Задачи для подготовки школьников к математическим олимпиадам. Составитель: Добродей Н.Ю учитель математики МОУ СОШ ЗАТО Солнечный Очень часто у учителей возникает вопрос: как готовить школьников к математическим олимпиадам? Думается, что ответ на этот вопрос хорошо известен всем: единственный способ подготовить школьников к олимпиадам – это регулярно и на протяжении длительного времени решать с ними разнообразные задачи.
При этом необходимо не только отрабатывать основные технические приемы решения типовых задач, но и постоянно предлагать незнакомые задачи, непривычные как по формулировкам, так и по методам решения. Если чаще моделировать для учеников жесткую обстановку олимпиады, выпускного и вступительного экзамена, то в них можно воспитать не только логическое мышление, но и бойцовский характер. Совершенно ясно, что учитель, который собирается регулярно предлагать школьникам трудные и интересные
задачи, сам должен уметь и любить их решать. В настоящее время издано много сборников, которые прекрасно подходят для этих целей. Поэтому основная проблема зачастую заключается не в том, где найти хорошие задачки, а в том, какие именно задачи отобрать – ведь все их все равно не перерешаешь. А вот отбор задач – это уже дело вкуса каждого учителя. Мне хотелось бы предложить вам несколько задач, от решения которых лично я получила удовольствие.
Большинство из задач снабжены краткими решениями или указаниями. Задачи 1. Разрезать прямоугольник 4×9 на 2 равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат. 2. Разрезать квадрат на 5 прямоугольников, никакие 2 из которых не имеют общей стороны. 3. Может ли каждая из 4 треугольных стран иметь общий отрезок границы с каждой другой страной? 4. Разрезать треугольник с углами 105,
15 и 60 на 3 равнобедренных треугольника. 5. Разрезать треугольник с углами 85, 15 и 80 на 3 равнобедренных треугольника. 6. Разрезать квадрат на 6 квадратов, 7 квадратов, 8 квадратов, n квадратов ( n 6 ). 7. Можно ли разрезать квадрат на 3 квадрата, 5 квадратов?
8. Каким образом можно набрать из реки ровно 6 литров воды, если имеются два ведра – одно емкостью 4 литра, другое – 9 литров. 9. Тот же вопрос, но отмерить надо 8 литров ведрами емкостью в 15 и 16 литров. 10. Имеются два полных десятилитровых бидона молока и пустые 4- и 5-литровые кастрюли. Отмерить по 2 литра молока в каждую кастрюлю. 11. Каждый десятый математик – философ, каждый одиннадцатый философ – математик.
Кого больше – философов или математиков. 12. В некоторой стране живут Карабасы и Барабасы. Каждый Карабас знаком с десятью другими Карабасами и девятью Барабасами, а каждый Барабас – с десятью Карабасами и восемью Барабасами. Кого в стране больше – Карабасов или Барабасов? 13. В одном стакане 9 ложек молока, а в другом 7 ложек чая.
Ложку молока перелили из первого стакана во второй, перемешали и ложку чая с молоком перелили обратно в первый стакан. Затем так сделали еще три раза. Чего в результате оказалось больше: чая в молоке или молока в чае? 14. На листке выписаны числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Разрешается к двум из этих чисел одновременно прибавлять по единице. Можно ли в результате нескольких таких операций получить 6 равных чисел?
15. Тот же вопрос для чисел 1, 2, 3, 4 и 16. Хулиганы Петя и Вася порвали стенгазету, причем Петя каждый кусок рвал на 5 частей, а Вася на 9 частей. При попытке собрать стенгазету нашли 1998 обрывков. Докажите, что нашли не все обрывки. 17. На хоккейном поле лежат три шайбы: А, В и С. Хоккеист бьет по одной из них так, что она пролетает между двумя другими.
Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на исходных местах? 18. К семнадцатизначному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна. 19. Докажите, что в любой компании число людей, сделавших нечетное число рукопожатий, четно. 20. Пускай s(n) означает сумму цифр числа n. Решите уравнение x + s(x) = 1 000 000 000 .
21. Незнайка перемножил все числа от 1 до 100, затем посчитал сумму цифр произведения. У полученного числа он опять посчитал сумму цифр, и так далее, пока не получилось однозначное число. Найдите это число. 22. Можно ли натуральные числа от 1 до 100 выписать в строку так, чтобы разность двух соседних ( из большего вычитается меньшее ) была не меньше 50? 23. В числе переставили цифры и получили число, в три раза меньшее.
Докажите, что исходное число делилось на 27. 24. По кругу сидят 15 мальчиков и 15 девочек. Докажите, что число пар рядом сидящих мальчиков равно числу пар рядом сидящих девочек. 25. Три кузнечика на прямой играют в чехарду, причем прыгать разрешается одновременно только через одного кузнечика. Могут ли они за 999 прыжков вернуться в исходное положение. Решения. 4. Разбить угол 105 на углы в 15,
30 и 60. 5. Соединить центр описанной окружности с вершинами. 8. Из девятилитрового ведра выливаем 2 раза по 4 литра. Оставшийся литр переливаем в четырехлитровое ведро. После этого снова набираем девятилитровое ведро и доливаем из него 3 литра в четырехлитровое. В девятилитровом ведре останется 6 литров. 11. Пусть имеется
X человек, являющихся одновременно математиками и философами. Тогда всего имеется 10X математиков и 11X философов, т.е. философов больше. 12. Пускай в стране живут К Карабасов и Б Барабасов. Тогда имеется 9К дружб между Карабасами и Барабасами и 10Б дружб между Барабасами и Карабасами. Очевидно, что 9К=10Б, т.е.
К > Б. 13. Т.к. общее количество жидкости в стаканах не изменилось, то количество чая в молоке равно количеству молока в чае. 14. Сумма данных чисел нечетная. В результате указанной операции четность суммы не меняется, в то время как сумма шести одинаковых чисел должна быть четной. 15. Можно. 16. В начале имелся 1 кусок бумаги (целая газета). Каждый раз число кусков увеличивалось либо на 4, либо на 8, т.е. оставалось нечетным.
17. После каждого удара направление обхода вершин треугольника АВС меняется на противоположное, поэтому через 25 ударов оно не может стать первоначальным. 20. Т.к. x может быть только девятизначным числом, то s(x) 81, поэтому x 999 999 919. С другой стороны x и s(x) имеют одинаковый остаток от деления на 9. Этим остатком может быть только число 5, т.к. 1 000 000 000 дает при делении на девять остаток 1.
Перебором находим x = 999 999 932. 21. Каждый раз у Незнайки получается число, которое делится на 9. Поэтому последнее число равно 9. 22. Можно. 51, 1, 52, 2, 53, 49, 100, 50. 24. Если каждую пару считать 2 раза, то 15 мальчиков участвуют в 30 парах, и 15 девочек тоже. Если имеется х пар, в которых мальчик сидит рядом с девочкой, то будет х пар, в которых девочка сидит рядом с мальчиком. Поэтому количество пар маль