Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел

Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел

Рассматривается
определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя,
простого поля и поля рациональных чисел.

п.1.
Определение поля.

Определение. Пусть – кольцо с единицей
1. Элемент  из множества  называется обратным в кольце , если .  называется обратным к .

Примеры.

Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо , элемент 2
необратим в этом кольце, так как , элемент 5
необратим в кольце целых чисел. – обратимые
элементы в кольце целых чисел

Рассмотрим кольцо рациональных чисел , обратимыми
являются все элементы кроме .

Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо
, обратимыми
являются все элементы кроме .

Определение. Поле – это кольцо , если:

– коммутативное
кольцо (операция  коммутативна)

– кольцо с
единицей 1, единица .

Всякий ненулевой элемент кольца  обратим.

Примеры полей.

– поле
рациональных чисел.

– поле
действительных чисел.

Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим
поле с конечным числом элементов.

Поле Галуа – галуафилд. ; . Определим

операции сложения и умножения:

 И   – бинарные
операции, – унарная

Из этой таблицы видно, что операция –
коммутативна, -бинарные
операции, – унарная
операция, т.к. , .

п.2.
Простейшие свойства поля.

Пусть – поле.
Обозначение:    .

Если , то .

Доказательство. Пусть , докажем, что
, то есть , тогда  противоречие с аксиомой поля . Если , то по
аксиоме полей | ,  .

Если , .  умножим равенство  справа на , то есть  .

.

Доказательство. Если , то , умножая обе
части равенства  на  слева,  .

В поле нет делителей 0.

Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы
контрапозиции: , , значит нет
делителей нуля.

Каждое поле является областью целостности.

Доказательство. Следует из определения поля и области
целостности.

.

Доказательство. . Умножим обе
части равенства справа на  , где .

, где .

Доказательство. Выпишем правую часть    равна левой части.

, где .

Доказательство. Правая часть   равна левой части.

, .

Доказательство. Правая часть  левая часть.

, .

Доказательство. Левая часть  .

, .

Если , то .

Доказательство. Вычислим произведение   то есть  обратный элемент к .

, где .

Доказательство. Левая часть равна   равна правой части.


коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0
элементов.

Доказательство. Следует из свойств поля:

1. , так как
поле.

2.

3.

4. , так как поле

Так как поле – это кольцо определённого вида, то под
гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для
изоморфизмов.

п.3. Подполе.

Определение. Подполем поля  называется подкольцом с единицей поля , в котором
всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля , отличное от  называется собственным полем.

Определение. Поле называется простым, если оно не
имеет собственных подполей.

Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть
поле . Для того,
чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции  и  подмножеству. Например, поле рациональных
чисел является подполем поля действительных чисел.

п.4. Поле
рациональных чисел.

Алгебраическая система  называется системой рациональных чисел, если:

Алгебра – это поле с
единицей 1.

Множество  замкнуто относительно операции  и

Аксиома минимальности, если  такое, что:

а)

б)  , тогда .

Список литературы

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики.
Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории
групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры.
– М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры.
– М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные
структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье –
М.: Физмат лит-ра, 2001

Для подготовки данной работы были использованы
материалы с сайта http://referat.ru/

Дата добавления: 06.10.2011