Кушугумська
спеціалізованашкола
І-ІІІступенів “Інтелект”
Циліндр
Виконала учениця9-В классу
Кожушана Даша
Вчитель: Франко Т. В.
2008 рік
План
І. Вступ.
ІІ.Основна частина.
1) Визначення і загальні властивостіциліндра.
2) Прості властивості циліндра.
3) Перетини.
4) Циліндр обертання.
5) Еліпс як перетин циліндра обертання.
6) Об’єм циліндра.
7) Площа циліндра.
8) Циліндр як одна з головних частинпоршневого циліндра.
9) Дослідницька робота.
ІІІ. Висновок
ІV. Списоквикористаної літератури та сайтів
І. Вступ
Циліндр — капелюх зшовкового плюшу з невеликими твердими полями — отримав свою назву завдякигеометричній фігурі. Прообразом циліндра був круглий капелюх з високою тульей,що з’явився в чоловічій моді ще в XV столітті і що протрималася до XVIII. Новийголовний убір у вигляді «труби» на голові капелюшного торговця ДжонаГетерінгтона став для манірних англійців сенсацією. Тодішні газети писали: «Діякапелюха на перехожих була жахливою. Багато жінок побачивши цього дивногопредмету позбавлялися відчуття, діти кричали…» Асам Гетерінгтон був арештований і доставлений до лорда-мера, який за порушеннягромадського порядку засудив його до штрафу в 500 фунтів стерлінгів. Проте, цяпрогулянка по лондонській набережній 26 січня 1797 року стала датою народженнянового напряму моди. На початку XIX століття циліндр був виключноаристократичною приналежністю, його не прийнято було залишати в передпокою, щостворювало певні незручності.
Поява в Парижі в 30-х роках доладного циліндра — шапокляка, що маєусередині спеціальний механізм, що дозволяв складати капелюх в подовжньомунапрямі, вирішило цю проблему. У гостині модники стали входити, тримаючи йогопід пахвою в складеному вигляді. Одним з різновидів циліндра став новий капелюх— болівар. Своєю назвою вона зобов’язана предводителеві руху за незалежністьпівденно-американських колоній. Тоді ж в моду увійшов і «шуте» — жіночийциліндр, призначений головним чином для верхової їзди.
Циліндр (греч. kýlindros, вал, каток) — геометричне тіло,обмеженою циліндровою поверхнею (званою бічною поверхнею циліндра) і не більшеніж двома поверхнями (підставами циліндра); причому якщо підстав два, то однеотримане з іншого паралельним перенесенням уздовж створюючої бічної поверхніциліндра; і підстава перетинає кожну створюючу бічній поверхні рівно одинраз.
Слово циліндр часто зустрічається в техніці.
Предмети, що мають більшменш точну форму циліндра, а також і такі, у яких є деталі циліндрової форми,зустрічаються повсюдно: у побуті, в будівництві, в техніці – і грають важливуроль. Осі автомобілів і вагонів, циліндри і поршні двигунів і так далі – всівони мають головні частини у вигляді кругових циліндрів. Сталеві труби є пряміциліндри з тонким круговим кільцем в підставі.
Під циліндром розуміютьзазвичай круглі предмети, але якщо у вигляді циліндри в нашому загальномусенсі, то можна привести безліч інших прикладів. Рейки, різні види прокату,бетонні жолоби і інші вироби мають різноманітні форми циліндрів (хоч і некруглих). У практиці їх характеризують формою перпендикулярного перетину.Колони, якщо вони не звужуються догори, стовпи балки в будівельних конструкціяхмають форму циліндрів, зокрема, призм, прямих і похилих. Наприклад, мостовіферми складаються суцільно з частин, що мають форму призм.
ІІ. Циліндр
1. Визначення і загальні властивості циліндра.
Циліндром ( точніше, круговим циліндром) називаєтьсятіло, Що складається з двох кругів, які не лежать в одній площині і суміщаютьсяпаралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цихкругів. Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають точкикіл кругів, — твірними циліндра.
Оскільки паралельнеперенесення є рух, то основи циліндра рівні.
Через те що при параллельному перенесенні площинапереходить у паралельну площину (або в себе), то основи циліндра лежать упаралельніх площинах.
Оскільки при параллельному перенесенні точкизміщуються вздовж паралельних прямих або прямих, що збігаються на одну й тусаму відстань, то твірні циліндра паралельні і рівні.
Поверхня циліндраскладається з основ і бічної поверхні. Бічна поверхня – з твірних.
Нескінченне тіло,обмежене замкнутою нескінченною циліндровою поверхнею, називається нескінченнимциліндром. Нескінченне тіло, обмежене замкнутим циліндровим променем і йогопідставою, називається відкритим циліндром. Підстава і створюючі циліндровогопроменя називають відповідно підставою і створюючими відкритого циліндра.
Кінцеве тіло, обмеженезамкнутою кінцевою циліндровою поверхнею і двома перетинами, що виділили її,називається кінцевим циліндром, або власне циліндром. Перетини називаютьсяпідставами циліндра. За визначенням кінцевої циліндрової поверхні, підставициліндра рівні. Циліндри зазвичайуявляють собі круглими, тобто з круглою підставою. Їх можна визначити так: хайдано дві паралельні площини, задана деяка фігура F. Зі всіх точок площинифігури F проведемо паралельні один одному відрізки до площини α’. Фігура, яку утворюють ці відрізки, і називається циліндром. Фігура F, з точокякої проведені відрізки, називається підставою циліндра. Відрізки, створюючіциліндра, так і називаються його створюючими.
Призмою, вписанною уциліндр, називається така призма, у якої площинами основ є площини основциліндра, а бічними ребрами – твірні циліндра.
Дотичною площиною доциліндра називається площина, яка проходить через твірну циліндра іперпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну.
Призмою, описаною навколоциліндра, називається призма у якої площинами основ є площини основ циліндра, абічеі грані дотикаються до циліндра.
Циліндр називаєтьсяпрямим, якщо його твірні перпендикулярнідо площин основ. Радіусом циліндра називаєтьсярадіус його основи. Висота — відстань між площинами його основ. Вісь — пряма, щопроходить через центри основ. Вона параллельна твірним. Перетин ц. площиною, щопроходить через вісь ц. — осьовий перетин. Теорема 19.1. Площина,перпендикулярна осі циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, рівномуколу основи.
Доказ. Нехай — площина, перпендикулярна осі циліндра. Цяплощина || основам. Паралельне перенесення у напрямі осі циліндра, що суміщаєплощину з площиною основи циліндра, суміщає перетин з площиною і з колом основи.
У прямому циліндрі: вісь = висота = твірна
2. Прості властивостіциліндра:
1.Основирівні і паралельні (з опр.).
2.Створюючірівні і паралельні (з властивостей паралельного перенесення, по властивостіпаралельних площин).
Дійсно,будь-яке такий перетин є загальним двох циліндрів, на які січна площинарозбиває даний циліндр. Тому воно рівне іншим основам цих циліндрів, які єосновами початкового циліндра.
Перпендикуляр,опущений з будь-якої площини однієї основи циліндра на площину іншої йогооснови, називається висотою циліндра (інакше довжина створюючої). Оскількиплощини основ паралельні, то перпендикуляри у них загальне і всі вони рівні.Тому висоту можна проводити з будь-якої точки площини основи.
Длятого, щоб задати циліндр, досить задати його поснову і одну створюючих. Дляцього достатньо, щоб яка – те твірнабула перпендикулярно площини підстави, оскільки решта створюючих паралельна їйі теж будуть перпендикулярні до площини підстави. Циліндру можна дати і іншевизначення.
Циліндр можна визначити як фігуру, утворену рівними і паралельними одинодному відрізками, що йдуть зі всіх точок деякої плоскої фігури F в один біквід її площини α.
3. Перетини
Осьовийперетин.
4. Циліндр обертання
Прямимкруговим циліндром називається прямий циліндр, основа якого – круг. Відрізок,що сполучає центри його основ, називається віссю циліндра. Вісь прямогокругового циліндра є його віссю обертання, а сам він – фігура обертання. Всіперетини прямого кругового циліндра площинами, паралельними площинам основ, єкругами з центрами на осі (по властивості 3). Площини цих кругів перпендикулярні осі.
Томупрямий круговий циліндр є фігурою обертання і його називають циліндромобертання. Він виходить обертанням прямокутника навколо сторони. Ціпрямокутники називаються осьовими перетинами циліндра обертання. Створюючіциліндра обертання, витікаючі з точок кола підстави, утворюють його бічнуповерхню.
Поверхняциліндра обертання називається об’єднання його підстав і бічної поверхніциліндра. Поверхню циліндра обертання іноді називають його повною поверхнею,підкреслюючи цим, що вона складається з бічної поверхні і двох підстав. Циліндробертання симетричний щодо будь-якої площини, що проходить через його вісь, атакож щодо площини, що ділить навпіл його створюючі. Циліндр обертання маєцентр симетрії – середину його осі.
5. Еліпс як перетинциліндра обертання.
Простукриву поверхню, саме круговий циліндр, можна отримати за допомогою простихкривих – кола і прямої – таким чином. Через одну з точок кола проведемо пряму,перпендикулярну до площини круга, і переміщатимемо її паралельною самій собіуздовж всього кола. Можна також отримати круговий циліндр, примусивши однупряму обертатися навколо іншої прямої, що паралельної першої і служить дляпершою прямою віссю обертання. Таким чином, круговий циліндр є поверхня обертання.Поверхні обертання представляють важливий тип поверхонь; вони зустрічаються впрактичному ужитку у вигляді стаканів, пляшок і т.д. Всі вони можуть бутиохарактеризовані тим, що їх можнаотримати шляхом обертання деякої плоскої кривої навколо осі, лежачої в їїплощині.
Площина,перпендикулярна до осі, перетинає круговий циліндр по колу; площина, похила доосі, дає в перетині, як в цьому можна безпосередньо переконатися, елліпсовіднуюкриву. Покажемо, що ця крива дійснаеліпс. Для цього візьмемо кулю такого діаметру, щоб він в точності відповідаввнутрішності циліндра, і пересуватимемо цю кулю усередині циліндра до зіткненняз січною площиною.
Поверхня,яка в деякій декартовій системі координат задається рівнянням
(13.18)
називається еліптичним циліндром,поверхня, яка задається рівнянням
(13.19)
називається гіперболічним циліндром,а яка задається рівнянням
(13.20)
називається параболічним циліндром.
Длятого, щоб побудувати поверхню, що задається рівнянням (13.18), або рівнянням(13.19), або (13.20), досить намалювати на площині що направляє, рівняння якої на цій площині співпадаєз рівнянням самої поверхні. Потім через крапки що направляє провести створюючіпаралельно осі
Мал.13.27.Зображення еліптичногоциліндра за допомогою перетинів
Мал.13.29.Зображеннягіперболічного циліндра за допомогою перетинів
Мал.13.31.Зображенняпараболічного циліндра за допомогою перетинів
6. Об’єм циліндра
Теорема: об’єм циліндра дорівнюєдобутку основи на висоту.
Доказ: Впишемо в данийциліндр Р радіусу r і висоти h правильну призму Fn, а в цю призму впишемо циліндр Pn. Позначивши через V і Vnоб’єми циліндрів P і Pn, через rn – радіус циліндра Pn. Оскільки об’єм призми Fn, рівний Sn•h, де Sn– площа підстави призми, а циліндр Рмістить призму Fn, яка, у свою чергу, містить циліндр Pn, то Vn
V=πr2h(2).
Позначивши площу πr2підстави циліндра буквою S, і зформули (2) отримуємо:
V=S·h(1).
7. Площа циліндра.
За площу бічної поверхніциліндра береться площа її розгортки. Оскільки площа прямокутника АВВ’А’ рівнаАА’•АВ=2πrh, то для обчислення площі S бічної поверхні циліндра радіусу r і висоти h виходить формула:
S=2πrh(1), де r–радіус циліндра, а h– його висота.
Отже, площа бічноїповерхні циліндра рівна твору довжини кола підстави на висоту циліндра.
Площею повної поверхніциліндра називається сума площ бічної поверхні і двох основ. Оскільки площакожної основи рівна πr2,то для обчислення площі Sцил повної поверхні циліндра отримуємоформулу:
Sцил=2πr· (r+h)
8. Циліндр як одна з головних частин поршневого двигуна
Циліндр — одназ головних частин поршневого двигуна внутрішнього згорання. Є робочою камероюоб’ємного витіснення. Внутрішні і зовнішні частини циліндрів випробовуютьрізний нагрів і зазвичай виконуються з окремих частин:
1. Внутрішня частина —робоча втулка гільза.
2. Наружная — сорочка.
Простір між ниминазивається зарубашечним, в двигуном з водяним охолоджуванням тут циркулюєвода.
Внутрішня поверхня гільзи піддаєтьсяспеціальній обробці — хонінгованіє, хромування, азотування. Гільзи відливають зчавуну високої міцності або спеціальних сталей. Сорочки і корпус блокуциліндрів виготовляють зазвичай з того ж матеріалу, що і станина двигуна.
Циліндри двотактнихдвигунів відрізняються по конструкції від циліндрів 4-х тактний двигунівнаявністю випускних і продувочних вікон. Крім того, у циліндрів двотактнихдвигунів подвійної дії є в наявності нижня кришка для утворення робочоїпорожнини під поршнем. У переважній більшості випадків сорочки циліндріввиконуються у вигляді одного відливання для всього ряду циліндрів і називаютьсяблоком циліндрів.
9. Дослідницька робота
Завдання №1
Радіус основициліндра 2м, висота 3м. знайдіть діагональ осьового перерізу.
Дано:
Циліндр,R=2м,
H=3м.
Знайти:А1В — ?
Розв’язання
Першийпереріз данного циліндра – прямокутник АВВ1А1. АВ=А1В1=2R, АА1=ВВ1=4 (R — радіус циліндра, H– висота циліндра).
З∆А1ВВ1, де ےВ1=90º, та теоремоюПіфагора:
А1В=√ВВ12+ А1В12 =√H2 +4R2=√ 9+16=√25=5 (м).
Відповідь: А1В=5 (м).
Завдання№2
Осьовийпереріз циліндра – квадрат, площа якого Q. Знайдіть плошу основи циліндра.
Дано:
Циліндр,квадратАВСD
SАВСD=Q
Знайти: площу основи циліндра.
Розв’язання
Сторонаквадрату дорівнює √Q. Вона дорівнює діаметру основи. Тому площа основи дорівнює π﴾√Q/2﴿2=πQ/4.
Відповідь: площа основи циліндра дорівнюєπQ/4
Завдання №3
Уциліндр вписано правильну трикутнупризму, а в призму – циліндр. Знайдіть відношення об’ємів циліндрів.
Дано:
Циліндрвписаний у трикутну призму,
а в призму – циліндр.
Знайти:V1/V2 — ?
Розв’язання
Воснову циліндра вписано правильний трикутник, Його основу позначимо через а.Очевидно, що радіус описанного циліндра дорівнює радіусукола, описанного навколо основи:
R=a√3/3
Радіус вписанного у призму циліндра дорівнює радіусу кола,вписанного в основу призми:
R= a√3/6
Відношення об’ємів циліндрів:
V1 πR2H R2 a2 · 12
V2 πR2H r2 3 · a2
Відповідь:V1/V2= 4
ІІІ.Висновок
Отже, циліндр є одним з тілобертання. Циліндр, який ми розглядаємо,як геомеоричну фігуру, назівається прямим круговим циліндром. Приямий циліндрнаочно можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання прямокутниканавколо сторонни як осі. Прямий циліндр має 2 основи, висоту, радіус і вісь. Маєсвої певні властивості. Легко визначається об’єм і площа циліндра за формулами,які вже згадувались. Циліндр може бути вписаний і описаний у призмі.
Такожіснують й інші циліндри. На сьогоднішній день нам відомі такі види циліндрів,як:
— параболічний циліндр;
— гіперболічний циліндр;
— еліптичний циліндр.
Такіциліндри часто використовуються в техніці. Наприклад: циліндр одна з головних частин поршневогодвигуна, металічні труби мають циліндричну форму, багато ємкостей маютьциліндричну форму.
ІV. Список використаної літератури тасайтів
1.ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%80_%28%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%29
2. referat-download.ru/Matematica/Cilindr-2.html
3. Навчальний посібник для студентів. Геометрія2 частина. Освіта 1987р. Атанасян Л.С., Базилев В.Т.
4.Стереометрія. Геометрія в просторі. Александров А.Д., Вєрнєв А.Л.
5.Велика шкільна енциклопедія. Том 1, Москва 2004. Штейн Е.А.
6.Геометрія: Стереометрія: Підруч. для10-11 кл. 2-ге видан.
7. Домашні завдання без помилок: 11клас. М. І. Шкіля та ін.