Основные правила дифференцирования

Лекция № 1
Основныеправила дифференцирования
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции,дифференцируемые в точке х.
1) (u  v) = u  v
2) (uv) = uv + uv
3)/>, если v  0
Эти правиламогут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Производныеосновных элементарных функций:
1)С =0; 9) />
2)(xm) = mxm-1; 10) />
3) /> 11) />
4) /> 12) />
5) /> 13) />
6) /> 14) />
7)/> 15) />
8) /> 16) />

Логарифмическоедифференцирование
Дифференцированиемногих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этогопоступают следующим образом. Если требуется найти y’ из уравнения y=f(x), томожно:
1.        Прологарифмироватьобе части уравнения (по основанию е) ln y = ln f(x) = j(x).
2.        Продифференцироватьобе части равенства, считая ln y сложной функцией от переменной x: />.
3.        Выразитьy’ = y·j'(x) = f(x)·(lnx)’.
Примеры.
1.        y = xa –степенная функция с произвольным показателем.
/>.
2.        />
Показательно-степеннаяфункция и ее дифференцирование
Показательно-степенной функцией называетсяфункция вида y = uv, где u=u(x), v=v(x).
Логарифмическоедифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степеннойфункции.
/>
/>
Примеры
1.        />
2.        />.
Таблицапроизводных
Объединим водну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенныеранее. Всюду будем полагать u=u(x), v=v(x), С=const. Для производных основныхэлементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.
1.        />.
2.        />.
3.        />.
4.        />.
5.        />.
а)/>.
б) />.
6.        />.
7.        />.
/>.
8.        />
9.        />.
10.     />.
11.     />.
12.     />.
13.     />.
14.     />.
15.     />.
16.     />.
17.     />.
Примеры
1.        />
2.        />
3.        />. Найти y'(–1).
/>
Производнаяобратных функций
Пустьтребуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратнаяей функция x= g(y) имеет производную,отличную от нуля в соответствующей точке.
Для решенияэтой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:
/>
т.к. g(y) 0/>
/>
т.е.производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Пример. Найтиформулу для производной функции arctg.
Функция arctg является функцией,обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:
/>
Известно, что/> 
Поприведенной выше формуле получаем:
/>
Т.к. /> томожно записать окончательную формулу для производной арктангенса:
/>
Понятиедифференциала функции. Связь между дифференциалом и производной
Пусть функцияy=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции в некоторойточке х0 [a; b] определяется равенством
/>
Следовательно,по свойству предела
/>
Умножая всечлены полученного равенства на Δx, получим:
Δy = f ‘(x0)·Δx + a·Δx.
Итак,бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может бытьпредставлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f ‘(х0)≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе –бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx. Главную частьприращения функции, т.е. f ‘(х0)·Δx называют дифференциаломфункции в точке х0и обозначают через dy.
Такимобразом, если функция y=f(x) имеет производную f ‘(x) в точке x, топроизведение производной f ‘(x) на приращение Δx аргумента называют дифференциаломфункции и обозначают:dy = f ‘(x)·Δx (1)
Найдемдифференциал функции y= x. В этом случае y’ = (x)’ = 1 и, следовательно, dy=dx=Δx.Таким образом, дифференциал dxнезависимой переменной xсовпадает с ееприращением Δx. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:dy = f ‘(x)dx
Но из этогосоотношения следует, что />. Следовательно, производную f ‘(x)можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалунезависимой переменной.
Ранее мыпоказали, что из дифференцируемости функции в точке следует существованиедифференциала в этой точке.
Справедливо иобратное утверждение.
Если дляданного значения x приращение функции Δy = f(x+Δx) – f(x) можнопредставить в виде Δy = A·Δx + α, где α – бесконечно малаявеличина, удовлетворяющая условию />, т.е. если для функции y=f(x)существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x, то эта функция имеетпроизводную в точке x и f ‘(x)=А.
Действительно,имеем />, итак как />приΔx→0, то />.
Такимобразом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциалаимеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.
Примеры. Найти дифференциалыфункций:
1.        />
2.        />.
Геометрическийсмысл дифференциала
/>
Рассмотримфункцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольнуюточку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через αугол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадимнезависимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy= NM1. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будетсоответствовать точка
M1(x+Δx; y+Δy).
Из ΔMNTнаходим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f ‘(x), а MN = Δx, то NT = f ‘(x)·Δx.Но по определению дифференциала dy=f ‘(x)·Δx, поэтому dy = NT.
Такимобразом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx,равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.

Теорема обинвариантности дифференциала
Ранее мывидели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функции y=f'(u) имеет вид dy = f ‘(u)du.
Покажем, чтоэта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимойпеременной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложнойфункции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)). Тогда по правилудифференцирования сложной функции:
/>.
Следовательно,по определению
/>,
но g'(x)dx= du,поэтому dy= f'(u)du.
Мы доказалиследующую теорему.
Теорема. Дифференциал сложнойфункции y=f(u), для которой u=g(x), имеет тот же вид dy=f'(u)du, какой он имелбы, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.
Иначе говоря,форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимойпеременной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциаланазывается инвариантностью формы дифференциала.
Пример. />. Найти dy.
Учитываясвойство инвариантности дифференциала, находим
/>.

Применениедифференциала к приближенным вычислениям
Пусть намизвестно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0’= f ‘(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функциив некоторой близкой точке x.
Как мы ужевыяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx,т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечномалую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенныхвычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.
Т.к., поопределению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.
Откуда
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx
 
Примеры:
1.        y = x2 – 2x.Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда xизменяется от 3 до 3,01.
Имеем Δy≈dy=f'(x)·Δx.
f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.
Поэтому Δy≈ 4·0,01 = 0,04.
2.        Вычислитьприближенно значение функции />в точке x = 17.
Пусть x0=16.
Тогда Δx= x – x0= 17 – 16 = 1,
/>,
/>.
Такимобразом, />.
3.        Вычислитьln 0,99.
Будемрассматривать это значение как частное значение функции y=lnx при х=0,99.
Положим x0= 1. Тогда Δx = – 0,01, f(x0)=0.
/>, f'(1)=1.Поэтому f(0,99) ≈ 0 – 0,01 = – 0,01.