Задача 1
Задано величини напруги на вхіднихзатисках схеми й опору. Визначити струми у всіх вітках схеми (рис. 1.0).
/>Рис.1.0
Вихідна схема
Дано:
U = 100 В; R1= 10 Ом;
R2 = 20Ом; R3 = 7 Ом;
R4 = 8Ом; R5 = 10 Ом;
R6 = 20Ом; R7= 10 Ом;
R8 = 5Ом; R9 = 5 Ом.
Визначити: струмив вітках.
Рішення:
/>Рис.1.1
Проставимонапрямки струмів у вітках від (+) до (-). Позначимо вузли а, в, с, d.Проставимо напрямки напруг на паралельних ділянках кола Uав, Ucd.
Схему перетворимодо еквівалентного опору. Опори R7, R8 і R9 з’єднані послідовно іеквівалентний опір цієї вітки дорівнює: R789 = R7 + R8+ R9 = 10 + 5 + 5 = 20 Ом (Рис. 1.1). Опори R6 і R789з’єднані паралельно і їх еквівалентний опір: R6-9 = R6·R789/( R6 + R789)=20·20/(20+20)= 10 Ом (Рис.1.2).
/>Опори R5 і R6-9з’єднані паралельно і їх еквівалентний опір (опір паралельної ділянки кола cd):Rcd = R5· R6-9/( R5 + R6-9)= 10·10/(10+10) = 5 Ом (Рис. 1.3). R1 R1 R2 R3-9
Опори R3,Rcd і R4 з’єднані послідовно і їх еквівалентний опір:
R3-9 =R3 + Rcd + R4 = 7 + 5 + 8 = 20 Ом (Рис. 1.4).
/>
/>
Опори R2 іR3-9 з’єднані паралельно і їх еквівалентний опір (опір паралельноїділянки кола ав): Rав = R2· R3-9/( R2+ R3-9) = 20·20/(20+20) = =10 Ом (Рис. 1.5).
Еквівалентнийопір усього кола (опори R1 і Rав з’єднані послідовно):
Rекв =R1 + Rав = 10 + 10 = 20 Ом (рис. 1.6).
Струми визначаємоза допомогою закону Ома, розглядаючи схеми в зворотному порядку.
Сила струму навході кола:
I1 = U/Rекв = 100/20 = 5 А.
Напруга напаралельній ділянці ав:
Uав = I1·Rав = 5·10 = 50 В.
Сила струму: I2 = Uав/R2 = 50/20 = 2,5 A.
Сила струму: I3 = I4 = Uав/R3-9 = 50/20 = 2,5 А.
Напруга напаралельній ділянці cd:
Ucd = I3·Rcd= 2,5·5 = 12,5 В.
Сила струму: I5 = Ucd/R5 = 12,5/10 = 1,25 A.
Сила струму: I6 = Ucd/R6 = 12,5/20 = 0,625 A.
Сила струму: I7 = Ucd/R789 = 12,5/20 = 0,625 A.
Перевірка правильності рішення попершому закону Кірхгофа.
Вузол а: I1– I2 – I3 = 0; 5 – 2,5 – 2,5 = 0.
Вузол c: I3– I5 – I6 – I7 = 0; 2,5 – 1,25 – 0,625 – 0,625= 0.
Задача 2
Дані всі ЕРС і опори в схемі(рис. 2.1). Потрібно:
1. Скластирівняння Кірхгофа (не вирішуючи).
2. Перетворитипасивний трикутник опорів в еквівалентну зірку і визначити струми вітокметодами контурних струмів і двох вузлів.
3. Скласти баланспотужностей.
4. Побудуватипотенційну діаграму для контуру, що містить обидві ЕРС.
/>Рис.2.1
Вихідна схема
Дано:
E1 = 60B,
E2 = 40 Ом,
R1 = 8 Oм,
R2 = 10 Oм,
R3 = 12 Oм,
R4 = 16 Oм,
R5 = R6 = R7 = 30 Oм
Рішення:
1. Довільнопроставляємо в вітках напрямки струмів і вибираємо напрямки обходів обранихконтурів.
Складаєморівняння за законами Кірхгофа.
Перший закон.
Для вузла 1 I7 + I5 — I1 = 0.
Для вузла 2 I2 — I6 — I5 = 0.
Для вузла 3 I3 + I6 — I7 = 0.
Другий закон.
Для контуру А E1+ E2 = I1·R1 + I2·R2+ I5·R5.
Для контуру В E2= I2·R2 – I3·(R3 +R4) + I6·R6.
Для контуру С 0= I7·R7 – I5·R5 + I6·R6.
2. Перетворимопасивний трикутник опорів в еквівалентну зірку (рис. 2.2).
/>
Рис.2.2.Перетворення трикутника опорів у еквівалентну зірку
Так як опоритрикутника однакові, то еквівалентні опори зірки (рис. 2.2) також однакові ірівні:
/>
/>
Рис.2.3.Розрахункова схема
Опори віток(рис.2.3) після перетворення трикутника в еквівалентну зірку рівні:
R1/= R1 + R57 = 8 + 10 = 18 Ом;
R2/ = R2 + R56 = 10 + 10 = 20 Ом;
R3/ = R3 + R4 + R67 =
=12 + 16 + 10 =38 Ом.
1. Визначимоструми по методу контурних струмів (рис. 2.3). Для цього складемо контурнірівняння.
E1 + E2= J1·(R1/ + R2/ ) +J2· R2/.
E2 = J1·R2/+ J2·(R2/ + R3/).
Підставимо чисельнізначення.
100 = J1·38+ J2·20.
40 = J1·20+ J2·58.
Контурні струмизнаходимо за допомогою методу визначників.
/>
/>
/>
J1 = ∆1/∆= 5000/1804 = 2,77.
J2 = ∆2/∆= — 480/1804 = — 0,266.
Визначимо струмив вітках.
I1= J1 = 2,77 A; I2 = J1 + J2 = 2,77 – 0,266 = 2,504 A.
I3= — J2 = — 0,266 A.
Знак мінус свідчить про те,що струм у третій вітці в дійсності тече в зворотному напрямку.
2. Визначимоструми за допомогою методу двох вузлів (рис. 2.3). Спочатку визначимо вузловунапругу.
/>
/>
g1, g2, g3 – провідності відповідних віток. Далі визначимо струми в вітках.
I1 =(E1+UАВ)/ R1/ = (60- 10,11)/18 =2,77 A.
I2 =(E1-UАВ)/ R2/ = (40 + 10,11)/20 =2,505 A.
I3 =-UАВ/ R3/ = -10,11/38 = — 0,266 A.
3. Складемобаланс потужностей. Потужність, споживана від джерел ЕРС, повинна бутидорівнювати потужності, виділюваної в навантаженні (в опорах): Рспож = Рнагр.
E1·I1 + E2 · I2 = I12·R1/ +I22· R2/+ I32·R3/.
60 · 2,77 + 40 ·2,505 = 2,772 · 18 + 2,5052 · 20 + 0,2662 · 38.
266,4 = 266,3.
Погрішність розрахунків:
/>
Точністьрозрахунку досить висока.
4. Для побудовипотенційної діаграми визначимо потенціали всіх точок, попередньо прийнявшипотенціал точки В рівним нулеві.
jB = 0; jÑ = jB E1 = — 60 B; jÀ = jC + I1·R1 = — 60 +2,77·18 = — 10,14 B; jD = jÀ + I2·R2 = -10,14+ 2,505·20 = 40 B; jB = jD E2 = 0.
/>
Рис.2.4.Потенційна діаграма
Задача 3
По заданихвеличинах визначити для кола (рис. 3.1) перемінного струму частотою f =50 Гцпри амплітуді Uм і початковій фазі φu:
1. Показанняприладів електромагнітної системи (вольтметра, амперметра і ватметра).
2. Побудуватив масштабі векторну діаграму напруг і струму.
3. Записатимиттєві значення напруги і струму на вході кола:
i = Iм ּSin(ω·t + φi)
и
U = Uм ּSin(ω·t + φu).
/>
Рис.3.1. Розрахункова схема.
Дано:
Uм =100 В, φu= 10о;
R1=20 Ом, R2=25 Ом;
L1= 63,8 мГн; С1= 100 мкФ.
Рішення:
Діюче значення напруги(показання вольтметра):
U = Uм/1,41= 100/1,41 = 70,71 В.
Миттєве значеннянапруги:
U = 100 ּSin(ω·t +10о).
Опори:
XL1 =ω·L1 = 2·π· f · L1 = 2·π·50 ·63,8·10-3 = 20 Ом.
XС1 =1/(ω·С1) = 1/(2·π· f ·З1) =1/(2·π· 50 ·100·10-6) = 32 Ом.
Модуль повногоопору кола:
z = [(R1+ R2)2 + (XL1 – XC1)]0,5= [452 + (-12)2]0,5 = 46,57 Ом.
Зсув фаз між струмом інапругою:
φ = arc tg(XL1– XC1)/(R1 + R2) = arctg(-12/45) = — 14,93o.
Модуль струму вколі (показання амперметра):
I = U/z =70,71/46,57 = 1,52 А.
Амплітудне значення струму:
Iм = I·1,41=1,52 · 1,41 = 2,15 А.
Початкова фаза струму:
φi= φu – φ = 10o + 14,93o = 24,93o.
Миттєве значенняструму:
I = 2,15 ּ Sin(ω·t +24,93о).
Активна потужність у колі(показання ватметра):
P = I2· (R1 + R2) = 1,522 · (20 + 25) =104 Вт.
Для побудови векторноїдіаграми (рис. 3.2) визначимо модулі спадань напруги на кожнім елементі кола.
UR1 = I·R1= 1,52 · 20 = 30,4 В; UL1=I · XL1=1,52 ·20 = 30,4 В;
UR2 = I ·R2= 1,52 · 25 = 38 В; UC1 = I ·XC1 = 1,52·32=48,64 В.
Виберемомасштаби. Для струму – довільний. Для напруг – 0,5 В в 1мм. При побудовівекторної діаграми враховуємо другий закон Кірхгофа:
Ủ = ỦR1 + ỦL1 + ỦR2 + ỦC1.
/>
Рис.3.2.Векторна діаграма
Задача 4
Задано значеннянапруги і всіх опорів у колі (рис. 4.1). Потрібно:
1. Визначитиструми I1, I2, I3, напругу U2 і cosj кожної ділянки кола.
2. Обчислитиактивну, реактивну і повну потужності всього кола.
3. Побудувати вмасштабі векторну топографічну діаграму струмів і напруг.
/>
Рис.4.1. Розрахунковасхема
Дано:
вхідна напругаU=380B;
опори
R1=185Ом, R3 = 210 Ом, XL1 = 203 Ом,
XL3=195 Ом,
XC2 =200 Ом.
1. Визначимоповні опори віток. Показник оператора в градусах.
Z1 = R1+ jXL1 = 185 + j203 = 274,65 ·e j 47,66;
Z2 = — jXC2= — j200 = 200·e — j90;
Z3 = R3+ jXL3 = 210 + j195 = 286,57·e j 43 .
Визначимо повний опірпаралельної ділянки кола.
/>
/>
Визначимо повнийопір усього кола.
Z = Z1+Z23 = 185 + j 203 + 186 — j 200 = 371 + j 3 ≈ 371.
Визначимокомплексні значення струмів за допомогою закону Ома.Повний струм
/>
Спадання напругина паралельній ділянці кола в комплексній формі.
/>= 1,024 ·273·e — j 47 =280 ·e — j 47.
Струми впаралельних вітках у комплексній формі.
/>
/>
(Перевіркаправильності визначення струмів по першому закону Кірхгофа: />= 1,024 – 1,024 – j0,955 +j0,955 = 0).
ВизначимоCosφ кожної ділянки кола.
Cosφ1= R1/Z1 = 185/274,65 = 0,67; Cosφ2 = R2/Z2= 0/200 = 0;
Cosφ3= R3/Z3 = 210/286 = 0,73.
2. Визначимопотужності. Комплекс повної потужності всього кола.
/>=380·1,024 = 390.
Модуль повноїпотужності всього кола S = 390 (B·A).
Активнапотужність усього кола Р = 390 (Вт).
Реактивнапотужність усього кола Q = 0 (В·Ар).
/> — сполучений струм у колі (міняєтьсязнак на протилежний у показнику оператора).
3. Для побудовитопографічної векторної діаграми (рис. 4.2) знайдемо спадання напруги вкомплексній формі на кожнім елементі в вітках кола.
/>= 1,024 ·185 = 190.
/> = 1,024 ·195 ·e j 90=200·e j 90.
/>= 280 ·e — j 47. />= 0,955·e — j 90·210 = 200·e — j 90.
/>= 0,955·e — j90 ·195·e j 90= 186.
Виберемомасштаби. Для векторів струмів: 0,1А – 1 см; для векторів напруг: 40В – 1 см.При побудові сполученої векторної діаграми струмів і напруг враховувати закониКірхгофа.
/>
/>
Рис.4.2.Векторна діаграмаЗадача 5.1
По заданихпараметрах і лінійній напрузі визначити фазні і лінійні струми, активнупотужність усього кола і кожної фази окремо (рис. 5.1). Побудувати топографічнівекторні діаграми струмів і напруг на комплексній площині.
/>
Рис.5.1. Розрахункова схема
Дано:
Uл=127 В;
Rав =4 Ом;
Rвс =8 Ом;
Rса =6 Ом;
Xав =3 Ом; Xав = 3 Ом;
Xвс =4 Ом; Xса = 8 Ом.
Рішення:
Визначимо повніопори фаз у комплексному виді. Показник оператора в градусах.
Zав =Rав + j Xав = 4 + j3 = 5 · e j 36,87.
Zвс =Rвс + j Xвс = 8 + j3 = 8,544 · e j 20,556.
Zса =Rса + j Xса = 6 + j8 = 10 · e j 53,13.
Представимовектори лінійних напруг на комплексній площині, сполучивши вектор напруги Ủвсіз дійсною віссю комплексної площини (рис. 5.1.1), і запишемо їх у комплексномувиді.
/>.
/>
Рис.5.1.1. Векторна діаграма напруг
Визначимо фазніструми за законом Ома.
/>
/>
/>
Визначимо лінійніструми за допомогою першого закону Кірхгофа.
/>= 3,038 + j25,22 + 12,6 + j1,52 =15,638 + j26,74 = 31 · e j59,7.
/>=13,92 — j5,22 — 3,038 — j25,22=10,882– j30,44=32,33 · e -j70,33.
/>= -12,6 – j1,52 — 13,92 + j5,22 = — 26,52 + j3,7 = 26,78 · e j172.
Визначимо активніпотужності у фазах.
Рав =Iав2 · Rав = 25,42 · 4 =2580,64 Вт.
Рвс =Iвс2 · Rвс = 14,862 · 8 =1766,66 Вт.
Рса =Iса2 · Rса = 12,72 · 6 =967,74 Вт.
Визначимо активнупотужність усього кола.
Рав +Рвс + Рса = 2580,64 + 1766,66 + 967,74 = 5315,04 Вт.
Для побудовивекторної діаграми (рис. 5.1.2) виберемо масштаби.
МU: 3В в 1 мм. МI: 0,5 А в 1 мм.
/>
Рис.5.1.2.Векторна діаграма напруг і струмівЗадача 5.2
По заданихпараметрах і лінійній напрузі визначити фазні і лінійні струми і струм унейтральному проводі, активну потужність усього кола і кожної фази окремо (рис.5.2). Побудувати топографічні векторні діаграми струмів і напруг на комплекснійплощині.
/>
Рис.5.2
Дано:
Uл=254 В;
Ra = 3Ом;
Rв = 4Ом;
Rс = 6Ом;
Xа = 4Ом;
Xв = 3Ом;
Xс = 8Ом.
Рішення:
Визначимо повніопори фаз у комплексному виді. Показник оператора в градусах.
Zа = Rа — jXа = 3 – j4 = 5·e –j53,13.
Zв = Rв+ jXв = 4 + j3 = 5 · e j36,9. Zс = Rc+ jXс = 6 + j8=10·e j53,13.
/>
Рис.5.2.1. Векторнадіаграма напруг
Представимовектори фазних напруг на комплексній площині (рис. 5.2.1), сполучивши векторнапруги /> з дійсною віссю комплексної площини,і запишемо них у комплексному виді. Модуль фазної напруги
Uф = Uл/1,73 = 254/1,73 = 147 В.
/>= 147;
/>= 147· e — j120;
/>= 147 · e j120.
Визначимо фазніструми за законом Ома (при з’єднанні навантаження зіркою рівні лінійним).
/>
/>
/>
Визначимо струм унульовому проводі за допомогою першого закону Кірхгофа.
/>=17,64 + j23,52 — 27,04 – j11,53+5,77 + j13,52 =
= — 3,63 + j25,51= 25,77 · e j98,1.
Визначимо активніпотужності у фазах і всьому колі.
Ра = Iа2· Rа = 29,42 ·3 = 2593 Вт. Рв = Iв2· Rв = 29,42 ·4 = 3457 Вт.
Рс = Iс2· Rс = 14,72 ·6 = 1297 Вт.
Р = Ра+ Рв + Рс = 2593 + 3457 + 1297 = 7347 Вт.
Для побудовивекторної діаграми (рис. 5.2.2) виберемо масштаби. МU: 3 В в 1 мм. МI:0,5 А в 1 мм.
/>
Рис.5.2.2. Векторна діаграма напруг і струмівЗадача 5.3
По заданихпараметрах і лінійній напрузі визначити фазні і лінійні струми і струм унейтральному проводі, активну потужність усього кола і кожної фази окремо (рис.5.3). Побудувати топографічні векторні діаграми струмів і напруг на комплекснійплощині.
/>
Рис.5.3.Розрахункова схема
Дано:
Uл=220 В;
Rв = 3Ом;
Xа =15 Ом;
Xс =10 Ом.
Рішення:
Визначимо повніопори в комплексному виді. Показник оператора в градусах.
Zа =jXа = j15 = 15 · e j90. Zв = Rв =3. Zс = — jXс = — j10 = 10 · e — j90.
/>
Рис.5.3.1.Векторні діаграми напруг генератора (а) і навантаження (б)Представимовектори фазних напруг генератора на комплексній площині (рис. 5.3.1 а),сполучивши вектор напруги генератора ỦА з дійсною віссюкомплексної площини, і запишемо них у комплексному виді. Модуль фазної напругиUф = Uл/1,73= 220/1,73 = 127 В.
/>127; />127· e — j120= — 63,5 — j110; />127 · e j120= — 63,5 + j110.
Визначимо зсувнейтралі.
/>
Визначимо фазні напругинавантаження (див. рис. 5.3.1 б).
/>= 127 + 111,23 + j144,17=238,23 + j144,17=278,46∙ е j31,18.
/>=- 63,5 — j110 + 111,23 + j144,17=47,73+ j34,17=58,7 ∙ е j35,6.
/>=- 63,5+j110 +111,23+j144,17=47,73 + j254,17=258,6∙ е j79,4.
Визначимо фазні струми за законом Ома(при з’єднанні навантаження зіркою рівні лінійним).
/>
/>
/>
По першому законуКірхгофа сума струмів у комплексному виді повинна дорівнювати нулеві.
/>=9,61 – j15,88 + 15,96 + j11,32 — 25,42 + j4,76=0,15 + j0,2 ≈ 0.
Визначимо активніпотужності у фазах і всьому колі.
Ра = Iа2· Rа = 18,5642 ·0 = 0. Рв = Iв2· Rв = 19,572 ·3 = 1149 Вт.
Рс = Iс2· Rс = 25,862 ·0 = 0.
Р = Ра+ Рв + Рс = 0 + 1149 + 0 = 1149 Вт.
Для побудовивекторної діаграми виберемо масштаби. МU: 4 В в 1 мм. МI: 0,5 А в 1 мм.
/>
Рис.5.3.2.Векторні діаграми напруг та струмівЗадача 6
До лініїтрифазного струму (рис. 6.1) промислової частоти з напругою 380/220В задопомогою рубильників приєднуються споживачі:
а) лампинакалювання загальною потужністю Ра, Рв і Рc на напругу 220В;
в) індуктивнікотушки з повним опором Zав=Zвс=Zса=19(Ом) прифазному куті зрушення Δφ у кожній фазі на напругу 380 В.
Вважаючирубильники Кi включеними зобразити спрощену схему, а також:
1) визначитилінійні струми, споживані споживачами, включеними трикутником, накреслитивекторну топографічну діаграму навантаження, з’єднаної трикутником;
2) визначити лінійні струми,споживані споживачами, включеними зіркою, накреслити векторну топографічнудіаграму навантаження, з’єднаною зіркою;
3) накреслитиокремо сполучену векторну топографічну діаграму. Сполучену діаграму вичертитикрупно на окремому листі;
4) визначитипоказання амперметрів у схемі і струм нульового проводу, користуючись графічнимметодом (по сполученій діаграмі).
/>
Рис. 6.1. Схема взагальному виді
Дано: включенірубильники
К1, К2,К3, К4, К5, К6;
Δφ = 30о,
РА =4400 Вт,
РВ =2200 Вт,
РС =4400 Вт,
f = 50 Гц.
Рішення:
Розрахункова схемапредставлена на рис. 6.2.
Задачу вирішуємо розрахунково-графічнимметодом.
/>
Рис.6.2. Розрахункова схема
1. Модулі фазних струмівтрикутника:
Iав = Iвс= Iса = Uл /Zав = 380/19 = 20 А.
Лінійні струми вкомплексній формі по першому закону Кірхгофа:
/> /> />
Будуємо векторнудіаграму (рис. 6.3), прийнявши масштаби: напруг – 44 В в 1 см; струмів – 5 А в1 см.
/>
Рис.6.3.Векторна діаграма напруг та струмів
Так якнавантаження симетрично, то лінійні струми навантаження, з’єднаної трикутником,однакові і відповідно до масштабу:
IA∆= IB∆ = IC∆ = 5 (A/см) · 6,93 см = 36,65А.
2. Модулі фазних (рівні лінійними приз’єднанні зіркою) струми зірки:
IAY =ICY = РА/Uф = 4400/220 = 20 А.
IВY =РВ/Uф = 2200/220 = 10 А.
Будуємо векторну діаграму втих же масштабах (рис. 6.4).
/>
Рис.6.4. Векторна діаграма
Струм нульового проводу: />.
З діаграмивідповідно до масштабу: I0= 5(A/см)·2(см) = 10 А.
3. Будуємо сполучену векторну діаграмуструмів і напруг у тих же масштабах струмів (рис. 6.5), за допомогою якоївизначаємо лінійні струми всього кола (показання амперметрів і струм нульовогопроводу).
Відповідно допершого закону Кірхгофа в комплексній формі:
/>; />; />
З діаграми відповідно до масштабу:
IA = 5 (A/см)∙ 10,5(см) = 8,6 А;
IB = 5 (А/см) ∙ 8,6(см) = 43 А; IC = 5 (А/см) ∙ 10,5 (см) = 52,5 А;
I0= 5 (А/см) ∙ 2(см) = 10 А.
/>
Рис.6.5. Суміснавекторна діаграма
Література
1. МорозовА.Г. Электротехника,электроника и импульсная техника: Учеб. пособие для инженерно-экономическихспециальностей вузов. — М.: Высш.шк.1987.-448с.
2. Электротехника.Учеб. пособие для вузов под ред. Пантюшина В.С.-М.: Высш. шк. 1985.-373с.
3. Борисов Ю.М., ЛипатовД.Н., Зорин Ю.Н. Электротехника.- М.: Энергоатомиздат,1985.-552с.
4. Пантюшин И.С.Сборник задач по электротехнике.-М.: Высш. шк. 1973.-253с.