Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Фрунзенскийрайон
Технологическаягимназия №13 г. Минска

Авторы:КравченкоАрсений Борисович
ученик 9”Д”класса
ул. Горецкого69-263
д.т. 215-84-33
ЕрмолицкийАлексей Александрович
ученик 9”Д”класса
ул.Сухаревская 7-46
д.т. 215-62-23

Тема:
Нестандартныеметоды решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный
Секция:математика
Научныйруководитель:БуйницкаяИнесса Мечеславовна
учитель высшейкатегории

Минск 2004
Содержание
 
 Общая теоретическая часть………………………………………00
Графический метод………………………………………………..00
Функциональный метод……………………………………………00
Метод функциональнойподстановки…………………………..00
Цели и задачи научнойработы…………………………………..00
Практикум……………………………………………………………00
Список литературы………………………………………………..00/> Общая теоретическаячасть
Пусть X и Y — два произвольныхчисленных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х и усоответственно и будем называть переменными.
Определение.  Числовой функцией,определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие(правило, закон), которое каждому х из множества Х сопоставляет одно и толькоодно значение у из множества Y.
Переменную х называютнезависимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимойпеременной. Говорят также, что переменная у является функцией отпеременной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Введенное понятие числовойфункции является частным случаем общего понятия функции как соответствия междуэлементами двух или более произвольных множеств.
Пусть Х и Y – два произвольных множества.
Определение.  Функцией, определенной намножестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие, соотносящее с каждымэлементом множества Х один и только один элемент из множества Y.
Определение. Задать функцию – это значитуказать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого поданному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значенияфункции.
С понятием функции связаны дваспособа решения уравнений: графический и функциональный. Частнымслучаем функционального метода является метод функциональной, илиуниверсальной подстановки.
Определение. Решить данное уравнение –значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений)может быть пустым, конечным или бесконечным.
В следующих главах теоретическогораздела мы разберем вышеописанные способы решения уравнений, а в разделе«Практикум» покажем их применение в различных ситуациях.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Графическийметод.
На практике для построенияграфика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторыхзначений аргумента, затем наносят соответствующие точки на координатнуюплоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается, чтоточки достаточно точно показывают ход изменения функции.
Определение.  Графиком функции y = f(x) называется множество всехточек
{x, f(x) | x />D (f)} координатной плоскости.
Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x/> D(f) одно число f(x), то график функции f пересекается любой прямой,параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякоенепустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной осиординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции. Невсякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либофункции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции,поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты.
В общем случае уравнение содной переменой х можно записать в виде
f(x)=g(x),
 гдеf(x) и g(x) – некоторые функции. Функция f(x) является левой частью, а g(x) – правой частью уравнения. Тогда длярешения уравнения необходимо построить в одной системе координат графикифункций  f(x) и g(x). Абсциссы точек пересечения будутявляться решениями данного уравнения.
Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x/> D(f) одно число f(x), то график функции f пересекается любой прямой,параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякоенепустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной осиординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции.
Данный метод можетиспользоваться не только для одиночных уравнений, но и для их систем, а также неравенств.В случае с системами необходимо находить не только абсциссы, но и ординаты(если графики функций f(x) и g(x) пересекаются в точке А (х1,у1), то решением системы будет  х=х1, у=у1). При решении неравенств ответом будетсовокупность абсцисс, при которых график функции f(x) находится выше или ниже (взависимости от условия) графика функции g(x).
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Функциональныйметод
Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведенок уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычныеметоды решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функцийf(x) и g(x) как монотонность,ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функцийвозрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одногокорня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x)мах=А  g(x)мin=A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений
/>
Также при использованиифункционального метода рационально использовать некоторые теоремы, приведенныениже. Для их доказательства и использования необходимы следующие уравненияобщего вида:
 f(x)=x    (1)
/>   (2)
Теорема 1. Корни уравнения (1) являютсякорнями уравнения (2).
Теорема 2. Если f(x) – возрастающая функция наинтервале a
Из последней теоремы вытекаютследствие, также используемое в решениях:
Следствие 1. Если f(x) возрастает  на всей своейобласти определения, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.Если f(x) убывает на всей своей области определения, n — нечетное, то на данноминтервале уравнения (1) и (2) равносильны.
Теорема 3. Если в уравнении f(x)=g(x) при любом допустимом х выполнются условия f(x)≥a,g(x)≤a,где а – некоторое действительное число, то дано уравнение равносильно системе
/>
Следствие 2. Если в уравнении f(x)+g(x)=a+b при любом допустимом х f(x)≤a, g(x)≤b, то данное уравнениеравносильно системе
/>
Функциональный метод решенияуравнений часто используется в комбинации с графическим, так как оба эти методаоснованы на одних свойствах функций. Иногда комбинацию этих методов называют графоаналитическимметодом. Методфункциональной подстановкиЧастным случаемфункционального метода является метод функциональной подстановки – самый,пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть методасостоит в введении новой переменной y=ƒ(x),применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаемфункциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.Тригонометрическоеуравнение вида
R(sinkx,cosnx, tgmx, ctglx) =0                    (3)
где R – рациональная функция, k,n,m,lÎZ, с помощью тригонометрических формул двойного итройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональномууравнению уравнению относительно аргументов sinx,cosx, tgx, ctgx, после чего уравнение (3)может быть сведено к рациональному уравнению относительно t=tg(x/2) c помощью формул универсальной тригонометрическойподстановки
                                       2tg(x/2)                             1-tg²(x/2)
/>/>                            sinx=                               cosx=
                                       1+tg²(x/2)                           1+tg²(x/2)
                                                                                                                (4)
                                     2tg(x/2)                                 1-tg²(x/2)
/>/>                            tgx=                                 ctgx=
                                     1-tg²(x/2)                               2tg(x/2)
Следует отметить, чтоприменение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения,поскольку tg(x/2) не определен в точках x=π+2πk, kÎZ,поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=π+2πk, kÎZкорнями исходного уравнения.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Практикум
 
/>/>sinx +√2-sin²x+ sinx√2-sin²x = 3
/>

/>Данное уравнение рациональнорешать методом функциональной подстановки.
Пусть u = sinx и v = +√2-sin²x. Так как –1≤u≤1 и v≥1, то u+v≥0.                            Кроме того,имеем u² + v² =2.
В таком случае из уравненияполучаем систему уравнений
/>

u + v + uv= 3
u² + v² =2
Пусть теперь r = u+v и s=uv, тогда из системы уравненийследует
/>

r + s = 3
r² — 2s = 2
Отсюдас учетом того, что r≥0, получаем r = 2 и s = 1. Следовательно, имеет место
/>

u + v = 2
uv = 1
u = v = 1
Поскольку, u = sinx и u = 1, то sinx= 1 и x = π/2+2πk, kÎZ
 
Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ
cos/>=x2+1
Данное уравнение рациональнорешать функциональным методом.
cos/>≤1                                                         x2+1≥1     =>
/>cos/>=1                    
x2+1=1                                                x=0
Ответ: х=0
 
5sinx-5tgx
/>                   +4(1-cosx)=0
  sinx+tgx
Данное уравнении рациональнорешать методом фунциональной подстановки.
Так как tgx не определен при x = π/2+πk, kÎZ,а sinx+tgx=0 при x = πk, kÎZ, то углы x = πk/2, kÎZне входят в ОДЗ уравнения.
Используем формулы тангенсаполовинного угла и обозначим t=tg(x/2), при этом по условию задачиt≠0;±1, тогда получим/> /> /> /> /> /> />

       2t                 2t
/>/>5                  –                          
/>/>      1+t²            1-t²                     1-t²
/>/>                                      +4   1-              =0
     2t                 2t                       1+t²
/>/>                   +              
    1+t²             1-t²
Так как t≠0;±1, то данноеуравнение равносильно уравнению
           8t²
/>-5t² +            = 0 ó-5-5t² + 8 = 0
          1+t²
/>/>откуда t= ±√3/5,. Следовательно, x = ±2arctg√3/5  +2πk, kÎZ
 
/>Ответ: x = ±2arctg√3/5  +2πk, kÎZ

tgx+ctgx+tg²x+ctg²x+tg³x+ctg³x=6
Данное уравнение рациональнорешать методом функциональной подстановки.
Пусть y=tgx+ctgx, тогда tg²x+ctg²x=y²-2, tg³x+ctg³x=y³-3y
y³+y²-2y-8=0
y=2
Так как tgx+ctgx=2, то tgx+1/ tgx=2. Отсюда следует, что tgx=1 и x = π/4+πk, kÎZ
Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ
 
2cos πx=2x-1
 
Данное уравнение рациональнорешать графическим методом.
 
/>
 
Точка пересечения графиковимеет координаты (0,5; 0). Следовательно, х=0,5

Ответ: х=0,5
3+(х-π)2=1-2cosx
Данное уравнение рациональнорешать функциональным методом.
(х-π)2+2=-2cosx
(х-π)2+2≥2                                                                              -2cosx≤2
/>
/>    =>  x=π, при k=0
Ответ: x=π

10|sinx|=10|cosx|-1
Данное уравнение рациональнорешать графоаналитическим методом.
Т.к. 10>1, то данноеуравнение равносильно следующему:
 |sinx|=|cosx|-1
/>
Точки пересечения графиковимеют координаты (/>);/>. Следовательно, х=/>.
Ответ:х=/>