| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|на тему: |
| |
|”Об интегральных формулах Вилля-Шварца |
|для трехсвязных областей и ее применение |
|к краевым задачам Дирихле”. |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Оглавление.
Введение. §1. О задачах Дирихле. а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона (классическая формулировка). б) Обобщенная задача Дирихле в) Видоизмененная задача Дирихле. г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей. д) Общая формулировка задачи Дирихле. е) Задача Неймана.
§2. О задачах Шварца-Пуассона. а) Интеграл Шварца для круга. б) Интегральная формула Пуассона. в) Интеграл Пуассона для внешности круга. г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости. д) Задача Дирихле для кругового кольца.
§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового кольца (1912). а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля. б) Функции Вейерштрасса (I(u), [pic](u), [pic](u)).
§4. О некоторых изменениях теории конформного отображения к краевым задачам. а) Об структурном классе интегральных представлений. б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти для многосвязных областей. в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение задачи
Дирихле для соответствующих областей.
§5. Об интегральных представлениях Пуассона-Дирихле для заданных областей.
§6. Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей.
Литература.
Введение.
В данной дипломной работе исследованы некоторые интегральные формулы
(классические представления) аналитических и гармонических функций в
заданных многосвязных областях.
Даны новые методы решения классических краевых задач методом
интегральных представлений аналитических функций, используя метод
конформного отображения канонической области [pic](z) на соответствующие
области G[pic](w).
Используя фундаментальные интегральные формулы для круга и кругового
кольца, автор обобщает задачи Пуассона, Дирихле, Дини, Шварца, Кристофеля-
Шварца и Чизотти для многосвязных областей.
В частности, найдены интегральные формулы для эксцентрического
кругового кольца, двух-трехсвязных областей. И нашли применение их к
решению классических краевых задач типа Дирихле-Неймана.
Целью нашего исследования в предлагаемой работе являются:
1. Разобраться в вышеуказанных (непростых) известных классических задачах типа Шварца, Дирихле, Пуассона и Чизотти [1] – [7].
2. Творчески изучая и классифицируя их, найти обобщение и решение этих задач для конкретных многосвязных областей (см. оглавление).
Данная работа состоит из введения и 6 параграфов.
В введении обосновывается постановка задачи, показывается актуальность
рассматриваемой темы дипломной работы, дается краткий анализ и перечень
работ по данному исследованию (1 – 24).
Параграфы (§1, §2) не только вспомогательные материалы, необходимые
для понимания основного содержания дипломной темы, но и являются справочной
классификацией о задачах Дирихле (классическая, обобщенная, общая,
видоизмененная) для любой связности заданной области G[pic]= G[pic](w) и
задачах Шварца-Пуассона (для круга, кругового кольца, внешности кругов, для
полуплоскости).
В §3 интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового
кольца в форме Ахиезера преобразована и получена новая компактная,
контурная, структурная формула А.Вилля для кругового кольца. Здесь же,
ввиду важности трех функций I(u), [pic](u) и [pic](u) для практического
приложения и простоты реализации на ЭВМ, мы рассмотрели все варианты
представления рядов данных функций (37) – (48) по справочникам [19] – [22]
специальных функций (а), б)).
Параграфы §4 – §6 – основное содержание самостоятельной работы автора:
рассмотрены применение теории комфорного отображения к краевым задачам –
решение задачи Дирихле методом Чизотти для заданных областей (§4).
В §5 – интегральные представления Пуассона-Дирихле для круга,
кругового кольца и, наконец, §6 – интегральная формула Чизотти-Шварца-
Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей.
Оглавление – ясное представление о единстве всех классических задач и
о содержании предлагаемой работы (см. оглавление!).
В данной работе все найденные решения выписываются почти в явном виде
и параметры, фигурирующие в постановке задачи, определяются явно и
однозначно.
Основное содержание дипломной работы являются некоторыми обобщениями
курсовых работ и самостоятельной работы автора.
§1. О задачах Дирихле.
а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона
(классическая формулировка).
1. Задача нахождения функции, гармонической в некоторой области была
названа Риманом задачей Дирихле. В классическом виде эта задача
формулируется следующим образом.
Пусть на границе [pic] области D+ задана непрерывная функция f([pic]).
Найти непрерывную в [pic] и гармоническую внутри области D+ функцию U(z),
принимающую на границе значения f([pic]). Таким образом, требуется, чтобы
U(z) стремилась к f([pic]), когда z [pic] D+ стремится к [pic][pic][pic],
u(z) > f([pic]), при z > [pic].
Задача Дирихле представляет интерес для физики. Так, потенциал
установившегося движения несжимаемой жидкости, температура,
электромагнитные и магнитные потенциалы – все являются гармоничными
функциями.
Примером физической задачи, приводящей к задаче Дирихле, служит
определение температуры внутри пластинки при известных ее значениях на
контуре.
Из других физических задач возникла формулировка задачи Неймана. Найти
гармоническую в области D+ функцию U(z) по заданным значениям ее нормальной
производной [pic] на [pic], а также смешанной задачи Дирихле-Неймана.
Найти гармоническую в D+ функцию по известным ее значениям на
некоторых дугах границы [pic] и значениям нормальной производной на
остальной части [pic].
Смешанная задача встречается главным образом в гидродинамике.
Различные приложения этих задач можно найти, например, в книге Лаврентьев
И.А. и Шабат Б.В. [1].
Итак, по многочисленности и разнообразию приложений задача Дирихле
занимает исключительное место в математике. К ней непосредственно сводится
основная задача в гидродинамике – задача обтекания, задачи кручения и
изгиба в теории упругости. С нею же тесно связаны основные задачи
статистической теории упругости. Мы будем заниматься плоской задачей,
которая представляет для нас особый интерес как по обилию приложений, так и
по большей разработанности и эффективности методов решения.
2. Совокупность гармонических функций – это совокупность всех решений
уравнения Лапласа
[pic], (1)
которое является одним из простейших дифференциальных уравнений с частными
производными второго порядка.
Подобно тому, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для
выделения одного определенного решения задают дополнительные условия, так и
для полного определения решения уравнения Лапласа требуются дополнительные
условия. Для уравнения Лапласа они формулируются в виде так называемых
краевых условий, т.е. заданных соотношений, которым должно удовлетворять
искомое решение на границе области.
Простейшее из таких условий сводится к заданию значений искомой
гармонической функции в каждой точке границы области. Таким образом, мы
приходим к первой краевой задаче или задаче Дирихле:
Найти гармоническую в области D и непрерывную в [pic] функцию u(z),
которая на границе D принимает заданные непрерывные значения u([pic]).
К задаче Дирихле приводится еще, кроме вышеперечисленных, отыскание
температуры теплового поля или потенциала электростатического поля в
некоторой области при заданной температуре или потенциале на границе
области. К ней сводятся и краевые задачи других типов.
б) Обобщенная задача Дирихле.
В приложениях условие непрерывности граничных значений [pic], является
слишком стеснительным и приходится рассматривать обобщенную задачу Дирихле
[1]:
На границе [pic] области D задана функция [pic], непрерывная всюду,
кроме конечного числа точек [pic], где она имеет точки разрыва первого
рода. Найти гармоническую и ограниченную в области D функцию u(z),
принимающую значения u(z) = [pic] во всех точках непрерывности этой
функции.
Если заданная функция [pic] непрерывна, то обобщенная задача Дирихле
совпадет с обычной, ибо условие ограниченности функции u(z) следует из
условия ее непрерывности в [pic].
Теорема единственности решения обобщенной задачи Дирихле:
В данной области при заданной граничной функции [pic] существует не
более одного решения обобщенной задачи Дирихле.
Решение обобщенной задачи Дирихле можно свести к решению обычной
задачи Дирихле.
Можно доказать, что: 1. для любой односвязной области D и любой кусочно-непрерывной с точками разрыва первого рода граничной функции [pic] решение обобщенной задачи
Дирихле существует. 2. решение обобщенной задачи Дирихле для единичного круга дается интегралом Пуассона
[pic] , [pic], [pic]) (2) 3. для произвольной области D, мы получим искомую формулу для решения обобщенной задачи Дирихле интегральной формулой Дж.Грина [12, 18]:
[pic] , (3)
где [pic] – производная в направлении внутренней нормали к С, ds – элемент длины [pic], соответствующей [pic],
[pic] – элемент внутренней нормали к [pic], [pic]- фиксированная произвольная точка области D, а функция [pic]; [pic], реализующая отображение D на единичный круг [pic] и [pic] – функция Грина для области D, гармоническую всюду в D кроме точки [pic], где имеет плюс.
Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле для некоторой области D через логарифм конформного отображения D на единичный круг, т.е. сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного отображения. И обратное верно.
Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и задача Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся друг к другу с помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.
в) Видоизмененная задача Дирихле.
Пусть S+ – связная область, ограниченная простыми замкнутыми непересекающимися гладкими контурами [pic], из которых первый охватывает все остальные. Под L мы будем подразумевать совокупность этих контуров [pic], ([pic]). Через [pic] – мы обозначим совокупность конечных областей [pic] заключенных, соответственно, внутри контуров [pic] и бесконечной области [pic], состоящей из точек расположенных вне [pic]. На контуры [pic] мы наложим еще следующее условие: угол, составляемый касательной к [pic] с постоянным направлением, удовлетворяет условию H; иными словами, мы будем считать, что L удовлетворяет условию Ляпунова [17,24].
Функция [pic] удовлетворяет условию H на этом множестве, если для любых двух [pic] переменной [pic] на этом множестве
[pic] , (4) где A и [pic] – положительные постоянные показатели Гельдера, А – коэффициент, а [pic] – показатель условия Н и при [pic]=1 – условие
Липшица, функции, удовлетворяющие условию Н называются непрерывными по Гельдеру и сильнее, чем обычное определение непрерывности.
г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей [24].
Найти (действительную) функцию u(x,y), гармоническую в [pic], по граничному условию u=f(t) на L,
(5) где f(t) – заданная на L (действительная) непрерывная функция; в случае бесконечной области от функции u(x,y) требуется еще, чтобы она оставалась ограниченной на бесконечности, т.е. и стремится к вполне определенному пределу, когда z уходит в бесконечность.
Напомним, что всякая функция u(z) гармоническая вне круга [pic] в ряд.
[pic], [pic]) абсолютно и равномерно сходящийся вне круга любого радиуса [pic] поэтому u>[pic] при r>[pic].
Для некоторых применений не меньший интерес представляет и следующая задача, которая называется “видоизмененной задачей Дирихле”. Термин этот введен в статье Н.И.Мусхелишвили и Д.З.Авазошвили [17].
Видоизмененная задача Дирихле – задача Дирихле для многосвязных областей.
Найти функцию u(x,y), гармоническую в S+, непрерывную в [pic], по следующим условиям:
1. u(x,y)=[pic]Ф(z) является действительной частью функции Ф(z), голоморфной в S+;
2. она удовлетворяет граничному условию u=f(t)+[pic](t) на L,
(6) где f(t) – заданная на [pic] непрерывная функция [pic], [pic],
(7) где [pic] постоянные не задаваемые заранее; в случае бесконечной области требование u(x,y)=f(t)+[pic] на [pic] заменяются требованием ограниченности u(x,y) на бесконечности.
Можно показать, что постоянные [pic] вполне определяются условиями самой задачи, если (произвольно) фиксировать одну из них.
Если L состоит из единственного замкнутого контура, то различают два случая: а) р=0. Тогда S+ представляет собой конечную часть плоскости, ограниченную контуром [pic]; б) р=1, а контур [pic] отсутствует. Тогда область S+ представляет собой бесконечную часть плоскости, ограниченную контуром [pic].
Легко видеть, что в случае а) задачи А и В совпадают (если считать
[pic]=0) в случае б) эти задачи непосредственно сводятся одна к другой.
Каждая из задач А и В не может иметь более одного решения (если
[pic]=0).
д) Общая формулировка задачи Дирихле.
Задача Дирихле – задача отыскания регулярной в области D гармонической функции и которая на границе Г области D совпадает с наперед заданной функцией [pic]. Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптического уравнения 2-го порядка, принимающего на перед заданные значения на границе области, также называется задачей
Дирихле, или первой краевой задачей.
Вопросы связанные с этой задачей, рассматривались еще К.Гауссом, а затем Дирихле. Для областей D с достаточно гладкой границей Г решение задачи Дирихле можно представить интегральной формулой
[pic], (8) где [pic] – производная по направлению внутренней нормали в точке
[pic] функции Грина [pic], характеризуемой следующими свойствами:
1. [pic], при [pic] 3 или
[pic], при [pic] 2, где [pic] – расстояние между точками [pic] и [pic], [pic] – площадь единичной сферы в [pic], [pic] – регулярная в [pic] гармоническая функция как относительно координат [pic], так и относительно координат [pic];
2. [pic], когда [pic], [pic].
Для шара, полупространства и некоторых других простейших областей функция Грина строится явно и формула (8) дает эффективное решение задачи Дирихле. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы носят название формул Пуассона.
Задача Дирихле является одной из основных проблем теории потенциала – теории гармонических функций.
Для обобщенного по Винеру решения задачи Дирихле справедливо интегральное представление в виде формулы Вилля-Пуассона
[pic], (9) являющейся обобщением формулы (8). Здесь [pic] – гармоническая мера множества [pic] в точке [pic]. Отсюда возникает возможность рассмотрения обобщенной задачи Дирихле для произвольных граничных функций [pic], при этом можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в некоторой ослабленной форме.
Например, если [pic] – область [pic] с достаточно гладкой границей Г, а граничащая функция [pic] имеет только точки разрыва 1-го рода, то можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в точках непрерывности [pic], для обеспечения единственности решения в точках разрыва требуется ограниченность решения.
е) Задача Неймана.
Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений важно рассмотреть так называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана:
Найти гармоническую в области [pic] функцию [pic], зная значения ее нормальной производной на границе С:
[pic] (10) и значение [pic] в какой-либо точке [pic] в области [pic].
Для определенности мы будем предполагать, что в (10) рассматривается внешняя нормаль, что означает угол, образованный этой нормалью с осью х. Функция [pic] может иметь на [pic] конечное число точек разрыва 1-го рода, функция и ее частные производные первого порядка предполагаются ограниченными.
Следующая теорема выражает от нормальной производной гармонической функции:
Если функция [pic] гармонична в односвязной области [pic] и непрерывна вместе со своими частными производными в [pic], то
[pic], (11) где [pic] – граница области [pic] обозначает производную в направлении нормали к [pic], а [pic] – дифференциал дуги.
Из этой теоремы следует, что для разрешимости задачи Неймана необходимо выполнения соотношения
[pic]. (12)
Доказывается единственность решения задачи Неймана и при доказательстве единственности решения задачи Неймана можно ограничиться случаем, когда область [pic] представляет собой полуплоскость ([pic]z, > 0).
В дополнительном предположении непрерывности частных производных в
[pic] решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной гармонической функции.
Две гармонические в области [pic] функции [pic] и [pic], связанные условиями Даламбера-Эйлера называются сопряженными.
Как мы знаем, для всякой функции [pic]гармонической в односвязной области [pic], можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию
[pic]. Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций [pic] сопряженных с [pic] дает формула:
[pic], (13) где С – произвольная действительная постоянная.
Заметим, что в многосвязной области [pic] интеграл (13) по контуру
[pic], определяет, вообще говоря, многозначную функцию:
[pic], (14) где [pic] – произвольные целые числа, а [pic] – интегралы вдоль замкнутых контуров [pic], каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы [pic]:
[pic]. (15)
Постоянные [pic] называются периодами интеграла (13) или циклическими постоянными.
Можно доказать, что решение задачи Неймана сводится к решению задачи
Дирихле для сопряженной гармонической функции [pic], где [pic],
[pic] носят название соответственно силовой функции и потенциала поля.
Функции [pic] и [pic], представляющие собой регулярные решения системы
Коши-Римана [6]:
[pic] , [pic] [pic] (16) имеют частные производные всех порядков, т.е. аналитические функции
[pic] являются решением уравнения [pic]. (17)
Условие (17) – условие комплексной дифференцируемости функции [pic].
§2. О задачах Шварца-Пуассона.
а) Интеграл Шварца для круга
Как известно, по данным значениям вещественной (мнимой) части функции
находится с точностью до чисто мнимого слагаемого. Аналитический аппарат,
дающий выражение функции [pic], регулярной в области, через значения [pic]
на контуре, в том случае, когда область есть круг радиуса [pic], известен –
это есть так называемый интеграл Шварца [6, 8, 9]:
[pic] , ([pic], [pic]) (18)
Полагая здесь [pic], мы найдем для [pic] чисто вещественное значение
[pic], для которого мнимая часть обращается в нуль в начале координат.
Чтобы получить общее решение, мы должны добавить к правой части
произвольное мнимое число [pic]:
[pic], [pic]. (19)
Отделим в (18) вещественную и мнимую части, так как
вещественная
[pic]
часть даст нам интеграл Пуассона для [pic] и мнимая же часть доставляет
выражение [pic] через [pic].
Для единичного круга [pic], имеет вид:
[pic], (20)
где [pic], [pic] – представляет значение вещественной части искомой
функции в точке [pic].
б) Интегральная формула Пуассона.
Задача Дирихле об определении значений гармонической функции внутри круга, если известны ее значения на границе, решается, как известно, интегралом Пуассона:
[pic], (21)
где [pic] – полярные координаты точки, где ищется значение решения; [pic] –
радиус окружности и [pic] – функция полярного угла [pic], дающая граничные
значения [pic] [9].
Можно проверить разложением в ряд Тейлора, что
[pic],
([pic], [pic])
Поэтому [pic] представима рядом:
[pic]
[pic] (22) где [pic] и [pic] – коэффициенты Фурье [pic]:
[pic]; [pic]; [pic]
В центре окружности при [pic] мы получаем:
[pic] (23)
Равенство (23) – теорема Гаусса о том, что значение гармонической
функции в центре окружности есть среднее арифметическое ее значений на
самой окружности.
в) Интеграл Пуассона для внешности круга.
Найти функцию, гармоническую и ограниченную вне окружности [pic] и
принимающую на самой окружности заданные значения [9]:
[pic], [pic] ([pic]).
Покажем, что искомую функцию [pic] может быть представлена интегралом
типа Пуассрна, который может быть получен из (1).
Пусть [pic], а [pic],
Функция [pic], гармоническая вне окружности [pic], перейдет в функцию
[pic], гармоническую внутри круга радиуса [pic], принимающую на его границе
значения
[pic].
По формуле (1) она при [pic] представима интегралом Пуассона:
[pic].
Если в этом равенстве подставить вместо [pic] и [pic] их выражения
через [pic] и [pic] и заменить переменную интегрирования, положив [pic], то
мы получим формулу Пуассона для внешности окружности:
[pic], (24)
решающую поставленную задачу. Она отличается от (1) только тем, что в ней
[pic] и [pic] переменились местами, так что ядро интеграла (4) отличается
от ядра интеграла Пуассона (1) только знаком.
Разложение искомой функции в тригонометрический ряд, подобный ряду
(22), представляющей ее вне окружности:
[pic]. (25)
Если в (25) [pic]([pic], то получим теорему Гаусса для внешности
окружности:
[pic],
(26)
т.е. значение гармонической функции на бесконечности есть среднее
арифметическое значений на граничной окружности.
г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.
Аналитический аппарат, позволяющий гармоническую функцию внутри
верхней полуплоскости по известным граничным значениям ее вещественной оси,
можно получить из интеграла Пуассона путем преобразования круга [pic]
плоскости [pic] на верхнюю полуплоскость [pic] при помощи функции
[pic]
Граничные значения на окружности [pic] перейдут в граничные значения на вещественной оси и мы получим искомую формулу в виде [1]:
[pic], ([pic]) (27)
При неточных графических расчетах формулу (27) удобнее употреблять в ином виде, взяв за переменную интегрирования не [pic], а угол [pic], который образует прямая [pic] с перпендикуляром [pic] к оси [pic], опущенным из точки [pic], имеем:
[pic], [pic] и окончательно имеем:
[pic]. (28)
д) Задача Дирихле для кругового кольца.
Граничные значения гармонической функции [pic] на окружности кольца
[pic] мы будем предполагать заданными в форме функций от полярного угла
[pic] и обозначим их соответственно через [pic] и [pic].
Сопряженная с [pic] гармоническая функция [pic] будет вообще говоря,
не однозначной, и фкп [pic] будет состоять из двух слагаемых: однозначной
составляющей, могущей быть разложенной в ряд Лорана в кольце, и логарифм
[pic] с вещественным коэффициентом:
[pic], [pic]. (29)
Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так просто.
Существует более компактная и эффективная формула – интегральная
формула Вилля для кругового кольца [2], [3].
§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового кольца (1912).
Пусть в плоскости комплексного переменного [pic] дано круговое кольцо
[pic], ограниченное окружностями
[pic], [pic],
где заданное положительное число [pic]0.
Если [pic], то [pic] и [pic] – две интегральные формулы Пуассона для
заданных трехсвязных областей.
Если [pic], то
[pic]
[pic],
где [pic], [pic] (Шварц, 1869),
[pic], [pic] (Вилля, 1921), (96)
[pic], [pic] (Александров-Сорокин, 1972),
Формулу (87) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для
рассмотренных областей [pic], а формулы (88) – интегралами типа Шварца, а
реальные и мнимые части от функции [pic] – интегральными формулами типа
Пуассона.
Аналогичные формулы мы получим и для неконцентрического кругового
кольца, и для внешности [pic] и [pic] окружностей [4].
Рассмотренные выше формулы (86) – (88) – очень эффективны, когда [pic]
– правильные многоугольники (формулы Кристоффеля-Шварца-Дирихле для
рассмотренных областей).
Замечание 1. Так как заданные функции [pic] – являются быстро
сходящимися рядами (см. §3, формулы (37) – (48)), то все рассмотренные
интегральные формулы можно с успехом использовать и для приближенного
решения соответствующих граничных задач.
Замечание 2. Так как решение задачи Неймана сводится к решению задачи
Дирихле для сопряженной однозначной гармонической функции, мы рассмотрели
только задачу Дирихле.
Замечание 3. Классические краевые задачи являются частными случаями
задачи:
Найти регулярное в области [pic] решения эллиптического уравнения
[pic], (97)
удовлетворяющие на границе [pic] условию
[pic], (98)
где [pic] – производная по некоторому направлению, а [pic] – заданные
непрерывные на [pic] функции, причем [pic] всюду на [pic] и
1. при [pic], [pic] – задача Дирихле;
2. при [pic], [pic] – задача с косой производной, которая переходит в задачу Неймана, если направление [pic] совпадет с направлением по нормали.
Литература.
1. М.А.Лаврентьев, В.В.Шабат. “Методы теории функции комплексного переменного”. М. 1965.
2. Х.Т.Тлехугов. “Формула Чизотти для кругового кольца”. Труды ВЦАН Груз.
ССР 1973. т.XII вып.I, стр.218-222.
3. Д.А.Квеселава, Х.Т.Тлехугов. “Формула Чизотти для многосвязных круговых областей”. ВЦАН Груз. ССР 1977. т.XVI, вып.I, стр.256-260.
4. Х.Т.Тлехугов. “Формула Чизотти для (n+1) – связных бесконечных областей”. Труды ВЦАН Груз. ССР 1980. т.XX вып.I, стр.219-224.
5. И.А.Александров, А.С.Сорокин. “Задача Шварца для многосвязных областей”.
СМЖ. 1972. т.XIII. 5., стр.970-1001.
6. А.В.Бицадзе. “Основы ТАФКП”. М. 1984.
7. Н.И.Ахиезер. “Элементы теории эллиптических функций”. М. 1970, стр.9-34;
179-190; 224-229.
8. В.И.Смирнов. “Курс высшей математики”. т.3 часть вторая, изд. 6. М.
1956, стр.182-184.
9. Л.В.Канторович, Крылов. “Приближенные методы высшего анализа”. М.-Л.,
1962, стр.584-645.
10. Ф.Д.Гахов. “Краевые задачи”. М. 1977. изд. 3.
11. И.И.Привалов. “Граничные свойства аналитических функций”. М.-Л. 1950.
12. Математическая энциклопедия. т.1-5. 1977-85.
13. В.А.Змарович. “О структурных формулах теории специальных классов АФ”.
Известия Киевского политехнического института. т.15, стр.126-148.
14. Х.Т.Тлехугов. “О применении формулы Чизотти к приближенному отображению с особой нормировкой”. Сообщения АН Груз. ССР, 1981. т.101. 1., стр.21-
24.
15. Х.Т.Тлехугов. “О приближенном конформном отображении методом растяжения”. Известия АН Азер. ССР, 1977. 5., стр.37-40.
16. Х.Т.Тлехугов. “Применение формулы Чизотти к приближенному отображению”.
Сообщения АН Груз. ССР, 1974. т.73. 3., стр538-540.
17. Н.И.Мусхелишвили, Д.З.Авазошвили. “Сингулярные и интегральные уравнения”. М. 1956.
18. С.Г.Михлин. “Интегральные уравнения”. ОГИЗ. М.-Л. 1947.
19. Бейтмен и Эрдейн. “Высшие трансцендентные функции”. М. 1967. стр.294.
20. Градштейн, Рыжик. “Таблицы интегралов и произведений”. М. 1962. стр.931-
935.
21. М.Абрамович, И.Стиган. “Справочник по специальным функциям”. М.
“Наука”, 1979. стр.442-445.
22. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. “Специальные функции”. М. 1968. стр.120-143.
23. Д.А.Квеселова, Х.Т.Тлехугов. “Формула Дини-Шварца для кругового кольца”. Труды ВЦ. АН Груз. ССР, т.12. вып.1, 1973, стр.214-219.
24. Н.И.Мусхелишвили. “Сингулярные интегральные уравнения”. М. 1962. стр.245-269.
———————–
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
(40)
(47)
(53)
[pic]
(54)
(55)
(56)
(59)
(71)
[pic]
[pic]
[pic]
(86)
(88)
[pic]
(89)
[pic]
(92)
(95)
[pic]