой конторы не имеют опыта аудита вотрасли, которой занимается клиент, и их нельзя посылать к нему. Распределитьаудиторов так, чтобы суммарные временные затраты на подготовку были минимальны.Конторы Клиенты Ресурсы К 1 К 2 К 3 К 4 К 5 К 6 К 7 К 8 К 9 К 10 А 1 8 21 15 13 9 17 18 7 26 9 35 А 2 14 18 17 19 12 6 15 24 13 20 А 3 9 15 18 16 16 15 11 13 21 19 25 А 4 11 ? 14 7 23 9 6 18 ? 7 10 Заявки 4 9 2 12 7 6 9 3 18 5
В реальной практикеобычно требуют, чтобы аудиторы не все были из одной конторы. Попробуйтевыполнить это условие и не слишком ухудшить решение.
Решение задачи 2.4
Обозначим через xij – число аудиторов конторы />, направленныена работу к клиенту />.
Целевая функция,отражающая временные затраты имеет вид:
/>
Ограничения, связанные сколичеством аудиторов в фирмах и количеством заявок от клиентов, имеют вид:
/>
Поскольку число заявок ичисло аудиторов в фирмах не совпадают, то введем искусственного клиента, числозаявок которого равно 15 и временные затраты на работу равны 0. Системаограничений примет следующий вид:
/>
Решение задачи найдем спомощью табличного процессора MS Excel.
Сформируем матрицузакрепления аудиторов за клиентами. Для этого в блок ячеек B3:L6 вводим «1». В ячейках M3:M6 суммируем построкам. Число, имеющихся в наличии аудиторов, введем в ячейки N3:N6. В ячейках B7:L7 суммируем по столбцам. Число заявок,поданных клиентами, введем в ячейки B8:L8.
Создаем матрицу временныхзатрат. Для этого в блок ячеек B12:L15 вводим коэффициенты целевойфункции.
Ячейкой целевой функциивыберем N11. Поместим в ней курсор, с помощьюМастера функций выберем Категорию Математические и оттуда введем СУММПРОИЗВ, вокне СУММПРОИЗВ указываем адреса массивов B3:L6 и B12:L15.
Решение задачи найдем спомощью надстройки Поиск решения.
Поместим курсор в полеУстановить целевую (ячейку), введем адрес $N$11, установим направление изменения целевой функции, равноеМинимальному значению, введем адреса изменяемых ячеек $B$3:$L$6.
Добавим ограничения:
введем адреса $M$3:$M$6=$N$3:$N$6,
тем самым мы реализуемусловие использования всех, имеющихся в наличии аудиторов.
Далее добавляем условиевыполнения всех заявок:
выбираем Добавитьограничение,
введем адреса $B$7:$L$7=$B$8:$L$8,
Затем вводим условиецелочисленности изменяемых ячеек:
выбираем Добавитьограничение,
введем адреса $B$3:$L$6= целое.
Теперь добавляем условие,что аудиторы фирмы А 4 не могут работать на клиентов К2 и К9.
Используя Параметры,введем условия неотрицательности переменных и линейную модель.
После введения всехограничений, нажимаем Выполнить, на экране появляется диалоговое окноРезультаты поиска решения. Получен оптимальный план распределения аудиторов, онозначает следующее:
у клиента К1 работают 4аудитора фирмы А1,
у клиента К2 – 2 аудиторафирмы А2 и 7 аудиторов фирмы А3,
у клиента К3 – 2 аудиторафирмы А1,
у клиента К4 – 2 аудиторафирмы А1 и 10 аудиторов фирмы А4,
у клиента К5 – 7аудиторов фирмы А1,
у клиента К6 – 6аудиторов фирмы А2,
у клиента К7 – 9аудиторов фирмы А2,
у клиента К8 – 3 аудиторафирмы А1,
у клиента К9 – 18аудиторов фирмы А3,
у клиента К10 – 5аудиторов фирмы А1,
12 аудиторов фирмы А1 и 3аудитора фирмы А2 отправляются на плановую учебу. При этом временные затратысоставят 842 ед.
В качестве примеравыполнения условия о том, чтобы не все аудиторы были из одной фирмы можнопривести следующее распределение аудиторов:
у клиента К1 работают 3аудитора фирмы А1 и 1 аудитор фирмы А3,
у клиента К2 – 2 аудиторафирмы А2 и 7 аудиторов фирмы А3,
у клиента К3 – 1 аудиторфирмы А1 и 1 аудитор фирмы А4,
у клиента К4 – 6 аудиторафирмы А1 и 6 аудиторов фирмы А4,
у клиента К5 – 6аудиторов фирмы А1 и 1 аудитор фирмы А2,
у клиента К6 – 5аудиторов фирмы А2 и 1 аудитор фирмы А4,
у клиента К7 – 8аудиторов фирмы А2 и 1 аудитор фирмы А4,
у клиента К8 – 2 аудиторафирмы А1 и 1 аудитор фирмы А3,
у клиента К9 – 16аудиторов фирмы А3 и 2 аудитора фирмы А2,
у клиента К10 – 4аудитора фирмы А1 и 1 аудитор фирмы А4,
13 аудиторов фирмы А1 и 2аудитора фирмы А2 отправляются на плановую учебу. При этом временные затратысоставят 888 ед.
/>
/>
/>