Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел
Рассматривается
определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя,
простого поля и поля рациональных чисел.
п.1.
Определение поля.
Определение. Пусть – кольцо с единицей
1. Элемент из множества называется обратным в кольце , если . называется обратным к .
Примеры.
Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо , элемент 2
необратим в этом кольце, так как , элемент 5
необратим в кольце целых чисел. – обратимые
элементы в кольце целых чисел
Рассмотрим кольцо рациональных чисел , обратимыми
являются все элементы кроме .
Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо
, обратимыми
являются все элементы кроме .
Определение. Поле – это кольцо , если:
– коммутативное
кольцо (операция коммутативна)
– кольцо с
единицей 1, единица .
Всякий ненулевой элемент кольца обратим.
Примеры полей.
– поле
рациональных чисел.
– поле
действительных чисел.
Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим
поле с конечным числом элементов.
Поле Галуа – галуафилд. ; . Определим
операции сложения и умножения:
И – бинарные
операции, – унарная
Из этой таблицы видно, что операция –
коммутативна, -бинарные
операции, – унарная
операция, т.к. , .
п.2.
Простейшие свойства поля.
Пусть – поле.
Обозначение: .
Если , то .
Доказательство. Пусть , докажем, что
, то есть , тогда противоречие с аксиомой поля . Если , то по
аксиоме полей | , .
Если , . умножим равенство справа на , то есть .
.
Доказательство. Если , то , умножая обе
части равенства на слева, .
В поле нет делителей 0.
Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы
контрапозиции: , , значит нет
делителей нуля.
Каждое поле является областью целостности.
Доказательство. Следует из определения поля и области
целостности.
.
Доказательство. . Умножим обе
части равенства справа на , где .
, где .
Доказательство. Выпишем правую часть равна левой части.
, где .
Доказательство. Правая часть равна левой части.
, .
Доказательство. Правая часть левая часть.
, .
Доказательство. Левая часть .
, .
Если , то .
Доказательство. Вычислим произведение то есть обратный элемент к .
, где .
Доказательство. Левая часть равна равна правой части.
–
коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0
элементов.
Доказательство. Следует из свойств поля:
1. , так как
поле.
2.
3.
4. , так как поле
Так как поле – это кольцо определённого вида, то под
гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для
изоморфизмов.
п.3. Подполе.
Определение. Подполем поля называется подкольцом с единицей поля , в котором
всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля , отличное от называется собственным полем.
Определение. Поле называется простым, если оно не
имеет собственных подполей.
Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть
поле . Для того,
чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции и подмножеству. Например, поле рациональных
чисел является подполем поля действительных чисел.
п.4. Поле
рациональных чисел.
Алгебраическая система называется системой рациональных чисел, если:
Алгебра – это поле с
единицей 1.
Множество замкнуто относительно операции и
Аксиома минимальности, если такое, что:
а)
б) , тогда .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики.
Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории
групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры.
– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры.
– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные
структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье –
М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованы
материалы с сайта http://referat.ru/
Дата добавления: 06.10.2011