№1 Функциональные ряды
Членами являются функции,определенные в некоторой области изменения аргумента х: U1(x)+U2(x)+…+Un(x)+… Придаваях какое-либо значениех0из области определения функций Un(x), получим числовой ряд U1(x)+ U2(x)+…+ Un(x)+… Этот ряд может сходиться илирасходиться. Если он сходится, то точка х0 называется точкойсходимости функционального ряда. Если при х=х0рядрасходится, то точка х0называется точкой расходимостифункционального ряда. Совокупность всех точек сходимости функциональногоряда называется областью его сходимости.
Функциональный рядназывается правильно сходящимся на сегменте [a, b], если существует такойзнакоположительный сходящийся ряд b1+ b2 +…+bn+…, что абсолютные величины членовданного ряда для любого значения х, принадлежащего сегменту [a, b], не превосходят соответствующихчленов знакоположительного ряда, т. е. |Un(x)| ≤ bn(n=1, 2, …)
№2 Неопределенныйинтеграл и его свойства
Интегральное исчислениерешает обратную задачу: найти F(x), зная ее производную f(x).
Функция F(x) называется первообразной, если выполняется равенство F’(x)=f(x).
Если F(x) одна из первообразных функции f(x), то любаяпервообразная функции f(x) на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где С€R.
Множество всехпервообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом
Свойства:
– неопределенный интегралот алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумменеопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности;
– постоянный множительможно выносить за знак неопределенного интеграла.
№3 Асимптоты
Асимптотой кривойназывается прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремитсяк 0 при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.
/>Асимптоты бываютвертикальными, горизонтальными и наклонными.
Прямая х=a является вертикальной асимптотойграфика функции y=f(x), если lim f(x)=∞ ,
x→0±a
Уравнение наклоннойасимптоты будем искать в виде y=Rx+b
R = lim(y/x); b = lim (y – Rx)
x→0 x→0
Если y = b, то это уравнение горизонтальной асимптоты.
№4 Экстремум функции (дляодной переменной)
Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f’(x)>0 (f’(x)
Необходимое условиеэкстремума: если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремумв точке х0, то ее производная в этой точке равна 0.
Достаточное условиеэкстремума: если производная меняет знак на минус, то х0– точкамаксимума; если с минуса на плюс, то точка х0– точка минимума.
№5 Производная. Еегеометрический и физический смысл.
Физический: производнойфункции y=f(x) в точке х0называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента ∆хпри произвольном стремлении ∆х к 0.
Геометрический: угловойкоэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0равен значению производной этой функции в точке х0.
№6 Замечательные пределы
lim (1+1/x)^x=e; lim (1+x)^1/x=e (e – экспонент)
x→∞ x→0
№7 Точки разрыва функции,классификация
Точка х0называется точкой разрыва функции y=f(x), если она принадлежит области определения функции или еегранице и не является точкой непрерывности. В этом случае говорят, чтопри х = х0функция разрывна. Это может произойти, если вточке х0функция не определена, или не существует предел функции прих → х0, или, если предел функции существует, но не равензначению функции в точке х0: lim f(x) ≠ f(х0). Точку х0 называютточкой разрыва первого рода,
x→x0
если существуют конечныеодносторонние пределы f(x0-0)=lim f(x) и f(x0+0)=lim f(x), но f(x0-0)≠f(x0+0). x→x0-0 x→x0+0
Точку х0 называют точкойразрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов f(x0-0) и f(x0+0) не существует (в частности, бесконечен).
№8 Непрерывность функциина отрезке
Функция y=f(x) называетсянепрерывной, если:
– функция определена вточке х0и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;
– функция имеет предел приx→x0,
– предел функции при x→x0равен значению функции в точке x0: lim f(x) = f(х0)
x→x0
Если в точке х0функция непрерывна, то точка х0называется точкой непрерывностиданной функции. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке х0справа или слева (т.е. одностороннюю непрерывность). Пусть функция y=f(x) определена вточке х0. Если lim f(x) = f(х0), то говорят, чтофункция y=f(x) непрерывна вточке x0справа; если lim f(x) = f(х0),
x→x0+0 x→x0-0
то функция называетсянепрерывной в точке x0слева.
№9 Предел функции поГейне
Число А называетсяпределом функции f(x) в точке x0если для любой последовательности { xn} сходящейся к x0, последовательность F({ xn}) соответствующих значений функции сходится к А:
lim f(x) =A
x→x0
№10 Предел функции поКоши
Число А называетсяпределом функции f(x) в точке x0если для любого сколь угодно малого числа E>0 (эпселон больше 0) найдетсятакое число δ>0 (дельта больше 0), что для всех х таких, что |x-x0|
№11 Предел числовойпоследовательности
Число а называетсяпределом последовательности xn, если для любого положительного E>0 найдется такое число n, где n
n→∞
Если последовательностьимеет предел, равный а, то она сходится к а. Теорема: сходящаясяпоследовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющаяпредела, называется расходящейся.
Операции над пределамипоследовательностей:
Пусть lim xn =a; lim уn = b, тогда
n→∞ n→∞
– lim (xn± уn) = a±b;
n→∞
– lim (xn*уn) = a*b;
n→∞
– lim (c* xn)= c*a;
n→∞
– lim (xn)^R= (lim xn)^R=a^R;
n→∞
– lim (xn)^1/R= a^1/R;
n→∞
– lim a = a.
n→∞
Бесконечно большиепоследовательности:
– lim xn= ±∞;
n→∞
Правила вычисленияпределов ЧП:
– lim xn= а; lim yn= ±∞, тогда lim xn/ lim yn= а/±∞=0;
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
– lim xn= 0; lim yn= ±∞, тогда lim yn=0, lim (xn/ yn)= ±∞
n→0 n→∞ n→∞ n→∞
№12 Общее уравнениеплоскости, проходящей через три точки.
Если точки М0(x0; y0; z0), М1 (x1; y1; z1 ), М2 (x2; y2; z2 ) не лежат на одной прямой, то проходящая через нихплоскость представляется уравнением
/>/> x – x0 y – y0 z – z0
x1– x0 y1 – y0 z1 – z0 = 0
x2– x0 y2 – y0 z2 – z0
№14 Уравнение прямой впространстве (общее и каноническое).
Прямая L, проходящая через точку М0(x0; y0; z0) и имеющая направляющий вектор a {l,m,n}, представляется уравнениями x – x0 y – y0 z – z0
/>/>/> = = ,
l m n
/>/>выражающими коллинеарность векторов a {l,m,n} и М0М { x– x, y– y, z– z}. Они называются каноническими.
№15 Уравнение прямой наплоскости.
Ax + By + C = 0,где А, В, С – постоянные коэффициенты.
/>/>Заметим, что n (А; В) – нормальный вектор (n ┴ прямой).
Частные случаи этогоуравнения:
– Ах + By = 0 (C=0) – прямая проходит через начало координат;
– Ах + С = 0 (В=0) –прямая параллельна оси Оу;
– Ву + С = 0 (А=0) –прямая параллельна оси Ох;
– Ах = 0 – прямаясовпадает с осью Оу;
– Ву = 0 – прямаясовпадает с осью Ох.
№16 Векторы. Операции надвекторами.
Вектор – направленныйотрезок прямой.
I. Правила треугольника. Правилапараллелограмма. II. Разность векторов. Параллелограмма.
/>а b а b а a c
а b a + b = c
a b b а
Равенство векторов:
Два (ненулевых) вектораравны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевыевекторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.
Сложение векторов:
Суммой векторов называетсятретий вектор
Сумма несколькихвекторов: Суммой векторов а1, а2, а3, …, аn называется вектор, получающийся после ряда последовательныхсложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному прибавляетсявектор а3 и т.д.
Коллинеарность векторов:
Векторы, лежащие напараллельных прямых, называются коллинеарными.
Скалярное произведение:
Скалярным произведениемвектора а на вектор b называетсяпроизведение их модулей на косинус угла между ними
Угол между векторами:
cos(a^b)=(a*b)/(|a|*|b|)=(x1x2+y1y2+z1z2)/((x1^2+y1^2+z1^2)*(x2^2+y2^2+z2^2))^1/2
№17 Система линейныхуравнений. Формулы Крамера.
x = ∆1/∆; x2 = ∆2/∆; … xn = ∆n/∆
№18 Система линейныхуравнений. Метод Гауса.
Системой линейныхуравнений, содержащей m-уравненийи n-неизвестных, называется системавида а11х1 + а12х2 + а13х3+…+аnxn = b1;
{ а21х1 + а22х2+ а23х3+…+аnxn = b2; }, где аij – коэффициенты системы, bi – свободные
am1x1 + am2x2 +am3x3+…+amnxn = bm члены
№19 Обратная матрица.Ранг матрицы.
Матрица А-1называется обратной к матрице А, если выполняется условие А* А-1 =А-1*А = Е
Всякая невырожденнаяматрица (т.е. ∆≠0) имеет обратную.
Алгоритм вычисленияобратной матрицы:
1. вычисляемопределитель, составленный по данной матрице;
2. находим матрицу АТ,транспонированную к А;
3.
A11 A21 … An1
A12 A22 … An2 составляем союзнуюматрицу (А*);
4. вычисляемобратную матрицу по формуле А-1 = А*/∆А = 1/∆А*( )
Ранг м-цы:
Минором R-го порядка произвольной м-цы Аназывается определитель, составленный из элементов м-цы, расположенных напересечении каких-либо R-строки R-столбцов.
Рангом м-цы А называетсянаибольший из порядков ее миноров, неравных 0.
Базисным миноромназывается любое из миноров м-цы А, порядок которого равен рангу А.
При элементарныхпреобразованиях ранг м-цы не изменяется.
Ранг ступенчатой м-цыравен количеству ее не нулевых строк.
Свойства:
– при транспонированиим-цы ее ранг не меняется;
– если вычеркнуть из м-цынулевой ряд, то ранг не изменится.
№20 Матрицы. Операции надматрицами.
Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов. Числа, составляющие м-цу, называются элементамим-цы.
Две м-цы А и В одногоразмера называются равными, если они совпадают поэлементно.
Виды: м-ца-строка;м-ца-столбец.
М-ца называетсяквадратной n-го порядка, если число ее строкравно числу столбцов и равно n.
Квадратная м-ца, укоторой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0, называетсядиагональной.
Если у диагональной м-цы n-го порядка все элеметы главнойдиагонали равны 1, то м-ца называется единичной n-го порядка и обозначается Е.
Если все элементы м-цыравны 0, то она называется нулевой.
Операции над матрицами:
Умножение м-цы на число.Произведением м-цы А на число λ называется матрица В= λ*А, элементыкоторой bij = λ* aij (i=1,…,m, j=1,…,n)
Сложение м-ц. Суммой двухм-ц А и В одинакового размера m на n называется м-ца С=А+В, элементыкоторой Сij=aij+bij.
Аналогично находитсяразность.
R Умножение м-ц. Умножением-цы А на м-цу В возможно когда число столбцов первой м-цы равно числу строквторой. Тогда произведением м-цы А и В называется м-ца С, каждый элементкоторой находится по формуле
Сij=ai1*b1j+ai2*b2j+…+aiR*bR = ∑ais*bsj/>
S=1
Возведение в степень.
А^2=A*A
Транспонирование м-цы –переход от м-цы А к м-це АТ, в которой строки и столбцы меняютсяместами с сохранением порядка.
№21 Определители n-го порядка. Свойства определителей.
Квадратной м-це А порядкаn можно сопоставить число дельтаА(|А|, ∆), которое называется определителем, если:
– n=1, A=(a1), ∆A=a1;/> /> /> /> />
a11 a12
a21 a22
a11 a12
a21 a22
– n=2,A= , ∆= =a11a22-a12a21;/> /> /> /> />
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33 />
–n=3,A= ; ∆A=
Свойства определителей:
1. Если уопределителя какая-л строка (столбец) состоит только из нулей, то ∆=0;
2. Если какие-л двестроки (столбца) определителя пропорциональны, то ∆=0;
3. Если какую-л строку(столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определительумножится на это число;
4. Если две строки(столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак;
5. Если к какой-лстроке (столбцу) определителя прибавить какую-л другую строку (столбец),умноженное на произвольное число, то определитель не изменится;
6. Определительпроизведения матриц равен произведению их определителей.
№22 Признаки сравненияположительных рядов.
Для исследованиясходимости данного положительного ряда U0+U1+U2+… его часто сравнивают с другимположительным рядом V0+V1+V2+…, о котором известно, что он сходится или расходится.
Если ряд 2 сходится исумма его равна V, а члены данногоряда не превосходят соответствующих членов ряда 2, то данный ряд сходится, исумма его не превосходит V. Приэтом остаток данного ряда не превосходит остатка ряда 2.
Если ряд 2 расходится, ачлены данного ряда не меньше соответствующих членов ряда 2, то данный рядрасходится.
№23 Признаки Даламбера иКоши сходимости ряда
Признак Даламбера:
Пусть в положительномряде U1+U2+…+Un+…отношение Un+1/Un последующего члена к предыдущему приn→∞ имеет предел q. Возможны три случая:
q1 – ряд расходится; q=1 – ряд может сходиться, а может ирасходиться.
№24 Производные обратныхтригонометрических функций.
I. darcsin x = dx/(1-x^2)^1/2, d/dx arcsin x = 1/(1-x^2)^1/2
II. d arccos x = — dx/(1-x^2)^1/2, d/dx arccos x= — 1/(1-x^2)^1/2
III. darctg x = dx/(1+x^2), d/dx arctg x = 1/(1+x^2)
IV. darcctg x = — dx/(1+x^2), d/dx arcctg x = — 1/(1+x^2)
№25 Дифференцированиефункций, заданных неявно.
Пусть уравнение,связывающее x и y и удовлетворяющееся значениями x=x0 и y=y0, определяет y какнеявную функцию от x. Для разысканияпроизводной dy/dx в точке x=x0, y=y0 нет нуждыискать явное выражение функции. Достаточно приравнять дифференциалы обеихчастей уравнения и из полученного равенства найти отношение dy к dx.
№26 Дифференцированиефункций, заданных параметрически.
Предположим, что функция y от х задана параметрическиуравнениями x=x(t), y=y(t), причем внекоторой области изменения параметра t функции x(t) и y(t) дифференцируемыи x’(t)≠0.
Найдем производную у’x. Как мы знаем у’x= dy/dx. Так как dx = x’(t)dt, dy = y’(t)dt, то
y’x = dy/dx = y’(t)dt/x’(t)dt = y’(t)/x’(t) = y’t/x’t.
Таким образом, dy/dx = y’t/x’t. Эта формулапозволяет находить производную функции, заданной параметрически.
№28 Дифференциал функции.
Пусть приращение функции y=f(x) разбито насумму двух членов: ∆y = A ∆x+α,где А не зависит от ∆x(т.е. постоянно при данном значении аргумента x) и α имеет высший порядок относительно ∆x (при ∆x → 0).
Тогда первый член,пропорциональный ∆x,называется дифференциалом функции f(x) и обозначается dy или df(x).
№29 Дифференциальныеуравнения с разделяющимися переменными.
Уравнение вида X1Y1dx +X2Y2dy = 0, гдефункции X1 и X2 зависят только от x (одна из них или обе могут быть постоянными; то же для функций Y1, Y2), а функции Y1, Y2 – только от y, приводится к виду ydx – xdy = 0 делением на Y1X2. Процесс произведенияназывается разделением переменных.
№30 Площадь криволинейнойтрапеции.
b
b
b Фигура, ограниченнаяпрямыми y=P; x=a, x=b и графикомнепрерывной и неотрицательной на [a, b] функции f(x), называетсякриволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции
равна
a
a
a ∫f(x)dx; ∫f(x)dx – ∫g(x)dx
№31 Дифференциальныеоднородные уравнения первого порядка.
ДУ первого порядканазывается однородным, если оно может быть представлено в виде y’ = g (y/x).
Однородное ДУпреобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены z=y/x; y=z*x, то y’=z’x+z, поэтому уравнение y’=g(y/x) преобразуем к виду z’x+z=g(z); dz*x/dx=g(z)-z; dz\(g(z)-z)=dx/x.
Найдя его общее решениеследует заметить в нем z на y/x.
Однородное ДУ частозадается в дифференциальной форме: P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0.
ДУ будет однородным, еслиP(x;y) и Q(x;y) – однородныефункции одинакового порядка.
Переписав уравнение ввиде dy/dx=-P(x;y)/Q(x;y) и переменив в правой части рассмотренное вышепреобразование получим уравнение y’=g(y/x).
При интегрированииуравнения P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 нет необходимости предварительно приводить их к виду y’=g(y/x): подстановка z=y/x сразупреобразует уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 в уравнение с разделяющимися переменными.
№32 Степенные ряды
Степенным рядомназывается ряд вида а0+а1х+а2х2+…+anxn+…, а также ряд более общего вида а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+an(x-х0)n+…, где х0 – постоянная величина. О первом рядеговорят, что он расположен по степеням х, во втором – что он расположен по степенямх-х0.
Постоянные а0,а1, …, аn,… называются коэффициентами степенного ряда.
Степенной ряд всегдасходится при х=0.
№33 Кривые второгопорядка на плоскости (эллипс, гипербола, парабола).
Линии, определяемыеуравнениями второй степени относительно переменных x и y,т.е. уравнениям вида Ах2+2Вху+Су2+2Вх+2Еу+F=0 (А2+В2+С2≠0),называются кривыми 2-го порядка.
Эллипс.
/>х2/а2+у2/b2=1
Гипербола.
х2/а2-у2/b2=1
Парабола.
y2=2px,где p>0
z №34 Дифференциальныеуравнения, приводимые к уравнениям однородной функции.
/>
№35 Эллипсоид (уравнениеи чертеж).
x2/a2+y2/b2+z2/c2=1
№36 Гиперболоид(уравнение, чертеж).
x2/a2+y2/b2-z2/c2=1
/>
гиперболоид />
/>№37 Параболоид эллиптический (уравнение, чертеж)
x2/a2+y2/b2=2pz
№38 Параболоидгиперболический (уравнение, чертеж)
x2/a2-y2/b2=2pz
№39 Уравнение в полныхдифференциалах
Если коэффициенты P(x,y), Q(x,y) в уравнении
P (x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)удовлетворяют условию
δP/δy=δQ/δx, то левая часть (1) есть полныйдифференциал
некоторой функции F (x,y). Общий интегралуравнения (1)
будет: F (x,y) = C.