Содержание
Введение………………………………………………………………………………3
1. Классические обратныезадачи……………………………………………4
2.Постановка, классификация и решение обратных задач динамики…….83. Метод квазиобращения……………………………………………………12
4. Метод разделения искомойсистемы…………………………………….13
5. Метод проектирования.………………………………………………….15
6. Задача обеспечениетребуемого закона движения………………………16
Заключение………………………………………………………………………….19
Список использованной литературы ……………………………………………..20
Введение
Однойиз основных задач динамики механических систем, описываемых обыкновеннымидифференциальными уравнениями, является задача определения сил и моментов позаданным кинематическим элементам движения или, в более общей постановке, позаданным свойствам движения. Задачи такого вида с различными их видоизмененияминазваны обратными задачами динамики, или обратнымизадачами дифференциальных систем.
Под обратными задачами дифференциальныхсистем понимаются как задачи о построении силовых полей, так и задачи об определениифункционалов, стационаризуемых в процессе движения, о восстановлении ипостроении уравнений движения механической системы по заданным свойствам еедвижения.
Настоящая работа посвящена решению одной из обратных задачобеспечения требуемого закона движения.
Первоначально, Еругиным Н. П. [1] была поставлена и решена задачапостроения множества уравнений движения системы по заданным интегралам. Даннаязадача имеет в общем случае неоднозначное решение, в силу некоторыхнеопределённых функций, что позволяет решать обратные задачи динамики всочетании с дополнительными требованиями, Галиуллин А.С. и его ученикиМухаметзянов И.А. и Мухарлямов Р.Г. применяют идеи Еругина для построенияуравнений программных движений [2, 5].
Для решения рассматриваемой задачи применяетсяметод квазиобращения [4], который был создан Р. Г. Мухарлямовым. Данный методявляется одним из общих методов решения обратных задач динамики в классеобыкновенных дифференциальных уравнений. Также применяются методы разделения ипроектирования.
1. Классические обратные задачи
Под обратными задачамидинамики понимается задачи об определении активных сил и моментов, действующихна механическую систему, параметров системы и связей, наложенных на систему,при которых движение с заданными свойствами являются одним из возможныхдвижений рассматриваемой механической системы. Задачи такого вида сразличными их видоизменениями названы обратными задачами динамики.
Ктаким задачам относятся так же [2] как задачи о построении силовых полей поизвестным свойствам движения материальной точки в этом поле, так и задачи обопределении функционалов, стационаризируемых в процессе движения, овосстановлении и построении движения механической системы по заданным свойствамее движения.
Данное определение отнесено кмеханическим системам. Однако наряду с механическими системами рассматриваютсятак же управляемые объекты различной природы (электрической, квантовой,химической и др.). Поэтому содержание обратных задач динамики должно включатьопределение законов управления движением динамических систем и их параметров изусловия осуществления движения по назначенной траектории.
Эти задачивсегда привлекали к себе внимание механиков и математиков, так как они имеютширокие прикладные возможности.
Классическими обратными задачамидифференциальных систем являются:
ЗадачаНьютона об определении силы, под действием которой планеты совершаютдвижение со свойствами, заданными в виде законов Кеплера;
ЗадачаБертрана об определении силы, под действием которой материальная точкапри любых начальных условиях движется по коническому сечению. Решением задачиБертрана занимались многие ученые прошлого столетия (В.Г. Имшенецкий,
Ж. Дарбу,Г. Кенигс и др.);
ЗадачаСуслова об отыскании силовой функции, которая определяет силы, вызывающиедвижение голономной механической системы с задаными интегралами;
ЗадачаМещерскогооб определении закона изменения массы точки и скоростиизменяющейся массы так, чтобы в заданном поле сил точка переменной массысовершала движение по заданной траектории или по заданному закону;
ЗадачаГельмгольцао построении функционала, принимающего стационарное значениена решениях заданного обыкновенного дифференциального уравнения второгопорядка.
Даинелли в 1880 г. поставил задачу обопределении силового поля, для которого заданное семейство кривых будет представлятьсемейство возможных траекторий. Искомое поле сил ищется в следующем виде :
(1.1)
где — произвольнаяфункция,
В1952 г.Н. П. Еругиным была впервые сформулирована обратная задача теориидифференциальных уравнений в виде задачи построения множества систем уравненийпо заданным интегралам и указан метод решения этой задачи [1]. В процесседальнейших исследований оказалось, что метод Еругина позволяет не толькопостроить уравнения движения механической системы по заданным свойствам одногоиз возможных движений этой системы, но и построить эти уравнения с учетомдополнительных требований, например, устойчивости и оптимальности заданногодвижения.
Вработе [1] была поставлена задачаопределения множества правых частей систем дифференциальных уравнений
(1.2)
имеющихзаданные функции
(1.3)
своимичастными интегралами.
Смыслэтой задачи заключается в следующем: если и — решение уравнения(1.2) при определенной правой части, удовлетворяющее начальному условию и существующее при или
Условия существования частных интегралов вида (1.3)заключается в том, чтобы
(1.4)
Равенство(1.4) можно записать в виде линейного алгебраического уравнения относительно
(1.4)*
С1960 г.А. С. Галиуллин и его ученики И. А. Мухаметзянов и Р. Г. Мухарлямов изучаютвозможности применения идей Н. П. Еругина для решения обратных задач динамики.Они формируют и рассматривают обратные задачи динамики как задачи построениявсего множества дифференциальных уравнений программных движений.
Пустьсостояние механической системы определяется векторами обобщенных координат и скоростей
(1.5)
правые частикоторых могут бытьпроизвольными постоянными или принимать конкретные значения, в частности,равные нулю. Кроме того, ,а равенства независимы и совместны в некоторой областифазового пространства при
Согласнометоду Еругина, решение различных вариантов постановки обратных задач можно рассматриватьв два этапа. На первом этапе заданное многообразие свойств движения (1.5)рассматривается как интегральное многообразие уравнений движениярассматриваемой системы. Поэтому уравнения движения механической системыстроятся так, чтобы соотношения являлисьпервыми ( (
Второйэтап заключается в том, чтобы из построенных таким образом уравнений определитьискомые обобщенные силы, параметры системы, а так же дополнительные связи,допускающие движение системы с заданными свойствами.
2. Постановка, классификация и решение обратных задач динамики
Вмонографии [2] изложены постановка, классификация обратных задач динамики и ихрешение в классе обыкновенных дифференциальных уравнений. Галиуллинрассматривает следующие задачи по построению уравнений движения по заданномуинтегральному многообразию.
1) Основная задача построения уравнений движения.
По заданному интегральному многообразию
(2.1)
построитьсистему уравнений
(n =1…n) (2.2)
движениямеханической системы так, чтобы оно являлось одним из ее возможных движений.
2) Восстановление уравненийдвижения.
По заданномуинтегральному многообразию
(2.3)
и заданной системе уравнений
(n=1…n) (2.4)
определить вектор-функцию параметров системы и дополнительно приложенныхк системе силы.
3) Замыкание уравнений движения.
По заданномуинтегральному многообразию
(2.5)
и заданной системе уравнений
(2.6)
построить систему замыкающихуравнений
(2.7)
так, чтобысистема (2.6) – (2.7) представляла собой замкнутую систему.
Искомыефункции принадлежат классу функций, допускающихсуществование и единственность решения в некоторой e– окрестности заданного многообразия
На первом этапе решения всех типовобратных задач 1) – 3) составляются условия осуществимости движениямеханической системы с заданными свойствами, которые в общем случае имеют вид
(2.8)
где произвольнаяпри функция, такая, что и тождественно равная нулю при ¹0.
Для основной задачи построенияуравнений и задачи восстановления уравнения осуществимости движения имеютследующий вид:
(2.9)
где -функции Еругина;
и для задачи замыканияусловие (2.8) принимает вид:
, (2.10)
где .
Затем из этих условий определяютсяправые части уравнений (2.4), (2.7) , соответственно, которые в конечном итоге ввекторной форме будут иметь следующий вид:
, (2.11)
где определяется из условия
-алгебраическое дополнение (i, j) – го элемента определителя;
(для задачи замыкания), (2.12)
где ,
-алгебраическое дополнение – го элементаопределителя
и определяетсяиз условия
Чтобыопределить искомые функции в задаче восстановления, необходимо правуючасть выражения (2.10) приравнять к известным правым частям заданных уравнений(2.5):
.
Тогда получим следующиеравенства:
(n= 1…n) (2.13)
и разрешим данное уравнениеотносительно функций .
Заметим, что поставленная задача имеетв общем случае неоднозначное решение. Во-первых, потому что при m n условия (2.8) не определяют однозначновсе ,во-вторых, условия (2.8) при содержат произвольные функции .Все это позволяет решать обратные задачи динамики в сочетании с задачамиустойчивости и оптимальности заданного движения, и вообще, в сочетании сдополнительными требованиями относительно динамических показателей движениярассматриваемой механической системы. При этом функции будут определять обобщенные силы, возникающиепри отклонении движения системы от ее движения с заданными свойствами.
В указанной монографии [2] эта возможность использованадля аналитического построения устойчивых систем и систем программного движенияв предположении, что движения рассматриваемых материальных систем описываютсяобыкновенными дифференциальными уравнениями.
3. Метод квазиобращения.
В настоящеевремя сформулированы возможные постановки обратных задач дифференциальныхсистем и разработаны общие методы решения этих задач в классе ОДУ. При этомоказалось, что если заданные свойства движения механической системы могут бытьаналитически представлены как первые или частные интегралы соответствующихуравнений движения, то решение обратных задач дифференциальных систем в общемслучае сводится к построению дифференциальных уравнений по заданным ихинтегралам и к определению в дальнейшем из них искомых сил и моментов,параметров и связей, необходимых для осуществления движения рассматриваемоймеханической системы с предварительно заданными свойствами. Один из общихметодов решения
Сущностьметода квазиобращения состоит в следующей теореме:Теорема: Совокупность всехрешений линейной системы
(3.1)
в которойматрица А имеет ранг, равный r, определяется выражением
(3.2)
где k– произвольная скалярная величина,
(3.3)
— векторноепроизведение векторов и произвольныхвекторов — единичные ортыпространства — матрица, транспонированнаяк
Прежде всего непосредственнойподстановкой можно убедиться в том, что (3.2) удовлетворяет уравнению (3.1).Действительно, произведение дает столбец, состоящий из нулей, а
Далеепусть в виде суммы
где вектор, ортогональный так что
(3.4)
т.е. Тогда из уравнения(3.1) следует, что т.е.
Остается показать, что при определенном выборе матрицы первое слагаемоеправой части (3.2) совпадает с Тогда представляет собойдвойное векторное произведение и может быть записано в виде определителя
(3.5)
Поскольку векторы произвольны, выберемих так, чтобы векторы были линейнонезависимы и выполнялись равенства
(3.6)
Тогда в силу (3.4), (3.6) в последнемстолбце определителя (3.5) все элементы, за исключением где — определитель Грама,отличный от нуля.
Следовательно, можно принять Тогда и
4. Метод разделения искомойсистемы.
Предположим,что вектор допускает разделениена две части:
таким образом, что
Тогда искомое уравнение (1.2) можно представить ввиде двух уравнений
(4.1)
Запишем равенство (1.4) с учетом (4.1)
(4.2)
Еслисчитать Zпроизвольным, то (4.2) оказывается линейным уравнением относительно Yс определителем
Запишем искомую систему в виде
(4.3)
Такой же подход можно использовать для определенияправой части уравнения
(4.4)
движения динамической системы, на которую наложенысвязи
Запишем основное соотношение
(4.5)
и представим Xв виде суммы
(4.6)
где
(4.7)
Предполагая, что уравнения (4.5) в виде достаточно подставить в (4.5), тогдаполучаем