–PAGE_BREAK–№15.Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
Решение.По условию n=243; k=70; p=0,25; q=0,75. Воспользуемся формулой Лапласа:
.
Найдем значение x:
.
По таблице приложения1 находим
.
Искомая вероятность
.
№16.Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.
Решение. По условию n=2400; k=1400; p=0,6; q=0,4. Как и в предыдущем примере, воспользуемся формулой Лапласа:
Вычислим x:
.
По таблице приложения1 находим
Искомая вероятность
.
4. Формула Пуассона
Эта формула применяется при неограниченном возрастании числа испытаний, когда вероятность наступления события достаточно близка к 0 или 1.
,
где .
Доказательство.
.
.
Таким образом получили формулу:
.
Примеры
№17. Вероятность изготовления негодной детали равна 0,0002. Найти вероятность того, что среди 10000 деталей только 2 детали будут негодными.
Решение.n=10000; k=2; p=0,0002.
Искомая вероятность
.
№18. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,0004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей только 5 детали будут бракованными.
Решение.n=1000; k=5; p=0,0004.
Искомая вероятность
.
№19. Вероятность выигрыша лотереи равна 0,0001. Найти вероятность того, что из 5000 попыток выиграть удастся 3 раза.
Решение.n=5000; k=3; p=0,0001.
Искомая вероятность
.
5.Теорема Бернулли о частоте вероятности
Теорема.Вероятность того, что в nнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа , приближенно равна удвоенной функции Лапласа при :
.
Доказательство.Будем считать, что производится nнезависимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p. Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности pпо абсолютной величине не превышает заданного числа . Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства
. (*)
Заменим неравенство (*) ему равносильными:
.
Умножая эти неравенства на положительный множитель , получим неравенства, равносильные исходному:
.
Тогда вероятность найдем следующим образом:
.
Значение функции находится по таблице(см. приложение2).
Примеры
№20.Вероятность того, что деталь не стандартна, p=0,1. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности p=0,1 по абсолютной величине не более, чем на 0,03.
Решение. n=400; p=0,1; q=0,9; =0,03. Требуется найти вероятность. Пользуясь формулой
,
имеем
.
По таблице приложения2 находим . Следовательно, . Итак, искомая вероятность равна 0,9544.
№21.Вероятность того, что деталь не стандартна, p=0,1. Найти, сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 0,9544, можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей(среди отобранных) отклонится от постоянной вероятности pпо абсолютной величине не более чем на 0,03.
Решение.По условию, p=0,1; q=0,9; =0,03; . Требуется найти n. Воспользуемся формулой
.
В силу условия
Следовательно,
По таблице приложения 2 находим . Для отыскания числа nполучаем уравнение . Отсюда искомое число деталей n=400.
№22.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях.
Решение. Воспользуемся той же формулой, из которой следует:
.
Литература
1.Гмурман Е.В. «Теория вероятностей и математическая статистика», Москва, «Высшая школа»2003.
2.Гмурман Е.В. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике», Москва «Высшая школа»2004.
3.Гнеденко Б.В. «Курс теории вероятностей», Москва, «Наука»1988.
4.Колемаев В.А., Калинина В.Н., Соловьев В.И., Малыхин В.И., Курочкин А.П. «Теория вероятностей в примерах и задачах», Москва, 2001.
5.Вентцель Е.С. «Теория вероятностей», Москва, «Высшая школа»1998.
Приложения
Приложение1
Таблица значений функции
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.6
1109
1092
1074
1057
1040
1023
1006
0989
0973
0957
1.7
0940
0925
0909
0893
0878
0863
0648
0833
0818
0804
1.8
0790
0775
0761
0748
0734
0721
0707
0694
0681
0669
1.9
0656
0644
0632
0620
0608
0596
0584
0573
0562
0551
2,0
0540
0529
0519
0508
0498
0488
0478
0468
0459
0449
2.1
0440
0431
0422
0413
0404
0396
0387
0379
0371
0363
2.2
0355
0347
0339
0332
0325
0317
0310
0303
0297
0290
2.3
0283
0277
0270
0264
0258
0252
0246
0241
0235
0229
2,4
0224
0219
0213
0208
0203
0198
0194
0189
0184
0180
2.5
0175
0171
0167
0163
0158
0154
0151
0147
0143
0139
2.6
0136
0132
0129
0126
0122
0119
0116
0113
0110
0107
2,7
0104
0101
0099
0096
0093
0091
0088
0086
0084
0081
2,8
0079
0077
0075
0073
0071
0069
0067
0065
0063
0061
2.9
0060
0058
0056
0055
0053
0051
0050
0048
0047
0043
3,0
0044
0043
0042
0040
0039
0038
0037
0036
0035
0034
3,1
0033
0032
0031
0030
0029
0028.
0027
0026
0025
0025
3,2
0024
0023
0622
0022
0021
0020
0020
0019
0018
0018
3,3
0017
0017
0016
0016
0015
0015
0014
0014
0013
0013
3,4
0012
0012
0012
0011
0011
0010
0010
0010
0009
0009
3,5
0009
0008
0008
0008
0008
0007
0007
0007
0007
0006
3,6
0006
0006
0006
0005
0005
0005
0005
0005
0005
0004
3,7
0004
0004
0004
0004
0004
0004
0003
0003
0003
0003
3,8
0003
0003
0003
0003
0003
0002
0002
0002
0002
0002
3,9
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0001
0001
Приложение2
Таблица значений функции
x
x
x
x
0900
0,0000
0,32
0,1255
0,64
0,2389
0,96
0,3315
0,01
0,0040
0,33
0,1293
0,65
0,2422
0,97
0,3340
0,02
0,0080
0,34
0,1331
0,66
0,2454
0,98
0,3365
0,03
0,0120
0,35
0,1368
0,67
0,2486
0.99
0,3389
0,04
0,0160
0,36
0,1406
0,68
0,2517
1,00
0,3413
0,05
0,0199
0,37
0,1443
0,69
0,2549
1,01
0,3438
0,06
0,0239
0,38
0,1480
0,70
0,2580
1,02
0,3461
0,07
0,0279
0,39
0,1517
0,71
0,2611
1,03
0,3485
0,08
0,0319
0,40
0,1554
0,72
0,2642
1,04
0,3508
0,09
0,0359
0,41
0,1591
0,73
0,2673
1,05
0,3531
0,10
0,0398
0,42
0,1628
0,74
0,2703
1,06
0,3554
0,11
0,0438
0,43
0,1664
0,75
0,2734
1,07
0,3577
0,12
0,0478
0,44
0,1700
0,76
0,2764
1,08
0,3599
0,13
0,0517
0,45
0,1736
0,77
0,2794
1.09
0,3621
0,14
0,0557
0,46
0,1772
0,78
0,2823
1.10
0,3643
0,15
0,0596
0,47
0,1808
0,79
0,2852
3665
0,3665
0,16
0,0636
0,48
0,1844
0,80
0,2881
3686
0,3686
0,17
0,0675
0,49
1879
0,81
0,2910
1,13
0,3708.
0,18
0,0714
0,50
0,1915
0,82
0,2939
1,14
0,3729
0,19
0,0753
0,51
0,1950
0,83
0,2967
1,15
0,3749
0,20
0,0793
0,52
0,1985
0,84
0,2995
1,16
0,3770
0,21
0,0832
0,53
0,2019
0,85
0,3023
1,17
0,3790
0,22
0,0871
0,54
0,2054
0,86
0,3051
1,18
0,3810
0,23
0,0910
0,55
0,2088
0,87
0,3078
1,19
0,3830
0,24
0,0948
0,56
0,2123
0,88
0,3106
1,20
0,3849
0,25
0,0987
0,57
0,2157
0,89
0,3133
1.21
0,3869
0,26
0,1026
0,58
0,2190
0,90
0,3159
1,22
0/3883
0,27
0,1064
0,59
0,2224
0,91
0,3186
1,23
0,3907
0,28
0,1103
0,60
0,2257
0,92
0,3212
1.24
0,3925
0,29
0,1141
0,61
0,2291
0,93
0,3238
1,25
0,3944
0,30
0,1179
0,62
0,2324
0,94
0,3264
0,31
0,1217
0,63
0,2357
0,95
0,3289
продолжение
–PAGE_BREAK–