МПС РФ
Омский Государственный Университет Путей Сообщения
Р Е Ф Е Р А Т
[pic]
«Определение площади тела вращения с помощью определенного интеграла.»
выполнила:
студентка группы 29 Г
Митрохина Анна
Проверил :
Гателюк О.В.
Омск
2000г.
ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer – целый) – одно из важнейших понятий
математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать
функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь,
пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой –
измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток
времени и т. п.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ О ПРОИСХОЖДЕНИИ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
Символ [pic]введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением
латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл
придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от
латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние,
восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает”
функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.)
Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.
В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я.
Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики
– интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.
Самое важное из истории интегрального исчисления!
Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением
площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней
Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в
значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль
при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом
Книдским (ок. 408 – ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок.
287 – 212 до н. э.).
Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и
понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального
исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX – XV веках изучали и
переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но
существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.
Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь
в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой
Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи
на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и
определение центров тяжести .
[pic]
Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом
языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из
важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед
предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более
полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были
доведены до уровня исчисления.
[pic]
Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на
трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод – метод неделимых,
который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию
они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) ,
которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине
f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной
сумме
S = [pic] бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже
подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме – нули, но нули
особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне
определенную положительную сумму.
На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер
(1571 – 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и
“Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей
(например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось
на бесконечно тонкие пластинки).
Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери
(1598 – 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).
В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному
исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры
любой кривой y =[pic], где N – целое (т. е. вывел формулу [pic][pic]), и
на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И.
Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически
опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года),
учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и
дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в
виде степенных рядов.
[pic]
Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII
столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи,
лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь
операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный
алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга
факт, известный вам под названием формулы Ньютона – Лейбница. Тем самым
окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить
первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т.
п. Но главное уже было сделано:
дифференциальное и интегральное исчисление создано.
Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии
(в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего
систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И.
Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские
математики М. В. Остроградский (1801 – 1862 гг.), В. Я. Буняковский
(1804 – 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 – 1894 гг.). Принципиальное
значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что
существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.
Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке,
Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших
математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 – 1866 гг.), французского
математика Г. Дарбу (1842 – 1917).
Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов
фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 – 1922 гг.) теории меры.
[pic]
Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были
предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 – 1941 гг.) и А.
Данжуа (1884 – 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)
ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.
Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг
оси Ох.
Определим площадь этой поверхности на участке а ? х ? b. Функцию f(x)
предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках
отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ1, М1М2,….Мn-1B длины которых обозначим
через ?S1, ?S2… ?Sn (рис. 1). Каждая хорда длины ?Si (i=1,2,….n) при
вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ?Pi равна:
Применяя теорему Лагранжа получим:
,где
Следовательно
Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме
, или сумме
, (1)
распространенной на все звенья ломаной.
Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ?Si стремится к нулю,
называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не
является интегральной суммой для функции
(2)
, так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi ], фигурирует
несколько точек этого отрезка xi-1, xi ,?i.. Но можно доказать, что предел
суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е.
или
(3)
Формула (3) определяет площадь Р поверхности теля вращения
возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке а ? x ? b неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f(x).
Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=?(t), y=?(t) (t0 ? t ?
t1) то формула (3) имеет вид,
(3/)
———————–
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]