Поняття проаберації. Монохроматичні і хроматичні аберації
В області параксіальних променівутворюється ідеальне зображення. Однак практичне використання оптичних систем,обмежених параксіальною областю, дуже мале. При збільшенні площі перетинупучків променів і розширенні області простору, що зображений реальною оптичноюсистемою, хід променів у системі і будівля пучків значно відрізняються від того,що має місце в ідеальній системі. У результаті реальні оптичні системи даютьзображення, яке лише більш-менш наближаєтьсся до ідеального. У зв’язку з цимнеобхідний критерій оцінки, за яким можна судити про ступінь наближенняреальної системи до ідеальної і який оцінюється якістю зображення. Одним зтаких критеріїв є аберації – погрішності зображень. Ці погрішності обумовленівідхиленнями променів від тих напрямків, по яких вони повинні були б йти відеальній оптичній системі. Таким чином, аберації можна розглядати як порушеннягомо-центричності пучків променів або сферичності хвильових поверхонь, а такожяк порушення розташування точки зображення при дії реальної оптичної системистосовно ідеальної.
Аберації оптичних систем поділяють намонохроматичні і хроматичні. Монохроматичними абераціями називають погрішностізображення, що мають місце для променів визначеної довжини хвилі. Сутністьхроматичних аберацій в тому, що при проходженні через заломлюючі поверхнівипромінювання складного спектрального складу воно розпадається на складеніспектральні частини внаслідок дисперсії світла. У цьому випадку зображенняявляє собою суму великого числа монохроматичних зображень, які не збігаютьсяміж собою ані за розміщенням чи за розмірами. Зображення стає пофарбованим.
Для математичного опису монохроматичнихаберацій їх поділяють на аберації третього порядку й аберації вищого порядку, ахроматичні – на аберації першого порядку, третього порядку й аберації вищогопорядку. У свою чергу серед монохроматичних аберацій третього порядкурозрізняють:
1) сферичну аберацію;
2) кому;
3) астигматизм;
4) кривизну зображення і
5) дисторсію.
Хроматичні аберації першого порядку включають:
1) хроматизм положення;
2) вторинний спектр і
3) хроматизм збільшення.
Хроматичні аберації третього порядку можна поділити на:
1) сферохроматичну аберацію;
2) кольорову кому;
3) кольоровий астигматизм;
4) кольорову кривизну і
5) хроматичну дисторсію.
Повний опис аберацій може бутиотриманий за допомогою эйконалів. Эйконали – це функції від деяких параметрів,що виражають оптичні довжини променя між спеціальним образом обраними точками.Оптична довжина променя визначається сумою /> добутків показників заломлення /> на відрізки />, відлічуванівздовж шляху променя, що йде від предметної точки до точки зображення.
Монохроматичні аберації. У загальному випадку геометричний зміст абераційстає зрозумілим з рис. 1. Перед умовно зображеною оптичною системоюрозташовується предмет />, ідеальне зображення якого />. У зв’язку зтим, що реальна оптична система порушує гомоцентричність променів, у загальномувипадку зовнішньомеридіональний промінь, що вийшов із точки В0, після оптичноїсистеми в точку В не приходить, а перетинає площину ідеального зображення вточці />.Тоді геометричною аберацією буде відрізок />. Зазвичай знаходять проекціїаберацій на двох площинах: меридіональну /> та сагитальну />. Тоді координатамиточки /> будуть/> та />. Нарозглянутому рисунку /> і />– площини предмета та зображення; /> і />– площинивхідної і вихідної зіниць; положення предметної площини і площини зображеннящодо першої й останньої поверхонь оптичної системи визначаються відповідновідрізками s і />, а положення зіниць щодо тих жеповерхонь- відрізками sp і />.
Рисунок 1– Геометричне представлення аберації
/>
Меридіональна /> і сагитальна /> складові поперечноїаберації зовнішньомеридіонального променя є функціями координат променя уплощині предмета і вхідної зіниці (у, т, М), а також залежать відконструктивних параметрів оптичної системи, положення предметної площини івхідної зіниці (Sp’). Теорія аберацій встановлює зв’язок між складовимиаберацій /> та/> ікоординатами променя у, т та М:
/> (1)
Внаслідок симетрії системи щодооптичної осі функції (1) не містять членів парних порядків:
/>
Складові аберацій /> і /> називають абераціямитретього порядку, /> і /> — п’ятого порядку і т.д. Доаберацій вищих порядків відносять складові аберацій вище третього порядку.
Найбільше застосування в обчислювальній оптиці отрималирозкладання Зейделя (або аберації третього порядку), що записуються у такомувигляді:
/> (2)
де А, В, С, D, Е- коефіцієнти, щозалежать від конструктивних параметрів, а також від положення площин предмета івхідної зіниці.
Кожний з коефіцієнтів у формулах (2)визначає окрему аберацію, для якої характерна своя фігура розсіювання.
Розгляд фігур розсіювання, що виникаютьпри абераціях третього порядку, зручно проводити в полярних координатах і заумови, що присутнім є тільки один який-небудь коефіцієнт. У цьому випадку /> і />, де j- кут між радіусом-вектором і віссю ординат.
Сферична аберація. Припустимо, що B = C = D = E = 0,A ¹ 0. З формул(2) випливає, що
/>
Переходячи до полярних координат, післянескладних перетворень одержуємо рівняння окружності
/>.
Отже, зображення точки при наявностісферичної аберації виходить у вигляді плоского кола (диска), радіус якогопропорційний до третього ступеня радіуса-вектора r, який визначаєточку зустрічі променя з площиною вхідної зіниці, а центр збігається з початкомкоординат. Особливістю сферичної аберації третього порядку є те, що вона незалежить від розміру предмета, тобто вона постійна на всім полі.
Величину /> називають подовжньою сферичноюаберацією, а /> — поперічною сферичною аберацією.
З розгляду рис. 2, авипливає, що якщо площину зображення переміщати вздовж оптичної осі від площиниідеального зображення 2, то можна значно зменшити розмір кола розсіювання.Площина 1, у якій коло розсіювання має мінімальний розмір, називається площиноюнайкращої установки (ПНУ). При наявності в оптичній системі сферичної абераціїтільки третього порядку зсув ПНУ на величину /> дозволяє отримати />, де />, />– подовжня і поперечнасферичні аберації для променя, що проходить через край вхідної зіниці. Нарис. 2, б показаний графік залежності поперечної сферичної абераціївід вихідного апертурного кута. Користуючись цим графіком, можна визначитиположення ПНУ./> />
Малюнок 2– Схема для визначення сферичнойаберації
Кома. Аберація визначається коефіцієнтом В. З формул (2) маємо
/>/> />
Малюнок 3– Хід променів в оптичній системіпри наявності коми
Після переходу до полярних координат ідеяких перетворень отримаємо рівняння окружності з радіусом />, центр якої зміщений на2R від точки />:
/>.
Геометричний зміст аберації ілюструєрис. 3. Кома є аберацією широкого похилого пучка променів, яка вноситьасиметрію в будівлю пучків.
Астигматизм і кривизна поля. НехайА = В = Е = 0, С ¹ 0 і D ¹ 0. З формул (2) випливає, що
/>
Переходячи до полярних координат, післяперетворення одержуємо рівняння еліпса
/>,
де а і b- півосі еліпса;/>, />.
Розмір і форма фігури розсіюваннязмінюються при зміні площини установки. Явище астигматизму полягає в тому, щопромені того самого пучка, що йдуть у двох взаємно перпендикулярних площинах(меридіональній та сагитальній), після проходження оптичної системи незбираються в одній точці, а мають різні точки збіжності. Тому у площині, у якійлежить точка збіжності меридіональних променів, еліпс вироджується у відрізокпрямої, перпендикулярної до меридіональної площини. У площині, що проходитьчерез точку збіжності сагитальних променів, фігура розсіювання – пряма, щолежить у меридіональній площині. У площині, що лежить посередині між цимиплощинами, еліпс перетворюється в коло. Положення точок збіжності /> і /> меридіональнихі сагитальних променів щодо площини ідеального зображення характеризуютьвідрізками /> і/> (рис. 4).Різницю /> називаютьастигматичною різницею або астигматизмом .
Візьмемо предмет АВ висотою у,розташований у меридіональній площині (рис. 4). Кожній крапці відрізка увідповідатиме меридіональне і сагитальне зображення, наприклад /> і />. З’єднуючи відповідніточки, отримаємо відрізки /> і />, що являють собою меридіональне ісагитальне зображення предмета у. Якщо між кривими /> і />, які являють собою зображення у,провести проміжну (середню) лінію, то отримаємо криву />, що характеризує кривизнузображення. При обертанні кривих /> і /> навколо оптичної осі отримаємоастигматичні поверхні обертання і поверхню кривизни зображення, дотичні доплощини ідеального зображення в точці А’ на осі.
/> />
Малюнок 4– Поверхонь зображень, утворенихастигматичними пучками
Таким чином, якщо коефіцієнти С і D недорівнюють нулю, то зображення предмета лежить на скривлених поверхнях(параболоїдах), а не на площині.
Дисторсія. Аберація визначається коефіцієнтом Е та координатою у:
/>.
Дисторсія виявляється у тому, щовнаслідок мінливості лінійного збільшення для різних кутів полю порушуєтьсяподоба зображення предмета. Прямі лінії викривляються, замість правильного квадратавиходять фігури, що зображені на рис. 5. Дисторсія не залежить відкоординат променя у площині вхідної зіниці, отже, пучок променів, що вийшов здеякої предметної точки, після системи зміститься на відрізок />, але йогогомоцентричність не порушується і зображення виходить різким./> />
Малюнок 5– Порушення зображень дисторсією
На практиці у чистому вигляді окреміаберації, а тим більше окремі аберації третього порядку не зустрічаються, томуфігури розсіювання мають складну форму. Крім того, у реальних оптичних системахвиявляються й аберації вищих порядків, і фігури розсіювання приймають ще більшскладну форму.
Варто зазначити, що число аберацій взалежності від їхнього порядку визначається виразом
/>,
де N- число аберацій, t- порядокаберацій. Наприклад, якщо t = 3, тo N = 5, при t = 5N = 9, а якщо t = 7, то N = 14 і т.д. Якістьзображення погіршується також внаслідок аберацій, що виявляються при роботіоптичної системи в широкому спектральному діапазоні.
Хроматичні аберації. На відміну від монохроматичних хроматичні абераціївиявляються вже в параксіальній області. Параксіальні зображення предмета, якідають оптичні системи у променях з різними довжинами хвиль, розрізняються як поположенню, так і по розмірах в залежності від оптичних характеристикматеріалів, з яких виготовлені оптичні деталі. До основних оптичниххарактеристик матеріалів (середовищ) відносяться показник заломлення n,середня дисперсія />, коефіцієнти дисперсії />, відноснаприватна дисперсія />, де l0- середня довжина хвилі спектрального інтервалу; l1- довжина хвилі, що відповідає короткохвильовійграниці спектрального інтервалу; l2-довжина хвилі, що відповідає довгохвильовій границі спектрального інтервалу.Вибір спектрального інтервалу визначається призначенням оптичної системи.Наприклад, для візуальних оптичних приладів, що працюють у видимій областіспектра, />нм(синьо-блакитна частина спектра), />нм (червона частина спектра), /> (жовтачастина спектра).
Характеристики оптичних матеріалівнаведені в державних стандартах (див. ДСТ 3514-76, ДСТ 13659-78 іРадянсько-німецький каталог оптичного безбарвного скла).
У параксіальній області розрізняють наступні хроматичніаберації: хроматизм положення, хроматизм збільшення і вторинний спектр. Короткорозглянемо їх.
Хроматизм положення. Ця аберація визначається відстанню /> між параксіальнимизображеннями для двох кольорів l1 і l2, тобто /> (рис. 6). Виникнення цієїаберації можна пояснити, використовуючи формулу:
/>.
Через те, що />, /> і />, то />
/> />
Рисунок 6– Хроматизм положення
Для простої тонкої лінзи хроматизмположення визначається співвідношеннями:
/> (3)
З формул (3) випливає, що для простої тонкої лінзихроматизм положення виправити неможливо. Найпростішою системою, що дозволяєусунути цю аберацію, є двохлінзовий склеєний об’єктив. Оптичні сили лінз цьогооб’єктива визначаються зі спільного розв’язання системи двох рівнянь, щозадають умову масштабу й умову ахроматизації:
/>.
Хроматизм положення для системи, якаскладена з k нескінченно тонких лінз, обчислюють за формулою:
/>.
Хроматизм збільшення. Ця аберація визначається відрізком />, що знаходиться якрізниця розмірів /> і /> зображень для крайніх довжинхвиль l1 і l1, тобто /> (рис. 7). Хроматизмзбільшення виражають у відносній мірі />. Для одиночної лінзи хроматизмзбільшення може бути обчислений за формулами:
/>
де Sp- положення вхідної зіниці щодопершої поверхні лінзи; S1- положення предмета щодо тієї ж поверхні.
/> />
Рисунок 7– Хроматизм збільшення
Вторинний спектр. В оптичних системах, які називають ахроматами,параксіальні зображення вісьових точок сполучаються тільки для променів здовжинами хвиль l1 і l2 (рис. 8, крива 1). Залишковий хроматизм/> за умови/> називаютьвторинним спектром.
/> />
Рисунок 8– Графік хроматичної абераціїположення
Для тонкого двохлінзовогосклеєного об’єктива значення вторинного спектра може бути обчислене за формулою
/>.
Застосування оптичних матеріалів зблизькими за значенням відносними частними дисперсіями, але з різнимикоефіцієнтами дисперсій, наприклад, флюориту, фтористого літію, стекол ОФ4,СТК9 та ін. дозволяє усунути вторинний спектр. Оптичні системи з виправленимвторинним спектром називають апохроматами (рис. 8, крива 2).Апохромати створюють практично незабарвлене зображення.