Выполнил: ученик 11 Б класса Назаркин Павел Дмитриевич
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей №43»
Саранск, 2004
Постановка
задачи.
Произвести
необходимые расчеты для нахождения минимальной скорости тела, брошенного через
прямоугольное препятствие.
Методы
выполнения работы.
Для
выполнения данной работы проделаем ряд математических вычислений и
преобразований с использованием физических формул.
Зная,
что траекторией движения тела, является парабола, а также математическую
формулу записи данной линии, будем использовать уравнение параболы общего вида
в качестве начальных данных поставленной задачи. В выбранной нами прямоугольной
системе координат запишем данное уравнение для двух точек, принадлежащих линии
движения – начальной точке А и точке В, в которой тело окажется через некоторый
промежуток времени t. Решая систему полученных при этом уравнений, путем
математических замен и преобразований выведем формулу зависимости движения тела
от одной переменной L, т.е. коэффициенты k и b, участвующие в общем виде
уравнения параболы, выразим через L. Затем, используя физический закон движения
тела, брошенного под углом к горизонту, выразим переменную L через и V . В результате получим уравнение движения,
в качестве коэффициентов в котором будут выступать переменные и V. Затем составим систему двух уравнений,
полученных подстановкой координат точек А и В в последнее уравнение движения.
Решая данную систему, мы найдем неизвестные нам величины и V, выразив их через имеющиеся известные нам
параметры – ширину и высоту прямоугольного препятствия. Для нахождения Vmin
воспользуемся производной функции.
Решение.
Уравнением
линии движения тела, брошенного через прямоугольное препятствие, в общем виде
является уравнение параболы :
y=-kx2+b
Введем
прямоугольную систему координат и свяжем ее с прямоугольным препятствием, как
показано на рисунке.
В
данной системе координат уравнение движения тела в точках А и Б примет вид:
0=-k(a+L)2+b,
h=-ka2+b.
Выразим
k и b через одну неизвестную L:
Вычитаем
1)-ое из 2)-ого:
h=k(a2+2aL+L2-a2),
h=k(2aL+L2) , (*);
h=b-ka2+b b=h+ka2 . (*)
Получилось,
что уравнение движения зависит только от L:
y=-kx2+b,
где коэффициенты k и b имеют вид (*).
Найдем
зависимость L оти V.
Из
курса физики известно: что движение тела, брошенного под углом горизонта
описывается уравнениями
x=Vxt L=Vxt L=Vcost
y=Vyt+gt2/2 h=Vyt-gy t2/2 gt2-2Vyt+2h=0.
gt2-2Vyt+2h=0.
.
Мы
рассматриваем время движения от точки А до Б, значит
, где Vy=Vsin.
Итак,
Умножив
обе части уравнения на g, получим:
(1)
Известно,
что т.е.
(2)
С
другой стороны tg=y’ в точке А,
т.е. tg=y’(-a-L);
Подставив
значение tg в (2),
получим:
V2sin2=g(a+L) tg
V2sincos=g(a+L)
Lg=V2sincos-ga (3)
Сравнив
(1) и (3) получаем, что:
.
Получили
уравнение с двумя неизвестными V и: выразив V через
, мы получим
ту самую функцию, которую мы должны были найти:
Пусть
z=V2, тогда z cos2(z sin2-2gh)=g2a2;
z2 cos2 sin2- z cos22gh-g2a2=0;
Получили
квадратное уравнение относительно z
Очевидно,
значит, т.к. z=V2>0, то .
Вместо
зависимости V от рассмотрим
зависимость z от , и обозначив получим зависимость z от t.
Получим
, где z=V2, .
Выразим
через t, если ;
Значит,
Т.е.
Таким
образом, чтобы найти Vmin и , нам нужно
во-первых, найти fmin и t.
.
Умножив
обе части уравнения на , получим
Прежде
чем возвести обе части в квадрат, сделаем предварительный анализ получившегося
уравнения: т.к.
то
и
т.е.
и
Умножив
обе части уравнения на (t-1)2, получим
Т.к t1 (т.к. ), то можно
извлечь корень.
; (4)
Итак,
f(t)=2h+2a, значит .
Т.к.
z=V2, то т.е. (5)
Осталось
найти L:
Его
найдем используя (3).
Результаты
работы.
Проделанным
расчетом мы нашли зависимость скорости, движения брошенного через прямоугольное
препятствие тела, так чтобы она была минимальной, от длины и высоты
прямоугольного препятствия. То есть, зная данные препятствия, – его длину и
ширину – а так же формулы, полученные в данной работе, мы можем определить на
каком расстоянии от препятствия, под каким углом и с какой минимальной скоростью
необходимо бросить тело, чтобы оно перелетело через это препятствие.
Актуальность
темы.
Данные
расчеты и выведенные формулы используются в различных сферах деятельности
человека. В частности, в военной практике, для правильного расчета движения
траектории снарядов.
Приложение.
К
работе прилагается программа, результатом которой является вывод на экран
траектории движения тела, брошенного через прямоугольное препятствие. Входными
параметрами программы являются данные прямоугольного препятствия – его длина и
высота. Программа написана на языке программирования Delphi.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://licey43.ru
Дата добавления: 11.10.2007