Папп Александрийский.
Теоремы Паппа-Гульдена
Ткаченко А.Е., студент,
Казакова Е.И., д.т.н., проф.
Донецкий национальный
технический университет
В данной работе мы рассмотрим то немногое из биографии
Паппа Алекасндрийского, что было нам приоткрыто из-за завесы веков и докажем
одну из важнейших теорем интегрального исчисления – теорему Паппа-Гульдена.
Благодаря счастливой случайности мы узнали, когда жил
Папп : 18 октября 320 н. э. он наблюдал солнечное затмение и поведал об этом в
своем комментарии к «Альмагесту».
Его главным произведением является « Математическое
собрание» – восьмитомное произведение. В этом сочинении Папп собрал все, что он
нашел интересного в трудах своих предшественников: касательно высших кривых, о
квадратуре круга, об удвоении куба и трисекции угла, методе анализа и т.д.
Когда он считал необходимым что-нибудь пояснить или добавить к трудам великих
геометров он излагал это в виде лемм (содержание утраченных произведений
Евклида и Аполлония).
Но, кроме этого, Папп в некоторых случаях дополнил и
расширил труды своих предшественников.Так, например, в своей третьей книге он
дает новое построение для пяти правильных многогранников, вписанных в
шар.Помимо этого она содержит историю задачи по удвоению куба и делению угла на
три равные части, причем Папп привел весьма оригинальное решение первой из них.
Там же Папп приводит построение треугольников и параллелограммов со сторонами
большими, чем стороны данных фигур, но меньшими по площади.
Первая и вторая книги «Математического собрания» (обе
утеряны) были посвящены греческой арифметике.
Четвертая книга содержит интересное обобщение теоремы
Пифагора и ряд изящных предложений относительно кругов, вписанных в «арбелос»
Архимеда. В той же книге Папп определяет некоторую спираль на поверхности шара
и находит площадь поверхности, ограниченной этой спиралью и дугой круга (метод
заимствован у Архимеда). Он показывает, каким образом, построение для neusis,
примененное Архимедом в книге «О спиралях», может быть сведено к пересечению
двух конических сечений.
В пятой книге излагается работа Зенодора об
изопериметрических фигурах (т.е. фигурах с равными периметрами) с дополнением
нескольких предложений, найденных самим Паппом .Так Папп утверждает, что из
всех фигур на плоскости имеющих равные периметры, наибольшей площадью обладают
фигуры с наибольшим числом углов, причем из всех фигур, наибольшее число углов
вписанного многоугольника и наибольшую площадь имеет круг. В той же книге Папп
отмечает, что мир по форме является шаром, «великолепнейшим» и наибольшим телом
с равновеликой площадью, но философам еще не удалось доказать, что объем шара
всегда больше объема любого многогранника с равновеликой площадью сторон.
В шестой книге Папп определяет центр эллипса, заданного
как перспективное преобразование круга . Эта книга содержит комментарии Паппа к
так называемому «Малому астроному» – сочинениям, которые читались после «Начал»
Евклида и до «Альмагеста» Птоломея. Это были труды Аристарха , Автолика и
«Сферика» Феодосия триполийского.
Седьмая книга имеет очень важное историческое
значение, так как в ней дается обзор содержания довольно большого числа
сочинений о геометрическом анализе и геометрических местах, которые почти все
утеряны. Много места отведено обсуждению методов (анализу и синтезу)
применявшихся древними учеными при исследованиях. В качестве собственного
открытия Папп формулирует теорему относительно объемов тел вращения, которая, в
сущности, есть не что иное как известная теперь «терема Паппа – Гульдена». Там
же содержаться комментарии к работам Аполлония Пергского, в частности к его
«Коническим сечениям».
Восьмая книга посвящена в большей своей части
механике, но содержит, кроме того, и построение конического сечения,
проходящего через пять данных точек . Поводом для этого послужила задача:
определить диаметр цилиндрической колонны по произвольному ее обломку . Затем
книга дает способ построения главных осей эллипса по двум сопряженным
диаметрам.
Помимо того Папп написал и ряд других трудов, в
частности, трактат «Хронография математики», в котором положил начало
алгебраическим знакам, что было немаловажным достижением, если учитывать те
трудности, которые возникали при письменной передаче математических достижений.
К сожалению труды эти были безвозвратно утеряны.
Высокий уровень произведений обусловил интерес к их
автору . Многие леммы Паппа содержат идеи уже настоящей проективной геометрии .
И когда спустя много веков люди это осознали, Папп был назван последним великим
геометром древности.
Но помимо достижений в геометрии Папп Александрийский
достиг достаточно высокого уровня и в разработке практического применения
интегрального исчисления . Одни из важнейших теорем высшей математики были
сформулированы им, а через много веков над ними работал Гульден. Теперь она
известны как 1-я и 2-я теоремы Паппа-Гульдена.
1-я теорема Паппа-Гульдена
Ордината центра тяжести дуги плоской кривой:
где – длина дуги
кривой.
Преобразуем:
, (1)
Площадь поверхности тела вращения:
или, (2)
Сравнивая уравнения (1) и (2) получаем ( если правые
части уравнений равны, то равны и левые части):
, (3)
Полученное выражение (3) составляет содержание 1-й
Теоремы Паппа-Гульдена:
Площадь поверхности тела вращения равна произведению
длины окружности, описываемой центром тяжести кривой, на длину этой кривой.
2-я теорема Паппа-Гульдена
Ордината центра тяжести плоской фигуры:
где – площадь
фигуры
или
, (4)
Объем тела вращения:
или
, (5)
Сравнивая уравнения (4) и (5) получаем:
или
, (6)
Полученное выражение (6) составляет содержание 2-й
Теоремы Паппа-Гульдена:
Объем тела вращения равен произведению длины
окружности, описываемой центром тяжести фигуры на ее площадь.
Эти теоремы используют в инженерной практике,
особенно, если кривая или фигура сложной формы. При этом центр тяжести кривой
или фигуры (точнее, их моделей, выполненных из однородного материала)
определяют экспериментально с помощью двух подвесов: модель подвешивают за две
разные точки ее периметра и находят пересечение двух вертикальных линий,
проходящих через точки подвеса. Это и есть центр тяжести. Длина дуги или
площадь фигуры определяется путем взвешивания моделей и сравнивания их массы с
массой эталона.
Список литературы
Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: математика
древнего Египта, Вавилона и Греции: – М.: Госиздат, 1959. – 459 с.
Крыситский В. Шеренга великих математиков: – Варшава:
Наша Ксенгарня, 1981.- с.31-34.
Казакова Е.И. Интегрирование. Учебное пособие. –
Донецк,: ДГТУ, 1999.-58 с.
Пак В.В., Носенко Ю.Л.Высшая математика:
Учебник.-Д.:Сталкер, 2997.-560с.
Для подготовки данной работы были использованы
материалы с сайта http://masters.donntu.edu.ua/
Дата добавления: 11.07.2007