1. История изученияплоских кривых
Понятиелинии определилось в сознании человека в доисторические времена. Траекторияброшенного камня, струя воды, лучи света, очертания цветов и листья растений,извилистая линия берега реки и моря и другие явления природы привлекаливнимание наших предков и, наблюдаемые многократно, послужили основой дляпостепенного установления понятия линии.
Однако потребовалсябольшой исторический период прежде чем люди стали сравнивать между собой формыкривых линий и отличать одну кривую от другой. Первые рисунки на стенахпещерного жилища, примитивные орнаменты, украшавшие домашнюю утварь,свидетельствуют о том, что люди научились уже не только отличать прямую откривой, но и различать формы отдельных кривых и в их сочетаниях находитьудовлетворение зарождающихся эстетических потребностей. Но всё это было ещёдалеко от того абстрактного понимания линии, которым располагает математикасейчас.
Правда, историческиепамятники глубокой древности показывают, что у всех народов на известнойступени их развития имелось понятие окружности, не говоря уже о прямой линии.Употреблялись примитивные инструменты для построения этих линий и были попыткиизмерять площади, ограничиваемые прямыми и окружностью. Как видно, например, издревнейшего памятника математической культуры – «папируса Ринда», египтяне за17 – 20 веков до начала нашей эры занимались квадратурой круга и получили довольнохорошее приближение для числа p, равное />,или 3, 1604. Но лишь с возникновением математики как науки стало развиватьсяучение о линиях, достигшее в трудах греческих математиков высокого совершенства.
Греческие учёные создалитеорию конических сечений – линий, имеющих особенно большое значение в науке итехнике. Открытие их приписывается Менехму (4 век до н.э.), ученику ЕвдоксаКнидского и, как полагают, учителю Александра Македонского. Менехм определялэти кривые как сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к его образующей.
Что послужило поводом кэтому открытию? Может быть, поиски решения знаменитой делосской задачи обудвоении куба, может быть практический вопрос о том, насколько должен бытьвытянут овал, находящийся в качестве архитектурного сооружения на фронтонездания, чтобы с известного места перед зданием он казался кругом.
Есть данные полагать, чтоМенехм знал свойства параболы и гиперболы, выражаемые в наши дни равенствами y2=2px и xy=c, и использовал этисвойства для делосской задачи удвоения куба. К сожалению это первое сочинениепо теории конических сечений было утеряно. Также не дошла до нас работагреческого геометра Аристея, написавшего пять книг о пространственных местах»,из которых много заимствовал Евклид для своей также утраченной) работы оконических сечениях.
Архимед решил задачу оквадратуре сегмента параболы. Сравнивая фигуры, вписанные в эллипс и вокружность, построенную на большой оси эллипса как на диаметре, он определил иплощадь эллипса.
Однако все сведения о коническихсечениях были ещё разрозненны. Первая методическая обработка конических сеченийпринадлежит Аполлонию Пергскому (3 – 2 в. до н.э.). Это был трактат «Оконических сечениях». В своём трактате Аполлоний систематизировал всё, что былоизвестно до него, и открыл ряд важных свойств, установил их названия.
Но не только коническиесечения открыты греками. Ряд математиков в поисках решения великих проблемдревности – задачи о трисекции угла, об удвоении куба и о квадратуре круга –использовал для образования кривых идею движения. Так возникли спиральАрхимеда, циклоида, квадратрисса Динострата. В то же время первоначальный метод– образование кривых путём рассечения поверхности плоскостью был использовандля образования кривых Персея как сечений тора.
В эпоху средневековьявеликие достижения греческих учёных были забыты.
К кривым математическаянаука обратилась только в 17 веке, в связи с созданием аналитической геометрии.
1637 год – одна извеликих дат в истории математики – год появления книги Р. Декарта «Геометрия»,в которой были изложены основы метода координат. Открытие этого метода дляисследования кривых было фактом первостепенного значения. Метод координат нетолько создал общий, единообразный способ символического задания каждой кривойв виде соответствующего ей уравнения, он давал также неограниченную возможностьбеспредельно увеличивать количество изучаемых кривых, поскольку каждоепроизвольно записанное уравнение, связывающее между собой две переменныевеличины, представляло теперь, вообще говоря, новую кривую.
Открытие метода координатподготовило в свою очередь открытие могущественного метода науки – исчислениябесконечно малых. Рождение дифференциального и интегрального исчисления имелоособо важное значение для изучения свойств кривых. В связи с многочисленнымипроблемами механики, астрономии, геодезии, оптики, возникшие в 17 – 18 в.,стимулировали интерес к исследованию инфинитезимальных свойств линий. Эти проблемыпривели к открытию новых линий. Роберваль и Паскаль показывают, что дугаспирали Архимеда равна дуге параболы, выбранной определённым образом и что,следовательно, задача спрямления спирали идентична задаче спрямления параболы.Ферма обобщает это предложение на алгебраические спирали высших порядков,устанавливая, что их спрямление сводится к спрямлению парабол высших порядков.Нейль открывает алгебраическую кривую, которая спрямляется алгебраически(парабола Нейля). К этому же времени относится спрямление логарифмическойспирали, выполненное Торичелли, спрямление эпи- и гипоциклоид, выполненное Дела Гиром. Фаньяно в 1714 году, исследуя вопрос о спрямлении лемнискаты, заложилосновы теории эллиптических функций.
Наряду с исследованиемгеометрических свойств кривых исследуются и их механические свойства. Гюйгенсоткрывает изохронность циклоиды. И. Бернулли показывает, что циклоидаявляется брахистохроной в пустом пространстве. Исследуются механическиесвойства параболы Нейля, цепной линии, овалов Кассини, овалов Декарта и целогоряда других теперь хорошо известных кривых.
Не только практическиепотребности века – запросы промышленности, конструирование машин и механизмов,постройка плотин и шлюзов – постоянный и глубокий интерес к исследованию кривыху этих учёных, но и та «радость созерцания формы», которая, по словам Клейна,характеризует истинного геометра.
Увлечение аналитическимметодом исследования кривых, особенно характерное для 17 века, с течениемвремени вызвало реакцию со стороны некоторых учёных. Как недостаток этогометода отмечалось то обстоятельство, что употребление его не раскрываетестественного происхождения кривой, так как объектом исследования фактическиявляется не сама кривая, а соответствующее ей уравнение. Плодотворные попыткивозвратиться к синтетическому методу древних породили новое направление висследовании свойств кривых второго порядка. Первые достижения здесьсвязываются с именами Дезарга и Паскаля. Дезарг, исследуя проективные свойствафигур и используя установленное им понятие инволюции, обогатил теорию кривыхвторого порядка новыми открытиями. Пскаль открывает свою знаменитую теорему осоотношении между шестью точками конического сечения, согласно которой вовсяком шестиугольнике, вписанном в кривую второго порядка, точки пересеченияпротивоположных сторон лежат на одной прямой. Де ла Гир приходит к важному предложениюо том, что директриса кривой второго порядка является полярой её фокуса.
Новые методы исследованиясвойств кривых второго порядка развиваются в 19 столетии. Брианшон доказываеттеорему, двойственную теореме Паскаля, и изучает проективные свойствагиперболы. Понселе исследует кривые второго порядка с помощью открытого имметода проективных соответствий. Штейнер и Шаль исследуют проективные свойстваэтих кривых на основе понятия двойного отношения и рассматривают их какпроизводные от образов первой ступени.
Критика аналитическогометода исследования формы и свойств кривых была основана, как было уже сказано,на том обстоятельстве, что при пользовании этим методом отсутствует наглядныйобраз этой кривой и исчезают геометрические построения. Она дополнялась идругими соображениями. Указывалось, что система координат является постороннимэлементом исследования, с которым кривая связывается искусственно.
Эти воззрения повели содной стороны, к созданию так называемой алгебраической геометрии, основы которойбыли заложены Гессе и Клебшем. Исследование свойств кривых сводилось здесь кисследованию инвариантов алгебраических форм.
Крупнейшим достижениемэтого направления в исследовании кривых было создание общей теорииалгебраических кривых. Особые достижения в развитии этой теории связываются сименем Плюккера. Однако в алгебраической геометрии полностью отрешиться отсистемы координат как постороннего элемента всё-таки не удалось.
Другое направлениепривело к представлению о так называемом натуральном уравнении кривой.Натуральное уравнение уже не зависит от положения системы координат и от видаеё; точнее говоря, оно не предполагает вообще наличия системы координат. Этоуравнение функционально связывает радиус кривизны кривой и длину её дуги, т.е.те элементы, которые органически связаны с самой природой исследуемой линии.Было доказано, что натуральное уравнение полностью определяет кривую сточностью до её положения на плоскости. Наибольших успехов это направлениеисследования кривых достигло в работах Чезаро, который присвоил ему названиевнутренней или натуральной геометрии.
В заключение оплодотворной идее использования векторного аппарата при исследовании свойствлиний, которая связывается с именем Грассмана, и о топологическом методеисследования кривых, имеющих наиболее сложные формы. 2. Способы образования кривых
Исследование особенностейформы кривой и её свойств средствами дифференциальной геометрии возможно, когдакривая выражена в аналитической форме, т.е. уравнением. Однако, прежде чемисследовать уравнение кривой, необходимо его составить на основании некоторыхданных. Для этого надо рассмотреть способы образования кривых. [1]
1. Криваяопределяется как линия пересечения данной поверхности плоскостью, положениекоторой определено.
В истории развития ученияо кривых этот способ является первым. Греки определяли кривые второго порядкакак сечения кругового конуса. Таково же происхождение кривых Персея, получаемыхв результате сечений плоскостью поверхности тора. Эвольвента круга может бытьопределена как линия пересечения поверхности касательных к винтовой линии,перпендикулярной к её оси и т.д.
2. Криваяопределяется как геометрическое место точек, обладающих данным свойством.
Этот способ особенноупотребителен. Он широко практиковался ещё греческими математиками; так Евклидрассматривал конические сечения как геометрические места точек, сохраняющихпостоянное отношение расстояний от данной точки и от данной прямой. Какгеометрическое место точек была определена Диоклесом его циссоида. Таким жеспособом определяет Никомед конхоиду. Такие линии, как овалы Декарта, овалыКассини, улитка Паскаля, строфоида, верзиера и целый ряд других кривых,определяются обычно как геометрические места.
3. Криваяопределяется как траектория точки, характер движения которой обусловлен тем илииным образом.
Кинематический способобразования линий был также хорошо известен греческим учёным. Как траекториюточки, участвующей одновременно в двух равномерных движениях, одно из которыхсовершается по прямой, а другое – по окружности, определил Архимед своюспираль. Все циклоидальные кривые являются траекториями точки, жёстко связаннойс кругом, который катится без скольжения по окружности другого круга.Кинематическим путём определяется квадратриса Динострата как траектория точкипересечения вращающегося радиуса окружности с хордой, двигающейся параллельно самойсебе. Лемниската Бернулли может быть определена как траектория серединыбольшого звена шарнирного антипараллелограмма, противоположное звено которогозакреплено. Кинематически определяются розы, кривые скольжения и многие другиелинии. Кинематический способ задания кривой полагался Декартом в основуопределения кривых методом координат.
4. Образование линий поспособу сопряжения проективно соответствующих элементов.
Этотспособ сравнительно недавнего происхождения и во всей полноте рассматривается вкурсах проективной геометрии. В основу его полагается идея соответствия двухпроективных рядов точек или двух проективных пучков.
Проективно соответствующиминазываютсядва прямолинейных ряда точек, если любым четырём гармоническим точкам одного изних соответствуют также четыре гармонические точки второго ряда. Аналогичноопределяется проективное соответствие пучков прямых. На основе этих понятий ивозникает проективный способ образования линий. Так, если имеюся двапроективных пучка прямых, то геометрическое место точек пересечениясоответствующих прямых этих пучков представляет собой кривую второго порядка(рис. 1, а).
Точно так же, если заданыдва проективно связанных прямолинейных ряда точек, то огибающая прямых,проходящих через соответствующие точки этих рядов, будет представлять собойкривую второго класса и одновременно второго порядка (рис. 1, б).
/>Рис. 1/>
На кривой второго порядкамогут быть в свою очередь определены гармонические четвёрки точек, т.е. точкипересечения этой кривой с четырьмя гармонически сопряжёнными лучами пучкапрямых, центр которого находится в какой-либо точке этой кривой. Так возникаетпонятие криволинейного проективного ряда, который в отличие от прямолинейногоряда называется проективным рядом второго порядка. Аналогичноустанавливается понятие пучка второго порядка, под которым понимаютупомянутую выше совокупность прямых, проходящих через соответствующие точкидвух прямолинейных проективных рядов и огибающих кривую второго порядка.
Понятие ряда второгопорядка и пучка второго порядка позволяет определить проективным способомалгебраические кривые высших порядков и классов.
Частным случаемпроективного соответствия является перспективное соответствие, котороеосуществляется путём проектирования двух плоских систем из общего центра.Соответствующие точки при этом лежат на одном проектирующем луче. асоответствующие прямые принадлежат одной пректирующей плоскости.
Способом проектированиямогут быть получены многие из часто встречающихся кривых. Сюда относитсяциклоида, являющаяся параллельной проекцией винтовой линии на плоскость,параллельную её оси. Спираль Архимеда может быть определена как проекцияконической винтовой линии на плоскость, перпендикулярную её оси. Овалы Декартамогут быть определены как проекции линии пересечения двух коническихповерхностей с параллельными осями на плоскость, перпендикулярную к этим осям, ит.д.
5. Криваяопределяется заданием её дифференциальных свойств.
Непосредственнозадаваемое по условию задачи или вытекающее из этого условия соотношение междубесконечно малыми элементами кривой выражается сначала в виде некоторогодифференциального уравнения. Последующее интегрирование этого уравненияприводит к обычному уравнению искомой кривой. Такой способ определения уравнениякривой характерен для многочисленных задач геометрии, механики, физики,техники. Так показательная кривая может быть определена как линия, у которойподкасательная для всех точек имеет одно и то же значение. Трактрисахарактеризуется постоянством длины касательной. Радиоидальная спиральопределяется как линия, для которой радиус кривизны обратно пропорционалендлине дуги. На основании геометрических соображений и законов механикивыводятся дифференциальные уравнения цепной линии, изогнутой оси балки и т.д.
6. Кривая определяется как линия,получаемая в результате того или иного геометрического преобразования ужеизвестной кривой.
Этотспособ образования кривых является наиболее эффективным. Он не только даётнеиссякаемые средства для определения новых кривых, но и позволяет определятьсвойства но вой кривой как отражение свойств преобразуемой кривой.
К числу основныхгеометрических преобразований относятся аффинное, проективное, инверсия,квадратичное, двойственное, касательное.
7. Мызаключим обзор различных способов, дающих средства для аналитическогоопределения кривых, ещё одним, естественным по сравнению с предыдущими, в томсмысле, что составлять уравнение кривой в том смысле уже не приходится, так каккривая задаётся сразу же в аналитической форме и представляет собой график тойили иной функции. Выше было замечено, что метод Декарта, которым определяетсясоответствие между линией и уравнением, даёт неограниченные возможности дляопределения кривых самых разнообразных форм. В арсенале замечательных кривых,используемых в науке и технике, имеется немало линий, которые исторически возниклианалитическим путём, т.е. определялись первоначально как кривые, соответствующиеопределённым уравнениям. к ним относятся декартов лист – график функции,определяемой уравнением />. Сюдаже относятся параболы и гиперболы всших порядков – графики функций определяемыхуравнением />, кривые Ламе – графикифункций, определяемые уравнением />. Каналитически определяеым кривым относятся также кривые, являющиеся графикамитригонометрических функций, показательной функции и многие другие. 3. Классификация плоских кривых
Вэтом параграфе рассмотрим классификацию плоских кривых.
Так как характерные особенности формы кривой и её свойства определяютсяособенностями и свойствами соответствующего ей уравнения, то естественноположить в основу классификации кривых природу их уравнений – подразделениеуравнений на алгебраические и трансцндентные. Здесь, однако, возникает затруднение,заключающееся в том, что природа уравнения кривой зависит не только от природысамой кривой, но и от той системы координат, к которой отнесена кривая. Одна ита же кривая в одной системе координат может выражаться алгебраическимуравнением, а в другой – трансцендентным. Более того иногда достаточно изменитьположение системы и уравнение кривой, которое было алгебраическим, становитсятрансцендентным. Так, например, в полярной системе координат уравнение окружностис центром в полюсе имеет вид /> иявляется, как видно, алгебраическим: но достаточно поместить полюс в какую-либоточку />, как уравнение принимаетвид /> и становится, таким образом,трансцендентным.
Указанный недостаток отсутствует, однако, у прямоугольной декартовойсистемы координат. Параллельное смещение и поворот этой системы не меняют нетолько природу уравнения этой кривой, но и степень этого уравнения, если онобыло алгебраическим. Естественно поэтому подразделить все кривые на алгебраическиеи трансцендентные соответственно тому, будут ли их уравненияалгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.
а) Алгебраические кривые
Внутри обширного семейства алгебраических линий в свою очередьпроизводят подразделение кривых, в основу которого полагается понятие порядкакривой, определяемого степенью её уравнения.
Соответственно этому алгебраической кривой n-го порядканазывается кривая, уравнение которой, после освобождения его от дробей и радикалов,записывается в декартовой системе координатв виде
/>
Очевидно, число членов уравнения равно />.Разумеется, в частном случае некоторые коэффициенты могут быть нулями.
Если левая часть уравнения кривой разлагается на множители />то такому уравнению будетсоответствовать система кривых /> В этомслучае кривую n-го порядка называют распадающейся или приводимой.
В частности, когда левая часть уравнения кривой, которую мы обозначимчерез f (x, y), является однороднойфункцией n-го измерения, кривая вырождается в систему прямых линий.Действительно, по известному свойству однородных функций, мы, полагая />, будем иметь />, и если a1, a2, …,an –корни уравнения />, то
/>
Приравнивая к нулю каждый множитель, получим систему n прямых (средикоторых могут быть и мнимые).
Рассмотрим разновидности алгебраических кривых.
Класс алгебраической кривой. Формулы Плюккера.
Алгебраические кривые классифицируются не только по их порядку, но и поих классу и роду (жанру).
Класс алгебраической кривой определяется степенью еёуравнения в тангенциальных координатах – такназываются коэффициенты u и v в уравнениях прямых />,касающихся данной алгебраической кривой.
класс кривой может быть также определён числом касательных,действительных и мнимых, которые можно провести к этой кривой из произвольнойточки, не лежащей на ней.
Для получения тангенциального уравнения кривой и, следовательно, дляопределения её класса, представим себе, что данная кривая /> пересечена прямой />. Условие того. что дветочки её пересечения с кривой совпадают между собой, записанное в формеравенства, связывающего u и v, и будет искомым тангенциальным уравнением кривой.
Так, например, желая найти тангенциальное уравнение окружности x2+y2=1, пересечём её прямой />.Исключая у из уравнения этой прямой и окружности, получим (u2+v2) x2+2ux+(1-v2)=0. Условием касания прямой и окружности будет совпадениекорней этого квадратного уравнения, что приводит к равенству v2(1-u2-v2)=0. Подобным жеобразом получим равенство u2(1-u2-v2)=0. Очевидно, полученные равенства будут удовлетворяться,если 1-u2-v2=0. Это и естьтангенциальное уравнение заданной окружности.
Если, наоборот, необходимо перейти от тангенциального уравнения f (u, v)=0 кривой к её обычному уравнению, то следует присоединить кэтому уравнению уравнение /> пучкавсех касательных к кривой, проходящих через точку М (х, у). Условиетого, что эта точка будет точкой касания, выразится равенством, определяющимусловие совпадения двух касательных в одну (так как в тангенциальныхкоординатах каждая точка кривой определяется как точка пересечения двухбесконечно близких касательных). Это равенство и будет искомым уравнениемкривой в исходной системе.
Так, например, если дана в тангенциальных координатах кривая u+v+uv=0, то, желая иметь её обычное уравнение, рассмотрим пучокпрямых />, проходящих черезпроизвольную точку М (х, у). Найдём те прямые этого пучка, которыекасаются кривой. Исключая u из заданного уравнения кривой и уравнения пучка, получим: v2y+v (1+y-x)+1=0. Для того, чтобы две прямые, определяемые двумя значениями v в этомравенстве, совпали в одну, необходимо, чтобы эти значения v былиравны между собой, а последнее произойдёт, если будет справедливым равенство (1+y-x)2-4y=0, которое и представляет собой обычное уравнение заданнойкривой.
Порядок и класс линии, вообще говоря не совпадают, за исключением кривыхвторого порядка, которые одновременно являются кривыми второго класса. В общемслучае при определении класса кривой приходится принимать во внимание не толькоеё порядок, но и ряд её характерных особенностей – наличие у неё двойных точек,точек перегиба, двойных касательных и т.д. Именно, если n – порядоккривой, k – класс кривой, d – число двойных точек (узловых и изолированных), r – число точеквозврата, t – число двойных касательных (т.е. прямых, касающихсякривой в двух точках), w – число точек перегиба кривой,то между всеми этими величинами существуют следующие соотношения:
k=n (n – 1) – 2d – 3r, n=k (k – 1) – 2t – 3w,
w=3n (n – 2) – 6d – 8r, r=3k (k – 2) – 6t – 8w.
Эти равенства называются формулами Плюккера и были приведены имвпервые в его «Системе аналитической геометрии на плоскости» в 1834 году.
Род алгебраической кривой.
Известно, что нераспадающаяся кривая n-го порядка может иметьне более чем /> двойных точек.Действительно, если бы она имела, например, /> двойных точек, то черезэти точки и через n – 3 других точек еёможно было бы, как легко видеть, провести кривую порядка n – 2. Но так как каждая двойная точка первой кривой должнасчитаться за две точки пересечения её со второй кривой, то получается, что этикривые имели бы /> общих точек.Последнее, однако, невозможно, так как нераспадающейся кривой будет справедливои для точек высшей кратности, если точку кратности k считать за /> двойныхточек. Например, кривая 5-го порядка может иметь семь двойных точек и одну тройную:/>. Это соглашениеоправдывается тем, что через точку кратности k проходит k ветвейэтой кривой. Если их представлять себе отделёнными от кратной точки, то,пересекаясь попарно, они дадут /> двойныхточек, которые, совпадая, и образуют точку кратности k.
Дадим понятие рода кривой. Род, или жанр, алгебраической кривойопределяется числом р, являющейся разностью между наибольшим числом двойныхточек, которые может иметь кривая этого порядка, и их фактическим числом уданной кривой. С ранее упомянутыми числовыми характеристикамиалгебраической кривой эта новая характеристика р связана соотношениями
/>
Если рассматриваемая кривая имеет наибольшее число двойных точек,возможных для кривых её порядка, то, очевидно, это будет кривая нулевогорода. Эти кривые обладают весьма важным свойством, а именно, координатыточки, двигающейся по такой кривой, могут быть выражены рациональными функцияминекоторого параметра.
1) Рациональные кривые
Рациональными являются кривые четвёртого, имеющие три двойные точки.Координаты точки таких кривых являются целыми рациональными функциями 4-йстепени от параметра.
Укажем два способа конструктивного образования рациональных кривых 4-гопорядка.
С проективной точки зрения рациональная кривая 4-го порядка определяетсяпересечением прямых, принадлежащих некоторому пучку, с прямыми проективносоответствующего ему пучка касательных к некоторой кривой второго порядка.
Рациональные кривые 4 – го порядка могут быть получены такжеквадратичным преобразованием кривой второго порядка. Действительно, еслирациональную кривую второго порядка отнести к координатному треугольнику,вершины которого совпадают с тремя двойными точками этой кривой, то уравнениееё запишется в виде
/>
Пользуясь формулами квадратичного преобразования
/>,
/>,
/>,
получим уравнение
/>
которое выражает кривую 2-го порядка, например окружность, пересекаеткакую-либо сторону координатного треугольника в двух точках, то соответствующаякривая второго порядка должна иметь, по свойству квадратичного преобразования,в противолежащей вершине этого треугольника две касательные и, значит, узловуюточку. Если указанные две точки совпадают в одну, то совпадают в одну исоответствующие им касательные и, значит, узловую точку. Если указанные дветочки совпадают в одну, то совпадают в одну и соответствующие им касательные, иследовательно, кривая четвёртого порядка будет иметь в вершине треугольникаточку возврата. Если, наконец, точки пересечения кривой второго порядка состороной треугольника будут мнимыми, то противолежащая вершина треугольникаявляется изолированной точкой кривой четвёртого порядка.
На рисунке 2 все эти случаи предусмотрены, причём соответствующиеэлементы помечены одинаковыми цифрами.
/>Рис. 2
Из сказанного следует, что если преобразуемая кривая второго порядкапересекает стороны координатного треугольника в шести точках, то криваячетвёртого порядка будет иметь три узловые точки; если эти шесть точек мнимые,то им будут соответствовать три изолированные точки; если они попарносовпадают, то соответствующая кривая 4-го порядка будет иметь три точкивозврата.
Особенности формы этой кривой зависят также от того, пересекает ликривая второго порядка стороны координатного треугольника или их продолжения.Частные формы кривых, зависящие от этого обстоятельства, представлены нарисунке 3 – 6, где в качестве преобразуемой кривой второго порядка взятаокружность.
Проследить особенности формы получающихся при квадратичном преобразованиикривых 4-го порядка можно, осуществляя преобразование заданной кривой второгопорядка аналитически, но можно воспользоваться и графическим способомосуществления такого преобразования.
/>Рис. 3/>Рис. 4
/>Рис. 5/>Рис. 6
Если прямая с1 проходит через вершину координатноготреугольника, то при преобразовании ей будут соответствовать две прямые –прямая с2, проходящая через ту же вершину, и противолежащая сторонатреугольника (кривая второго порядка, которая должна соответствовать прямой вобщем случае, эдесь распадается). Углы, составляемые прямой с1 ипрямой с2 с биссектрисой угла А равны (рис. 7). Этообстоятельство и определяет графический способ осуществления квадратичногопреобразования; а именно, чтобы найти точку Р2, соответствующуюзаданной точке Р1 с какой-либо вершиной треугольника, например с А,и проводим через вершину А прямую с2, симметричную прямой Р1Аотносительно биссектрисы угла А (рис. 8). Проводя аналогичное построениеотносительно вершины В, получим искомую точку Р2 как точку пересечениянайденных прямых.
Осуществляя графическим путём квадратичное преобразование для ряда точекпреобразуемой кривой, мы получим соответствующие точки новой кривой.
Графический способ даёт возможность определить наличие бесконечноудалённых точек кривой 4-го порядка, получаемой в результате квадратичногопребразования некоторой кривой второго порядка.
/>Рис. 7
/>Рис. 8
Для этого потребуется уравнение бесконечно удалённой прямой втрилинейных координатах [1].
Квадратичное преобразование устанавливает соответствие между точкамиописанной около координатного треугольника окружности и точками бесконечноудалённой прямой.
Отсюда следует, что кривая 4-го порядка, получаемая в результатеквадратичного преобразования кривой 2-го порядка, будет иметь бесконечноудалённые точки лишь в том случае, если преобразуемая кривая пересекаетокружность, описанную около координатного треугольника.
Чтобы определить направление в котором удалена точка кривой вбесконечность достаточно построить указанным выше графическим путём образ точкипересечения кривой с описанной около координатного треугольника окружностью.
2) Эллиптические кривые
Более сложными по своей природе являются кривые первого рода. Правыечасти их параметрических уравнений могут быть выражены эллиптическими функциямипараметра, в силу чего такие кривые называют эллиптическими, и при изучении ихшироко пользуются свойствами эллиптических функций.
Подобно тому, как рациональные кривые 4-го порядка могут быть полученыквадратичным преобразованием кривых второго порядка, эллиптические кривые 4-гопорядка получаются квадратичным преобразованием кривых третьего порядка, неимеющих двойных точек и проходящих через две вершины координатноготреугольника.
3) Циркулярные кривые
Циркулярные кривые являются алгебраическими кривыми, проходящими черезциклические точки плоскости. Уравнение окружности, записанное в однородныхкоординатах, имеет вид /> Точкипересечения этой окружности с несобственной прямой х3=0 определяютсясистемой />. Полагая х1=1,находим эти точки J1 (1, i, 0) и J2 (1, – i, 0). Так как изменение коэффициентов А, В, С в уравненииокружности не изменяет найденных координат, то можно утверждать, что всякаяокружность проходит через точки J1и J2, которые являютсянесобственными и мнимыми точками этой окружности и называются круговымиили циклическими точками плоскости.
4) Бициркулярные кривые
Эти кривые получаются в результате стереографической проекции линиипересечения поверхности шара с поверхностью второго порядка, не проходящейчерез центр проекции.
Интересными свойствами обладают бициркулярные кривые 4-го порядка, еслиони одновременно являются рациональными кривыми. Будучи рациональными, этикривые должны иметь три двойные точки, но две двойные точки их должны совпадатьс циклическими точками плоскости, и следовательно, они будут иметь только однудвойную точку, не являющуюся бесконечно удалённой.
Общее уравнение таких кривых может быть записано в виде
(x2 + y2) + (dx + ey) (x2+ y2) + ax2 + bxy + cy2 = 0. (1)
Уравнение касательной в двойной точке имеет вид
ax2 + bxy + cy2 =0.
В зависимости от знака (или равенства нулю) дискриминанта b2 – 4ac двойнаяточка кривой окажется изолированной, точкой возврата или узловой.
/>Рис. 9/>Рис. 10
Бициркулярные рациональные кривые 4-го порядка могут быть образованыинверсией кривой второго порядка, но при условии, что полюс инверсии не лежитна этой кривой [1].
/>Рис. 11/>Рис. 12
На рисунке 9 представлена инверсия эллипса, причём полюс инверсии находитсяв центре эллипса, который является изолированной точкой кривой. На рис. 10и 11 приведена инверсия параболы, а на рис. 12 – инверсия гиперболы,причём полюс инверсии находится в фокусе гиперболы.
б) трансцендентные кривые
Трансцендентныминазываются кривые, уравнения которых, будучи записаны в прямоугольной системекоординат, не являются алгебраическими.
Разлагая в ряд правую часть уравнения такой, например, трансцендентнойкривой, как y = sin x, мы получимуравнение, содержащее алгебраические функции, однако число членов в нём будетнеограниченным, а степень – бесконечно большой. Это даёт основаниерассматривать трансцендентные кривые как алгебраические линии бесконечновысокого порядка. Соответственно этому можно полагать, что характерные точкиалгебраических кривых (точки пересечения с прямой, точки перегиба, особые точкии т.д.) у трансцендентных кривых могут встречаться в бесконечном количестве. Иэто на самом деле так: трансцендентная кривая может пересекать прямую вбесконечном числе точек, у неё может быть бесконечное множество вершин даже насколь угодно малом интервале (например, у кривой /> вблизиначала координат), бесконечное количество точек перегиба, асимптот и т.д.
Но помимо этой особенности, у трансцендентных кривых могут бытьхарактерные точки особой природы, которые не существуют у алгебраическихкривых. К ним относятся точки прекращения, обладающие той особенностью,что окружность достаточно малого радиуса, проведённая из такой точки как изцентра, пересекает кривую только в одной точке (например, кривая y=xlnx,имеющая точку прекращения в начале координат). Сюда относятся также угловыеточки, в которых прекращаются две ветви кривой, причём каждая из них имеетв этой точке свою касательную (например, кривая />, имеющая угловую точку вначале координат).
Трансцендентная кривая может иметь также ассимптотическую точку,к которой неограниченно приближается ветвь кривой, делая вокруг этой точкибесконечное количество оборотов (например, логарифмическая спираль r= аj,для которой ассимтотической кривой является полюс).
Помимо указанных характерных точек, трансцендентные кривые могутобладать весьма своеобразными особенностями формы. Кривая может иметь,например, пунктирную ветвь, состоящую из бесконечного множества изолиованныхточек (например, кривая /> имеетпунктирную ветвь, располагающуюся вдоль отрицательной части абцисс и состоящуюиз множества изолированных точек с абциссами -p, -2p, -3p,…).
До сих пор нет удовлетворительной классификации трансценденных кривых.Попытки определить основы теории трансцендентных кривых были мало состоятельны.
Одна из таких попыток заключалась в следующем. Было замечено, что уподавляющего числа известных трансцендентных кривых, также как и у всехалгебраических кривых, угловой коэффициент /> касательнойв каждой точке кривой является корнем алгебраического уравнения, коэффициентыкоторого представляют собой полиномы от х и у. Иными словами, дифференциальныеуравнения подавляющего большинства известных в науке трансцендентных кривыхявляются уравнениями первого порядка вида
/> 4. Кривые, изучаемые в школьном курсе математики
Эллипсом называетсямножество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двухданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чемрасстояние между фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояниемежду фокусами. [9, 10]
Уравнение/> называется каноническимуравнением эллипса.
Можновыделить следующие свойства эллипса (см. рис. 13):
1. Точка О (0; 0) принадлежит эллипсу;
2. хи у входят в уравнение чётной системы, поэтому если точка М (х; у)принадлежит эллипсу, то эллипсу принадлежит точка М1(-х; у),М2(х; – у), М3(-х; – у),следовательно, эллипс – фигура, симметричная относительно Ох, Оу,начала координат. Оси Ох, Оу, являются осями симметрии эллипса.Можно доказать, что эллипс, отличный от окружности, не имеет других осейсимметрии;
3. Найдём точки пересечения с осямикоординат:
/>
Рис. 13
Сосью Ох: у=0 /> /> А1(а;), А2(-а; )
Сосью Оу: х=0, /> /> В1(b; ),B2(-b; )
a >b, т. к.b2 = a2 – b2, следовательно А1A2 – большая ось эллипса, В1В2– малая ось эллипса;
Исследуемповедение эллипса в первой четверти:
/> />, следовательно, />.
Так,с возрастанием х от 0 до а у b, тофункция у в первой четверти убывающая. При х = 0, у = b; при х= а у = 0, А1A2 – вершины эллипса.
Гиперболой называетсягеометрическое место точек, для каждой из которых абсолютная величина разностирасстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, естьданное положительное число 2а, меньшее, чем расстояние 2с междуфокусами. [5]
Каноническимуравнением гиперболы является уравнение />. Оно используется дляизучения её геометрических свойств (см. рис. 14):
1. Точка О (0; 0) не принадлежитгиперболе.
2. Гипербола симметрична относительно осейи начала координат. Так же как и в случае эллипса, точка О являетсяцентром симметрии гиперболы, а прямые Ох и Оу – осями симметрии.Центр симметрии называется центром гиперболы.
3.С осью Ох: у=0 /> />, А1(а;), А2(-а; )
Сосью Оу: х=0, /> />, В1(b; ),B2(-b; )
/>
Рис. 14
4. Т. о. /> /> х = – а и х= а – точки гиперболы лежат вне полосы. [14]
Параболой называетсягеометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторойфиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию донекоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус, и называемойдиректриссой. [7, 8]
Расстояниеот фокуса параболы до её директрисы называется параметром параболы.Эксцентриситет параболы принимается равным единице.
Уравнениеу = 2 рх является каноническим уравнением параболы. Каноническоеуравнение параболы также используется для изучения её геометрических свойств(см. рис. 15):
/> />
/>
Рис. 15
1. Точка О (0; 0) принадлежитгиперболе;
2. Если точка М (х; у)принадлежит параболе, то точка М1(х; – у) такжепринадлежит параболе, следовательно, парабола симметрична относительно Оу.
3. Из уравнения параболы у – любое,/>, т.е. «ветви» параболырасположатся в положительной полуплоскости, относительно Оу.
4. В I четверти />, при />, />. В первой четверти увозрастает. [13]
5.Цели и задачи факультативных занятий
Внастоящее время традиционный взгляд на содержание обучения математике, её рольи место в общем образовании пересматривается и уточняется. Для продуктивнойдеятельности в современном мире требуется достаточно прочная базоваяматематическая подготовка.
Факультативныезанятия по математике призваны углублять математические знания школьников, ужеопределивших основной круг своих учебных интересов.
Главнойцелью факультативных занятий по математике является углубление и расширениезнаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математическихспособностей, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиямматематикой, воспитание инициативы и творчества.
Длятого, чтобы факультативные занятия по математике были эффективными, необходимоорганизовать там, где есть:
1) высококвалифицированные учителя илидругие специалисты, способные вести занятия на высоком научно – методическомуровне;
2) не менее 15 учащихся, желающих изучатьданный факультативный курс. [12]
Факультативы– занятия, основанные на принципе добровольного участия и призванные решать триосновные задачи:
1) повышение уровня математическогомышления, углубление теоретических знаний и развитие практических навыковучащихся, выявления математических способностей;
2) организация досуга учащихся в свободноеот учёбы время.
Данныйфакультатив предназначен для учеников 11 классов.
Дляпроведения факультатива выделяется 1 час в неделю, всего 16 часов, разработанна первое полугодие. [18]
Посуществу, факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностьюдифференциации обучения. 6. Тематическое планирование факультатива
1
История изучения плоских кривых
1 ч
2
Способы образования кривых
3 ч
Классификация плоских кривых
4 ч
3
Алгебраические кривые
1 ч
4
Род алгебраических кривых
2 ч
5
Трансцендентные кривые
1 ч
Кривые, изучаемые в школьном курсе математики
6 ч
6
Эллипс
1 ч
7
Гипербола
1 ч
8
Парабола
2 ч
9
Итоговое занятие. Выпуск математической газеты
2 ч Занятие №1
Тема: Историяизучения плоских кривых
Цели: 1)познакомить с историей изучения плоских кривых;
2)развить интерес у учащихся к знаниям, повысить интерес к учению;
3)углубить знания, полученные на уроках математики.
Ход занятия
I. Организационныймомент
II. Основная часть
1) Лекция об истории изучения плоскихкривых [см. гл. I § 1]
2) Задание
Ребята,разгадаем с вами кроссворд:
ПАСКАЛЬ
ПАПИРУС
АПОЛЛОНИЙ
РОБЕРВАЛЬ
АРХИМЕД
ГЕОМЕТРИЯ
Погоризонтали
1. Учёный, считавший, что дуга спиралиАрхимеда равна дуге параболы
2. Египтяне за 17–20 веков до нашей эрызанимались квадратурой круга. Как назывался документ?
3. Кто написал трактат о коническихсечениях? (3–2 в. до н.э.)
4. Какой учёный показал, что задачаспрямления спирали идентична задаче спрямления параболы?
5. Учёный, решивший задачу о квадратуресегмента параболы.
6. Как называлась книга Р. Декарта,изданная в 1637 году?
Повертикали
1. Название линии, прошедшей большойисторический период.
III. Итог занятия
1) Домашнее задание
Написатьреферат на тему «История изучения плоских кривых».Занятие №2–3
Тема: Эллипс
Вдекартовой системе координат, как хорошо известно, окружность радиуса Rcцентром C (a; b) задаётсяуравнением (x2 – a2) + (y2 – b2) = R2. Если сжатьокружность с центром в начале координат к вертикальному диаметру скоэффициентом k > 0, тополучится линия с уравнением k2x2 + y2 = R2 (1), котораяназывается эллипсом. При этом ясно, что если k > 1, то это действительно сжатие в привычном смыслеэтого слова (рис. 16, а), а если 0 k сжатие.
Преобразуемуравнение (1). Разделим его обе части на R2:
/> /> /> всегда.
Сделаемзамену /> и />, тогда получим уравнение эллипсав общем виде; /> (2).
/> />
Рис. 16
Уравнение(2) называется каноническим уравнением эллипса. В школьном курсеизучается уравнение окружности с центром в начале координат /> (3).
Посмотрим,как связаны окружность и эллипс.
Вуравнении (3) сделаем замену />
/> Разделимна R2:
/>.Пусть />, тогда />.
Итак,мы видим, что окружность – частный случай эллипса, когда а = b.
Отметимещё, возвращаясь к уравнению (1), что окружность – это эллипс, где k = 1.
Изуравнений видно, что эллипс – линия, симметричная относительно обеих осейкоординат, а значит, и центрально-симметричная. Геометрически, он полностьюхарактеризуется одним из поперечных размеров (они называются осями эллипса) иих отношением.
Вокругэллипса естественным образом описывается прямоугольник со сторонами, равнымиосям эллипса и параллельными координатным прямым, который является результатомсжатия квадрата, описанного вокруг исходной окружности. Называется он осевымпрямоугольником эллипса. Если научиться его строить по уравнению эллипса,то довольно легко после этого изобразить и сам эллипс.
1) Например, дано уравнение а) 3х2+ у2 = 7. Изобразить эллипс двумя способами. [16]
I способ
Запишемего в виде />. Устанавливаем, что />, строим осевойпрямоугольник со сторонами 2R, l и изображаем сам эллипс(рис. 17). Отметим, что в правой части уравнения должно быть положительноечисло, а в левой – сумма квадрата абсциссы, взятого с положительнымкоэффициентом, и квадрата ординаты.
/>
Рис. 17
II способ
Приведёмуравнение к каноническому виду.
Разделимобе его части на 7.
/> />
Получим,что />
Строимосевой прямоугольник со сторонами а и 2b, а затем изображаемэллипс.
Отметим,что, например, уравнение 3х2 + 5у2 = 7следует сначала преобразовать к виду х2 + у2= /> или /> а затем находить R, k иa, bсоответственно.
Еслицентр эллипса находится не в начале координат, но его оси параллельныкоординатным осям, то он задаётся уравнением /> (4),
гдеС (а; b) – центр эллипса. Это легко следует из формул параллельногопереноса, или каноническим уравнением
/> (5)– С (х; у) – центр эллипса.
Данногоматериала достаточно для построения эллипса в том случае, если он задануравнением, содержащем как квадраты, так и первые степени переменных.
б)/>
I способ
Преобразуемк виду (4): />
Этоуравнение эллипса с центром в точке С (5; – 4), где k = /> (рис. 18)
/>
Рис. 18
II способ
Преобразуемк виду (5): />. Получили уравнениеэллипса с центром в точке С (5; – 4), где а = 3, b = 2.
Строимсам эллипс.
2. Найти длины полуосей и координатыфокусов следующих эллипсов:
а)/>
Приводимуравнение к каноническому виду />, а= 3, b = 2.
ФокусыF1 и F2 имеют координаты F1(с; 0) и F2(– с; 0).
/>
Итак,F1(/>; 0) и F2(/>; 0) а =3, b = 2.
б)/> Решаем аналогично а). />,а = 3, b = 1.
F1(с; 0), F2(– с; 0). />
Итак,F1(/>; 0) и F2(/>; 0) а =3, b = 1.
в)/>
/>,а = />, b = />.
F1(с; 0), F2(– с; 0): />
Итак,а = />, b = />, F1(/>; 0), F2(-/>; 0).
3. Найти координаты точек М,принадлежащих эллипсу /> иравноудалённых от фокусов.
ПустьМ (х; у), тогда МF1 = МF2 (по условию). Т.к. F1(с; 0), F2(– с; 0): /> то />
/>
Еслих = 0, то, подставляя его в исходное уравнение, получим: />, /> Следовательно, /> и />.
4. Взяв на плоскости прямоугольную декартовусистему координат, изобразить области, определяемые следующими системами неравенств.
а)/>
Построиммножество точек, определяемых 1-м, 2-м, 3-м неравенством.
Найдёмпересечение этих множеств.
I. Построим эллипс /> но т. к. неравенствострогое, то точки эллипса не принадлежат искомой области, т.е. неравенство (2)задаёт внутренние точки эллипса.
/>
Устанавливаем,что R = 3, /> (0k Cтроим осевойпрямоугольник со сторонами /> и изображаемэллипс.
II. Строим множество точек, заданных вторымнеравенством. Для этого строим прямую /> и штрихуем определяемую область.
/>
III. Аналогичные рассуждения для построенияобласти, заданной неравенством у + 2 > 0.
Построение.
б)/>
Построиммножество точек, определяемых 1-м, 2-м, и 3-м неравенствами.
Найдёмпересечение этих множеств.
I. /> – эллипс, точки которогоне принадлежат искомой области (неравенство строгое), т.е. неравенство задаётвнешние точки эллипса. Приведём уравнение к каноническому виду
/>
Строимосевой прямоугольник со сторонами a иb, изображаем эллипс.
II. Строим множество точек, заданныхнеравенством (2). Для этого изображаем прямую у = 3 и штрихуемопределяемую область.
/>
III. Рассуждаем аналогично.
Построение.Занятие №4–5
Тема: Гипербола
Учащиесяхорошо знакомы с гиперболой как с графиком функции /> ис такими понятиями, как её ветви и асимптоты. Гипербола не только являетсяцентрально-симметричной линией (как график нечётной функции), но и имеет двеоси симметрии – это биссектрисы пар вертикальных координатных углов (рис. 19).
Рассмотримуравнение x2 – y2 = l и покажем,что линия, задаваемая им – это тоже гипербола. Перепишем уравнение в виде (x – y) (x + y) = l. Введёмновые переменные: /> тогда в системе(u, v) исходное уравнение примет вид uv = l, и этобудет гипербола, расположение ветвей которой полностью определяется знакомчисла l.
Дляизображения гиперболы выясним, как расположены оси системы координат (u, v) вкоординатной плоскости (х, у), считая, что u –абсцисса и v – ордината в новойсистеме координат. Ось абсцисс – это множество точек, для которых v = 0, т.е./> в исходной системекоординат, или в исходной системе координат, или />.Это биссектриса чётных координат углов. Аналогично, />.Это биссектриса нечётных координатных углов. Для выяснения направлений на осяхрассмотрим на оси Ou точку А (рис. 20), которая в системе координат(х, у) имеет координаты (1, -1). Тогда для этой точки u = 1 – (–1) = 2 > 0, т.е. она лежит на положительной полуоси Оu. Аналогично, рассматривая на оси Ov точку В(1; – 1), получим, что для неё />, и,значит, она расположена на положительной полуоси Ov.
Этопозволяет сделать вывод о том, что преобразование /> переводитсистему координат (х, у) в систему (u, v), осикоторой повёрнуты пол отношению к исходной на угол />.
/>
Рис. 19
/>
Рис. 20
/>/>
Рис. 21
Уравнениепри этом преобразуется в уравнение uv = l, которое равносильноуравнению /> ибо /> равенство означало бы />, и, значит, /> В зависимости от знакачисла l мы можем изобразить ветви гиперболы в соответствующихкоординатных четвертях системы />, темсамым будет получено изображение гиперболы, задаваемой уравнением /> в системе координат />.
Приэтом, подставляя в исходное уравнение /> или/> в зависимости от знака l, мыполучим точки пересечения гиперболы с той или иной координатной осью. Эти точкиназываются вершинами гиперболы (рис. 21).
Еслик гиперболе /> провести касательные в еёвершинах (Теорема. Касательная к гиперболе в произвольной еёточке является биссектрисой внутреннего угла М0треугольника F1M0F2, имеющего своими вершинами фокусы гиперболы и данную точкуМ0, см. рис. 27), то они пересекут асимптоты гиперболы вточках, которые будут вершинами квадрата (это следует из соображенийсимметрии). Удобно этот квадрат назвать осевым квадратом гиперболы (рис. 23).Центр этого квадрата совпадает с центром симметрии гиперболы, её диагонали –это её асимптоты, а сторона равна />.
/> />
Рис. 22,23
Еслипроизвести сжатие к оси Ох с коэффициентом k > 0, k ¹ 1, то гиперболапреобразуется в линию, также называемую гиперболой, но о такой гиперболеговорят, что она неравнобокая. Исходную же гиперболу называют равнобокой. Прнсжатии осевой квадрат преобразуется в осевой прямоугольник, а диагоналиквадрата – в диагонали прямоугольника (они будут асимптотами для получающейсянеравнобокой гиперболы). Уравнение неравнобокой гиперболы имеет вид: />, где k2¹ 1.
/>Рис. 24
Такимобразом, уравнение /> (k ¹ 0, l ¹ 0)всегда задаёт гиперболу. Она равнобокая, если k = 1 и неравнобокая,если k = -1. Её вершины лежат на оси Ох, если l > 0, ина оси Оу, если l
Преобразуемуравнение />. Разделим обе его части наl:
/> /> (1)
Еслиl > 0, то уравнениепримет вид (1), а если
l (2).
Сделаемзамену />, />, тогда получим уравнениегиперболы в общем виде
/> (3)/> (4).
Уравнения(3) и (4) называются каноническими уравнениями, а гиперболы, заданныеэтими уравнениями, называются сопряжёнными, а и b – стороныосевого прямоугольника. Если a = b – осевого квадрата.
Длязакрепления решим несколько задач. [17]
1) Построить графики.
а)/>
I способ.
Этоуравнение равносильно уравнению />.Поскольку l Оу. Гипербола неравнобокая, т. к./>. Строим осевойпрямоугольник со сторонами /> и />, где />, />. Чертим график гиперболы.
II. способ
Приведёмуравнение к каноническому виду
/>,/>, следовательно, /> Строим осевойпрямоугольник, а затем изображаем гиперболу.
/>
Параллельныйперенос гиперболы преобразует уравнение к виду:
/> (5)(или /> (6)).
Рассмотримспособ построения гиперболы по уравнению данного вида.
б)/>. Преобразуем его к виду(5) /> и далее: /> Это уравнение гиперболы,где /> /> Осевой прямоугольник состоронами /> смещён на две единицывверх и вправо. Строим его и изображаем гиперболу.
/>
II способ.
Приводимуравнение к каноническому виду:
/>,следовательно, />
Центросевого прямоугольника – точка (2; 2).
Строимего и изображаем гиперболу.
2) Найти длины полуосей и координатыфокусов следующих гипербол:
а)/>
/> />.
Привелик каноническому виду, а следовательно а = 2, b = 3.
F1 и F2 имеют координаты: F1(– с; 0), F2(с; 0).
/>
Такимобразом, F1(/>; 0), F1(/>; 0).
Ответ:а = 2, b = 3,F1(/>; 0), F1(/>; 0).
б)/>
/> /> Используя каноническоеуравнение, получим:
/>.
Мызнаем, что F1(– с; 0), F2(с; 0),
/>
Итак,/>, F1(/>; 0), F1(/>; 0).
в)/>
/>,/>
F1(– с; 0), F2(с; 0): />
Ответ:/> F1(/>; 0), F1(/>; 0).
3) Составить каноническое уравнениегиперболы, если расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусамиравно 10;
Итак,нам дано, что /> Находим, что />.
Каноническоеуравнение гиперболы имеет вид /> Т. к. />, то уравнение можнозаписать следующим образом: />
4) Взяв на плоскости прямоугольнуюдекартову систему координат, построить области, определяемые следующимисистемами неравенств:
а)/>
построиммножество точек, определяемых 1-м и 2-м неравенствами. Найдём пересечение этихмножеств.
I. Построим гиперболу />. После преобразования получаемканоническое уравнение /> сполуосями а = 2 и b = 1. Точки гиперболыне принадлежат искомой области, т. к. неравенство строгое. Это неравенствоопределяет внутренние точки гиперболы. Строим осевой прямоугольник, гиперболу иизображаем искомую область.
II. Строим множество точек. Заданных вторымнеравенством. Для этого изображаем прямую /> и штрихуем определяемую область.
Построение.
/>
б)/>
Построиммножество точек, определяемых 1-м, 2-м. 3-м неравенствами. Найдём пересечениеэтих множеств.
I. построим гиперболу />. Её точки принадлежатискомой области, т. к. неравенство не строгое. Т. о. Неравенствоопределяет внешние точки гиперболы. Преобразуем уравнение. /> это уравнение гиперболы,где />, точки которой непринадлежат искомой области (неравенство строгое), /> строимосевой прямоугольник со сторонами /> иизображаем гиперболу.
II. Строим множество точек, заданных вторымнеравенством. Для этого изображаем прямую /> иштрихуем определяемую область.
III. Рассуждаем аналогично. строим прямую /> и штрихуем определяемуюобласть.
Построение.
/> 7. Эксперимент
Некоторыепрактические материалы. Предложенные в гл. II провереныэкспериментально в 10–11 классах ГОУ СОШ с. Новкус-Артезиан.
Тема эксперимента:«Различные уравнения эллипса, гиперболы, параболы и их графики».
Экспериментпроводился в два этапа.
I этап эксперимента.
Доизложения теории о линиях второго порядка (до Темы 1) предлагались задания напроверку уровня знаний учащихся о знакомых им линиях второго порядка.
Учащимсябыло предложено ответить на вопросы и выполнить задания:
1. Какие из перечисленных ниже графиковпредставлены на чертеже:
а)окружность;
б)эллипс;
в)гипербола;
г)парабола?
/>
/>
2. Каким из перечисленных выше уравненийзадаётся каждый из них:
а)/>,
б)/>
в)/>
г)/>
3. Какие методы построения графиковфункции вы знаете?
4. Приведите примеры распространения линийвторого порядка в жизни, природе, технике.
5. Какие вы знаете свойства эллипса,гиперболы, параболы, окружности?
II этап поискового эксперимента проводился после проведения факультативныхзанятий.
Подбиралисьзадачи, аналогичные тем, которые рассматривались на кружковых занятиях. Заданиядостаточно стандартные, аналогичные тем, которые были проведены на первом этапеэксперимента и задания по нестандартному решению задач.
Учащимсябыли предложены следующие задания:
1. Нарисовать схематически графики данныхуравнений:
а)/>,
б)/>
в)/>
г)/>.
2. По заданным уравнениям определитеназвание линии второго порядка:
а)/>
б)/>
в)/>
г)/>.
3. Построить график функции />
4. Решить уравнения: а) />
б)/>
Послепроведения эксперимента можно сделать следующий вывод: у учащихсяэкспериментальной группы значительно поднимается уровень логического мышления иразвивается математическая интуиция, они чётко аргументируют ответы, приводятдоказательства и хорошо ориентируются в изученном материале, применяя его науроках.
Результаты эксперимента
Количество учащихся
Iэтап
IIэтап
15
28%
75%
Заключение
Вквалификационной работе разработана теория плоских кривых и замечательныхкривых, предложена разработка факультатива для учащихся 9–11 классов на тему«Плоские кривые».
Послеизучения научной и методической литературы материал отобран с учётомпсихологических и физиологических особенностей учащихся старших классов исистематизирован для целостного изложения.
Выдвинутаягипотеза, на наш взгляд подтверждается на основе наблюдений и частичногоэксперимента в период педагогической практики.
Содержаниевсех занятий позволяет углубить представление учащихся об эллипсе, гиперболе.Параболе и ознакомить их с некоторыми, наиболее часто встречающимисязамечательными кривыми, приблизить их к пониманию некоторых важных идейсовременной математики.
Литература
1. Савелов А.А. Плоские кривые.– М.: ГИФ-МЛ, 1960
2. Гильберт Д., Кон-Фостен С.Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981.
3. Моденов П.С. Аналитическаягеометрия М.: Наука, 1969
4. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. –учебное пособие для студентов физ. – мат. факультетов пед. институтов. – М.: Просвещение,1987
5. Александров П.С. Лекции поаналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры сприложениями собрания задач, снабжённых решениями, составленные А.С. Пархоменко.– М.: Наука, 1968
6. Александров П.С. Курсаналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1979
7. Энциклопедический словарь юногоматематика. М.: Педагогика, 1989
8. Математический энциклопедическийсловарь. М.: Советская энциклопедия, 1988
9. Маркушевич А.И. Замечательныекривые. – М.: – наука, 1978
10. Водинчар М.И., Лайкова Г.А., Калинова Т.Ю. Линиивторого порядка и графики иррациональных функций // Математика в школе,1999, №3.
11. Дубровин В.А., Новиков С.П., Фоменко А.Г. Современнаягеометрия. Методы и приложения. – М. Наука, 1986
12. Методика преподавания математики всредней школе. – М.: Просвещение, 1980
13. Кузнецова Г.Б. Алгебра точекпараболы // Математика в школе, 1974, №2
14. Ткаченко А.А. Об одномсвойстве гиперболы // Математика в школе, 1976, №2
15. Лабораторные и практические работы пометодике преподавания математики: учебное пособие для физ. – мат.Специальностей пед. институтов \ под редакцией Лященко Е.И. – М., 1988
16. Шарыгин И.Ф. Факультативныйкурс по математике: решение задач. Уч. пособие для 10 кл. средней школы. – М.,1989
17. Абрамов А.Щ., Ивлев Б.М. идр. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: уч. пособие для10–11 кл. средней школы. – М., 1993
18. Программа общеобразовательных учреждений.Математика. – М. «Просвещение», 2002