Олег Лытнев
Основныеправила процентных вычислений, рассмотренные нами ранее, остаются неизменными идля совокупности платежей, однако возникает необходимость ввести несколькодополнительных понятий. В финансовом анализе для обозначения денежных потоков внаиболее общем смысле используется термин рента. Каждый отдельный рентныйплатеж называют членом ренты. Частным случаем ренты является финансовая рентаили аннуитет – такой поток платежей, все члены которого равны друг другу, также как и интервалы времени между ними. Часто аннуитетом называют финансовыйактив, приносящий фиксированный доход ежегодно в течение ряда лет. В буквальномпереводе “аннуитет” подразумевает, что платежи происходят с интервалом в одингод, однако встречаются потоки с иной периодичностью выплат. Очевидно, чторента – это более широкое понятие, чем аннуитет, так как существует множестводенежных потоков, члены которых не равны друг другу или распределенынеравномерно.
Вданном параграфе будут рассмотрены примеры и таких неравномерных денежныхпотоков, но основное внимание будет уделено аннуитетам, ввиду наибольшейметодической разработанности именно этого вида рент. Форму аннуитетов имеютмногие финансовые потоки, например выплата доходов по облигациям или платежи покредиту, страховые взносы и др. Можно сказать, что финансы тяготеют купорядочению денежных потоков. Это и понятно, так как равномерность любыхпроцессов связана с их упорядоченностью, а следовательно – предсказуемостью иопределенностью. И хотя риск как мера неопределенности постоянно присутствует вфинансах, однако с увеличением этого риска происходит трансформация финансовой деятельностив индустрию азартных игр. Различие между двумя ценными бумагами (облигацией,имеющей высокий рейтинг, и лотерейным билетом) состоит именно в том, что перваяиз них с достаточно высокой вероятностью гарантирует ее владельцу возникновениеупорядоченного положительного денежного потока (аннуитета).
Принципвременной ценности денег делает невозможным прямое суммирование членов ренты.Для учета влияния фактора времени к каждому члену ренты применяютсярассмотренные выше правила наращения и дисконтирования. Причем в анализеденежных потоков применяется техника вычисления только сложных процентов, тоесть предполагается, что получатель потока имеет возможность реинвестироватьполучаемые им суммы… Если бы размеры рент всегда ограничивались двумя-тремя членами,то необходимость создания специальных способов расчета денежных потоков,возможно, и не возникла. Ни в теории ни на практике таких ограничений нет,наоборот, существуют большие, очень большие и даже бесконечные денежные потоки(вечные ренты), поэтому были разработаны специальные методы, позволяющиеанализировать ренту не по каждому ее члену в отдельности, а как единуюсовокупность – рассчитывать ее будущую и приведенную величины, а такжеопределять размеры других важных параметров ренты.
Какуже отмечалось ранее, в процессе начисления сложных процентов на единичнуюсумму P возникает геометрическая прогрессия со знаменателем (1 + i), наращеннаясумма S представляет собой последний член этой прогрессии P * (1 + i)n.Денежный поток представляет собой совокупность таких единичных сумм Pk, поэтомунаращение денежного потока означает нахождение суммы всех k последних членовгеометрических прогрессий, возникающих по каждому из них. В случае аннуитетазадача упрощается, т.к. Pk в этом случае будет постоянной величиной = P. Тоесть возникает одна геометрическая прогрессия с первым членом P и знаменателем(1 + i). Отличие от сложных процентов для единичного платежа здесь заключаетсяв том, что требуется найти не последний член прогрессии, а ее сумму. В случае дисконтированияаннуитета меняется лишь знаменатель прогрессии – он будет равен не (1 + i), а 1/ (1 + i). Приведенная стоимость аннуитета находится как сумма вновь полученнойгеометрической прогрессии.
Нарядус членом ренты (обозначим его R) любой денежный поток характеризуется рядомдругих параметров: период ренты (t) – временной интервал между двумя смежнымиплатежами; срок ренты (n) – общее время, в течение которого она выплачивается;процентная ставка (i) – ставка сложного процента, используемая для наращения идисконтирования платежей, из которых состоит рента; число платежей за 1 периодренты (p) – используется в том случае, если в течение 1 периода ренты,производится больше, чем 1 выплата денежных средств; число начислений процентовв течение 1 периода ренты (m) – при начислении (дисконтировании) по номинальнойпроцентной ставке (j).
Взависимости от числа платежей за период различают годовые и p-срочные ренты. Впервом случае за 1 период ренты (равный, как правило 1 году) производится 1выплата; во втором, в течение периода производится p выплат (p > 1). Вслучае очень частых выплат, рента может рассматриваться как непрерывная (p →∞); значительно чаще в финансовом анализе имеют дело с дискретнымирентами, для которых p – конечное целое число. Так же как и при использованиисложной процентной ставки для единичных сумм, наращение (дисконтирование) рентможет производиться 1 раз за период, m раз за период или непрерывно. Повеличине членов денежного потока ренты могут быть постоянными (с равными членами)и переменными. По вероятности выплат ренты делятся на верные и условные. Вслучае условной ренты выплата ее членов ставится в зависимость от наступлениякакого-либо условия. По своей общей продолжительности (или по числу членов)различают ограниченные (с конечным числом членов) и бесконечные (вечные,бессрочные) ренты. По отношению к фиксированному моменту начала выплат рентымогут быть немедленными и отложенными (отсроченными). Ренты, платежи по которымпроизводятся в конце периода называются обычными или постнумерандо; привыплатах в начале периода говорят о рентах пренумерандо.
Рассмотримпример определения будущей величины ограниченной постоянной ренты (аннуитета)постнумерандо которая выплачивается 1 раз в год (p = 1) и проценты по которойначисляются по сложной эффективной процентной ставке i 20% годовых также 1 разв год (m = 1). Размер годового платежа R составляет 3 тыс. рублей, общий срокренты n равен 5 годам.
Наращениеденежного потока
Таблица2.3.1 № периода 1 2 3 4 5 Итого
1.Член ренты,
тыс. руб. 3 3 3 3 3 15
2.Время до
конца ренты,
периодов (лет) 4 3 2 1 –
3.Множитель
наращения (1+0,2)4 (1+0,2)3 (1+0,2)2 (1+0,2)1 (1+0,2)0 –
4.Наращенная
величина, тыс. руб.
(стр.1*; стр.3) 6,22 5,18 4,32 3,6 3 22,32
Полученноезначение (22,32 тыс. руб.) заметно больше арифметической суммы отдельных членовренты (15 тыс. руб.), однако она значительно меньше той гипотетической суммы,которая могла быть получена, если бы мы захотели нарастить по ставке 20% все 15тыс. руб. за весь срок ренты (15*; 1,25). Наращенная сумма ренты S полученапутем последовательного начисления процентов по каждому члену ренты ипоследующего суммирования полученых результатов. Введя обозначение k = номерупериода ренты, в наиболее общей форме данный процесс можно выразить следующейформулой:
/>(1)
Внашем примере член ренты R неизменен в течение всего срока, процентная ставка iтакже постоянна. Поэтому наращенную величину ренты можно найти как суммугеометрической прогрессии с первым членом 3000 и знаменателем (1 + 0,2):
/>
Следовательно,от общей формулы наращения ренты (1) можно перейти к ее частному случаю –формуле наращения аннуитета:
/>(2)
Второйсомножитель этого выражения – ((1 + i)n – 1) / i – называется множителемнаращения аннуитета. Так же как и в случае с начислением процентов на единичныесуммы, значения таких множителей табулированы, что позволяет облегчитьпроцентные вычисления денежных потоков.
Наращениеденежных потоков имеет место при периодическом внесении на банковский депозитфиксированных сумм с целью накопления финансового фонда к определенному моментувремени. Например, разместив долгосрочный облигационный заем, предприятиеготовится к погашению суммы основного долга в конце срока займа путемпериодического внесения на банковский счет фиксированных платежей подустановленный процент. Таким образом к моменту погашения облигационного займа упредприятия накопятся достаточные средства в этом фонде. Аналогичные задачирешаются в ходе формирования пенсионного фонда или при накоплении суммы дляоплаты обучения детей. Например, заботясь о своей старости, человек можетнаряду с обязательными отчислениями в государственный Пенсионный фонд, вноситьчасть своего ежемесячного заработка на банковский депозит под проценты.Наращение суммы такого вклада будет происходить по описанному выше алгоритму.Таким же путем предприятия могут формировать амортизационный фонд для плановойзамены оборудования.
Обратныйпо отношению к наращению процесс – дисконтирование денежного потока имеет ещебольшую важность для финансового менеджмента, так как в результате определяютсяпоказатели, являющиеся в настояее время основными критериями принятияфинансовых решений. Рассмотрим этот процесс более подробно. Предположим, чторассмотренный в нашем примере денежный поток характеризует планируемыепоступления от реализации инвестиционного проекта. Доходы должны поступать вконце периода. Так как эти поступления планируется получить в будущем, аинвестиции, необходимые для выполнения проекта, должны быть произведены ужесегодня, предприятию необходимо сопоставить величину будущих доходов ссовременной величиной затрат. Как уже было сказано выше, использование длясравнения арифметической суммы членов потока (15 тыс. руб.) бессмысленно, таккак эта сумма не учитывает влияние фактора времени. Для обеспечениясопоставимости данных величина будущих поступлений должна быть приведена кнастоящему моменту, иными словами данный денежный поток должен бытьдисконтирован по ставке 20%. Предприятие сможет определить сегодняшнююстоимость будущих доходов. При этом процентная ставка будет выступать вкачестве измерителя альтернативной стоимости этих доходов: она показывает,сколько денег могло бы получить предприятие, если бы разместило приведенную(сегодняшнюю) стоимость будущих поступлений на банковский депозит под 20%.
Дисконтированиеденежного потока предполагает дисконтирование каждого его отдельного члена споследующим суммированием полученных результатов. Для этого используетсядисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентнойставке i. Операции наращения и дисконтирования денежных потоков взаимообратимы,то есть наращенная сумма ренты может быть получена начислением процентов посоответственной сложной ставке i на современную (приведенную) величину этой жеренты (S = PV*; (1+i)n).
Таблица2.3.2
Дисконтированиеденежного потока № периода 1 2 3 4 5 Итого
1.Член ренты,
тыс. руб. 3 3 3 3 3 15
2. Число лет от
начальной даты 1 2 3 4 5 />
3.Множитель
дисконтирования 1/(1+0,2)1 1/(1+0,2)2 1/(1+0,2)3 1/(1+0,2)4 1/(1+0,2)5 –
4.Приведенная
величина, тыс. руб.
(стр.1*; стр.3) 2,5 2,08 1,74 1,45 1,21 8,98
Изтаблицы видно, что при альтернативных затратах 20% сегодняшняя стоимостьбудущих доходов составляет 8,98 тыс. руб. Именно эта величина и должнасравниваться с инвестициями для определения целесообразности принятия проектаили отказа от его реализации. Обобщая алгоритм, по которому выполнялисьрасчеты, получаем общую формулу дисконтирования денежных потоков:
/>(3)
Таккак в нашем примере i и R постоянные величины, то снова применяя правилосуммирования геометрической прогрессии, получим частную формулу дисконтированияаннуитета:
/>(4)
Второйсомножитель этого выражения – (1 – (1 + i)-n) / i – называется дисконтныммножителем аннуитета.
Формулы(2) и (4) описывают наиболее общие случаи наращения и дисконтированияаннуитетов: рассматриваются только ограниченные ренты, выплаты и начислениепроцентов производятся 1 раз в году, используется только эффективная процентнаяставка i. Так же как и в случае единичных сумм все эти параметры могутменяться. Поэтому существуют модифицированные формулы наращения идисконтирования аннуитетов, учитывающие особенности отдельных денежных потоков.Основные из них, относящиеся к ограниченным денежным потокам, представлены втабл. 3.3.3.
Таблица2.3.3
Основныеформулы наращения и дисконтирования ограниченных аннуитетов Виды рент Наращение Дисконтирование
Годовая с начислением несколько раз в году
(p = 1, m > 1)
/>(5)
/>(11)
p-срочная с начислением 1 раз в году
(p > 1, m = 1)
/>(6)
/>(12)
p- срочная с начислением несколько раз в году
(p > 1, m > 1, p = m)
/>(7)
/>(13)
p- срочная с начислением несколько раз в году
(p > 1, m > 1, p ≠ m)
/>(8)
/>(14)
Годовая с начислением непрерывных процентов
(p = 1, d)
/>(9)
/>(15)
p-срочная с начислением непрерывных процентов
(p > 1, d)
/>(10)
/>(16)
Втабл. 2.3.3 не нашли отражения формулы расчета неограниченных денежных потоков,т.е. вечных рент или перпетуитетов. Существуют финансовые инструменты,предполагающие бессрочную выплату доходов их держателям. Одним из примеровтаких ценных бумаг являются т.н. консоли (консолидированные ренты), эмитируемыебританским казначейством начиная с XVIII века. В случае смерти владельца онипередаются по наследству, обеспечивая тем самым действительную “бесконечность”денежного потока. Очевидно, что будущую стоимость ренты такого рода определитьневозможно – ее сумма также будет стремиться к бесконечности, однакоприведенная величина вечного денежного потока может быть выраженадействительным числом. Причем, формула ее определения очень проста:
/>(17)
гдеR – член ренты (разовый платеж),
i– сложная процентная ставка.
Например,по условиям страхового договора компания обязуется выплачивать 5 тыс. рублей вгод на протяжении неограниченного периода, т.е. вечно. Чему должна быть равнастоимость этого перпетуитета, если уровень процентной ставки составит 25%годовых? В соответствии с (17) текущая стоимость всех предстоящих платежей подоговору будет равна 20 тыс. рублей (5 / 0,25).
Еслинеограниченная рента выплачивается p раз в году, и начисление процентов по нейпроизводится m раз за год, причем m = p, то формула расчета ее приведеннойстоимости принимает вид:
/>, (18)
гдеj – номинальная процентная ставка.
Предположим,рассмотренный выше перпетуитет будет выплачиваться дважды в год по 2,5 тыс.рублей, столько же раз будут начисляться проценты (25% в этих условияхстановится номинальной ставкой). Его стоимость останется неизменной 20 тыс.рублей ((2,5 + 2,5) / 0,25).
Внаиболее общем виде (m > 1, p > 1, m ≠ p) формула приведеннойстоимости перпетуитета записывается следующим образом:
/>(19)
Впринципе, ее можно использовать во всех случаях, подставляя соответствующиезначения параметров m, p, j, или i. Если предположить четырехразовое начислениепроцентов по рассматриваемому перпетуитету, то в соответствии с (19) еготекущая стоимость составит: 19,394 тыс. рублей (5 / (2 * ((1 + 0,25 / 4)4/2 –1))).
Интересноотметить связь существующую между годовой вечной и годовой ограниченной рентами(аннуитетами). Преобразовав правую часть формулы (4), получим:
/>(20)
Тоесть современная величина конечной ренты, имеющей срок n периодов, может бытьпредставлена как разница между современными величинами двух вечных рент, выплатыпо одной из которых начинаются с первого периода, а по второй – с периода(n+1).
Вслучае, если член вечной ренты R ежегодно увеличивается с постоянным темпомприроста g, то приведенная стоимость такой ренты определяется по формуле:
/>, (21)
гдеR1 – член ренты в 1-м году.
Даннаяформула имеет смысл при g
Присравнении приведенной стоимости различных аннуитетов можно избежать громоздкихвычислений, запомнив следующее правило: увеличение числа выплат по ренте втечение года (p) увеличивает ее текущую стоимость, увеличение числа начисленийпроцентов (m), наоборот, уменьшает. При заданных значениях R, n, i (j, d)наиболее высокий результат даст дисконтирование p-срочной ренты с 1 начислениемпроцентов в год (m = 1). Самый низкий результат при этих же условиях будетполучен по годовой ренте (p = 1) с непрерывным начислением процентов. По мереувеличения p современная величина ренты будет расти, по мере роста m онна будетснижаться. Причем изменение p дает относительно больший езультат, чем изменениеm. То есть любая p-срочная рента даже с непрерывным начислением процентов (m →∞) будет стоить дороже, чем годовая рента (p = 1) с 1 начислениемпроцентов в год (m = 1). Например, по облигации предусмотрена ежегодная выплата1 тыс. рублей в течение 5 лет. Процентная ставка составляет 20%. При начислениидекурсивных процентов 1 раз в год стоимость этой ренты по базовой формуле (4)составит 2,99 тыс. рублей. Если выплаты будут производиться 2 раза в год по 500рублей, то по формуле (12) стоимость ренты будет равна уже 3,13 тыс. рублей. Ноесли по последнему варианту начислять проценты 2 раза в год (13), текущаявеличина ренты снизится до 3,07 тыс. рублей. Если же двукратное начислениеприменить к исходному варианту при p = 1 (11), то приведенная стоимость рентыстанет еще меньше 2,93 тыс. рублей. Самым дешевым будет вариант годовой ренты(p = 1) с непрерывным начислением прцентов (15) – 2,86 тыс. рублей.
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.cfin.ru/